1、 2018-2019 学年葫芦岛市兴城市红崖子满族乡七年级（下）期末数学试卷学年葫芦岛市兴城市红崖子满族乡七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将符合要求的答案的序号填入下面的表格内）题目要求的，请将符合要求的答案的序号填入下面的表格内） 1 （3 分）16 的算术平方根是（ ） A4 B4 C4 D2 2 （3 分）下列调查中，适合于全面调查方式的是（ ） A调查春节联欢晚会的收视率 B调查某班学生的身高
2、情况 C调查一批节能灯的使用寿命 D调查某批次汽车的抗撞能力 3 （3 分）实数，0 中，为无理数的是（ ） A B C D0 4 （3 分）在数轴上表示不等式 1x的解集，正确的是（ ） A B C D 5 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（x+1，x2）在 x 轴上，则点 P 的坐标是（ ） A （3，0） B （0，3） C （0，1） D （1，0） 6 （3 分）如图，点 O 为直线 AB 上一点，OCOD如果135，那么2 的度数是（ ） A35 B45 C55 D65 7 （3 分）下列不等式变形正确的是（ ） A由 ab 得 acbc B由 ab 得2a2b C由 ab 得
3、ab D由 ab 得 a2b2 8 （3 分）关于 x，y 的方程组的解是，其中 y 的值被盖住了，不过仍能求出 p，则 p 的值 是（ ） A B C D 9 （3 分）如图，平移折线 AEB，得到折线 CFD，则平移过程中扫过的面积是（ ） A4 B5 C6 D7 10 （3 分）如图，已知：ABCD，EG 平分AEF，EHEG，EHGF，则下列结论： EGGF； EH 平分BEF； FG 平分EFC； EHFFEH+HFD； 其中正确的结论个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 2
4、4 分把答案写在题中的横线上）分把答案写在题中的横线上） 11 （3 分）点 P（1，）在平面直角坐标中位于第 象限 12 （3 分）在实数3，中，最小的数是 13 （3 分）在下面图形所标记的几个角中，与3 是同位角的为 14 （3 分）不等式的最大整数解是 15 （3 分）已知是方程 3mxy1 的解，则 m 16 （3 分）一次数学测验后，某班 50 名学生的成绩被分为 5 组，第 14 组的频数分别为 12、10、15、8， 则第 5 組的频数是 17 （3 分）若 a、b 为实数，且满足|a+2b4|+（3a4b2）20，则 2ab 18 （3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人
5、接到的指令是：从点 O 出发，技“向上向右向下 向右”的方向依次不断的移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1，第 二次移动到点 A2第 n 次移到到点 An，则点 A2019的坐标是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算： （1）3+|1|+ 20 （8 分）解方程组 21 （8 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 22 （10 分）如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A（4，1） ，B（一 1，3）
6、，C（2，0） ，将三角 形 ABC 平移得到三角形 DEF，使点 A 与点 D（1，一 2）是对应点 （1）在图中画出三角形 DEF，并写出点 B、C 的对应点 E、F 的坐标； （2）若点 P 在 x 轴上，且知三角形 PCD 的面积等于三角形 ABC 面积的，请写出满足条件的点 P 的坐 标 23 （10 分）为了促进学生多样化发展，某中学每周五组织学生开展社团活动，分别设置了体育、舞蹈、文 学、音乐社团（要求人人参加社团，并且每人只能参加一项） ，为了解学生喜欢哪种社团活动，学校组织 学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，根据收集到的数据，绘制成了两幅不完整的统计图，请根 据图中提供
7、的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）图 2 中音乐社团所在扇形的圆心角的度数为 ； （4）若该校共有学生 1600 人，估计该校喜爱体育社团的学生人数 24 （10 分）列方程组解应用题： 食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加对人体无害且有利 于食品的储存和运输某饮料加工厂生产的 A，B 两种休料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加 剂 2 克， B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克， 已知 260 克该添加剂恰好生产了 A， B 两种饮料共 100 瓶， 问 A， B 两种饮料各生产了多少瓶？ 25
8、 （14 分）已知直线 ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 A、C，CM 是ACD 的平分线，CM 交 AB 于 H，过 A 作 AGAC 交 CM 于 G （1）如图 1，点 G 在 CH 的延长线上时， 若GAB36，则MCD 猜想：GAB 与MCD 之间的数量关系是 （2）如图 2，点 G 在 CH 上时， （1）猜想的GAB 与MCD 之间的数量关系还成立吗？如果成立， 请给出证明；如果不成立，请写出GAB 与MCD 之间的数量关系，并说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共
9、 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将符合要求的答案的序号填入下面的表格内）题目要求的，请将符合要求的答案的序号填入下面的表格内） 1 （3 分）16 的算术平方根是（ ） A4 B4 C4 D2 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解：4216， 4 故选：A 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义一个正数的算术平方根就是其正的平方根 2 （3 分）下列调查中，适合于全面调查方式的是（ ） A调查春节联欢晚会的收视率 B调查某班学生的身高情况 C调查一批节能灯的使用寿命 D调查某批次汽车的抗撞能力 【分析】
