1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的的. 1. 设集合 24Axx ，2,3,4,5B ，则AB （ ） A. 2 B. 2,3 C. 3,4 D. 2,3,4 【答案】B 2. 已知2iz ，则 iz z （ ） A. 62i B. 42i C. 62i D. 42i 【答案】C 3. 已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. 2 2 C
2、. 4 D. 4 2 【答案】B 4. 下列区间中，函数 7sin 6 fxx 单调递增的区间是（ ） A. 0, 2 B. , 2 C. 3 , 2 D. 3 ,2 2 【答案】A 5. 已知 1 F， 2 F是椭圆C： 22 1 94 xy 的两个焦点，点M在C上，则 12 MFMF的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 6. 若tan2，则 sin1 sin2 sincos （ ） A. 6 5 B. 2 5 C. 2 5 D. 6 5 【答案】C 7. 若过点, a b可以作曲线 exy 的两条切线，则（ ） A. eb a B. ea b C. 0
3、eba D. 0 eab 【答案】D 8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示 事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 二二选择题选择题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目
4、要求.全部选对全部选对 的得的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 有一组样本数据 1 x， 2 x， n x，由这组数据得到新样本数据 1 y， 2 y， n y，其中 ii yxc (1,2, ),in c为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 【答案】CD 10. 已知O为坐标原点， 点 1 cos ,sinP， 2 cos , sinP， 3 cos,sinP，()1,0A， 则（ ） A 12 OPOP B.
5、 12 APAP C. 3 12 OA OPOP OP D. 123 OA OPOP OP 【答案】AC 11. 已知点P在圆 22 5516xy上，点4,0A、0,2B，则（ ） A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当PBA最小时， 3 2PB D. 当PBA最大时， 3 2PB 【答案】ACD 12. 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 1ABAA， 点P满足 1 BPBCBB， 其中0,1，0,1， 则（ ） A. 当1时， 1 AB P 的周长为定值 B. 当 1 时，三棱锥 1 PABC的体积为定值 C. 当 1 2 时，有且仅有一个点P
6、，使得 1 APBP D. 当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 AB 平面 1 AB P 【答案】BD 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知函数 3 22 xx xaf x 是偶函数，则a_. 【答案】1 14. 已知O为坐标原点，抛物线C： 2 2ypx( 0p )的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为 x轴上一点，且PQOP ，若6FQ ，则C的准线方程为_. 【答案】 3 2 x 15. 函数 2 12lnf xxx 的最小值为_. 【答案】1 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会
7、沿纸的某条对称轴把纸对折， 规格为20dm 12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm 6dm两种规格的图形，它们的面积之和 2 1 240dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的 面积之和 2 2 180dmS ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次， 那么 1 n k k S _ 2 dm. 【答案】(1). 5 (2). 4 15 3 720 2n n 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明
8、过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1, 2,. n n n an a an 为奇数 为偶数 （1）记 2nn ba，写出 1 b， 2 b，并求数列 n b的通项公式； （2）求 n a的前 20 项和. 解： （1）由题设可得 1212432 12,12 15baabaaa 又 2221 1 kk aa ， 212 2 kk aa ， 故 222 3 kk aa 即 1 3 nn bb 即 1 3 nn bb 所以 n b为等差数列，故21331 n bnn . （2）设 n a的前20项和为 20 S，则 2012320 Saaaa， 因为
9、 12341920 1,1,1aaaaaa， 所以 20241820 210Saaaa 12910 9 10 210210 2310300 2 bbbb . 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并 从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分： B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正 确回答 B 类问题的
10、概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 解： （1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100 01 0.80.2P X ； 200.8 1 0.60.32P X ； 1000.8 0.60.48P X 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）知，0 0.220 0.32 100 0.4854.4E X 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100 01 0.
11、60.4P Y ； 800.6 1 0.80.12P Y ； 1000.8 0.60.48P X 所以 0 0.4 80 0.12 100 0.4857.6E Y 因为54.457.6，所以小明应选择先回答B类问题 19. 记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 2 bac ，点D在边AC上， sinsinBDABCaC. （1）证明：BDb； （2）若2ADDC，求cosABC （1）证明：由题设， sin sin aC BD ABC ，由正弦定理知： sinsin cb CABC ，即 sin sin Cc ABCb ， ac BD b ，又 2 bac ， BDb，得证.
