1、竞赛讲座 26 平面图形的面积平面图形的面积 1 关于面积的两点重要知识 (1)相似三角形的面积比等于相似比的平方 例 1(第 2 届美国数学邀请赛题)如图 40-1,在ABC 的内部选取一点 P,过 P 点 作三条分别与ABC 的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形 t1、t2 和 t3 的面 积分别为 4,9 和 49求ABC 的面积 解 设 T 是ABC 的面积,T1、T2 和 T3 分别是三角形 t1、t2 和 t3 的面积;c 是边 AB 的长, c1、 c2 和 c3 分别是平行于边 AB 的三个三角形 t1、 t2 和 t3 的边长 那么, 由四个三角形相似,得 (2)两边夹角
2、的三角形面积,灵活运用ABC 的面积公式 S=可以方便地解决一 些较难的面积问题 例 2 已知 P、Q、R、S 四点分别由四边形的四个顶点 A、B、C、D 同时开始沿四 边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动(如图 40-2) ,已知 P 由 A 至 B,R 由 C 至 D 分别需要两秒钟;Q 由 B 至 C,S 由 D 至 A 分别需要 1 秒钟;问开 始运动后,经过多少时间,四边形 PQRS 的面积最小? 解设 P 的速度是 Q 的速度是;R 的速度是,S 的速度是.在 t(0t1)秒时,AP= 设四边形 PQRS 和四边形 ABCD 的面积分别为 S、S. +得, +得, 当 t
3、=有极小值 答:经过秒后,四边形 PQRS 面积最小 下面是一个用不等式来证明相等问题的例子 例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部 的一点,证明:如果 2A=OP2+OQ2+OR2+OS2 那么 PQRS 是正方形并且 O 是它的中心 证明 如图 40-3,按题设有 此处无图 p2+q2+r2+s2=pqsin+qrsin+rsin+spsin pq+qr+rs+sp 依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号由取等号有 由取等号有 p=q=r=s 因此 PQRS 是正方形,O 是它的中心. 2.等积变换与面积法 等积变换的特点是利用图形之间的面
4、积相等或成比例的转换来解题 例 4(第 17 届苏联竞赛题)图 40-4 中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所 示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等 证明 如图:连 ME、NC. SNME=SCEM, MENC 若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得 这样,则 N 为 BE 中点 又 同理可证 例 5(第 9 届全俄中学竞赛题)如图 40-5 在凸五边形 ABCDE 中,对角线 CE 分别 交对角线 BD、AD 于 F、G,BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2: 3,求CFD 和ABE 的面积比 解 连 AF.CF:FG:GE=
5、2:2:3, SCFD:SDFG:SDEG=2:2:3. SCFD=S,则 SFDG=S,SDGF=S. 又 BF:FD=5:4,SBEF:SFDE=5:4 SBEF=(SFDG+SDEG)=S 又由 BF:FD=5:4,SABF:SAFD=5:4 SABE=SABFE-SBFE =(SABF+SAFG+SAGE)-SBFE =5S-S=S (AG:GD=1:1). 即 SCFD:SABE=8:15. 例6 六边形ABCDEF内接于O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a),求此六边形的面积. 分析 如果连 OA、OB、OC、OD、OE、OF,那么容易看出 SAOB=SBOC=SCOD, S
6、DOE=SEOF=SFOA =SAOB+SBOC+SCOD+SDOE+SEOF+SFOA 从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等 积 的 新 的 六 边 形ABCDEF, 其 中 , O与 O 为 等 圆 , 且 AF=BC=DE=1,AB=CD=EF=把 AB,CD,EF分别向两方延长得交点 M、N、 P(如图 40-6(b),容易证明BAF=120等,从而MNP 为等边三角形. 例 7 (1962 年上海竞赛题) 已知ABCABC如图 40-7, AB=c,BC=a,CA=b,A、 B、C到 BC、CA、AB 的距离分别为 l、m、n.求证:la+mb+n
