1、2021 年年 7 月高一期末学情月高一期末学情检测检测数学试题数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数2 i1 izt（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数t （ ） A-2 B-1 C0 D1 2“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来 表示， 该数越接近 10 表示满意程度越高 现随机抽取 6 位某小区居民， 他们的幸福感指数分别为 6， 7， 7， 8， 9，8，则这组数据的第 80 百分位数是（ ） A7 B8 C8.5 D9 3甲、乙、丙
2、和丁四个人站成一排，下列事件互斥的是（ ） A“甲站排头”与“乙站排尾” B“甲站排头”与“乙不站排尾” C“甲站排头”与“乙站排头” D“甲不站排头”与“乙不站排尾” 4在ABC中，若点D满足3BCDC，则（ ） A 12 33 ADABAC B 21 33 ADABAC C 13 44 ADABAC D 31 44 ADABAC 5给定一组数据 5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据（ ） A众数为 2 B平均数为 2.5 C方差为 1.6 D标准差为 4 6在正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱CD的中点，则异面直线AE与 1 BC所成角的正弦值为（ ） A 15
3、25 B 10 10 C 10 5 D 15 5 7 已知某人射击每次击中目标的概率都是 0.6， 现采用随机模拟的方法估计其 3 次射击至少 2 次击中目标的概 率p先由计算器产生 0 到 9 之间的整数值的随机数，指定 0，1，2，3，4，5 表示击中目标，6，7，8，9 表示未击中目标；因为射击 3 次，所以每 3 个随机数为一组，代表 3 次射击的结果经随机模拟产生了以下 20 组随机数： 169 966 151 525 271 937 592 408 569 683 471 257 333 027 554 488 730 863 537 039 据此估计p的值为（ ） A0.6 B0
4、.65 C0.7 D0.75 8 如图所示， 在平面四边形ABCD中，ADCD，ACBC，60B ，6ADCD 现将ACD 沿AC折起，并连接BD，如图，只当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的体积为（ ） A16 3 B4 3 C 32 3 D16 二、 多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全 部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况（该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾 为主），随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他
5、垃圾”箱这三类垃圾箱，总计 1000 千 克的生活垃圾，数据（单位：千克）统计如下： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾的投放质量 400 200 100 可回收物的投放质量 30 140 30 其他垃圾的投放质量 20 20 60 根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（ ） A“厨余垃圾”投放正确的概率约为 4 7 B“可回收物”投放错误的概率约为 3 5 C该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低 D该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高 10若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且1a ，2b ，3c ，则abc A3
6、B3 C5 D6 11习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协 调发展某学校对高一和高二年级每周在校体育锻炼时长进行了统计，得到数据（单位：小时）如下： 高一年级在校体育锻炼时长 分组 频率 2,3 0.25 3,4 0.30 4,5 0.20 5,6 0.25 关于高一和高二年级在校体育锻炼时长，下列说法正确的是（ ） A高一年级时长的众数比高二年级的大 B高一年级时长的平均数比高二年级的小 C高一年级时长的中位数比高二年级的大 D高一年级时长的方差比高二年级的大 12 已知圆锥的顶点为S， 底面半径为3， 高为 1，A，B是底面圆周上两个
7、动点， 下列说法正确的是 （ ） A圆锥的侧面积是2 3 BSA与底面所成的角是 6 CSAB面积的最大值是3 D该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为 3 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为 72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按 年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为 20，则抽取老年医生的人数为 _ 14甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是 1 2 ， 1 3 ，则该密码被成功破译的 概率为_ 15若圆台的上下底面半径分别为 1，2，母线长为2，则
8、该圆台的体积为_ 16在平面四边形ABCD中，90BAD，8AB，6AD，24AC ，AC交BD于点O，若 4 3 CAmCBm CD ，则 AO OC 的值为_，OD的长为_（第一个空 2 分，第二个空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i和j，2OAij ， 2OBij （1）求向量OA与OB夹角的余弦值； （2）若点P是线段AB的中点，且向量OP与OA kOB垂直，求实数k的值 18（12 分）一般地，一个大于 1 的正整数可以表示为两个或两
