1、第第 2 2 课时课时 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数 知识点一 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何 一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有 每一个步骤都完成才算做完这件事 知识点二 两个计数原理的应用 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： 一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是
2、需要分步 (1)分类要做到“不重不漏”， 分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和， 得到总数 (2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分类后再计算每一步的方法数，最后根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 思考 分类“不重不漏”的含义是什么？ 答案 “不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集 1 一个科技小组中有 4 名女同学、 5 名男同学， 从中任选 1 名同学参加学科竞赛， 共有不同的选派方法_ 种，若从中任选 1 名女同学和 1 名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_种 答案 9 20 解析 根据分类加法计数
3、原理，从中任选 1 名同学参加学科竞赛，共有 549(种)选派方法根据分步乘 法计数原理，从中任选 1 名女同学和 1 名男同学参加学科竞赛，共有 4520(种)选派方法 2有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是 _ 答案 81 解析 每个信号显示窗都有 3 种可能，故有 33333481(种)不同信号 3十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_种行车路线 答案 12 解析 起点为 4 种可能性，终点为 3 种可能性，则行车路线共有 4312(种) 4多项式(a1a2a3)(b1b2)(a4a5)(b3b4)展开式共有_项 答案 10 解析 共
4、有 322210(项) 一、组数问题 例 1 用 0,1,2,3,4 五个数字 (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解 (1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 55553 125(个) (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位 可以排 0，因此，共有 455100(个) (3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0，则有 4312(种)
5、排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排 法，十位有 3 种排法，因此有 23318(种)排法因而有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数 延伸探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从 1,3 中任取一个，有 2 种方法；第二步定首位，从 1,2,3,4 中除去用过的一个，从剩下的 3 个中任取一个，有 3 种方法；第三步， 第四步把剩下的包括 0 在内的 3 个数字先排百位有 3 种方
6、法，再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理 知共有 233236(个) 反思感悟 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字， 是我们采用“分类”还是“分步”的关键 一般按特殊位置(末位或首位)分类， 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解 (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位 跟踪训练 1 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字且比 2 000 大的四位偶数？ 解 完成这件事可分为三类： 第一类是个位数字为 0 的比 2 000 大的四位偶数，可以分三步完成： 第一步，选取千位上的数字，只有
7、 2,3,4,5 可以选择，有 4 种选法； 第二步，选取百位上的数字，除 0 和千位上已选定的数字以外，还有 4 个数字可以选择，有 4 种选法； 第三步，选取十位上的数字，有 3 种选法 由分步乘法计数原理知，这类数的个数为 44348. 第二类是个位数字为 2 的比 2 000 大的四位偶数，可以分三步完成： 第一步，选取千位上的数字，除去 2,1,0 只有 3 个数字可以选择，有 3 种选法； 第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾 2 个数字之后，还有 4 个数字可以选择，有 4 种选法； 第三步，选取十位上的数字，有 3 种选法 由分步乘法计数原理知，这类数的个数为 343
8、36. 第三类是个位数字为 4 的比 2 000 大的四位偶数，其方法步骤同第二类 对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比 2 000 大的四位偶数有 483636120(个) 二、占位模型中标准的选择 例 2 (1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ (2)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？ (3)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？ 解 (1)要完成的是“4 名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4 人都报完才算 完成，所以按人分步，且
9、分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为 3 种，所以共有 333381(种) 报名方法 (2)每项限报一人，且每人至多报一项，因此跑步项目有 4 种选法，跳高项目有 3 种选法，跳远项目只有 2 种选法根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有 43224(种) (3)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件 事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有 4 种可能结果，所以 共有 44464(种)可能的结果 反思感悟 在占位模型中选择按元素还是按位置进行分解的标准是“唯一性”，即元素是否选、选是否只 选一次，位
10、置是否占、占是否只占一次解题时一般选择具有“唯一性”的对象进行分解 跟踪训练 2 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第 2 个号码只能从字母 B，C，D 中选择，其 他四个号码可以从 09 这 10 个数字中选择(数字可以重复)若某车主第 1 个号码(从左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择，其他号码只想在 1,3,6,9 中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有( ) A180 种 B360 种 C720 种 D960 种 答案 D 解析 按照车主的要求，从左到右第 1 个号码有 5 种选法，第 2 个号码有 3 种选法，其余 3 个号码各有 4 种选法，因此共有 5344
11、4960(种)情况 三、涂色问题 例 3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两 格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解 第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法 当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 4312(种)不同的涂法，第 4 个小方格有 3 种不同的涂法， 由分步乘法计数原理可知有 5123180(种)不同的涂法 当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可
12、知有 54480(种)不同的涂法 由分类加法计数原理可得共有 18080260(种)不同的涂法 延伸探究 本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？ 解 依题意，可分两类情况：不同色；同色 第一类：不同色，则所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成 4 步来完成 第一步涂，从 5 种颜色中任选一种，有 5 种涂法； 第二步涂，从余下的 4 种颜色中任选一种，有 4 种涂法； 第三步涂与第四步涂时，分别有 3 种涂法和 2 种涂法 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有 5432120(种) 第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成 第一步涂，有 5 种涂法
13、；第二步涂，有 4 种涂法；第三步涂，有 3 种涂法 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有 54360(种) 综上可知，所求的涂色方法共有 12060180(种) 反思感悟 解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析 (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析 (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 跟踪训练 3 如图所示，将四棱锥 SABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色， 现有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法 解 由题意知，四棱锥 SABCD 的顶点 S，A，B 所染
14、的颜色互不相同，它们共有 54360(种)染色方 法 当 S，A，B 染色确定时，不妨设其颜色分别为 1,2,3，剩余 2 种颜色分别为 4 和 5. 若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法； 若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法； 若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法 由分类加法计数原理知，当 S，A，B 染法确定时，C，D 有 7 种染法 由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有 607420(种) 四、种植问题 例 4 将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种 作物，则
15、不同的种植方法共有_种 答案 42 解析 分别用 a，b，c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a，再安排第二块田，有 2 种方法 b 或 c，不妨设放入 b，第三块也有 2 种方法 a 或 c. (1)若第三块田放 c： a b c 第四、五块田分别有 2 种方法，共有 224(种)方法 (2)若第三块田放 a： a b a 第四块有 b 或 c 2 种方法， 若第四块放 c： a b a c 第五块有 2 种方法； 若第四块放 b： a b a b 第五块只能种作物 c，共 1 种方法 综上，共有 32(2221)42(种)方法 反思感悟 种植问题按种植的顺序分
16、步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类， 用分类加法计数原理计数 跟踪训练 4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中 黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法 解 方法一 (直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有 326(种)不同的种植方法 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有 326(种)不同的种植方法 故不同的种植方法共有 6318(种) 方法二 (间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种，种在三块地上，有 43224(种)，其中不种黄瓜有 321 6(种)，故共有不同的种植方法 24618(种) 1现有 6 名同学去听
17、同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的 种数是( ) A56 B65 C.565432 2 D65432 答案 A 解析 每位同学都有 5 种选择，共有 55555556(种) 2如果 x，yN，且 1x3，xy7，则满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( ) A5 B12 C15 D4 答案 C 解析 当 x1 时，y 的取值可能为 0,1,2,3,4,5，有 6 种情况；当 x2 时，y 的取值可能为 0,1,2,3,4，有 5 种 情况；当 x3 时，y 的取值可能为 0,1,2,3，有 4 种情况根据分类加法计数原理可得，满足条件的(x
18、，y) 的个数为 65415. 3已知集合 Sa1，a2，Tb1，b2，则从集合 S 到 T 的对应关系共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案 D 解析 可分两步，第一步，集合 S 中 a1对应到集合 T 中的元素有 2 个不同的对应关系；第二步，集合 S 中 a2对应到集合 T 中的元素，有 2 个不同的对应关系，由分步乘法计数原理知，从集合 S 到 T 的对应关系共 有 224(个)，故选 D. 4.如图所示，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不 同，则不同的涂色方法共有_种(用数字作答) 答案 750 解析 首先给最
19、左边的一个格子涂色， 有 6 种选择， 左边第二个格子有 5 种选择， 第三个格子有 5 种选择， 第四个格子也有 5 种选择，根据分步乘法计数原理得，共有 6555750(种)涂色方法 5.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有_个 答案 40 解析 满足条件的有两类： 第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有 8 个； 第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有 8432(个)， 所以满足条件的三角形共有 83240(个) 1知识清单： (1)两个计数原理的区别与联系 (2)两个计数原理的应用：组数问题、占位模型中标准的选择、涂色问题及种植问题 2方法归纳：分类讨论、正难则反 3常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题
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