全国重点高中竞赛讲座 11三角运算及三角不等式

1、竞赛讲座竞赛讲座 1111 三角运算及三角不等关系三角运算及三角不等关系 三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式 等的统称） ，对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形） ，有时表现为计算求值、有 时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目 的性与简单性。 三角运算 一三角运算的常规思考 三角运算主权涉及 3 个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。 大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式 这 3 个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证

2、明题，从 找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。 例 1已知,都是钝角，且 13 12 sin， 5 3 )cos(，求sin 例 2设,为锐角，且)sin(sinsin 22 ，求证： 2 。 二三角变换与方程 数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知 值或未知值就成为一个方程。 例 3已知 a b coscos sinsin （4 22 ba） ，求)sin(，)cos(。 三三角变换与构造法 通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题 例 5求 5 4 cos 5 2 cos 的值。 例 6求值：80sin

3、40sin50cos10cos 22 例 7已知：0coscoscos 2211 nn AAA 0) 1cos() 1cos() 1cos( 2211 nn AAA 求证： 对任意R， 恒有0)cos()cos()cos( 2211 nn AAA。 例 8 求满足等式4sin347cos1215xx的锐角x。 四三角法 引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。 例 9已知0ba，求证： 22 2 22 baba ab ba ab 。 例 10在ABC中，P为形内一点，PD、PE、PF为P到三边BC、CA、AB的 距离，求证：)(2PFPEPDPCPBPA 例 11求函数xxy315

4、4的值域。 三角不等关系 这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最 值。这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。 一三角不等式的证明 证明三角不等式注意 3 点： （1）三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。 （2）三角不等式又有自己的特点含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性（或 极值） ，正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。 （3）三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别 之处，需要加倍注意。 例 12若0，求证：03sin 3 1 2sin 2 1 sin 例 13已知

5、0，证明： 2 2sin2 ctg，并讨论等号成立的条件。 例 14已知) 2 , 0(, ，能否以sin，sin，)sin(的值为边长，构成三角形。 例 15在ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，求证： 3 cba cCbBaA 。 例 16在锐角ABC中，求证 （1）CBACBAcoscoscossinsinsin； （2）1tgAtgBtgC 二三角最值的求解 例 17求函数xxxxbxaxf 22 coscossinsin)(的最大值、最小值)0,(bca 例 18求btgx x a y |cos| 的最小值，其中0ba 例 19求函数 2sin 1sin3 x x y的最值。

6、例 20设 12 zyx，且 2 zyx，求乘积zyxcossincos的最大值和最小值。 习题 1 20cos135cos 20cos = 。 2) 3 4 (cos) 3 2 (coscos 222 xxx= 。 3若0sincos| 2 mxxx，求m的取值范围。 4在ABC中， 2 sin 2 sin 2 sin CBA 的最大值为 。 5设 n xxx, 21 为n个实数，则Mxxxxxx nn sinsinsincoscoscos 2121 时， 则M的最小值为 。 6函数 x x x x xf 2 2 2 2 sin1 cos cos1 sin )( 的值域为 。 7对任意实数CBA,，求ACCBBA 222222 cossincossincossin的最大值。 8在矩形ABCD中，P为对角线BD上一点，且BDAP，BCPE于E，CDPF于 F，求证：1)()( 3 2 3 2 BD PF BD PE 。 9任给 13 个互不相等的实数，求证其中至少有两个实数yx,满足32 1 0 xy yx 。 10 在ABC中，求证：BbAaccoscos；AaCcbcoscos； AaBbacoscos。 11设为锐角，求证：223) cos 1 1)( sin 1 1 ( 12对) 2 , 0( x，求证：tgxxx sin2。