9、个以上的正整数之和，我们定义：将一个正 整数1n n表示为k个正整数的和，叫做正整数n的k拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数n 的无序k拆分。例如，4 的所有无序 2 拆分记作：1，3，2，2 （1）写出 9 的所有无序 2 拆分； （2）从 9 的所有无序 3 拆分中任取一个，求“所取拆分中的 3 个数可以作为ABC的三边长”的概率。 19（12 分）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，M，N分别为AD， 11 C D的 中点 （1）求证：平面 11 B DM 平面 11 AACC； （2）求证：/MN平面 11 AACC 20（12 分）在ABC
10、中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且coscosaB bAcb （1）求A； （2）若3a ，ABC的面积为 22 3 4 16 bc，求ABC的周长 21（12 分） 2021 年中国共产党迎来了建党 100 周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某学校为 学生组织了系列学党史活动为了解学生的学习情况，从全校学生中随机抽取了 1 名同学进行党史知识测试， 满分 100 分，并将这n名同学的测试成绩按50,60，60,70，70,80，80,90，90,100分成 5 组， 绘制成了如图所示的频率分布直方图已知测试成绩在80,90的学生为 70 人 （1）求n的值
11、及频率分布直方图中t的值； （2）为奖励优胜者，学校将对本次测试成绩排在前 40%的学生发放奖品，若某学生获得了奖品，请估算一下 该学生的成绩至少达到多少分； （3）学校组织党史知识测试设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若学生的平均成绩不低于 80 分，只需发 放下一步学习资料，否则要举办党史知识大讲堂加强学习请根据所学的统计知识，估计该校是否需要举办党 史知识大讲堂，并说明理由（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 22（12 分）中国古代数学名著九章算术中记载：“刍（ch ）甍（m ng）者，下有袤有广，而上有袤无 广。刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有
12、长没有宽为一条楼刍字面意思为茅 草屋顶”现有一个刍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形， 4AB ，/EF AB，2ABEF，17EAEDFBFC （1）求二面角AEFC的大小； （2）求三棱锥ABDF的体积； （3） 点N在直线AD上， 满足ANmAD（01m） ， 在直线CF上是否存在点M， 使/NF平面BDM？ 若存在，求出 CM MF 的值；若不存在，请说明理由 高中一年级学情诊断考试高中一年级学情诊断考试 数学参考答案数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要
13、求的 14ABCA 58CDBC 二、 多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全 部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9AC 10AD 11BD 12ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 139 14 2 3 15 7 3 16 1 3 ， 36 5 （第一个空 2 分，第二个空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分）【解析】方法一： （1）由已知得1,2OA，2,1OB ， 所以：1
14、 22 14OA OB ， 22 125OA ， 22 215OB ， 所以所求余弦值为 44 555 OA OB OA OB （2）因为1 2 ,2OAkOBkk， 3 3 , 2 2 OP ， 而向量OP与向量有OA kOB垂直， 所以 0OAkOBOP， 所以 33 1220 22 kk 所以 99 0 22 k， 解得1k 方法二： （1）因为 22 1ij，0i j， 所以 224OA OBijij，5OA ，5OB ， 所以所求余弦值为 44 555 OA OB OA OB （2） 221 22OAkOBijkijk ik j， 33 22 OPij， 因为向量OP与向量OA kO
15、B垂直， 所以 0OAkOBOP， 又 OAkOBOP 33 122 22 k ik jij 2233 122 22 k ik j 99 22 k， 所以 99 0 22 k， 所以1k 18（12 分） 【解析】（1）9 的所有无序 2 拆分为：1，8，2，7，3，6，4，5，共 4 个。 （2）9 的所有无序 3 拆分为： 1，1，7，1，2，6），1，3，5，1，4，4，2，2，5，2，3，4，3，3，3，共 7 个。 把每个“9 的无序 3 拆分”看作一个样本点，用M表示“所取拆分中的 3 个数可以作为ABC的三边长”， 则M中含有1，4，4，2，3，4和3，3，3，共 3 个样本点
16、由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，所以“所取拆分中的 3 个数可以作为 ABC的三边长”的概率 3 7 P 19（12 分） 【解析】（1）因为底面 1111 ABC D为菱形，所以 1111 B DAC 因为四棱柱为直四棱柱，所以 1 AA 平面 1111 ABC D 因为 11 B D 平面 1111 ABC D， 所以 111 AAB D 因为 1111 ACAAA， 所以 11 B D 平面 11 AACC 因为 11 B D 平面 11 B DM， 所以平面 11 B DM 平面 11 AACC （2）方法一： 设 11 B D交 11 AC于点E，连接A
