1、竞赛讲座竞赛讲座 01 奇数和偶数奇数和偶数 整数中，能被 2 整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用 2k 表示 ，奇数可用 2k+1 表示，这里 k 是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； （2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇数偶； （5）n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2 n的倍数；顺式中有一个是偶数， 则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙
2、应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题 例 1（第 2 届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶 数，那么这 12 个整数中，至少有几个偶数？ +=， -=， . 解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶 数，故这 12 个整数中至少有六个偶数. 例 2 （第 1 届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知 n 是偶数，m 是奇数，方程组 是整数，那么 （A）p、q 都是偶数. （B）p、q 都是奇数. （C）p 是偶数，q 是奇数 （D）p 是奇数，q 是偶数 分析 由于 1988y 是偶数，由第一方程知 p=x=n+1988y，所以 p
3、是偶数，将其代 入第二方程中，于是 11x 也为偶数，从而 27y=m-11x 为奇数，所以是 y=q 奇数，应 选（C） 例 3 在 1，2，3，1992 前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还 是偶数. 分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同， 所以在题设数字前面都 添上正号和负号不改变其奇偶性，而 1+2+3+1992=9961993 为 偶数 于是题设的代数和应为偶数. 2.与整除有关的问题 例 4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每 个数的 3 倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1， 3，8，21
4、，.问最右边的一个数被 6 除余几？ 解 设 70 个数依次为 a1,a2,a3据题意有 a1=0, 偶 a2=1 奇 a3=3a2-a1, 奇 a4=3a3-a2, 偶 a5=3a4-a3, 奇 a6=3a5-a4, 奇 由此可知： 当 n 被 3 除余 1 时，an是偶数； 当 n 被 3 除余 0 时，或余 2 时，an是奇数，显然 a70是 3k+1 型偶数，所以 k 必须是 奇数，令 k=2n+1，则 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 解 设十位数，五个奇数位数字之和为 a，五个偶数位之和为 b(10a35,10b35)，则 a+b=45，又十位数能被 11 整除，则
5、 a-b 应为 0，11， 22（为什么？）.由于 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性，因此 a-b=11 即 a=28，b=17. 要排最大的十位数，妨先排出前四位数 9876，由于偶数位五个数字之和是 17，现在 8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是 17-14=3，这三个数字只能是 2，1，0. 故所求的十位数是 9876524130. 例 6（1990 年日本高考数学试题）设 a、b 是自然数，且有关系式 123456789=（11111+a）（11111-b）， 证明 a-b 是 4 的倍数. 证明 由式可知 11111（a-b）=ab+4617 a0,b0,a-b0 首先，易
6、知 a-b 是偶数，否则 11111(a-b)是奇数，从而知 ab 是奇数，进而知 a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式矛盾 其次， 从 a-b 是偶数， 根据可知 ab 是偶数， 进而易知 a、 b 皆为偶数， 从而 ab+4617 是 4 的倍数，由知 a-b 是 4 的倍数. 3.图表中奇与偶 例 7（第 10 届全俄中学生数学竞赛试题）在 33 的正方格（a）和（b）中，每格 填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若 干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表. 解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下
7、面填法： 在黑板所示的 22 的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或 者变成两个. 表(a)中小正方形有四个“+”号， 实施变号步骤后， “+”的个数仍是偶数； 但表(b) 中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个. 显然，小正方形互变无法实现，33 的大正方形的互变，更无法实现. 例 8（第 36 届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数 1，3，5，7排成五列，按右表 的格式排下去，1985 所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表） 解 由表格可知，每行有四个正奇数，而 1985=4496+1，因此 1985 是第 497 行的第一个数，又奇数行的第一个数
8、位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列， 所以从左数起，1985 在第二列. 例 9 如图 3-1，设线段 AB 的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入 n 个分点，把 AB 分成 n+1 个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红 点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段. 证明 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数. 分析 n 个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用 A、B 分别表 示红、绿点； 不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从 A 点开始，每连续改 变两次又回到 A，现在最后一个字母是 B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数 必
