1、 高一数学试题第 1 页（共 6 页） 安庆市安庆市 2020202020212021 学年度第二学期期末教学质量监测学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试题高一数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知向量4,2 , 1mba，若ab，则实数m的值为（ ） A.2 B.2 C.8 D.8 2. 已知复数 i z 1 2 ，其中i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A.复数z的虚部为i B. 2z C. 2 zz D. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 3.下列关于棱柱的命题中，真命题的个数
2、是（ ） 同一棱柱的侧棱平行且相等； 一个棱柱至少有 5 个面； 当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱； 当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体. A.1 B.2 C.3 D.4 4. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 120A， 45B，4b， 则边c（ ） A. 26 B. 13 C. 32 D. 232 5. 进入 8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标 准为 24 小时内最高气温将升至 37 摄氏度以上） ，在今后的 3 天中，每一天最高气温在 37 摄 氏度以上的概率是 3 5 .用计算机生成了 20 组随
3、机数，结果如下，若用 0，1，2，3，4，5 表示 高温橙色预警，用 6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的 3 天中恰有 2 天发布高温橙色 预警信号的概率估计是（ ） 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 高一数学试题第 2 页（共 6 页） A 1 2 B 3 5 C 13 20 D 2 5 6. 设点 FED,分别是 ABC的三边 ABCABC,的中点，则 CFBE ( ) A.DA B.DA 2 1 C.AD D.BC 2 1 7.下面两个图是 2020 年
4、 6 月 25 日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标 注日期，纵向标注累计数量.现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数累计死亡数 累计治愈数. 则下列叙述错误错误 的是（ ） A自 1 月 20 日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期 B自 4 月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制 C自 6 月 16 日至 24 日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加 D自 6 月 16 日至 24 日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少 8. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，且满足m，m，则下 列说法一定正确的是（ ） A. B. C. 若n，则
5、mn D. 若n，则n 9. 生物实验室有 5 只小白鼠，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只小白鼠中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为（ ） A 2 3 B 3 5 C 2 5 D 1 5 10. 如图是某几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， 其余均为等腰三角形，E,F,G,H 分别为,PA PD PC PB的中 点. 则在此几何体中， 给出下列结论， 其中正确的结论是 （ ） 高一数学试题第 3 页（共 6 页） A直线/ /EF平面BDG B直线PA与平面BDG相交 C直线EH平面PBC D 平面/ /EFGH平面ABCD 11. 在ABC中，
6、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数， 且A BC，AABcossin20sin3，则a:bc（ ） A.4：3：2 B.5：4：3 C.6：5：4 D.7：6：5 12. 如图， 在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABBC，ADBP， PAAC， 若三棱锥PABC外接球的表面积为8，则三棱锥 PACD体积的最大值为（ ） A 2 3 B 1 2 C 3 4 D 2 4 二、填空题：本大题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知向量ba,的夹角为 3 2 ，2, 3ba，则 ba32_. 14 已知复数iz 5 3 cossin 5 4 为
7、纯虚数 （其中i为虚数单位） ， 则tan_. 15. 口袋内有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一个球，摸出红球或黄球的概率为 0.6，摸出黄球或蓝球的概率为 0.7，若从中依次有放回地摸出两个球，摸到每个球是相互独 立的，则这两个球均为黄球的概率为_. 16. 在棱长为 4 的正方体 1111 DCBAABCD中，点P是棱AB的中点，过点A作与截面CPB1 平行的截面，则所得截面的面积为_. 三、解答题：本大题共 6 道小题，共 70 分. 解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17 （本小题满分 10 分） 已知i 21是关于 x 的方程 2 0( ,)xpxqp q
