1、8.38.3 列联表与独立性检验列联表与独立性检验 学习目标 1.通过实例， 理解 22 列联表的统计意义.2.通过实例， 了解 22 列联表独立性检验及其应用 知识点一 分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类 变量分类变量的取值可以用实数表示 知识点二 22 列联表 122 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数 2定义一对分类变量 X 和 Y，我们整理数据如下表所示： X Y 合计 Y0 Y1 X0 a b ab X1 c d cd 合计 ac bd nabcd 像这种形式的数据统计表称为 22 列联表 知识点三 独立性检
2、验 1 定义： 利用2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为2独立性检验， 读作“卡方独立性检验” 简 称独立性检验 22 nadbc2 abcdacbd，其中 nabcd. 3独立性检验解决实际问题的主要环节 (1)提出零假设 H0：X 和 Y 相互独立，并给出在问题中的解释 (2)根据抽样数据整理出 22 列联表，计算 2的值，并与临界值 x比较 (3)根据检验规则得出推断结论 (4)在 X 和 Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析 X 和 Y 间的影响规律 思考 独立性检验与反证法的思想类似，那么独立性检验是反证法吗？ 答案 不是因为反证法不会出错，而独立性检验依据
3、的是小概率事件几乎不发生 1分类变量中的变量与函数的变量是同一概念( ) 2等高堆积条形图可初步分析两分类变量是否有关系，而独立性检验中 2取值则可通过统计表从数据上说 明两分类变量的相关性的大小( ) 3事件 A 与 B 的独立性检验无关，即两个事件互不影响( ) 42的大小是判断事件 A 与 B 是否相关的统计量( ) 一、等高堆积条形图的应用 例 1 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系， 分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查， 结果如下： 组别 尿棕色素 合计 阳性数 阴性数 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 合计 38 35 73 试画出列联表的等高堆
4、积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿 棕色素为阳性是否有关系？ 解 等高堆积条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕 色素为阳性有关系 反思感悟 等高堆积条形图的优劣点 (1)优点：较直观地展示了 a ab与 c cd的差异性 (2)劣点：不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率 跟踪训练 1 网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地 区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取
5、了 1 000 人调查，发现其中经常上网的有 200 人，这 200 人中有 80 人期末考试不及格，而另外 800 人中有 120 人不及格利用等高堆积条形图判断学生学习成绩与经常上 网有关吗？ 解 根据题目所给的数据得到如下 22 列联表： 学习成绩 上网 合计 经常 不经常 不及格 80 120 200 及格 120 680 800 合计 200 800 1 000 得出等高堆积条形图如图所示： 比较图中阴影部分高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为学习成 绩与经常上网有关 二、由 2进行独立性检验 命题角度 1 有关“相关的检验” 例 2 某校对学生课外
6、活动进行调查，结果整理成下表：试根据小概率值 0.005 的独立性检验，分析喜 欢体育还是文娱与性别是否有关系 性别 喜欢 合计 体育 文娱 男生 21 23 44 女生 6 29 35 合计 27 52 79 解 零假设为 H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系 a21，b23，c6，d29，n79， 2 nadbc2 abcdacbd 792129236 2 44352752 8.1067.879x0.005. 根据小概率值 0.005 的独立性检验，我们推断 H0不成立，即认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关 反思感悟 用 2进行“相关的检验”步骤 (1)零假设：即先假设两变量间没关系
7、(2)计算 2：套用 2的公式求得 2值 (3)查临界值：结合所给小概率值 查得相应的临界值 x. (4)下结论：比较 2与 x的大小，并作出结论 跟踪训练 2 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸 x(单位：cm)及个数 y，如下 表： 零件 尺寸 x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件 个数 y 甲 3 7 8 9 3 乙 7 4 4 4 a 由表中数据得 y 关于 x 的经验回归方程为y 91100 x(1.01x1.05)，其中合格零件尺寸为 1.03 0.01(cm)完成下面列联表，并依据小概率值 0.01 的独立性检验，分析加工零件的质量与甲
8、、乙是 否有关 机床加工 零件的质量 合计 合格零件数 不合格零件数 甲 乙 合计 解 x 1.03， y a49 5 ， 由y 91100 x，知a49 5 911001.03， 所以 a11.由于合格零件尺寸为 1.03 0.01 cm， 故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为： 机床加工 零件的质量 合计 合格零件数 不合格零件数 甲 24 6 30 乙 12 18 30 合计 36 24 60 零假设为 H0：加工零件的质量与甲、乙无关则 2 nadbc2 abcdacbd 602418612 2 30303624 10， 因为 2106.635x0.01，根据小概率值 0.01 的
9、独立性检验，我们推断 H0不成立即认为加工零件的 质量与甲、乙有关 命题角度 2 有关“无关的检验” 例 3 下表是某届某校本科志愿报名时，对其中 304 名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表： 知道想学专业 不知道想学专业 合计 男生 63 117 180 女生 42 82 124 合计 105 199 304 根据表中数据，则下列说法正确的是_(填序号) 性别与知道想学专业有关； 性别与知道想学专业无关； 女生比男生更易知道所学专业 答案 解析 2304638242117 2 180124105199 0.0412.706x0.1，所以性别与知道想学专业无关 反思感悟 独立性检验解决实
10、际问题的主要环节 (1)提出零假设 H0：X 和 Y 相互独立，并给出在问题中的解释 (2)根据抽样数据整理出 22 列联表，计算 2的值，并与临界值 x比较 (3)根据检验规则得出推断结论 (4)在 X 和 Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析 X 和 Y 间的影响规律 跟踪训练 3 某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校 的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了 50 人，其中有老教师 20 人，青年教师 30 人老教师对新课程教学模式赞同的有 10 人，不赞同的有 10 人；青年教师对新课程教学模式赞同的有
11、24 人，不赞同的有 6 人 (1)根据以上数据建立一个 22 列联表； (2)试根据小概率值 0.01 的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系 解 (1)22 列联表如下表所示： 教师年龄 对新课程教学模式 合计 赞同 不赞同 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 (2)零假设为 H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关 由公式得 2501062410 2 34162030 4.9633.841x0.05. 犯错误的概率不超过 0.05. 3(多选)若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”
12、的结论，并 且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( ) A在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为吸烟和患肺癌有关系 B1 个人吸烟，那么这个人有 99%的概率患有肺癌 C在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人 D在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 答案 AD 解析 独立性检验的结论是一个统计量， 统计的结果只是说明事件发生的可能性的大小， 具体到一个个体， 则不一定发生 4根据如图所示的等高堆积条形图可知喝酒与患胃病_关系(填“有”或“没有”) 答案 有 解析 从等高堆积条形图上可以明显地看出喝酒患胃病的频率远远大于不喝酒患胃病的频率 5某销售部
13、门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门 200 名销售人员进行调 查，所得数据如下表所示： 能按时完成 销售任务 不能按时完 成销售任务 合计 具有相关大学学历 57 42 99 不具有相关大学学历 36 65 101 合计 93 107 200 根据上述数据能得出结论：有_以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任 务是有关系的” 答案 99% 解析 由公式 2 nadbc2 abcdacbd， 得 220057654236 2 9910193107 9.67. 因为 9.676.635x0.01，所以有 99%以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是 有关系的” 1知识清单： (1)分类变量 (2)22 列联表 (3)等高堆积条形图 (4)独立性检验，2公式 2方法归纳：数形结合 3常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用 2分析问题
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