1、第七章第七章 随机变量及其分布随机变量及其分布 章末复习课章末复习课 一、条件概率与全概率公式 1求条件概率有两种方法:一种是基于样本空间 ,先计算 P(A)和 P(AB),再利用 P(B|A) PAB PA 求解;另一种是缩小样本空间,即以 A 为样本空间计算 AB 的概率 2掌握条件概率与全概率运算,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养 例 1 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7.飞机被一人击 中而击落的概率为 0.2,被两人击中而击落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率 解 设 B“飞机被击落”,Ai“飞机被 i
2、 人击中”,i1,2,3,则 BA1BA2BA3B, 依题意,P(B|A1)0.2,P(B|A2)0.6,P(B|A3)1. 由全概率公式 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3), 为求 P(Ai),设 Hi“飞机被第 i 人击中”,i1,2,3,可求得: P(A1)P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3), P(A2)P(H1H2H3H1H2H3 H1H2H3), P(A3)P(H1H2H3), 将数据代入计算得 P(A1)0.36,P(A2)0.41,P(A3)0.14, 于是 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3
3、)P(B|A3)0.360.20.410.60.141 0.458. 即飞机被击落的概率为 0.458. 反思感悟 条件概率的计算要注意以下三点 (1)明白是在谁的条件下,计算谁的概率 (2)明确 P(A),P(B|A)以及 P(AB)三者间的关系,实现三者间的互化 (3)理解全概率公式 P(A) i1 n P(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想 跟踪训练 1 抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为 4 或 6 时,两颗骰子的点数之积大 于 20 的概率是( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 5 答案 B 解析 记事件 A“红色骰子的点数为 4 或 6”, 事件 B“
4、两颗骰子的点数之积大于 20” P(A)12 36 1 3,P(AB) 4 36 1 9, P(B|A)PAB PA 1 9 1 3 1 3. 二、n 重伯努利试验及二项分布 1n 重伯努利试验是相互独立事件的延伸,其试验结果出现的次数 XB(n,p),即 P(Xk) Cknpk(1p)n k. 2学习该部分知识重点提升数学建模及数学运算的核心素养 例 2 在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知 只有 5 发子弹, 第一次命中只能使汽油流出, 第二次命中才能引爆, 每次射击是相互独立的, 且命中的概率都是2 3. (1)求油灌被引爆的概率; (2)如果引爆或
5、子弹打光则停止射击,设射击次数为 ,求 不小于 4 的概率 解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是射击 5 次只击中一次或 一次也没有击中,故该事件的概率为 PC152 3 1 3 4 1 3 5, 所以所求的概率为 1P1 C152 3 1 3 4 1 3 5 232 243. (2)当 4 时,记事件为 A, 则 P(A)P(4)C132 3 1 3 22 3 4 27, 当 5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B. 则 P(B)P(5)C142 3 1 3 3 1 3 41 9, 所以所求概率为 P(AB)P(A)P(B) 4 27
6、1 9 7 27. 反思感悟 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定,可从以下几个方面判定 (1)每次试验中,事件发生的概率是相同的 (2)各次试验中的事件是相互独立的 (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生 (4)随机变量是这 n 重伯努利试验中某事件发生的次数 跟踪训练 2 一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H 病毒”的药物,经 试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为1 2, 1 3,现已进入药物临床试用阶段,每个试用 组由 4 位该病毒的感染者组成,其中 2 人试用甲种抗病毒药物,2 人试用乙种抗病毒药物, 如果试用组中, 甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种
7、抗病毒药物的治愈人数, 那么称该组为“甲 类组” (1)求一个试用组为“甲类组”的概率; (2)观察 3 个试用组,用 表示这 3 个试用组中“甲类组”的个数,求 的分布列和均值 解 (1)设 Ai表示事件“一个试用组中,服用甲种抗病毒药物有效的有 i 人”,i0,1,2,Bj 表示事件“一个试用组中,服用乙种抗病毒药物有效的有 j 人”,j0,1,2, 依题意有 P(A1)21 2 1 2 1 2, P(A2)1 2 1 2 1 4, P(B0)2 3 2 3 4 9, P(B1)21 3 2 3 4 9, 故一个试用组为“甲类组”的概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)4 9
8、1 2 4 9 1 4 4 9 1 4 4 9. (2) 的可能取值为 0,1,2,3,且 B 3,4 9 , 则 P(0)C03 14 9 3125 729, P(1)C13 4 9 14 9 2100 243, P(2)C23 4 9 2 14 9 80 243, P(3)C33 4 9 364 729, 故 的分布列为 0 1 2 3 P 125 729 100 243 80 243 64 729 B 3,4 9 ,E()34 9 4 3. 三、离散型随机变量的均值与方差 1均值和方差都是随机变量的重要的数字特征,方差是建立在均值的基础之上,它表明了随 机变量所取的值相对于它的均值的集中