8、R的一个根，其中i为虚数单位 （1）求 , p q的值； 高一数学试题第 4 页（共 6 页） （2）记复数 iqpz4，求复数 1 z i 的模 18. （本小题满分 12 分） 已知向量(2,1)a ，(3, 1).b （1）求向量a与b的夹角； （2）若(3,)()cm mR，且(2 )abc，求 m的值. 高一数学试题第 5 页（共 6 页） 19. （本小题满分 12 分） 在四面体ABCD中， 点 E， F， M 分别是 AB， BC， CD的中点， 且2BDAC，1.EM （1）求证：/ /EF平面 ACD； （2）求异面直线 AC与 BD所成的角. 20. （本小题满分 12
9、分） 如图，某快递小哥从 A 地出发，沿小路ABBC以平均时速 20 公里/小时，送快件到 C 处， 已知10BD（公里） ，ABDCDBDCB,30,45 是等腰三角形，120ABD （1）试问，快递小哥能否在 50 分钟内将快件送到 C 处？ （2）快递小哥出发 15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车 沿大路ADDC追赶，若汽车平均时速 60 公里/小时，问汽车能否先到达 C 处？ （注：21.41431.732，） 高一数学试题第 6 页（共 6 页） 21. （本小题满分 12 分） “肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有 1100 多年的栽培历
10、史明代万历十 一年（1583 年）的肥城县志载： “果亦多品，惟桃最著名”.2016 年 3 月 31 日，原中华人 民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护某超市在旅游旺季销售一 款肥桃，进价为每个 10 元，售价为每个 15 元。销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的 全部由厂家以每个 5 元的价格回购处理根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分 布直方图： （1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ； （2）已知该超市某天购进了 150 个肥桃，假设当天的需求量为 x 个（xN，0 x240） ，销售 利润为 y 元 （）求
11、y 关于 x 的函数关系式； （）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润 y 不小于 650 元的概 率 22. （本小题满分 12 分） 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC 平面ABC. （1）证明：平面PBC 平面PAC； （2）设2ABPC，1AC ，求二面角BPA C的余弦值. 高一数学试题第 7 页（共 6 页） 安庆市安庆市 2020202020212021 学年度第二学期期末教学质量监测学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试题参考答案与评分标准高一数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共 12 道小题，每小题 5 分，共
12、60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.B 解析：由条件知m241，解得2m，故选 B. 2.C 解析：由已知得i i z 1 1 2 ，其虚部为 1，模为2，在复平面内对应的点在第一 象限，所以 A，B，D 均错误，又 211iizz，故 C 正确. 3.B 解析：正确，错误，故选 B. 4.D 解析：由已知得角 15C，根据正弦定理可知 C c B b sinsin ，即 15sin45sin 4c ， 所以232 4 26 2415sin24 c，故选 D. 5.A 解析：观察 20 个随机数，其中有 116，812，730， 217，109，361，284
13、，147，318， 027 共 10 个表示 3 天中恰有 2 天发布高温橙色预警信号，因此所求概率为 101 202 P ，故选 A. 6.A 解析：由已知可得CBCABCBACFBE 2 1 2 1 CABA 2 1 DA ，故 选 A. 7.D 解析：由图一可知 A，B 均正确. 由图二数据计算得 6 月 16 日的现存确诊病例数为84867 79926 4645296， 同理可计算 18、20、22、24 日现存确诊病例数分别为 346，383，441，473，故选 D. 8.A 解析： 根据条件作出图形发现 A 正确， B 不正确； 当n时，mn或m，n异面， C 不一定正确；当n时
14、，直线n与平面不一定垂直. 9.B 解析：设其中做过测试的 3 只小白鼠为, ,a b c，剩余的 2 只为 ,A B，则从这 5 只中任 高一数学试题第 8 页（共 6 页） 取 3 只的所有取法有 , , , , , , , , , , , , , , , , , a b ca b Aa b Ba c Aa c Ba A B， ,c, , ,c, ,b, , ,c, , bAbBA BA B共 10 种其中恰有 2 只做过测试的取法有 , , , , , , , , , , , ,a b Aa b Ba c Aa c B ,c, , ,c, bAbB共 6 种，所以恰有 2 只做过测试的概
15、率 为 63 105 ，选 B 10.D 解析：作出立体图形如图所示.连接,E F G H四点 构成平面EFGH. 对于 A，根据图形可知直线EF与平面BDG相交，两者不平 行；对于 B，连接,AC BD DG BG，设AC的中点为 M，则 M 也是BD的中点，所以/MGPA，又MG平面BDG, PA平面BDG，所以/PA平面BDG，故 B 错误； 对于 C，由图知EH与PB不垂直，故 C 错误； 对于 D，因为 E,F 分别是,PA PD的中点,所以/EFAD.又EF 平面ABCD，AD 平面 ABCD，所以/ /EF平面ABCD.同理, /EH平面ABCD.又EFEHE,EF 平面 EFG
