1、第第 2 课时课时 函数的最大函数的最大(小小)值值 1设 M，m 分别是函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值，若 Mm，则 f(x)( ) A等于 0 B小于 0 C等于 1 D不确定 答案 A 解析 因为 Mm，所以 f(x)为常数函数，故 f(x)0，故选 A. 2.已知函数 f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) 的最大值为( ) Af(a)g(a) Bf(b)g(b) Cf(a)g(b) Df(b)g(a) 答案 A 解析 令 F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)， F(x)f(x)g(x)0， F(x)在a，b上
2、单调递减， F(x)maxF(a)f(a)g(a) 3函数 f(x)x33x1 在区间3,0上的最大值和最小值分别是( ) A1，1 B1，17 C3，17 D9，19 答案 C 解析 f(x)3x233(x1)(x1)， 令 f(x)0，得 x 1. 又 f(3)279117，f(0)1， f(1)1313,13,0 所以函数 f(x)的最大值为 3，最小值为17. 4某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品若该商品零售价定为 P 元，销量为 Q，销量 Q(单位：件)与零售价 P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利 润为(毛利润销售收入进货支出)( ) A3
3、0 元 B60 元 C28 000 元 D23 000 元 答案 D 解析 设毛利润为 L(P) 则 L(P)PQ20Q (8 300170PP2)(P20) P3150P211 700P166 000， 所以 L(P)3P2300P11 700. 令 L(P)0，解得 P30 或 P130(舍去) 此时，L(30)23 000. 根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000 元 5(多选)函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则 a 的值可以为( ) A0 B.1 3 C. 1 2 D1 答案 BC 解析 f(x)3x23a，
4、且 f(x)0 有解，ax2. 又x(0,1)，0a1. 6若函数 f(x)x33x 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 m，n，则 m_，n _. 答案 18 2 解析 f(x)3x23， 令 f(x)0，得 x1 或 x1(舍去) 又因为 x0,1)时，f(x)0， 所以当 x1 时，f(x)取得极小值 f(1)2. 又 f(0)0，f(3)18，所以 m18，n2. 7设 0x，则函数 y2cos x sin x 的最小值是_ 答案 3 解析 ysin 2x2cos xcos x sin2x 12cos x sin2x . 因为 0x， 所以当 3x0； 当 0x 3时，y1)在区间1
5、,1上的最大值为 1，最小值 为2，则 ab_，f(x)的解析式为_ 答案 1 3 f(x)x 32x21 解析 f(x)3x23ax3x(xa)， 令 f(x)0 得 x10，x2a， 当 x1,0时，f(x)0，f(x)单调递增， 当 x(0,1时，f(x)0，f(x)单调递减， 所以 f(x)maxf(0)b1， 因为 f(1)3 2a，f(1)2 3 2a， 所以 f(x)minf(1)3 2a， 所以3 2a2，即 a 4 3， 所以 ab4 31 1 3， 所以 f(x)x32x21. 9求下列函数的最值： (1)f(x)sin xcos x，x 2， 2 ； (2)f(x)ln(
6、1x)1 4x 2，x0,2 解 (1)f(x)cos xsin x. 令 f(x)0，即 tan x1， 且 x 2， 2 ， 所以 x 4. 又因为 f 4 2， f 2 1，f 2 1， 所以当 x 2， 2 时，函数的最大值为 f 4 2， 最小值为 f 2 1. (2)f(x) 1 1x 1 2x， 令 1 1x 1 2x0， 化简为 x2x20， 解得 x12(舍去)，x21. 当 0 x0，f(x)单调递增； 当 1x2 时，f(x)0，f(1)f(2) 所以 f(0)0 为函数 f(x)ln(1x)1 4x 2在0,2上的最小值， f(1)ln 21 4为函数在0,2上的最大值