12、（2）解：由题意知： 2 , 33 bb BDb ADDC， 22 222 2 413 99 cos 2 4 2 3 3 bb bcc ADB b b b ，同理 22 222 2 10 99 cos 2 2 3 3 bb baa CDB b b b ， ADBCDB， 22 22 22 1310 99 42 33 bb ca bb ，整理得 2 22 11 2 3 b ac，又 2 bac ， 42 2 2 11 2 3 bb a a ，整理得 4224 61130aa bb ，解得 2 2 1 3 a b 或 2 2 3 2 a b ， 由余弦定理知： 2222 2 4 cos 232 a
13、cba ABC acb ， 当 2 2 1 3 a b 时， 7 cos1 6 ABC不合题意；当 2 2 3 2 a b 时， 7 cos 12 ABC； 综上， 7 cos 12 ABC. 20. 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点. （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为 45，求三棱锥ABCD的体积. （1）证明：因为 AB=AD,O 为 BD 中点，所以 AOBD 因为平面 ABD平面 BCD=BD,平面 ABD平面 BCD，AO平面 ABD， 因此 AO平面 BC
14、D， 因为CD平面 BCD，所以 AOCD （2）解：作 EFBD 于 F, 作 FMBC 于 M,连 FM 因为 AO平面 BCD，所以 AOBD, AOCD 所以 EFBD, EFCD, BDCDD,因此 EF平面 BCD，即 EFBC 因为 FMBC，FMEFFI,所以 BC平面 EFM，即 BCMF 则EMF为二面角 E-BC-D 的平面角, 4 EMF 因为BOOD,OCD为正三角形,所以OCD为直角三角形 因为2BEED, 1112 (1) 2233 FMBF 从而 EF=FM= 2 1 3 AO AOQ平面 BCD, 所以 1113 113 3326 BCD VAO S 21.
15、在平面直角坐标系xOy中，已知点 1 17,0F 、 212 17,02FMFMF，点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2） 设点T在直线 1 2 x 上， 过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点， 且TA TBTP TQ， 求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 解： （1）因为 1212 22 17MFMFFF， 所以，轨迹C是以点 1 F、 2 F为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹C的方程为 22 22 10,0 xy ab ab ，则22a，可得 1a ， 2 174ba ， 所以，轨迹C的方程为 2 2 11 16 y xx； （2）设点 1 , 2 Tt ，若过点T的
16、直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点， 不妨直线AB的方程为 1 1 2 ytkx ，即 11 1 2 yk xtk ， 联立 11 22 1 2 1616 yk xtk xy ，消去y并整理可得 2 22 1111 1 162160 2 kxktkxtk ， 设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，则 1 1 2 x 且 2 1 2 x . 由韦达定理可得 2 11 12 2 1 2 16 kk t xx k ， 2 1 12 2 1 1 16 2 16 tk x x k ， 所以， 22 1 22 12 112112 2 1 12 1 111 11 222416 tk xx
17、 TA TBkxxkx x k ， 设直线PQ的斜率为 2 k，同理可得 22 2 2 2 12 1 16 tk TP TQ k ， 因为TA TBTP TQ，即 2222 12 22 12 12 112 1 1616 tktk kk ，整理可得 22 12 kk， 即 1212 0kkkk，显然 12 0kk，故 12 0kk. 因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0. 22. 已知函数 1 lnf xxx. （1）讨论 f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明： 11 2e ab . （1）解：函数的定义域为0,， 又 1 ln1lnfxxx ， 当
18、0,1x时， 0fx ，当1,+x时， 0fx ， 故 f x的递增区间为0,1，递减区间为1,+. （2）证明：因为lnlnbaabab，故ln1ln +1baab，即 ln1ln +1ab ab ， 故 11 ff ab ， 设 12 11 ,xx ab ，由（1）可知不妨设 12 01,1xx. 因为0,1x时， 1 ln0f xxx，,xe时， 1 ln0f xxx， 故 2 1ex. 先证： 12 2xx， 若 2 2x ， 12 2xx必成立. 若 2 2x ， 要证： 12 2xx，即证 12 2xx，而 2 021x， 故即证 12 2f xfx，即证： 22 2f xfx，其
19、中 2 12x. 设 2,12g xf xfxx， 则 2lnln 2g xfxfxxx ln2xx ， 因为12x，故021xx，故ln20 xx， 所以 0gx ，故 g x在1,2为增函数，所以 10g xg， 故 2f xfx，即 22 2f xfx成立，所以 12 2xx成立， 综上， 12 2xx成立. 设 21 xtx，则1t ， 结合 ln1ln +1ab ab ， 12 11 ,xx ab 可得： 1122 1 ln1 lnxxxx， 即： 11 1 ln1 lnlnxttx，故 1 1ln ln 1 ttt x t ， 要证： 12 xxe，即证 1 e1tx，即证 1 l
20、n1ln1tx， 即证： 1ln ln11 1 ttt t t ，即证：1 ln1ln0tttt， 令 1 ln1ln ,1S ttttt t， 则 112 ln11 lnln 1 11 t S ttt ttt ， 先证明一个不等式：ln1xx. 设 ln1u xxx，则 1 1 11 x ux xx ， 当10 x 时， 0u x ；当0 x时， 0u x ， 故 u x在1,0 上为增函数，在0,+上为减函数，故 max 00u xu， 故ln1xx成立 由上述不等式可得当1t 时， 112 ln 1 1ttt ，故 0S t 恒成立， 故 S t在 1,上为减函数，故 10S tS ， 故1 ln1ln0tttt成立，即 12 exx成立. 综上所述，e 11 2 ab .
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