1、6.3.2 二项式系数的性质二项式系数的性质 1在(ab)n的二项展开式中，与第 k 项的二项式系数相同的项是( ) A第 nk 项 B第 nk1 项 C第 nk1 项 D第 nk2 项 答案 D 解析 第 k 项的二项式系数是 Ck 1 n ，由于 Ck 1 n Cn k1 n ，故第 nk2 项的二项式系数与第 k 项的二项式系数相同 2已知(1x)n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系 数之和为( ) A212 B211 C210 D29 答案 D 解析 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大， n10， 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和
2、， 展开式中奇数项的二项式系数之和为2 10 2 29. 3(1x)(1x)2(1x)n的展开式中各项系数之和为( ) A2n 1 B2n1 C2n 11 D2n 12 答案 D 解析 令 x1，则 2222n2n 12. 4(x1)11的展开式中 x 的偶次项系数之和是( ) A2 048 B1 023 C1 024 D1 024 答案 D 解析 (x1)11C011x11C111x10 (1)C211x9 (1)2C11 11(1) 11，x 的偶次项系数为负数， 其和为2101 024. 5在 1 x 5 1 x3 n的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则中间项系数是( ) A
3、330 B462 C682 D792 答案 B 解析 二项展开式中所有项的二项式系数之和为 2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所 有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得 2n 11 024，n11， 展开式共 12 项，中间项为第 6 项、第 7 项，其系数为 C511C611462. 6若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则 n 的值 为_ 答案 5 解析 (7ab)10的展开式中二项式系数的和为 C010C110C10 102 10，令(x3y)n中 xy 1，则由题设知，4n210，即 22n210，解得 n5. 7(2x1)10的展开式中
4、 x 的奇次幂项的系数之和为_ 答案 1310 2 解析 设(2x1)10a0a1xa2x2a10 x10， 令 x1，得 a0a1a2a101，再令 x1， 得 310a0a1a2a3a10， 两式相减，可得 a1a3a913 10 2 . 8已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于 _ 答案 256 解析 令 x1，得 a0a1a2a3a4a50， 令 x1，得 a0a1a2a3a4a52532， 两式相加可得 2(a0a2a4)32， 两式相减可得 2(a1a3a5)32， 则 a0a2a416，a1a3a516， 所以(a0a
5、2a4)(a1a3a5)256. 9在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和 解 设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9. (1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929. (2)各项系数之和为 a0a1a2a9， 令 x1，y1， 所以 a0a1a2a9(23)91. (3)令 x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又 a0a1a2a91， 将两式相加可得 a0a2a4a6a85 91 2 ， 即所有奇数项系数之和为5 91 2 . 10已知 1 22x n. (1)若展开式中第 5 项、第 6
6、 项、第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最 大的项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于 79，求展开式中系数最大的项 解 (1)由已知得 2C5nC4nC6n， 即 n221n980，解得 n7 或 n14. 当 n7 时展开式中二项式系数最大的项是第 4 项和第 5 项， T4C37 1 2 4(2x)335 2 x3，T5C47 1 2 3(2x)470 x4， 第 4 项的系数是35 2 ，第 5 项的系数是 70. 当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是第 8 项，它的系数为 C714 1 2 7273 432. (2)由已知得 C0nC1nC
7、2n79，即 n2n1560. 解得 n13(舍去)或 n12. 设 Tk1项的系数最大， 1 22x 12 1 2 12(14x)12， 由 Ck12 4kCk 1 12 4 k1， Ck12 4kCk 1 12 4 k1， 解得 9.4k10.4. 又0kn，kN，k10. 展开式中系数最大的项是第 11 项， 即 T11 1 2 12 C10 12 4 10 x1016 896x10. 11(13x)n的展开式中 x5与 x6的系数相等，则含 x4项的二项式系数为( ) A21 B35 C45 D28 答案 B 解析 Tk1Ckn(3x)k3kCknxk，又由已知得 35C5n36C6n
8、，即 C5n3C6n，n7，因此，含 x4 项的二项式系数为 C4735，故选 B. 12在(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，x4的系数是首项为2，公差为 3 的等差数列的 ( ) A第 11 项 B第 13 项 C第 18 项 D第 20 项 答案 D 解析 (1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，x4的系数为 C45C46C47C15C26C3755，以 2 为首项，3 为公差的等差数列的通项公式为 an23(n1)3n5，令 an55，即 3n 555，解得 n20. 13(多选)设二项式 3 x1 x n的展开式中第 5 项是含 x 的一次项，那么这个展开式中系数最 大的项是
9、( ) A第 8 项 B第 9 项 C第 10 项 D第 11 项 答案 CD 解析 因为展开式的第 5 项为 T5C4n 4 4 3 n x ，所以令n4 3 41，解得 n19.所以展开式中 系数最大的项是第 10 项和第 11 项故选 CD. 14设 m 为正整数，(xy)2m的展开式中二项式系数的最大值为 a，(xy)2m 1的展开式中二 项式系数的最大值为 b，若 13a7b，则 m_. 答案 6 解析 (xy)2m的展开式中二项式系数的最大值为 Cm 2m， aCm 2m.同理，bC m1 2m1. 13a7b，13 Cm 2m7 C m1 2m1. 13 2m！ m！m！7 2m
10、1！ m1！m！.m6. 15(多选)(1axby)n的展开式中不含 x 的项的系数的绝对值的和为 243，不含 y 的项的系 数的绝对值的和为 32，则 a，b，n 的值可能为( ) Aa1，b2，n5 Ba2，b1，n6 Ca1，b2，n6 Da1，b2，n5 答案 AD 解析 只要令 x0，y1，即得到(1axby)n的展开式中不含 x 的项的系数的和为(1b)n， 令 x1，y0，即得到(1axby)n的展开式中不含 y 的项的系数的和为(1a)n.如果 a，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果 a，b 中有负值，相应地，分别令 y 1，x0；x1，y0.此时的和式分别为
11、(1b)n，(1a)n，由此可知符合要求的各项系数 的绝对值的和为(1|b|)n，(1|a|)n.根据题意得，(1|b|)n24335，(1|a|)n3225，因此 n5，|a|1，|b|2.故选 AD. 16已知(1m x)n(m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为 256，展开式中含有 x 项的系 数为 112. (1)求 m，n 的值； (2)求展开式中偶数项的二项式系数之和； (3)求(1m x)n(1x)的展开式中含 x2项的系数 解 (1)由题意可得 2n256，解得 n8， 展开式的通项为 Tk1Ck8mk 2 k x ， 含 x 项的系数为 C28m2112， 解得 m2 或 m2(舍去) 故 m，n 的值分别为 2,8. (2)展开式中偶数项的二项式系数之和为 C18C38C58C7828 1128. (3)(12 x)8(1x)(12 x)8x(12 x)8， 含 x2项的系数为 C4824C28221 008.
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