17、E，NE 因为底面 1111 ABC D为菱形， 所以E为 11 AC中点 因为N为 11 C D中点， 所以 11 /EN AD， 11 2ENAD 又因为M为AD的中点， 11 /AD AD， 11 ADAD， 所以 11 /AM AD， 11 2AMAD， 所以/EN AM，ENAM， 所以四边形AMNE为平行四边形，所以/MN AE 因为AE 平面 11 AACC，MN 平面 11 AACC， 所以/MN平面 11 AACC 方法二： 连接BD交AC于点E 因为底面ABCD为菱形， 所以E为AC中点 因为M为AD点，所以/EM CD，2EMCD 因为N为 11 C D中点， 11/ C
18、 DCD， 11 C DCD， 所以 1 /C N CD， 1 2C NCD， 所以 1 /EM C N， 1 EMC N， 所以四边形 1 C EMN为平行四边形， 所以 1 /MN C E 因为 1 C E 平面 11 AACC，MN 平面 11 AACC， 所以/MN平面 11 AACC 方法三： 取CD中点E，连接EM，EN 因为M为AD中点， 所以/ME AC 因为AC 平面 11 AACC，EM 平面 11 AACC， 所以/EM平面 11 AACC 因为 11 /CD C D， 11 CDC D，N为 11 C D中点， 所以四边形 1 CC NE为平行四边形， 所以 1 /EN
19、 CC 因为 1 CC 平面 11 AACC，EN 平面 11 AACC， 所以/EN平面 11 AACC 因为EMENE， 所以平面/EMN平面 11 AACC 因为/MN平面EMN， 所以/MN平面 11 AACC 20（12 分） 【解析】（1）方法一： 由正弦定理知，已知条件可化为sincossincossinsinABBACB， 又在ABC中sinsinsincoscossinCABABAB， 所以2cossinsinABB，因为sin0B，所以 1 cos 2 A， 又因为0,A，所以 3 A 方法二： 由余弦定理得 22 22222222 2 coscos 222 ab acbb
20、caab aBbAabcb acbccc ， 所以 222 abcbc即 222 abcbc， 由余弦定理得 1 cos 2 A， 因为0,A，所以 3 A （2）方法一： 因为 22 313 4sin 1624 ScbbcAbc， 所以 22 44cbbc，得2cb， 由 222 2cosabcbcA知， 22 3bcbc， 所以2c ，1b， 所以ABC的周长为33 方法二： 因为 22 313 4sin 1624 ScbbcAbc， 所以 22 44cbbc，得2cb， 由正弦定理得sin2sin2sinsin3cos 3 CBCCC ， 所以cos0C ， 2 C ， 所以2c ，1b
21、， 所以ABC的周长为33 21（12 分） 【解析】（1）由已知条件可得 70 200 0.035 10 n ， 由频率和为 1 得100.015 70.035 0.0261tt， 解得0.003t （2）方法一： 因为1 40%60%，所以问题转化为估计样本数据的第 60 百分位数， 因为10 0.003 10 0.015 10 0.0210390.6， 10 0.003 10 0.015 10 0.021 10 0.0350.740.6， 所以第 60 百分位数在区间80,90内， 设该生得分最低为x，则0.39800.0350.6x， 解得86x ，所以估计该生的得分至少达到 86 分
22、。 方法二： 因为1 40%60%，所以问题转化为估计样本数据的第 60 百分位数， 因为10 0.003 10 0.015 10 0.0210390.6， 10 0.003 10 0.015 10 0.021 10 0.0350.740.6， 所以第 60 百分位数在区间80,90内， 则第 60 百分位数为 0.600.39 8086 0.035 （或写成 0.600.39 80 1086 0.35 ）， 所以估计该生的得分至少达到 86 分。 （3）由频率分布直方图可得 55 0.03 65 0.15 75 0.21 85 0.35 95 0.2681.6， 因为81.680， 所以按照
23、学校的预案，只需要发放学习资料即可。 22（12 分） 【解析】（1）过点E分别作EGEF，EHEF，分别交AB，CD于G，H，连接GH， 则GEH为二面角AEFC的平面角， 因为四边形ABCD为正方形，/EF AB， 所以EGAB，EHCD， 由已知得4EGGHEH， 所以60GEH （2）过点E作EOGH，垂足为O 因为/EF AB，EF 平面ABCD，AB 平面ABCD， 所以/EF平面ABCD 因为/AB CD，EHCD， 所以ABEH 因为EGEHE， 所以AB 平面EGH 因为EO平面EGH， 所以ABEO 因为ABGHG，AB，GH 平面ABCD， 所以EO平面ABCD， 所以E
24、O为三棱锥FABD的高，2 3EO 因为8 ABD S ， 所以 1116 3 8 2 3 333 A BDFFABDABD VVSEO （3）方法一： 假设存在点M 当点N在线段AD上时，连接CN交BD于R， 则DNRBCR， 所以 1 1 CRBC RNDNm 因为/FN平面BDM，FN 平面CFN， 平面CFN 平面BDMMR， 所以/FN MR， 所以 1 1 CMCR MFRNm 当点N在DA延长线上时，连接CN交BD于S， 则DNSBCS， 所以 1 1 CSBC SNDNm 因为/FN平面BDM，FN 平面CFN， 平面CFN 平面BDMMS， 所以/FN MS， 所以 1 1
25、CMCS MFSNm 综上，在直线CF上存在点M，使/NF平面BDM， CM MF 的值为 1 1m 或 1 1m 方法二： 当点N在线段AD上时，过点N作/NT BD交CD于T，连接TF，过点D作/TF DM交CF于点M， 因为TFTNT， 所以平面/FTN平面BDM 因为NF 平面FTN， 所以/NF平面BDM 因为FN 平面CFN，平面CFN 平面BDMMR， 所以/FN MR 因为/NT BD，/DT AB， 所以ABDDTN， 所以 1 1 ADAB DNDTm ， 所以 1 1 CD DTm ， 所以 1 1 CMCD MFDTm 当点N在线段DA延长线上时， 过点N作/NT BD交CD于T， 连接TF， 过点D作/TF DM交CF于点M 因为TFTNT， 所以平面/FTN平面BDM 因为NF 平面FTN， 所以/NF平面BDM 因为FN 平面CFN，平面CFN 平面BDMMS， 所以/FN MS 因为/NT BD，/DT AB， 所以ABDDTN， 所以 1 1 ADAB DNDTm ， 所以 1 1 CD DTm 所以 1 1 CMCD MFDTm 综上，在CF上存在点M使得/NF平面BDM，此时 1 1 CM MFm 或 1 1m
浙公网安备33030202001339号