7、c=2SABC. 分析 欲证上述结论,只须证 SABC+SBCA+SCAB=SABC 我们试想,当ABC 收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将 ABC逐渐“收缩”为一点的过程中, 保持左边三项的面积始终不变, 那么问题便解决 了.为了保持ABC 面积不变,我们试用“等积”工具,设法使 A沿平行于 BC 的直 线运动,同样 B、C分别沿着平行于 CA、AB 的直线运动.而这三条分别平行于 BC、 CA、AB 的直线如能共点,即反映ABC可收缩为一点 证明 分别过 B,C作直线 BDCA,CDBA,直线 CD 交 BD 于 D、交 BC 于 E 则CDB=BAC,又ABCABC,
8、 BAC=BAC=CDB 这说明 C、 D、 A、 B四点共圆, ADCABC ABCDEC,ADBC 过 D 分别作 DLBC 于 L,DMCA 于 M,DNAB 于 N,连 DA、DB、DC、 则由 DABC、DBCA,DCAB,得 DL=,DM=,DN= 于是a+mb+nc=DL BC+DM AC+DN AB=2(SDBC+SDCA+SDAB)=2S ABC. 有些看似与面积无关的几何问题,如能够巧妙地引入面积关系,便可迅速求解,这 就是所谓的“面积法” 例(美国数学竞赛题)在一个给定的角内,任决地给定一点,过作一直线 交定角的两边于、两点(如图) ,问过作怎样的直线才能使最大? 解设,
9、、的面积分别为、,则 于是 因此 但, 当 =90时,sin 取得最大值 1,因此当过 P 点的直线与 OP 垂直时,达到最大值 3 杂题 竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题, 一般采用简化图形或根据题意构造适当 的图形来处理 例 9(1987 年全俄中学生竞赛题)凸四边形 ABCD 的面积为 S.K、L、M、N 分别 是 AC、AD、BC 和 BD 的中点证明:SKLNMS 证明 设 P、Q 分别是 AB、CD 的中点(如图) 注意到 PLQM、MKNL 都 是平行四边形,且 SKLNMS,因此,只须证明 KLNM 含于 PLQM 内 设 PL、MQ 分别交 AC 于 E、F,则点 K 位
10、于 E、F 之间若不然,例如点 K 在线 段 AE 上,则有,因,故有关系式 ,矛盾同理也不能在之间,于是 在内同样可证也在内,由此得 例(第届全苏中学生竞赛题)点在锐角的边上,作 和的外接圆问当点在什么地方时,两外接圆公共部分的面积最小? 解 设、分别是和外接圆的圆心两外接圆的公共部分面 积是两个以为公共弦的弓形面积之和,可以考虑保时弓形的面积最小 注意到 常数 常数 因此, 研究当弓形所对的圆心角固定时, 弓形面积与弓形弦的关系 设圆心角为 , 弓形弦长为,那么弓形的面积为 由此可见,上图中若越小,则每个弓形的面积越小、所以当是的 高,即,为垂足时,两外接圆公共部分的面积最小 例 设、为半
11、径等于的上任意两点,若过、的任意线段或曲线 段将面积平分,则的长必不小于 证明 若为的直径,且为直线时,显然将面积平分,这时 若是的直径,不是直线时,则,即 若不是的直径,如图,作平行于的直径,作关于 的对称点,必在上,连,易知为的直径由曲线平分 知,上必有点与、在的异侧取这样的一点,并连结、, 交于,连、,则 据此易证 综上得,即的长必不小于 最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧三角形的剖分 将任意 的三边、分别分成等分,然后过这些分点作平行于其他两边 的直线,这样将分成若干个全等的小三角形(如图)的手续, 叫做对进行剖分究竟分成多少等分,则视需要而定 例(年全国数学竞赛题)为的边上任一点,作 ,设的面积等于求证:、四边 形的面积中,至少有一个不小于 证明 如图,作的剖分这时每一个小三角形的面积均等于 显然,如果点在线段上变动时,完整地盖住了四个小三角形,因 此的面积对称地,如果点落在线段上,则的面积 余下的只须讨论点在线段内变动的情形,利用平行线的基本性质可证 这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积又因为 , 这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等 将四边形中剪下来再拼到上; 把剪下来再拼 到上,我们看出: