1、竞赛讲座 22 -因式分解因式分解 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面 我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法， 待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法. 1.添项.拆项法 添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式， 解题时要注意 观察分析题目的特点. 例 1 （1986 年扬州初一数学竞赛题）分解因式 （1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-
2、y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x (1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 例 2（第 11 届国际数学竞赛题）证明：具有如下性质的自然数 a 有无穷多个，对 于任意的自然数 m.z=n4+a 都不是素数. 证明 设 a=4k4（k 为大于 1 的自然数） ，则 z=n4+a =n4+4k4 =n4+4n2k2+4k
3、4-4n2k2 =(n2+2k2)2-4n2k2 =(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk) =(n+k)2+k2(n-k)2+k2. k 为大于 1 的自然数， (n+k)2+k21, (n-k)2+k21 故的右边两个因子都大于 1，故当 k1 时，z 是合数. 由于大于 1 的自然数 k 有无穷多个，故有无穷多个自然数 a，使 n4+a 对一切自然 数 n 总非素数 2.待定系数法 若两多项式 f(x)=g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些 因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决. 例 3 分解因式 3x2+5xy-2y2+x+9y-4. 解 由于 3
4、x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可设 3x2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab. 比较两边系数得 由,联立得 a=4,b=-1,代入式适合. 原式=(3x-y+4)(x+2y-1). 例4 (1963年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式x3+bx2+cx+d 的系数都是 整数,若 bd+cd 是奇数,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证明 设 x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r) =x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr (其中 p、q、r 均为
5、整数) 比较两边系数得 pr=d. 又 bd+cd=d(b+c)是奇数,故 b+c 与 d 均为奇数,那么 pr 也是奇数,即 p 与 r 也是奇数. 今以 x=1 代入(因为它是恒等式)得 1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). b+c,d 为奇数,1+b+c+d 也为奇数,而 p 为奇数,1+p 为偶数. (1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的. 所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积. 3.换元法 例 5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120 =(x+
6、2)(x+3)(x+1)(x+4)-120 =(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120 令 x2+5x=A, 代入上式,得 原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96 =(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1) 例 6 证明 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 必为完全平方数 解 原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1 =(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 =(a2+3a+1)2 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 为完全平方数. 说明:这里未设新元,但在思想上把
7、 a2+3a 看作一个新元素. 4.对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的 多项式叫做对称多项式. 例 7 分解因式 x4+(x+y)4+y4 分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是 x+y,xy 任何二元对称多项 式都可用 x+y,xy 表示,如 x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将 其用 xy,x+y 表示,再行分解. 解 x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. 原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y
8、)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2 =2(x+y)2-xy2-2(x2+y2+xy)2, 例 8 分解因式 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此题中若将式中的b换成a,c 换成b,a 换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),原式不变, 这类多项式称为关于 a、b、c 的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理 及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号 f(x)、f(a)如对一元多项式 3x2-5x-2 可记作 f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当
9、 x=a 时多项式 的值， 如 x=1 时多项式 3x2-5x-2 的值为 f(1)=3 12-5 1-2=-4,当 x=2 时多项式 3x2-5x-2 的值为 f(2)=3 22-5 2-2=0. 因式定理 如果 x=a 时多项式 f(x)的值为零,即 f(a)=0,则 f(x)能被 x-a 整除(即含有 x-a 之因式). 如多项式 f(x)=3x2-5x-2,当 x=2 时,f(2)=0,即 f(x)含有 x-2 的因式,事实上 f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 证明 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0, 若 f(a)=0,则 f(x)=f(x)-
10、f(a) =(anxn+an-1xn-1+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+a1a+a0) =an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+a1(x-a), 由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),(x-a)|(x-a), (x-a)|f(x), 对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数 来处理. 现在我们用因式定理来解例 8. 解 这是一个含有 a、b、c 三个字母的三次多项式，现以 a 为主元，设 f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当 a=b 和 a=c 时， 都有 f(a)=0,
11、故 a-b 和 a-c 是多项式 的因式，而视 b 为主元时，同理可知 b-c 也是多项式的因式，而三次多项式至多有 三个因式故可设 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中 k 为待定系数，令 a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1. a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a). 例 9 分解因式 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b). 分析 这是一个关于 a、b、c 的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知 a-b,b-c,c-a 是多项式的三个因式， 而四次多项式还有一个因式， 由轮换对
12、称性可知这 个一次因式应是 a+b+c，故可设 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其 中 k 为待定系数） ，取，a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c). 因式定理使用得更多的还是一元 n 次多项式的因式分解. 例 10 （1985 年武汉市初中数学竞赛题） 证明： 2x+3 为多项式 2x4-5x3-10 x2+15x+18 的因式. 证明 以 f(x)记多项式. +15- 2x+3 是 f(x)的因式. 例 11 分解因式 x3-19x-30. 分析 这里常数项是 3
13、0,如果多项式 f(x)=x3-19x-30 有 x-a 这种形式的因式,那么 a 一 定是 30 的因数,这是因为 f(a)=a3-19a-30=0 即 a3-19a=30. a|(a3-19a), a|30 解 30 的因数为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 30. f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有 f(-2)、 f(-3)、 f(5) 等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了.) x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5), x3 的系数为 1，k
14、=1, 故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5). 练 习 1.选择题 (1)在 1 到 100 之间若存在整数 n,使 x2+x-n 能分解为两个整系数一次式的乘积,这样 的 n 有( )个 (A) 0 (B)1 (C)2 (D)9 (E)10 (2)二次多项式 x2+2kx-3k2 能被 x-1 整除,那么 k 值是( ) (A)1 或 (B)-1 或 (C)0 (D)1 或-1 (3)如果 100 x2-kxy+49y2 是一个完全平方式,那么 k=( ) (A)4900 (B)9800 (C)140 (D)70 2.填空 （1）多项式 6x2+mxy-3y2+3x+10y
15、-3 能分解成关于 x、y 的一次多项式,则 m=_. （2）已知 x2+x-1=0,则 x3+2x2+1985=_. 3.（1）分解因式 a2-b2+4a+2b+3 （2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12. 4.（1）分解因式 a3b-ab3+a2+b2+1 （2） （1989 年广州等五市联赛）分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1). 5.（1986 年全国初中数学知识竞赛）分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1. 6.证明是合数. 7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy. 8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc. 9.（1986 年五城市联赛试题）若 a 为自然数，则 a4-3a2+9 是质数，还是合数？给 出你的证明. 10.（1985 年北京市初中数学竞赛题）若 a 为自然数，证明 10|(a1985-a1949). 练习 （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （）分角为两因数之积，且两 因数均大于即可得证 原式（）（）（） （） （） （） 原式（） （） 再讨论：或时，知为质数，为合数. （） （） （） （） （） （） （ ） （2） （） 当的个位数字分别为 09 时,上式右端总含有 因数 2 和 5, （）
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