1、竞赛讲座竞赛讲座 07 -面积问题和面积方法面积问题和面积方法 基础知识基础知识 1面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形， 故在面积公式中最基本的是三角形的 面积公式它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用 设ABC，cba,分别为角CBA,的对边， a h为a的高，R、r分别为ABC外接 圆、内切圆的半径，)( 2 1 cbap则ABC的面积有如下公式： （1） aABC ahS 2 1 ； （2）AbcS ABC sin 2 1 （3）)()(cpbpappS ABC （4）prcbarS ABC )( 2 1 （5） R abc S ABC 4 （6）CBARS ABC
2、 sinsinsin2 2 （7） )sin(2 sinsin 2 CB CBa S ABC （8）)( 2 1 acbrS aABC （9）)2sin2sin2(sin 2 1 2 CBARS ABC 2面积定理 （1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等； （3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等； （4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底） 的比； （5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方； （6）共边比例定理：若PAB和QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M，则 QMP
3、MSS QABPAB : ； （7）共角比例定理：在ABC和CBA中，若AA或180AA，则 CABA ACAB S S CBA ABC 3张角定理：如图，由P点出发的三条射线PCPBPA,，设APC，CPB， 180APB，则CBA,三点共线的充要条件是： PCPAPB )sin(sinsin 例例题分析题分析 例 1梯形ABCD的对角线BDAC,相交于O，且mS AOB ，nS COD ，求 ABCD S 例 2在凸五边形ABCDE中，设1 EABDEACDEBCDABC SSSSS，求此五边 形的面积 例 3G是ABC内一点，连结CGBGAG,并延长与ABCABC,分别交于FED,， A
4、GF、BGF、BGD的面积分别为 40，30，35，求ABC的面积 例 4RQP,分别是ABC的边BCAB,和CA上的点，且1RCQRPQBP， 求ABC的面积的最大值 例 5过ABC内一点引三边的平行线DEBC，FGCA，HIAB，点 IHGFED,都在ABC的边上， 1 S表示六边形DGHEFI的面积， 2 S表示 ABC的面积求证： 21 3 2 SS 例 6在直角ABC中，AD是斜边BC上的高，过ABD的内心与ACD的内心的直 线分别交边AB和AC于K和L，ABC和AKL的面积分别记为S和T求证： TS2 例 7锐角三角形ABC中，角A等分线与三角形的外接圆交于一点 1 A，点 1 B
5、、 1 C与此类 似，直线 1 AA与B、C两角的外角平分线将于一点 0 A，点 0 B、 0 C与此类似求证： （1）三角形 000 CBA的面积是六边形 111 CBBAAC的面积的二倍； （2）三角形 000 CBA的面积至少是三角形ABC的四倍 例 8在ABC中，RQP,将其周长三等分，且QP,在边AB上，求证： 9 2 ABC PQR S S 例 9在锐角ABC的边BC边上有两点E、F，满足CAFBAE，作ABFM ， ACFM （NM,是垂足） ， 延长AE交ABC的外接圆于点D， 证明四边形AMDN与 ABC的面积相等 三面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，
6、 它的特点是利用间面积相等而进行相互转换 证（解）题 例10 凸 六 边 形ABCDEF内 接 于 O， 且13 DCBCAB， 1FAEFDE，求此六边形的面积 例 11已知ABC的三边cba，现在AC上取ABBA，在BA延长线上截取 BCCB，在CB上截取CAAC，求证： CBAABC SS 例 12CBA在ABC内， 且ABCCBA， 求征： ABCABCCABBCA SSSS 例 13在ABC的三边ABCABC,上分别取点FED,，使EACEDCBD3,3， FBAF3，连CFBEAD,相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面积为 13，求三角 形PQR的面积 例 14E为圆内接四边形
7、ABCD的AB边的中点，ADEF于F，BCEH于H， CDEG于G，求证：EF平分FH 例 15已知边长为,cba的ABC，过其内心I任作一直线分别交ACAB,于NM,点， 求证： b ca IN MI 例 16正PQR正RQP， 1 aAB ， 1 bBC ， 2 aCD， 2 bDE ， 3 aEF ， 3 bFA求证： 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 bbbaaa 例 17 在正ABC内任取一点O， 设O点关于三边ABCABC,的对称点分别为CBA,， 则CCBBAA,相交于一点P 例 18已知CEAC,是正六边形ABCDEF的两条对角线，点NM,分别内分ACCE，且 使
8、k CE CN AC AM ，如果NMB,三点共线，试求k的值 例 19 设在凸四边形ABCD中， 直线CD以AB为直径的圆相切， 求证： 当且仅当BCAD 时，直线AB与以CD为直径的圆相切 训练题训练题 1 设A BC的 面 积 为10 2 cm，FED,分 别 是CABCAB,边 上 的 点 ， 且 ,3,2cmDBcmAD若 DBEFABE SS ，求ABE的面积 2过ABC内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC分成六部份，其中，三 部份为三角形，其面积为 321 ,SSS，求三角形ABC的面积 3在ABC的三边CABCAB,上分别取不与端点重合的三点LKM,，求证：AML，
9、 CLKBKM ,中至少有一个的面积不大于ABC的面积的 4 1 4锐角ABC的顶角A的平分线交BC边于L，又交三角形的外接圆于N，过L作AB和 AC边的垂线LK和LM,垂足是MK,， 求证： 四边形AKNM的面积等于ABC的 面积 5在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D，使BCDC 3 1 ，作ADBE交AC于 E，求证：ECAE 6三条直线nml,互相平行，nl,在m的两侧，且ml,间的距离为2，nm,间的距离为 1， 若正ABC的三个顶点分别在nml,上，求正ABC的边长 7已知 321 PPP及其内任一点P，直线PPi分别交对边于 i Q（3 , 2 , 1i） ，证明：在 3
10、3 2 2 1 1 , PQ PP PQ PP PQ PP 这三个值中，至少有一个不大于 2，并且至少有一个不小于 2 8 点D和E分别在ABC的边AB和BC上， 点K和M将线段DE分为三等分， 直线BK 和BM分别与边AC相交于点T和P，证明：ACTP 3 1 9已知 P 是ABC内一点，延长CPBPAP,分别交对边于CBA,，其中xAP ， wCPBPAPzCPyBP,，且3,23wzyx，求xyz之值 10过点 P 作四条射线与直线l l ,分别交于DCBA,和DCBA,，求证： CBDA DCBA BCAD CDAB 11四边形ABCD的两对对边的延长线分别交LK,，过LK,作直线与对角线BDAC,的 延长线分别FG,，求证： KG LG KF LF 12G为ABC的重心，过G作直线交ACAB,于FE,，求证：GFEG2
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