7、 10已知 a 为常数，求函数 f(x)x33ax(0 x1)的最大值 解 f(x)3x23a3(x2a) 若 a0，则 f(x)0，函数 f(x)单调递减， 所以当 x0 时，f(x)有最大值 f(0)0. 若 a0，则令 f(x)0，解得 x a. 因为 x0,1， 所以只考虑 x a的情况 (1)若 0 a1，即 0a1，则当 x a时，f(x)有最大值 f( a)2a a.(如下表所示) x 0 (0， a) a ( a，1) 1 f(x) 0 f(x) 0 2a a 3a1 (2)若 a1，即 a1，则当 0 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在0,1上单调递增，当 x1 时， f
8、(x)有最大值 f(1)3a1. 综上可知，当 a0，x0 时，f(x)有最大值 0， 当 0a0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A(1，) B(，1) C1，) D(，1 答案 A 解析 f(x)ex1，令 f(x)0，解得 x0，令 f(x)0，解得 x0 恒成立，则 1a0，解得 a1，故选 A. 12下列关于函数 f(x)(2xx2)ex的判断正确的是( ) f(x)0 的解集是x|0x0 得 0x2，故正确 f(x)(2x2)ex， 令 f(x)0，得 x 2， 当 x 2时，f(x)0， 当 2x0， 当 x 2时，f(x)取得极小值， 当 x 2时，f(x)取得极大值，
9、故正确 当 x时，f(x)0，当 x时，f(x)0， 结合函数的单调性可知，函数 f(x)有最大值无最小值， 故不正确 13函数 f(x) 4x x21(x2,2)的最大值是_，最小值是_ 答案 2 2 解析 f(x)4x 214x2x x212 41x 2 x212 41x1x x212 ， 令 f(x)0，得 x11，x21. 又 f(2)8 5，f(1)2，f(1)2，f(2) 8 5， f(x)max2，f(x)min2. 14.一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥 (如图所示)当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为_ m 时，
10、帐篷的体积最大 答案 2 解析 设 OO1x m，则 1x4. 由题设可得正六棱锥底面边长为 32x12 82xx2. 于是底面正六边形的面积为 6 3 4 ( 82xx2)23 3 2 (82xx2) 帐篷的体积为 V(x)3 3 2 (82xx2) 1 3x11 3 2 (1612xx3) 则 V(x) 3 2 (123x2) 令 V(x)0，解得 x2(不合题意，舍去)或 x2. 当 1x0，V(x)单调递增； 当 2x4 时，V(x)1)，若对于任意的 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 a 的值为_ 答案 4 解析 由题意得，f(x)3ax23，当 a1 时，令 f(x)3ax
11、230，解得 x a a ， a a 1,1 当1x0，f(x)单调递增； 当 a a x a a 时，f(x)0，f(x)单调递减； 当 a a x0，f(x)单调递增 所以只需 f a a 0，且 f(1)0 即可， 由 f a a 0，得 a a a 33a a 10，解得 a4， 由 f(1)0，可得 a4，综上可得 a4. 16已知函数 f(x)ln xa x. (1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在1，e上的最小值是3 2，求 a 的值 解 函数 f(x)ln xa x的定义域为(0，)， f(x)1 x a x2 xa x2 ， (1)a0，
12、故函数在其定义域(0，)上单调递增 f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间 (2)当 x1，e时，分如下情况讨论： 当 a0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1)a1，这与函数在1，e上的最 小值是3 2相矛盾； 当 a1 时，函数 f(x)在1，e上单调递增，其最小值为 f(1)1，同样与最小值是3 2相矛盾； 当 1ae 时，函数 f(x)在1，a)上有 f(x)0，f(x)单 调递增， 函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1，由 ln a13 2，得 a e. 当 ae 时，函数 f(x)在1，e上有 f(x)0，f(x)单调递减，其最小值为 f(e)2，这与最小 值是3 2相矛盾； 当 ae 时，显然函数 f(x)在1，e上单调递减，其最小值为 f(e)1a e2，仍与最小值是 3 2相 矛盾 综上所述，a 的值为 e.
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