1、7.17.1 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 7 7. .1.11.1 条件概率条件概率 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概 率公式解决一些简单的实际问题 知识点一 条件概率的概念 一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)0，我们称 P(B|A)PAB PA 为在事件 A 发生的条件 下，事件 B 发生的条件概率 思考 P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？ 答案 P(A|B)PAB PB ，其中 P(B)0. 知识点二 概率乘法公式 对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)0，则 P(AB)P(A)P
2、(B|A)为概率的乘法公式 知识点三 条件概率的性质 设 P(A)0，则 (1)P(|A)1. (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) (3)设 B 和 B 互为对立事件，则 P( B |A)1P(B|A) 1在“A 已发生”的条件下，B 发生的概率可记作 P(A|B)( ) 2对事件 A，B，有 P(B|A)P(A|B)( ) 3若 P(B|A)P(B)，则事件 A，B 相互独立( ) 4P(B|A)相当于事件 A 发生的条件下，事件 AB 发生的概率( ) 一、条件概率的定义及计算 命题角度 1 利用定义求条件概率 例 1 现有 6 个节目准备参
3、加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次 抽取 2 个节目，求 (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则第 1 次和第 2 次都 抽到舞蹈节目为事件 AB. (1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个，总的事件数 n()A2630. 根据分步乘法计数原理，有 n(A)A14A1520， 所以 P(A)nA n 20 30 2 3. (2)因为 n(AB)A2412，所以 P
4、(AB)nAB n 12 30 2 5. (3)方法一 由(1)(2)， 得在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下， 第 2 次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A) PAB PA 2 5 2 3 3 5. 方法二 因为 n(AB)12，n(A)20， 所以 P(B|A)nAB nA 12 20 3 5. 反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率 P(AB)和 P(A) (2)将它们相除得到条件概率 P(B|A)PAB PA ，这个公式适用于一般情形，其中 AB 表示 A，B 同时发生 跟踪训练 1 从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽取两张， 将其中一张放到验钞机上检 验发现是
5、假钞，求两张都是假钞的概率 解 设 A“抽到的两张都是假钞”， B“抽到的两张中至少有一张是假钞”， 则所求概率 为 P(A|B) P(AB)P(A) C25 C220，P(B) C25C15C115 C220 ， P(A|B)PAB PB C25 C25C15C115 10 85 2 17. 命题角度 2 缩小样本空间求条件概率 例 2 集合 A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取， 在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率 解 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)
6、， (1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个在 这 15 个情形中， 乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (3,4)， (3,5)， (3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P 9 15 3 5. 延伸探究 1在本例条件下，求乙抽到偶数的概率 解 在甲抽到奇数的情形中， 乙抽到偶数的情形有(1,2)， (1,4)， (1,6)， (3,2)， (3,4)， (3,6)， (5,2)， (5,4)，(5,6)，
7、共 9 个，所以所求概率 P 9 15 3 5. 2若甲先取(放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数大于 4”；事件 B：“甲、乙抽到的 两数之和等于 7”，求 P(B|A) 解 甲抽到的数大于 4 的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， (6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形有：(5,2)，(6,1)，共 2 个所以 P(B|A) 2 12 1 6. 反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体 缩小为事件 A，原来的事件 B
8、缩小为 AB. (2)数：数出 A 中事件 AB 所包含的基本事件 (3)算：利用 P(B|A)nAB nA 求得结果 跟踪训练 2 抛掷红、 蓝两颗骰子， 记事件 A 为“蓝色骰子的点数为 4 或 6”， 事件 B 为“两 颗骰子的点数之和大于 8”，求： (1)事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率； (2)事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率 解 n(A)6212. 由 366345548,4664558,56658,668 知 n(B)10， 其中 n(AB)6. 所以(1)P(B|A)nAB nA 6 12 1 2. (2)P(A|B)nAB nB 6 10 3 5. 二、
9、概率的乘法公式 例 3 一个盒子中有 6 只白球、4 只黑球，从中不放回地每次任取 1 只，连取 2 次求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率 解 设 A“第一次取得白球”，B“第二次取得白球”，则 A “第一次取得黑球”， 由题意得： (1)P(A) 6 100.6. (2)P(AB)P(A)P(B|A) 6 10 5 9 1 3. (3)P( A B)P( A )P(B| A ) 4 10 6 9 4 15. 反思感悟 概率的乘法公式 (1)公式 P(AB)P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想 (2)该概
10、率公式可以推广 P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2)，其中 P(A1)0，P(A1A2)0. 跟踪训练 3 已知某品牌的手机从 1 m 高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为 0.5，当 第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为 0.3，试求这样的手机从 1 m 高的地方掉落两次后 屏幕仍未碎掉的概率 解 设 Ai“第 i 次掉落手机屏幕没有碎掉”，i1,2，则由已知可得 P(A1)0.5，P(A2|A1) 0.3， 因此由乘法公式可得 P(A2A1)P(A1)P(A2|A1)0.50.30.15. 即这样的手机从 1 m 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为 0
11、.15. 三、条件概率的性质及应用 例 4 在某次考试中，要从 20 道题中随机抽出 6 道题，若考生至少能答对其中 4 道题即可通 过，至少能答对其中 5 道题就获得优秀已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次 考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率 解 记事件 A 为“该考生 6 道题全答对”，事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题，另一道答 错”，事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题，另 2 道题答错”，事件 D 为“该考生在这次考 试中通过”，事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则 A，B，C 两两互斥，且 D ABC，EAB，可知 P(D)P(ABC)P(A)
12、P(B)P(C) C 6 10 C620 C510C110 C620 C 4 10C 2 10 C620 12 180 C620 ，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)， P(E|D)P(A|D)P(B|D) PA PD PB PD C610 C620 12 180 C620 C510C110 C620 12 180 C620 13 58. 故获得优秀成绩的概率为13 58. 反思感悟 条件概率的性质及应用 (1)利用公式 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使条件概率的计算较为简单， 但应注意这个性质的 使用前提是“B 与 C 互斥” (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两
13、个或多个互斥事件，求出简单事件的概 率后，相加即可得到复杂事件的概率 跟踪训练 4 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶， 若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为_ 答案 6 7 解析 设事件 A 为“其中一瓶是蓝色”， 事件 B 为“另一瓶是红色”， 事件 C 为“另一瓶是 黑色”，事件 D 为“另一瓶是红色或黑色”， 则 DBC 且 B 与 C 互斥 又 P(A)C 1 2C 1 3C 2 2 C25 7 10，P(AB) C12C11 C25 1 5， P(AC)C 1 2C 1 2 C25 2 5， 故 P(D|A)P(BC|A) P(B
14、|A)P(C|A) PAB PA PAC PA 6 7. 1设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，若 P(AB)1 3，P(A) 2 3，则 P(B|A)等于( ) A.1 2 B. 2 9 C. 1 9 D. 4 9 答案 A 解析 P(B|A)PAB PA 1 3 2 3 1 2. 2市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂产品占 30%，甲厂产品的合格率是 95%， 乙厂产品的合格率是 80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( ) A0.665 B0.564 C0.245 D0.285 答案 A 解析 记事件 A 为“甲厂产品”，事件 B 为“合格产品”，则 P(A)0
15、.7，P(B|A)0.95， P(AB)P(A) P(B|A)0.70.950.665. 3某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天的空气质 量为优良的概率是 0.6， 已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 答案 A 解析 根据条件概率公式 P(B|A)PAB PA ，得所求概率为 0.6 0.750.8. 4 投掷两颗均匀的骰子， 已知点数不同， 设两颗骰子点数之和小于等于 6 的概率为_ 答案 2 5 解析 设 A“投掷两颗骰子，其点数不同”，B“两颗骰子点数之和小于等于 6”
16、， 则 P(A)30 36 5 6，P(AB) 1 3， P(B|A)PAB PA 2 5. 5某气象台统计，该地区下雨的概率为 4 15，既刮四级以上的风又下雨的概率为 1 10.设事件 A 为该地区下雨，事件 B 为该地区刮四级以上的风，则 P(B|A)_. 答案 3 8 解析 由题意知 P(A) 4 15，P(AB) 1 10， 故 P(B|A)PAB PA 1 10 4 15 3 8. 1知识清单： (1)条件概率：P(B|A)PAB PA nAB nA . (2)概率乘法公式：P(AB)P(A)P(B|A)P(B) P(A|B) (3)条件概率的性质 2方法归纳：转化化归、对立统一 3常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”
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