9、与离散程度,二者的联系密切,在现实生产生活中的 应用比较广泛 2掌握均值和方差的计算,重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养 例 3 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为2 3, 中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为2 5,中奖可以得 3 分;未中奖则不得分每人有且只有 一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品 (1)若小明选择方案甲抽奖, 小红选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为 X, 求 X3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖, 累计得分的均值较大? 解 (1)由已知得,
10、 小明中奖的概率为2 3, 小红中奖的概率为 2 5, 两人中奖与否互不影响, 记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“X5” P(X5)2 3 2 5 4 15, P(A)1P(X5)11 15, 这两人的累计得分 X3 的概率为11 15. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X2, 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为 E(3X2), 由已知,X1B 2,2 3 ,X2B 2,2 5 , E(X1)22 3 4 3,E(X2)2 2 5 4 5. E(2X1)2
11、E(X1)8 3,E(3X2)3E(X2) 12 5 . E(2X1)E(3X2),他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值最大 反思感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤 (1)理解 X 的意义,写出 X 可能的全部取值 (2)求 X 取每个值的概率或求出函数 P(Xk) (3)写出 X 的分布列 (4)由分布列和均值的定义求出 E(X) (5)由方差的定义,求 D(X),若 XB(n,p),则可直接利用公式求,E(X)np,D(X)np(1 p) 跟踪训练 3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀, 且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六个数字) (1)设随机变量
12、表示一次掷得的点数和,求 的分布列; (2)若连续投掷 10 次,设随机变量 表示一次掷得的点数和大于 5 的次数,求 E(),D() 解 (1)由已知,随机变量 的取值为 2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为 0, 则 0的分布列为 0 1 2 3 P 1 6 1 3 1 2 所以 P(2)1 6 1 6 1 36, P(3)21 6 1 3 1 9, P(4)21 6 1 2 1 3 1 3 5 18, P(5)21 3 1 2 1 3, P(6)1 2 1 2 1 4. 故 的分布列为 2 3 4 5 6 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 (2)由已知,满足条件
13、的一次投掷的点数和取值为 6,设某次发生的概率为 p,由(1)知,p1 4. 因为随机变量 B 10,1 4 , 所以 E()np101 4 5 2, D()np(1p)101 4 3 4 15 8 . 四、正态分布 1正态分布是连续型随机变量 X 的一种分布,其在概率和统计中占有重要地位,尤其统计 学中的 3 原则在生产生活中有广泛的应用 2熟记正态分布的特征及应用 3 原则解决实际问题是本章的两个重点,在学习中提升直观 想象、数据分析的素养 例 4 在某校举行的数学竞赛中, 全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布 N(70,100) 已 知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 1
14、2 人 (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人? (2)若成绩在 80 分以上(含 80 分)为优,试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人? 解 (1)设参赛学生的成绩为 X,因为 XN(70,100), 所以 70,10. 则 P(X90)P(X50)1 21P(50X90) 1 21P(2X2) 1 2(10.954 5) 0.022 75, 12 0.022 75527(人) 因此,此次参赛学生的总数约为 527 人 (2)由 P(X80)P(X60)1 21P(60X80) 1 21P(X) 1 2(10.682 7) 0.158 65, 5270.158 6584(人) 因此,此次竞赛
15、成绩为优的学生约为 84 人 反思感悟 正态曲线的应用及求解策略 (1)正态曲线是轴对称图形,常借助其对称性解题 (2)正态分布的概率问题常借助,2,2,3,3三个区间内的 概率值求解 (3)注意正态曲线与频率分布直方图的结合 跟踪训练 4 为提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力确保公交车的准点率,减少 居民侯车时间,为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准 点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况 正常、非节假日的情况下,乘客候车时间 X 满足正态分布 N(,2)在公交车准点率正常、 交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,调查
