1、第二十二章二次函数单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案）1下列函数中，是二次函数的为（ ）A B C D =2+1 =(2)22 =22 =2(+1)2二次函数 y=2（x 1） 2+3 的图象的对称轴是（ ）A x=1 B x=1 C x=3 D x=33将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）A y=（x+2） 25 B y=（x+2） 2+5 C y=（x2） 25 D y=（x 2） 2+54 （已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2a+b 0；b 24ac0；ab+c0 ，其
2、中正确的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 45已知二次函数 （a0）的图象的顶点在第四象限，且过点（1，0） ，=22当 ab 为整数时，ab 的值为（ ）A 或 1 B 或 1 C 或 D 或34 14 34 12 14 346下列具有二次函数关系的是( )A 正方形的周长 y 与边长 x B 速度一定时，路程 s 与时间 tC 三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D 正方形的面积 y 与边长 x7给出下列四个函数：y= 2x，y=2x1，y= （x0），y= x2+3（x0） ，其中 y 随 x 的增大而减3小的函数有（ ）A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个8在直角
3、坐标系 xOy 中，二次函数 C1，C2 图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表：x 1 0 1 2 2.5 3 4 y1 0 m1 8 n1 8.75 8 5 y2 5 m2 11 n2 12.5 11 5 则关于它们图象的结论正确的是（ ）A 图象 C1，C2 均开口向下B 图象 C1 的顶点坐标为（2.5， 8.75）C 当 x4 时，y 1y 2D 图象 C1、C2 必经过定点（0，5）9如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 A（3，0 ） ，对称轴为直线 x=1，给出以下结论：abc0；b 24ac0；a+b+cax 2+bx+c；若 M（x 2+1，y 1） 、N
4、 （x 2+2，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2，其中正确的是（ ）A B C D 10已知二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 的图象是（ ）A B C D 11如图，抛物线 分别交 x 轴于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，动点 P 从=232+103+4出发，先到达 x 轴上的某点 E，再到达抛物线对称轴上的某点 F，最后运动到点 C，(0,2)求点 P 运动的最短路径长为 ( )A B 8 C 7 D 96112二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图 1 中 C）按某种规律组成的一个大正方形，现有 2
5、525 格式的正方形如图 1，角上是三个 77 的 A 型大黑白相间正方形，中间右下一个 55 的 B 型黑白相间正方形，除这 4个正方形外，若其他的小正方形白色块数 y 与黑色块数 x 正好满足如图 2 所示的函数图象，则该 2525 格式的二维码共有多少块黑色的 C 型小正方形（ ）A 153 B 218 C 100 D 216二、填空题13二次函数 ykx 2x2 经过点(1 ，5)，则 k_.14若函数 y(m3) 是二次函数，则 m_.2 2 1315若抛物线 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是_ =26+16已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为（2，4） ，若点（
6、2，m）， （3，n）在抛物线上，则 m_n（填 “”、 “=”或“”）17用一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_m 2三、解答题18在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x22hx+h 的图象的顶点为点 D（1）当 h=1 时，求点 D 的坐标；（2）当1x1 时，求函数的最小值 m （用含 h 的代数式表示 m）19二次函数 y=（m+1）x22（m+1）xm+3（1）求该二次函数的对称轴；（2）过动点 C（0，n）作直线 ly 轴，当直线 l 与抛物线只有一个公共点时，求 n 关于 m
7、的函数表达式；（3）若对于每一个给定的 x 值，它所对应的函数值都不大于 6，求整数 m20某商场销售一种商品，进价为每个 20 元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60 元.经调查发 现，每天的销售量 y(个）与每个商品的售价 x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）设商场每天获得的总利润为 w（元） ，求 w 与 x 之间的函数关系式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？21已知二次函数 y=kx2+（k+1 ）x+1（k0 ） （1 ）求证：无论 k 取任何实数时，该函数图象与