10、由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果 比较近似 【解答】解：A、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，不合题意； B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，符合题意； C、调查一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，不合题意； D、调查某批次汽车的抗撞能力，适合抽样调查，不合题意； 故选：B 【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征 灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调 查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查 3 （3 分）实数，0
11、 中，为无理数的是（ ） A B C D0 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选 择项 【解答】 ：解：， 有理数有，0；无理数是 故选：C 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数； 以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 4 （3 分）在数轴上表示不等式 1x的解集，正确的是（ ） A B C D 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得 【
12、解答】解：1x， 去分母，得：2x1 移项，得：x12， 合并同类项，得：x1， 系数化为 1，得：x1， 在数轴上表示： 故选：B 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要 注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 5 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（x+1，x2）在 x 轴上，则点 P 的坐标是（ ） A （3，0） B （0，3） C （0，1） D （1，0） 【分析】根据 x 轴上点的纵坐标为零，可得点的坐标 【解答】解：点 P（x+1，x2）在 x 轴上， x20， x2， x+13， 点 P 的坐标为（3，0）
13、， 故选：A 【点评】本题考查了点的坐标，利用了 x 轴上点的纵坐标为零 6 （3 分）如图，点 O 为直线 AB 上一点，OCOD如果135，那么2 的度数是（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】根据垂线的定义，可得COD，根据角的和差，可得答案 【解答】解：OCOD， COD90 由角的和差，得 2180COD1 180903555， 故选：C 【点评】本题考查了垂线的定义，利用垂线的定义是解题关键 7 （3 分）下列不等式变形正确的是（ ） A由 ab 得 acbc B由 ab 得2a2b C由 ab 得ab D由 ab 得 a2b2 【分析】A：因为 c 的正负不确定，所以由
14、 ab 得 acbc 不正确，据此判断即可 B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可 C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可 D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判 断即可 【解答】解：ab， c0 时，acbc；c0 时，acbc；c0 时，acbc， 选项 A 不正确； ab， 2a2b， 选项 B 不正确； ab， ab， 选项 C 正确； ab， a2b2， 选项 D 不正确 故选：C 【点评】此题主要考查了不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时乘以（或除以
15、）同一个正数，不等 号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （3）不等式的 两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变 8 （3 分）关于 x，y 的方程组的解是，其中 y 的值被盖住了，不过仍能求出 p，则 p 的值 是（ ） A B C D 【分析】将 x1 代入方程 x+y3 求得 y 的值，将 x、y 的值代入 x+py0，可得关于 p 的方程，可求得 p 【解答】解：根据题意，将 x1 代入 x+y3，可得 y2， 将 x1，y2 代入 x+py0，得：1+2p0， 解得：p， 故选：A 【点评】本题主要考查二元
16、一次方程组的解的概念，根据方程组的解会准确将方程的解代入是前提，严 格遵循解方程的基本步骤求得方程的解是关键 9 （3 分）如图，平移折线 AEB，得到折线 CFD，则平移过程中扫过的面积是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据平移的性质确定平移过程中扫过的图形的形状，从而确定面积； 【解答】解：根据题意得：平移折线 AEB，得到折线 CFD，则平移过程中扫过的图形为矩形 ABCD， 所以其面积为 236， 故选：C 【点评】考查了平移的性质，能够确定平移形成的图形是确定面积的基础，难度不大 10 （3 分）如图，已知：ABCD，EG 平分AEF，EHEG，EHGF，则下列结论： EGG
17、F； EH 平分BEF； FG 平分EFC； EHFFEH+HFD； 其中正确的结论个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据平行线的性质，等角的余角相等，角平分线的定义一一判断即可 【解答】解：EG 平分AEF， AEGFEG， EHEG， HEG90， AEG+BEH90，FEG+FEH90， BEHFEH， EH 平分BEF，故正确， EHFG， GFEFEH， GFE+GEFFEH+GEF90， G90， EGFG，故正确， ABCD， AEF+CFE180， GFE+GEF90， AEG+CFG90， AEGGEF， GFCGFE， FG 平分CFE，故正确