9、为奇数. 4.有趣的应用题 例 10（第 2 届“从小爱数学”赛题）图 3-2 是某一个浅湖泊的平面图，图中所有 曲线都是湖岸. （1）如果 P 点在岸上，那么 A 点在岸上还是在水中？ （2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点 B，他脱鞋垢次数与 穿鞋的次数和是个奇数，那么 B 点是在岸上还是在水中？说明理由. 解 （1）连结 AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而 A 点必在水中. （2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为 2，由于 A 点在水中，氢 不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见 B 点必在岸上. 例 11 书店有单价为 10 分，
10、15 分，25 分，40 分的四种贺年片，小华花了几张 一元钱，正好买了 30 张，其中某两种各 5 张，另两种各 10 张，问小华买贺年片花 去多少钱？ 分析 设买的贺年片分别为 a、b、c、d（张），用去 k 张 1 元的人民币，依题 意有 10a+15b+25c+40d=100k,(k 为正整数) 即 2a+3b+5c+8d=20k 显然 b、c 有相同的奇偶性. 若同为偶数，b-c=10 和 a=b=5，不是整数； 若同为奇数，b=c=5 和 a=d=10,k=7. 例 12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览 室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，
11、仅在进出展览厅的出入口处有若 干门与厅外相通， 试证明： 任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室 （可 重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计 算）之差总是偶数. 证明 给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与 “-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同. 一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的 “+”号室，他的路线是+-+-+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、 “+”号室为 n+1（重复经过的重复计算），即共走了 2n+1 室，于是参观者从厅外
12、进去参观后又回到厅外共走过了 2n+2 个门（包括进出出入口门各 1 次）.设其经过 的方形门的次数是 r 次，经过圆形门的次数是 s，则 s+r=2n+2 为偶数，故 r-s 也为 偶数，所以命题结论成立. 例 13 有一无穷小数 A=0.a1a2a3anan+1an+2其中 ai(i=1,2)是数字，并且 a1是奇 数，a2是偶数，a3等于 a1+a2的个位数，an+2是 an+an+1(n=1,2,)的个位数，证明 A 是有理数. 证明 为证明 A 是有理数，只要证明 A 是循环小数即可，由题意知无穷小数 A 的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字 ab 重复出现
13、了，即 0.abab此小数就开始循环. 而无穷小数 A 的各位数字有如下的奇偶性规律： A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇 又 a 是奇数可取 1，3，5，7，9； b 是偶数可取 0，2，4，6，8. 所以非负有序实数对一共只有 25 个是不相同的，在构成 A 的前 25 个奇偶数组中， 至少出现两组是完全相同的，这就证得 A 是一循环小数，即 A 是有理数. 练 习 1.填空题 （1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于 4，最大数与最小数的积 是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_. （2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多 18，这五个
14、 偶数之和是_. （3）能否把 1993 部电话中的每一部与其它 5 部电话相连结？ 答_. 2.选择题 （1）设 a、b 都是整数，下列命题正确的个数是（ ） 若 a+5b 是偶数，则 a-3b 是偶数； 若 a+5b 是偶数，则 a-3b 是奇数； 若 a+5b 是奇数，则 a-3b 是奇数； 若 a+5b 是奇数，则 a-3b 是偶数. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （2）若 n 是大于 1 的整数，则的值（ ）. （A）一定是偶数 （B）必然是非零偶数 （C）是偶数但不是 2 （D）可以是偶数，也可以是奇数 （3）已知关于 x 的二次三项式 ax 2+bx+c（a、b、c 为
15、整数），如果当 x=0 与 x=1 时， 二次三项式的值都是奇数，那么 a（ ） （A）不能确定奇数还是偶数 （B）必然是非零偶数 （C）必然是奇数 （D）必然是零 3.（1986 年宿州竞赛题）试证明 1 1986+91986+81986+61986是一个偶数. 4.请用 0 到 9 十个不同的数字组成一个能被 11 整除的最小十位数. 5.有 n 个整数，共积为 n，和为零，求证：数 n 能被 4 整除 6.在一个凸 n 边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸 n 边形顶 点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸 n 边形分为只朋角 形的小块，试证这种小三我有
16、形的个数与 n 有相同的奇偶性. 7.（1983 年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而 第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四 位数. 8.（1909 年匈牙利竞赛题）试证：3 n+1 能被 2 或 22整除，而不能被 2 的更高次幂整 除. 9.（全俄 15 届中学生数学竞赛题）在 1，2，3，1989 之间填上“+”或“-”号， 求和式可以得到最小的非负数是多少？ 练习参考答案 （）（最小两位奇数是，最大数与最小数同为奇数） （）设第一个偶数为，则后面四个衣次为， （）不能 是奇数，的个位数字是奇数，而，都是偶数， 故最后为偶数
17、 仿例 设，满足题设即 。假如为奇数，由，所有皆为奇数，但奇数个奇 数之和为奇数，故这时不成立，可见只能为偶数由于为偶数，由知 中必有一个偶数，由知中必有另一个偶数于是中必有两个偶数，因而由 知必能被整除 设小三角形的个数为，则个小三角形共有条边，减去边形的条边 及重复计算的边数扣共有（）条线段，显然只有当与有相同的奇偶 性时，（）才是整数 设这个四位数是由于，是奇数所以于是（ ） ， 即或 因是偶数， 所以， 由此得， 又 因，所以因此该数为 当为奇数时，考虑（） 的展开式；当为偶数时，考虑（） 的展开式 除外，可将，所有数分为对：（， ）（，）（，）每对数中两个数的奇偶性相同，所以 在每对数前无论放置“”，“”号，运算结果只能是偶数而为奇数， 所以数，的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于，数 可用下列方式求得： （）（）（ ）
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