8、x 轴总有交点；（2 ）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，求 k 值22如图，抛物线 与 轴仅有一个公共点 ，经过点 的直线交该抛物线=2+2+1 于点 ，交 轴于点 ，且点 是线段 的中点 求这条抛物线对应的函数解析式；(1)求直线 对应的函数解析式(2) 23如图所示，二次函数 y=2x 2+4x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，另一个交点为 B且与 y 轴交于点 C（1）求 m 的值及点 B 的坐标；（2）求ABC 的面积；（3）该二次函数图象上有一点 D（x，y） ，使 SABD=SABC，请求出 D 点的坐标参考答案1 D【解析】【分析
9、】先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答【详解】A 选项：一次函数，错误；B 选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；C 选项：不是整式，错误；D 选项：原函数可化为：y=2x 2+2x，正确故选：D【点睛】考查二次函数的定义，一般地，把形如 y=ax2+bx+c(a0)（a、b、 c 是常数）的函数叫做二次函数.2 A【解析】【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴【详解】y2（x1） 23，抛物线顶点坐标为（1，3） ，对称轴为 x1，故选：A【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 ya（xh）2k 中，对称轴为 xh，顶点坐
10、标为（h，k）3 A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【详解】抛物线 y=x2 的顶点坐标为（0 ，0） ，先向左平移 2 个单位再向下平移 5 个单位后的抛物线的顶点坐标为（ 2，5 ） ，所以，平移后的抛物线的解析式为 y=（x+2） 25故选：A【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键4 D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断 ab 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】抛物线对称轴是 y 轴的右侧，ab0，与 y 轴交
11、于负半轴，c 0，abc0，故正确；a0 ，x= 1，2b2a，2a+b0，故正确；抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，故正确；当 x=1 时， y0，a b+c0，故正确故选：D【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定5 A【解析】【分析】首先根据题意确定 a、b 的符号，然后进一步确定 a 的取值范围，根据 ab 为整数确定 a、b的值，从而确定答案【详解】依题意知 a0， 0， a+b2=0，2故 b0，且 b=2a，ab=a（2a）=2a2，于是
12、0a2，2 2a 22，又 ab 为整数，2a2=1，0，1 ，故 a= ，1， ，12 32b= ，1， ，32 12ab= 或 1，故选 A34【点睛】根据开口和对称轴可以得到 b 的范围。按照左同右异规则。当对称轴在 y 轴的左侧，则 a,b符号相同，在右侧则 a,b 符号相反。6 D【解析】【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定【详解】A、y=4x，是一次函数，错误；B、s=vt，v 一定，是一次函数，错误；C、y= hx，h 一定，是一次函数，错误12D、y=x2，是二次函数，正确故选 D【点睛】本题考查二次函数的定义7 A【解析】【详解】y=2x，正比例函数，k0，故 y 随着
13、 x 增大而减小，故正确 ；y=2x1，一次函数，k0，故 y 随着 x 的增大而增大，故错误 ；y= （x0）反比例函数，k0，在第一象限内，y 随 x 的增大而减小，故正确；3y=x2+3（x0） ，二次函数， k0，故在第四象限内 y 随 x 的增大而减小，故正确；故符合题意的有 3 个.故选 A.【点睛】本题考查正比例函数，一次函数，反函数和二次函数的性质，熟练掌握各个函数的增减性是解此题的关键.8 D【解析】【分析】观察表格可知，x=1 与 x=3 时，y 1=-8，y2=-11，那么二次函数 C1，C2 的对称轴都是直线x=2，得出选项 B 错误；根据 x2 时，y 1、y2 都是
14、随着 x 的增大而减小；当 x2 时，y1、y2 都是随着 x 的增大而增大，得出图象 C1，C2 均开口向上，那么选项 A 错误；根据增加相同的 x，y1 增加的数小于 y2 增加的数，得出当 x4 时， y2y 1，选项 C 错误；根据对称轴都是直线 x=2，且都过点（4，-5） ，得出图象 C1、C2 必经过定点（0，-5） ，得出选项 D正确【详解】x=1 与 x=3 时，y 1=-8，y2=-11，二次函数 C1，C2 的对称轴都是直线 x=2，故选项 B 错误；当 x2 时，y 1、y2 都是随着 x 的增大而减小；当 x2 时，y 1、y2 都是随着 x 的增大而增大，图象 C1
15、，C2 均开口向上，故选项 A 错误；x=3 时，y 1=-8，y2=-11，x=4 时，y 1=y2=-5，增加相同的 x，y1 增加的数小于 y2 增加的数，当 x4 时，y 2y 1，故选项 C 错误；二次函数 C1，C2 的对称轴都是直线 x=2，且都过点（4，-5），图象 C1、C2 必经过定点（ 0，-5） ，故选项 D 正确故选 D【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，观察表格从中获取有用信息是解题的关键9 A【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情
16、况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】抛物线开口向下，a0；抛物线的对称轴为直线 x=- =10，2b0；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c0，abc0，故正确；抛物线与 x 轴有两个交点，b 2-4ac0，故正确；抛物线的对称轴是 x=1，与 x 轴的一个交点是（3，0），抛物线与 x 轴的另个交点是（-1，0），当 x=1 时，y 最大，即 a+b+cax2+bx+c，故正确；B（x 2+1，y1）、C（x2+2，y2）在对称轴右侧，x 2+1x 2+2，y 1y 2，故错误；故选 A【点睛】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x 轴上点的坐标特点
17、等知识是解答此题的关键10 A【解析】【分析】直接利用二次函数图象得出 a，b 的符号， 进而利用一次函数的图象性质得出答案 【详解】抛物线开口向下，则 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 a，b 互为相反数，则 b0，故一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限故选 A【点睛】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，正确得出 a，b 的符号是解题的关键11 A【解析】【分析】根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解 可做 C 点关于直线 的对称点 ，做 D 点. =52 关于 x 轴的对称点 ，连接 那么 E、F 就是直线 与 x 轴和抛物线对称轴的交点，求 . 出长度即可【详解】作 C
18、 点关于直线 的对称点 ，做 D 点关于 x 轴的对称点 ，连接 =52 则 E、F 就是直线 与 x 轴和抛物线对称轴的交点，此时 即为点 P 运动的最短路径长，则有 ， ；(5,4) (0,2)故点 P 运动的最短路径长 故选：A【点睛】此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与 x 轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出 、 点的坐标是解题关键12 C【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以求得二次函数的解析式，从而可以得到 x 与 y 的关系，再根据题意即可得到关于 x 的方程，从而可以求得 x 的值，本题得以解决【详解】解：设函数解析式为 y=ax2+bx+c，则 ， =1
19、53400+20+=33900+30+=3 解得 ，=0.1=8=153 y=0.1x2-8x+153，C 型小正方形白色块数与黑色块数之和是：2525-773-55=453，x+（0.1x2-8x+153）=453，解得，x 1=100，x2=-30（舍去） ，y=0.11002-8100+153=353，即 C 型小正方形黑色块数为 100故选：C【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答13 8【解析】分析：把（1，5）代入 y=kx2-x-2 中，即可得到关于 k 的一元一次方程，解这个方程即可求得 k 的值详解：二次函数
20、y=kx2-x-2 经过点（1，5），5=k-1-2，解得 k=8；故答案为 8点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点的坐标适合解析式14 5【解析】【详解】函数 y(m3) 是二次函数，2+213 =2 ，且 m-30，2+213解得 m=5.故答案为5.【点睛】本题考查二次函数的定义，解此题的关键在于根据二次函数的定义得到自变量的指数为2，且系数不为 0.15 9【解析】【详解】抛物线 与 x 轴没有交点， =26+，=249的取值范围是 9故答案为： 916 【解析】【分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象具有对称性可以判断 m、n 的大小，从而可以解答本题【详解】抛
21、物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为（ 2，4），该抛物线的开口向上，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，点（2，m）， （3，n）在抛物线上，2（ 2）=4，34，mn，故答案是：【点睛】考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答172252【解析】【分析】设矩形的长为 xm，则宽为 m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成302顶点式，由 x 的取值范围结合函数性质可得最值【详解】设矩形的长为 xm，则宽为 m，302菜园的面积 S=x =- x2+15x=- （x-15）2
22、+ ，（0x20 ）.302 12 12 2252当 x15 时，S 随 x 的增大而增大，当 x=15 时，S 最大值 = m2，2252故答案为： 2252【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量 x的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键18 (1) （1，2） ；(2) 见解析.【解析】【分析】（1）把 h=-1 代入 y=x2-2hx+h，化为顶点式，即可求出点 D 的坐标；（2）先根据二次函数的性质得出 x=h 时，函数有最小值 h-h2再分 h-1，-1h1，h1 三种情况求解即可【详解】（1）当 h=-1 时，y=x 2+
23、2x-1=（x+1）2-2，则顶点 D 的坐标为（-1，-2）；（2）y=x 2-2hx+h=（x-h）2+h-h2，x=h 时，函数有最小值 h-h2如果 h-1，那么 x=-1 时，函数有最小值，此时 m=（-1）2-2h（-1）+h=1+3h；如果-1h1，那么 x=h 时，函数有最小值，此时 m=h-h2；如果 h1，那么 x=1 时，函数有最小值，此时 m=12-2h1+h=1-h【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法进行分类讨论是解题的关键19 （1）对称轴方程为 x=1；（2）n=2m+2；（3）整数 m 的值为2【解析】【分析】（1）
24、根据 求解即可；=2（2）由图象知直线 l 经过顶点式时，直线 l 与抛物线只有一个交点，据此可得；（3）由开口向下及函数值都不不大于 6 可得 ，解之即可+102+26 【详解】（1）y=（m+1）x22（m+1）xm+3，对称轴方程为 x= =1（2）y=（m+1）x22（m+1）xm+3=（m+1）（x1）22m+2，由题意知直线 l 的解析式为 y=n，直线 l 与抛物线只有一个公共点，n=2m+2；（3）抛物线 y=（m+1）x22（m+1）xm+3 的顶点坐标是（1，2m+2 ）依题可得 ，+102+26 解得2m1，整数 m 的值为 2【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，
25、一般式和顶点式的转化，根据题意画出函数的图象，由题意得出对应方程或不等式组是解题的关键20 （ 1） ；（2） ；（3）当售价定为 50 元时，商场每天获=2+160 =22+2003200得总利润最大，最大利润是 1800 元.【解析】【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据“总利润=每千克利润销售量”即可得 w 与 x 之间的函数关系式 ；（3）将所得函数解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可解答【详解】（1） 与 满足一次函数关系. 设 与 的函数表达式为 . =+(0)将 ， 代入 中，得(30,100) (40,80) =+解得100=30+.80=40+. =2
26、.=160. 与 之间的函数表达式为 . =2+160（2）由题意，得 .=(20)=(2+160)(20)=22+2003200 与 之间的函数表达式为 . =22+2003200（3） .=22+2003200=2(50)2+1800 ，抛物线开口向下.20由题可知： ，2060当 时， 有最大值， 元.=50 最大 =1800答：当售价定为 50 元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是 1800 元.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质21 （ 1）证明见解析；（2）k=1【解析】【分析】（1）根据根的判别式可得结论；（2）利用
27、求根公式表示两个根，因为该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，可得 k=1【详解】(1)证明： =(+1)241=(1) 0无论 k 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；(2)当 y=0 时, 2+(+1)+1=0，=1(1)22 ，=1(1)2 ,1=1,2=1，该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，k=1.【点睛】考查抛物线与 x 轴的交点，掌握公式法在解题中的应用.22 ； (1)=2+2+1 (2)=2+2【解析】【分析】（1）利用= =0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点得到 ，然后解关于 a 的方24 424=0程求出 a，即可
28、得到抛物线解析式；（2）利用点 C 是线段 AB 的中点可判断点 A 与点 B 的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定 B 点坐标，然后利用待定系数法求直线 AB 的解析式【详解】 抛物线 与 轴仅有一个公共点 ，(1) =2+2+1 ，解得 （舍去） ， ，=424=0 1=0 2=1抛物线解析式为 ；=2+2+1 ，(2)=(+1)2顶点 的坐标为 ， (1, 0)点 是线段 的中点， 即点 与点 关于 点对称， 点的横坐标为 ， 1当 时， ，则 ，=1 =2+2+1=1+2+1=4 (1, 4)设直线 的解析式为 ， =+把 ， 代入得 ，解得 ，(1, 0)(1, 4) +=
29、0+=4 =2=2 直线 的解析式为 =2+2【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：对于二次函数 （a，b，c 是常数，a0），=2+2+1= 决定抛物线与 x 轴的交点个数： = 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=24 24 =0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；= 0 时，抛物线与 x 轴没有交点也考24 24查了利用待定系数法求函数解析式23 （ 1） （1，0） ；（2）12 （ 3） （2，6 ） 、 （1+ ， 6） 、 （1 ， 6）7 7【解析】【分析】（1）先把点 A 坐标代入解析式，求出 m 的值，进而求出点 B 的坐标；（2）根据二次函数的解析式求出点 C
30、 的坐标，进而求出ABC 的面积；（3）根据 SABDS ABC 求出点 D 纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点 D 的坐标【详解】（1）函数过 A（3，0），18+12+m=0，m=6，该函数解析式为：y= 2x2+4x+6，当2x 2+4x+6=0 时，x 1=1，x2=3，点 B 的坐标为（1，0）；（2）当 x=0 时，y=6 ，则 C 点坐标为（0，6），S ABC= =12；462（3）S ABD=SABC=12，S ABD= =12，4|2|h|=6，当 h=6 时：2x 2+4x+6=6，解得：x 1=0，x2=2D 点坐标为（0，6）或（2，6）；当 h=6 时：2x 2+4x+6=6，解得：x 1=1+ ，x2=17 7D 点坐标为（1+ ，6）、（1 ，6）；7 7D 点坐标为（2，6）、 （1+ ，6）、（1 ，6）7 7【点睛】本题主要考查了抛物线与 x 轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答（3）问需要分类讨论，此题难度一般
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