18、EHF+HEF+HFE180，BFE+HEF+HFE+HFD180， EHFBEH+DFH， EHFBEH， EHFFEH+HFD，故正确， 故选：A 【点评】本题考查三角形内角和定理，等角的余角相等，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分把答案写在题中的横线上）分把答案写在题中的横线上） 11 （3 分）点 P（1，）在平面直角坐标中位于第 二 象限 【分析】根据点 P 的横纵坐标的符号及四个象限点的符号特点，判断点 P 所在的象限即可 【解答】解：
19、点 P（1，）的横坐标为负，纵坐标为正，且第二象限点的符号特点为（，+） ， 点 P（1，）在第二象限 故答案为：二 【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正， 第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负 12 （3 分）在实数3，中，最小的数是 3 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据 此判断即可 【解答】解：3， 所给的各数中，最小的数是3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负 实数，两个负实数绝对值大的反而小 13 （
20、3 分）在下面图形所标记的几个角中，与3 是同位角的为 C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截 线）的同旁，则这样一对角叫做同位角 【解答】解：由图可得，与3 是同位角的为C， 故答案为：C 【点评】此题主要考查了三线八角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边 构成“U”形 14 （3 分）不等式的最大整数解是 3 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其最大整数解即可 【解答】解：， 解得：x1.5， 解得：x3， 则不等式组的解集是：1.5x3 则最大整数解是 3 故答案为 3 【
21、点评】 本题考查不等式组的解法及整数解的确定 求不等式组的解集， 应遵循以下原则： 同大取较大， 同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 15 （3 分）已知是方程 3mxy1 的解，则 m 1 【分析】将 x 与 y 的值代入方程计算即可求出 m 的值 【解答】解：将 x2，y5 代入方程得：6m+51， 解得：m1 故答案为1 【点评】此题考查了二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的 值，叫做二元一次方程的解 16 （3 分）一次数学测验后，某班 50 名学生的成绩被分为 5 组，第 14 组的频数分别为 12、10、15、8， 则第 5 組的频数是
22、5 【分析】用该班学生总数分别减去第 14 组的频数，即可求出第 5 組的频数 【解答】解：某班 50 名学生的成绩被分为 5 组，第 14 组的频数分别为 12、10、15、8， 第 5 組的频数是：50（12+10+15+8）5 故答案为 5 【点评】本题考查了频数，频数是指每个对象出现的次数用到的知识点：各小组频数之和等于数据总 和一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率频率反映了各组 频数的大小在总数中所占的分量 17 （3 分）若 a、b 为实数，且满足|a+2b4|+（3a4b2）20，则 2ab 3 【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解
23、得到 a 与 b 的值，即可求出所求 【解答】解：|a+2b4|+（3a4b2）20， ， +得：4a2b6， 则 2ab3， 故答案为：3 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 （3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从点 O 出发，技“向上向右向下 向右”的方向依次不断的移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1，第 二次移动到点 A2第 n 次移到到点 An，则点 A2019的坐标是 （1009，0） 【分析】根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环，从而可得出点 A2019的坐标 【解
24、答】解：A1（0，1） ，A2（1，1） ，A3（1，0） ，A4（2，0） ，A5（2，1） ，A6（3，1） ， 201945043， 所以点 A2019的坐标为（5042+1，0） ， 则点 A2019的坐标是（1009，0） 故答案为： （1009，0） 【点评】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算： （1）3+|1|+ 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的
25、性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+1+222 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （8 分）解方程组 【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解； 【解答】解：， 将化简得：x+8y5 ， +，得 y1， 将 y1 代入，得 x3， ； 令解：将代入，可得 3x45， x3， 将 x3 代入，可得 y1， 原方程组的解为； 【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键 21 （8 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公
26、共解 【解答】解：， 解不等式得：x1； 解不等式得：x4； 所以不等式组的解集是：1x4， 把解集表示在数轴上为： 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解 集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示； “” ， “”要用空心圆点表示 22 （10 分）如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A（4，1） ，B（一 1，3） ，C（2，0） ，将三角 形 ABC 平移得到三角形 DEF，使点 A 与点 D（1，一 2）是对应点 （1）在图中画出三角形 DEF，并写出点 B、C 的对应点 E、F