16、H,EH 平面EFGH，所以平面/ /EFGH平面ABCD，故 D 正确，选 D. 11. C 解析：根据正弦定理可知Aabcos203 ，又根据余弦定理可得 bc acb ab 2 203 222 ，因1, 1bcba，代入整理得040277 2 bb， 即0875bb，解得5b，故选 C. 12.A 解析：设aAB，BCb，由三棱锥PABC外接球的表面积为8，得外接球的 半径 2R .又PA 平面ABC，AB BC， 所以 2 222222 228ABBCAPACAPAPR，所以2AP ，所以 22 4ab . 因为PA 平面ABC，ADPB， 所以 2 4PBa ， 2 2 4 a BD
17、 a ， 过 D 作DEAB， 高一数学试题第 9 页（共 6 页） 垂足为 E，则DE 平面ABC， 所以/DE PA，所以 DEBD PABP ，所以 2 2 2 4 a DE a ，所以 DEPASVVV ABCABCDABCPACDP 3 1 222 2 23 4 4 2 2 6 1 ba ab a a ab 442 23 6 2 3 ab ba ， 当且仅当 2ab ba ，即 2 3 3 a ， 2 6 3 b 时，“=”成立， 所以三棱锥PACD体积的最大值为 2 3 .故选 A. 二、填空题：本大题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.36 解析：由已知得3ba
18、， 22 2 912432bbaaba108，所以 3632 ba. 14. 3 4 解析：根据已知得 0 5 3 cos 0sin 5 4 ，所以 5 3 cos 5 4 sin ，于是 3 4 cos sin tan . 15.0.09 解析：根据条件知从中摸出一个球，该球为黄球的概率为3 . 017 . 06 . 0，从中 依次摸出两个球，根据独立事件发生的概率知这两个球均为黄球的概率为09. 03 . 03 . 0. 16.68 解析：分别取棱CDBA, 11 的中点FE,，连AFFCECAE, 11 ，则可证平面 FAEC1平面CPB1，而且四边形FAEC1是对角线长分别为3424，
19、的菱形，于是所得截 面的面积为683424 2 1 . 三、解答题：本大题共 6 道小题，共 70 分.解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17（1） 根据条件可将ix21代入方程0 2 qpxx， 整理得 0423ipqp， 高一数学试题第 10 页（共 6 页） 所以 042 03 p qp ，解得 5 2 q p 5 分 （2）由（1）可知iiqpz24， 所以 i ii i i i z 2 1 2 3 2 12 1 2 1 于是 2 10 2 1 2 3 2 1 2 3 1 22 i i z ， 因此复数 i z 1 的模为 2 10 .10 分 18.解：(1)2,1
20、a ，3, 1b ， 2 3 115a b ， 由题得 2 |215a ， 22 |3( 1)10b ， 设向量a与b的夹角为，则 52 cos 2|510 a b a b ， 0, ，所以 4 ，即向量a与b的夹角为. 4 6 分 (2)2,1a ，3, 1b ，24,3ab ， 2abc， 20abc， 3,cm，43 30m ，解得4.m12 分 19.解：（1）由题意，点 E，F分别是 AB，BC的中点，所以/EFAC， 因为EF 平面 ACD，AC 平面 ACD， 高一数学试题第 11 页（共 6 页） 所以/ /EF平面 ACD；6 分 （2）由（1）/EFAC， 因为点 F，M分
21、别是 BC，CD 的中点，可得/FMBD， 所以EFM即为异面直线 AC 与 BD所成的角(或其补角). 在EFM中，1EFFMEM，所以EFM为等边三角形， 所以60EFM ，即异面直线 AC 与 BD所成的角为60 . 12 分 20.解： （1）10AB公里，BCD 中，由 sin45sin30 oo BDBC 得， 5 2BC 公里， 于是可得10+5 26051.2150 20 ， 所以快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到 C 处. 6 分 （2）在ABD中，由 222 1 10102 10 10 ()300 2 AD , 即10 3AD 公里， 在BCD中，105oCBD , 由
22、 5 2 sin105sin30 oo CD 得 5 1+ 3CD （）公里， 由10 3+5 1+ 360+15=20+15 345.9851.21 60 （） 可知汽车能先到达 C 处. 12 分 21.解： （1）由题意可知： （0.00125+a+0.0075+0.00625+a+0.0025）401， 解得 a0.00375； 所以平均数x（200.00125+600.00375+1000.0075+1400.00625+1800.00375+220 0.0025）40 0.0520+0.1560+0.3100+0.25140+0.15180+0.1220124；4 分 （2） （i
23、）当 x150，240时，y150（2015）750， 当 x0，150）时，y（2015）x（150 x） （1510）10 x750， 故 Nxx Nxxx y ,240150,750 ,1500 ,75010 ;8 分 高一数学试题第 12 页（共 6 页） （ ii）由（i）可知，利润 y650，当且仅当日需求量 x140，240 由频率分布直方图可知，日需求量 x140，240的频率约为 0.125+0.15+0.10.375， 以频率估计概率的思想，估计当天利润 y 不小于 650 元的概率为 0.37512 分 22.（1） 证明：AB是圆O的直径，BC AC，又PC 平面ABC， PCBC，PCACC，PC 平面PAC，AC 平面PAC， BC平面PAC.又BC平面PBC，平面PBC 平面PAC； 5 分 （2）BC平面PAC，PA平面PAC，所以PA BC 过C作CMPA于M，连接BM， CCMBC,BC CM 平面BCM，所以PA 平面BCM 则BMPA，BMC即为二面角BPA C的平面角， 2 5 CM ，3BC ， 5 19 3 5 2 2 2 22 CMBCBM . 19 192 5 19 5 2 cos BM CM BMC . 所以二面角CPAB的余弦值为 19 192 .12 分
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