1、第七章第七章 随机变量及其分布随机变量及其分布 章末检测卷章末检测卷 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1若 A5m2A3m，则 m 的值为( ) A5 B3 C6 D7 解析 依题意得 m！ （m5）！2 m！ （m3）！， 化简得(m3) (m4)2，解得 m2 或 m5， 又 m5，m5，故选 A. 答案 A 2一次考试中，要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行解答，其中至少包 含前 5 个题目中的 3 个，则考生答题的不同选法的种数是( ) A40 B7
2、4 C84 D200 解析 分三类： 第一类， 从前 5 个题目中选 3 个， 后 4 个题目中选 3 个； 第二类， 从前 5 个题目中选 4 个，后 4 个题目中选 2 个；第三类，从前 5 个题目中选 5 个， 后 4 个题目中选 1 个， 由分类加法计数原理得共有不同选法的种数为 C35C34 C45C24C55C1474. 答案 B 3若实数 a2 2，则 a102C110a922C210a8210等于( ) A32 B32 C1 024 D512 解析 由二项式定理，得 a102C110a922C210a8210C010(2)0a10C110( 2)1a9C210(2)2a8C10
3、 10(2)10(a2)10( 2)102532. 答案 A 4分配 4 名水暖工去 3 户不同的居民家里检查暖气管道要求 4 名水暖工都分 配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( ) AA34种 BA33A13种 CC24A33种 DC14C13A33种 解析 先将 4 名水暖工选出 2 人分成一组， 然后将三组水暖工分配到 3 户不同的 居民家，故有 C24A33种分配方案 答案 C 5(x2)2(1x)5中 x7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A5 B3 C2 D0 解析 常数项为 C22 22 C054，x7的系数为 C02 C55 (1)51，因此 x7的系数与
4、 常数项之差的绝对值为 5. 答案 A 6计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一列， 要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式 的种数为( ) AA44A55 BA23A44A35 CC13A44A55 DA22A44A55 解析 先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画 放在两端有 A22种放法，再考虑 4 幅油画本身排放有 A44种方法，5 幅国画本身排 放有 A55种方法，故不同的排列法有 A22A44A55种 答案 D 7设(2x)5a0a1xa2x2a5x5，那么a 0a2a4 a1a3 的
5、值为( ) A122 121 B61 60 C244 241 D1 解析 令 x1，可得 a0a1a2a3a4a51，再令 x1，可得 a0a1a2 a3a4a535.两式相加除以 2 求得 a0a2a4122， 两式相减除以 2 可得 a1 a3a5121.又由条件可知 a51，故a 0a2a4 a1a3 61 60. 答案 B 8已知等差数列an的通项公式为 an3n5，则(1x)5(1x)6(1x)7的展 开式中含 x4项的系数是该数列的( ) A第 9 项 B第 10 项 C第 19 项 D第 20 项 解析 (1x)5(1x)6(1x)7的展开式中含 x4项的系数是 C45C46C4
6、75 153555，由 3n555 得 n20.故选 D. 答案 D 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 得 0 分) 9下列是组合问题的是( ) A10 人相互通一次电话，共通多少次电话？ B10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ C从 10 个人中选出 3 个为代表去开会，有多少种选法？ D从 10 个人中选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？ 解析 A 是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话， 没有顺序的区别
7、；B 是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁 后，没有顺序的区别；C 是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；D 是 排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的 答案 ABC 10满足不等式 A2n1n7 的 n 的值为( ) A3 B4 C5 D6 解析 由 A2n1n7，得(n1)(n2)n7， 整理，得 n24n50，解得1n5. 又 n12 且 nN*，即 n3 且 nN*， 所以 n3 或 n4. 答案 AB 11男、女学生共有 8 人，若从男生中选出 2 人，从女生中选出 1 人，共有 30 种不同的选法，则女生有( ) A2 B3 C4 D5 解析
8、 设男生有 x 人，则女生有(8x)人 从男生中选出 2 人，从女生中选出 1 人，共有 30 种不同的选法， C2x C18x30， x(x1)(8x)302265，或 x(x1)(8x)345. x6，862，或 x5，853， 女生有 2 人或 3 人 答案 AB 12若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且 a0a1a2a664，则实数 m( ) A3 B1 C1 D3 解析 令 x1，由(1mx)6a0a1xa2x2a6x6可得，(1m)6a0a1 a2a664，所以 1m2 或 1m2，解得 m1 或 m3. 答案 AC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
9、 分把答案填在题中的横线上) 13计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂 4 棵桂花树，垂 乳银杏、金带银杏 2 棵银杏树，要求 2 棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共 有_种 解析 分两步完成： 第一步，将 2 棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有 A22种种植方法； 第二步，将银杏树与 4 棵桂花树全排列，有 A55种种植方法 由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有 A22 A55240(种) 答案 240 14(1sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项为5 2，则 x 在0，2内 的值为_ 解析 由题意，得 T4C36sin3x20sin3x5 2， sin