27、的坐标； （2）若点 P 在 x 轴上，且知三角形 PCD 的面积等于三角形 ABC 面积的，请写出满足条件的点 P 的坐 标 【分析】 （1） 利用点 A 和点 D 的坐标特征确定平移的方向和距离， 利用此平移规律写出 E、 F 点的坐标， 然后描点即可； （2）设 P（m，0） ，先利用面积的和差求出 SABC，则可得到 SPCD3，利用三角形面积公式得到 2|m+2|3，然后求出 m 即可得到 P 点坐标 【解答】解： （1）如图，DEF 为所作，点 E、F 的坐标分别为（4，0） ， （3，3） ； （2）设 P（m，0） ， SABC33213132， 三角形 PCD 的面积等于三角
28、形 ABC 面积的， SPCD3， 2|m+2|3，解得 m1 或 m5， P 点坐标为（1，0） ， （5，0） 【点评】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离作图 时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应 点即可得到平移后的图形 23 （10 分）为了促进学生多样化发展，某中学每周五组织学生开展社团活动，分别设置了体育、舞蹈、文 学、音乐社团（要求人人参加社团，并且每人只能参加一项） ，为了解学生喜欢哪种社团活动，学校组织 学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，根据收集到的数据，绘制成了两幅不完整的统计
29、图，请根 据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了 200 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）图 2 中音乐社团所在扇形的圆心角的度数为 36 ； （4）若该校共有学生 1600 人，估计该校喜爱体育社团的学生人数 【分析】 （1）从条形统计图中可以获得体育的人数为 80 人，从扇形统计图中可以得到体育的人数占调查 人数的 40%，可求出调查的人数； （2）求出舞蹈人数、音乐人数，即可补全条形统计图； （3）音乐的人数占调查人数的，因此圆心角的度数应占 360的， ； （4）样本估计总体，喜欢体育的人数占整体人数 1600 人的 40%即可 【解答】解： （1）8040
30、%200 人 故答案为：200 （2）舞蹈的人数：20040 人 音乐的人数为：20080604020 人，补全条形统计图如图所示： （3）36036 答：音乐的圆心角度数为：36 （4）160040%640 人， 答：该校 1600 人学生中喜爱体育社团的学生人数为 640 人 【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点，明确统计图中的各个数据之间的关系是解决 问题的关键，两个统计图联系起来寻找数据之间的关系是常用的方法 24 （10 分）列方程组解应用题： 食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加对人体无害且有利 于食品的储存和运输某饮料加工厂生产
31、的 A，B 两种休料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加 剂 2 克， B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克， 已知 260 克该添加剂恰好生产了 A， B 两种饮料共 100 瓶， 问 A， B 两种饮料各生产了多少瓶？ 【分析】设 A 饮料生产了 x 瓶，B 饮料生产了 y 瓶，根据 260 克该添加剂恰好生产了 A，B 两种饮料共 100 瓶，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论 【解答】解：设 A 饮料生产了 x 瓶，B 饮料生产了 y 瓶， 依题意，得：， 解得： 答：A 饮料生产了 40 瓶，B 饮料生产了 60 瓶 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找
32、准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 25 （14 分）已知直线 ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 A、C，CM 是ACD 的平分线，CM 交 AB 于 H，过 A 作 AGAC 交 CM 于 G （1）如图 1，点 G 在 CH 的延长线上时， 若GAB36，则MCD 63 猜想：GAB 与MCD 之间的数量关系是 2MCDGAB90 （2）如图 2，点 G 在 CH 上时， （1）猜想的GAB 与MCD 之间的数量关系还成立吗？如果成立， 请给出证明；如果不成立，请写出GAB 与MCD 之间的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）依据 AGAC，GAB36，可得CAH
33、 的度数，依据角平分线的定义以及平行线的 性质，即可得到MCD 的度数； 设ACHAHCMCD， GAB， 则AGCAHCGAB， 依据 RtACG 中， ACH+AGC90，即可得出GAB 与MCD 之间的数量关系； （2） 设ACHAHCMCD， GAB， 则AGCAHC+GAB+， 依据 RtACG 中， ACH+AGC90，即可得出GAB 与MCD 之间的数量关系 【解答】解： （1）AGAC，GAB36， CAH903654， CM 是ACD 的平分线， ACHDCH， ABCD， AHCDCH， ACHAHC（180CAH）12663， 故答案为：63； GAB 与MCD 之间的数
34、量关系是 2MCDGAB90； 理由：CM 是ACD 的平分线， ACHDCH， ABCD， AHCDCH， ACHAHC， 设ACHAHCMCD，GAB， 则AGCAHCGAB， GAAC， RtACG 中，ACH+AGC90，即 +90， 290，即 2MCDGAB90； 故答案为：2MCDGAB90； （2）上述GAB 与MCD 之间的数量关系不成立，应该为 2MCD+GAB90， 理由：CM 是ACD 的平分线， ACHDCH， ABCD， AHCDCH， ACHAHC， 设ACHAHCMCD，GAB， 则AGCAHC+GAB+， GAAC， RtACG 中，ACH+AGC90，即 +90， 2+90，即 2MCD+GAB90 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质和三角形内角和定理的运用，利用直角三角 形两个锐角互余是解决问题的关键
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