16、了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图所 示的频率分布直方图 (1)在直方图各组中,以该组区间的中点值代表该组的各个值,试估计 ,2的值; (2)在统计学中,发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件,一般认为,在正常情况下,一 次试验中,小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天,随机调查了 该站的 10 名乘客的候车时间,发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟,试判断该天公交 车准点率是否正常,说明理由 (参考数据: 19.24.38, 21.44.63, 26.65.16, 0.841 370.298 3,0.841 360.354 6,0.158 730.004 0,
17、0.158 740.000 6,P(X)0.682 7,P(2X2)0.954 5, P(314.38)1P0.003, 准点率正常 1(2020 全国)在一组样本数据中,1,2,3,4 出现的频率分别为 p1,p2,p3,p4,且 i1 4 pi1, 则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( ) Ap1p40.1,p2p30.4 Bp1p40.4,p2p30.1 Cp1p40.2,p2p30.3 Dp1p40.3,p2p30.2 答案 B 解析 X的可能取值为1,2,3,4, 四种情形的均值E(X)1p12p23p34p4都为2.5, 方差 D(X)1E(X)2p12E(X)2p23
18、E(X)2p34E(X)2p4,标准差为 DX. A 选项的方差 D(X)0.65; B 选项的方差 D(X)1.85; C 选项的方差 D(X)1.05; D 选项的方差 D(X)1.45. 所以选项 B 的情形对应样本的标准差最大 2(2018 全国)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独 立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,D(X)2.4,P(X4)P(X6),则 p 等于( ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 答案 B 解析 由题意可知,10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布,即 XB(10,p),所 以 D(X)1
19、0p(1p)2.4,所以 p0.4 或 0.6. 又因为 P(X4)P(X6), 所以 C410p4(1p)6C610p6(1p)4,所以 p0.5, 所以 p0.6. 3(2019 全国)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队 获胜,决赛结束)根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲 队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 41 获胜的概率是_ 答案 0.18 解析 记事件 M 为甲队以 41 获胜,则甲队共比赛五场,且第五场甲队获胜,前四场甲队 胜三场负一场,所以 P(M)0.6(0.620.
20、5220.60.40.522)0.18. 4 (2017 全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机 抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(,2) (1)假设生产状态正常, 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3, 3)之外的零 件数,求 P(X1)及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性; 下面是检
21、验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 995 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 1026 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 x 1 16 i1 16 xi9.97,s 1 16 i1 16 xi x 2 1 16 i1 16 x2i16 x 20.212,其中 x i为 抽取的第 i 个零件的尺寸,i1,2,16. 用样本平均数 x 作为 的估计值 ,用样本标准差 s 作为 的估计值 ,利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查?剔除( 3 , 3 )之外的数据, 用剩下的数据估计 和 (精
22、确到 0.01) 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(,2),则 P(3Z3)0.997 3,0.997 3160.957 7, 0.0080.09. 解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率约为 0.997 3,从而零件的尺寸在 (3,3)之外的概率约为 0.002 7,故 XB(16,0.002 7) 因此 P(X1)1P(X0)10.997 3160.042 3. X 的数学期望 E(X)160.002 70.043 2. (2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.002 7,一天内抽 取的 16 个零件中,出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有
23、 0.042 3,发生的概率很 小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常 情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的 由 x 9.97,s0.212,得 的估计值为 9.97, 的估计值为 0.212,由样本数据可 以看出有一个零件的尺寸在( 3 , 3 )之外,因此需对当天的生产过程进行检查 剔除( 3 , 3 )之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为 1 15(169.979.22)10.02. 因此 的估计值为 10.02. i1 16 x2i160.2122169.9721 591.134. 剔除( 3 , 3 )之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为 1 15(1 591.1349.22 2 1510.022)0.008, 因此 的估计值为 0.0080.09.