全国重点高中竞赛讲座 20容斥原理

1、竞赛讲座 20 -容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限 集合 A 的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合 A 的元素个数)。 原理一：原理一：给定两个集合 A 和 B，要计算 AB 中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步： 先求出A+B （或者说把 A， B 的一切元素都“包含”进来， 加在一起） ； 第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素） 总结为公式：|AB|=A+B-AB。 原理二：原理二：给定三个集合 A，B，C。要计算 ABC 中元素的个数，可以分三步进行： 第一步 求|A|+|B|+|C|； 第二步 减去|AB|，|AC|，|

2、BC|； 第三步 加上|ABC|。 例例 1 1 求不超过 20 的正整数中是 2 的倍数或 3 的倍数的数共有多少个。 例例 2 2 某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 25 人；语文得 90 分以上的有 21 人； 两科中至少有一科在 90 以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人？ 例例 3 3 某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。参加围棋比 赛的共有 42 人，参加中国象棋比赛的共有 51 人，参加国际象棋比赛的共有 30 人。 同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有 13 人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的 7 人，同时参加了中国象棋和国际象棋比

3、赛的 11 人，其中三种棋赛都参加的 3 人。问 参加棋类比赛的共有多少人？ 例例 4 4 边长分别为 6，5，2 的三个正方形，如图 85 所示放在桌面上。问它们盖住 的面积是多大？ 例例 5 5 求 1 到 200 的自然数中不能被 2、3、5 中任何一个数整除的数有多少？ 练习题 1. 某班共有 48 名学生，都参加了语文兴趣小组或数学兴趣小组，其中参加语文兴 趣小组的有 30 人，参加数学兴趣小组的有 28 人，问同时参加语文、数学兴趣小组 的人数是多少 2.纸片面积为 7，一张边长为 2 的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上覆盖的面 积为 8，问两张纸片重合部分的面积是多少？ 3. 不超过 110 且与 110 互质的自然数有几个？ 4. 求在 1 至 1000 的自然数中，不能被 5 或 7 整除的数有多少个。 5. 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有 4 名学生在这三 个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到 优秀的项目、人数如下表： 求这个班的学生人数。 6.求在不超过 100 的自然数中，不是 5 的倍数，也不是 7 的倍数有多少个？