10、 x1 2. x0，2，x 6或 5 6 . 答案 6或 5 6 15将 A，B，C，D 四个小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，若每个盒子 中至少放一个球且A， B不能放入同一个盒子中， 则不同的放法有_种 解析 先把 A，B 放入不同盒中，有 326(种)放法，再放 C，D， 若 C，D 在同一盒中，只能是第 3 个盒，1 种放法； 若 C， D 在不同盒中， 则必有一球在第 3 个盒中， 另一球在 A 或 B 的盒中， 有 22 4(种)放法 故共有 6(14)30(种)放法 答案 30 16若二项式(2x)10按(2x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10的方 式
11、展开， 则展开式中a8的值为_， a0a1a2a10_ (第 一空 3 分，第二空 2 分) 解析 由题意得，(2x)10(2x)103(1x)10， 所以展开式的第 9 项为 T9C810(3)2(1x)8405(1x)8， 即 a8405.令 x0， 则 a0a1a10(20)101 024. 答案 405 1 024 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 17 (本小题满分 10 分)已知 Ax|1log2x3， xN*， Bx|x6|3， xN* 试 问： (1)从集合 A 和 B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多
12、少个 不同的点？ (2)从 AB 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这 样的三位数有多少个？ 解 A3，4，5，6，7，B4，5，6，7，8 (1)A 中元素作为横坐标，B 中元素作为纵坐标，有 5525(个)；B 中元素作为 横坐标，A 中元素作为纵坐标，有 5525(个)又两集合中有 4 个相同元素， 故有 4416(个)重复了两次，所以共有 25251634(个)不同的点 (2)AB3，4，5，6，7，8，则这样的三位数共有 C3620(个) 18(本小题满分 12 分)已知(12 x)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前 一项系数的 2 倍，而且是它的后一项系
13、数的5 6倍，试求展开式中二项式系数最大 的项 解 二项展开式的通项为 Tk1Ckn(2k)x k 2， 由题意知展开式中第 k1 项系数是第 k 项系数的 2 倍， 是第 k2 项系数的5 6倍， C k n2k2Ck 1 n 2k 1， Ckn2k5 6C k1 n 2k 1， 解得 n7. 展开式中二项式系数最大的项是 T4C37(2 x)3280 x 3 2或 T5C 4 7(2 x)4560 x2. 19(本小题满分 12 分)从 7 名男生和 5 名女生中选出 5 人，分别求符合下列条 件的选法数 (1)A，B 必须被选出； (2)至少有 2 名女生被选出； (3)让选出的 5 人
14、分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同职务，但体育委员由 男生担任，文娱委员由女生担任 解 (1)除选出 A，B 外，从其他 10 个人中再选 3 人，选法数为 C310120. (2)按女生的选取情况分类：选 2 名女生、3 名男生，选 3 名女生、2 名男生，选 4 名女生、1 名男生，选 5 名女生所有选法数为 C25C37C35C27C45C17C55596. (3)选出 1 名男生担任体育委员，再选出 1 名女生担任文娱委员，从剩下的 10 人 中任选 3 人担任其他 3 种职务 根据分步乘法计数原理， 所有选法数为 C17 C15 A310 25 200. 20(本小题满分 12
15、 分)设 11 2x m a0a1xa2x2a3x3amxm，若 a0，a1， a2成等差数列， (1)求 11 2x m 展开式的中间项； (2)求 11 2x m 展开式中所有含 x 的奇次幂项的系数和 解 (1)依题意 a01，a1m 2，a2C 2 m 1 2 2 . 由 2a1a0a2，得 m1C2m 1 2 2 ，解得 m8 或 m1(应舍去)， 所以 11 2x m 展开式的中间项是第 5 项， T5C48 1 2x 4 35 8 x4. (2) 11 2x m a0a1xa2x2amxm， 即 11 2x 8 a0a1xa2x2a8x8. 令 x1，则 a0a1a2a3a8 3
16、 2 8 ， 令 x1，则 a0a1a2a3a8 1 2 8 ， 所以 a1a3a5a73 81 29 205 16 ， 所以展开式中所有含 x 的奇次幂项的系数和为205 16 . 21(本小题满分 12 分)把 n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数” ， “再生 数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数 (1)求 1，2，3，4 的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数； (2)试求任意 5 个正整数(可相同)的再生数的个数 解 (1)1，2，3，4 的再生数的个数为 A4424，其中最大再生数为 4 321，最小 再生数为 1 234. (2)需要考查 5 个数中
17、相同数的个数 若 5 个数各不相同，有 A55120(个)； 若有 2 个数相同，则有A 5 5 A2260(个)； 若有 3 个数相同，则有A 5 5 A3320(个)； 若有 4 个数相同，则有A 5 5 A445(个)； 若 5 个数全相同，则有 1 个 22(本小题满分 12 分)用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数 (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数； (2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小， 则称这个数为“凹数” ，如 301，423 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个
18、奇数数字之间的自然数的 个数 解 (1)将所有的三位偶数分为两类：若个位数为 0，则共有 A2412(种)；若 个位数为 2 或 4， 则共有 23318(种) 所以共有 121830(个)符合题意的 三位偶数 (2)将这些“凹数”分为三类：若十位数字为 0，则共有 A2412(种)；若十位 数字为 1，则共有 A236(种)；若十位数字为 2，则共有 A222(种)所以共有 126220(个)符合题意的“凹数” (3)将符合题意的五位数分为三类： 若两个奇数数字在一、 三位置， 则共有 A22 A33 12(种)；若两个奇数数字在二、四位置，则共有 A22 C12 A228(种)；若两个 奇数数字在三、五位置，则共有 A22 C12 A228(种)所以共有 128828(个) 符合题意的五位数.
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