1、第 27 讲 综合与实践 知识点一：知识点一：邮票中的数学问题邮票中的数学问题 探索合理的邮资支付的方式： （1）首先确定信函处于不同质量范围内应付的邮资； （2）再根据这些邮资的数值寻找满足条件的邮票组合。 重要提示：重要提示：要做到经济、合理、不浪费 知识点二：知识点二：有趣的平衡有趣的平衡 竹竿保持平衡的规律是：必须使“左边的刻度左边的重量=右边的刻度右边的重量 知识点三：知识点三：统筹优化统筹优化 1 1. . 合理安排时间：合理安排时间： （1）弄清所做事情的顺序，即先做什么，后做什么； （2）根据生活实际判断哪些事情可以同时做，哪些事情只能单独做。 2 2. .用天平找次品规律：用
2、天平找次品规律： (1)把所有物品尽可能平均地分成 3 份， （如余 1 则放入到最后一份中；如余 2 则分别放入到 前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。 (2)数目与测试的次数的关系： 23 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 1 次 49 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 2 次 1027 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 3 次 2881 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 4 次 82243 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 5 次 244729 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 6 次 重要提示：重要提示：若不知道次品是重还是轻，则上述次数加 1 知识点
3、知识点四四：抽屉原理抽屉原理 1 1. .抽屉原理（一） ：抽屉原理（一） ：一般来说将（n+1）个或更多个物体放到 n 个抽屉里，就一定有一个抽屉 放进了 2 个物体。 2 2. .抽屉原理 （二） ：抽屉原理 （二） ： 把多于mn个的物体放进n个抽屉里， 则一定有一个抽屉里至少放进了 （m+1） 个物体。 3.物体数抽屉数=商余数 商+1=至少数 知识点知识点五五：数字编码数字编码 1.1.邮政编码：邮政编码：邮政编码由六位阿拉伯数字组成，前两位表示省（自治区、直辖市） ，第三位表 示邮区，第四位表示县（市） ，最后两位表示投递局（所） 。 2.2.身份证编码：身份证编码：身份证的号码由
4、 18 位数字组成，第 1，2 位为各省级政府的代码；第 3.4 位 为地， 市级政府的代码； 第 5， 6 位为县、 区级政府的代码； 第 7-14 位为出生年月日； 第 15-17 位为顺序号及性别区分，单数为男性分配码，双数为女性分配码，第 18 位为校验码 考点一：邮票中的数学问题邮票中的数学问题 【例 1】（2019广州模拟）我国邮政资费的收费标准如下表： 业务 种类 计费单位 资费标准（元) 本埠资费 外埠资费 信函 首重 100 克内， 每重 20 克 （不足 20 克按 20 克计算） 0.80 1.20 续重 101 克2000克，每重 100 克（不足 100 克按 100
5、 克计算） 0.80 1.20 （1）李洋往本市寄出一个重 268 克的邮件，需贴上多少钱的邮票？ （2）张宁往外地寄出两个邮件，一个付邮资 6.00 元，一个付邮资 7.20 元两个邮件的质量最多相差多少 克（按整克计算）？ 【思路分析】（1） 由于首重100g内， 每重20g， 本埠资费为 0.8 元， 续重1012000g， 每重100g（不足100g 按100g计算） 外埠资费为 1.2 元， 李洋的信重 268 克， 寄给本市的同学， 则前 100 克需资费(10020) 0.8 元，268100168克100克，需要0.82元，共需要：100200.80.82元 （2）要求“两个邮
6、件的质量最多相差多少克” ，则在相关计费方式下，需一个邮件的质量为最少，另一个 为最多；因为1.2 (10020)6（元) 所以最少是 81 克；因为(7.26) 1.21，所以最重是 100100200（克)，则两个邮件的质量最多相差了：20081119（克)；据此得解 【规范解答】解： （1）0.8 (10020)4（元) 268100200（克) 0.8 (200 100)1.6（元) 41.65.6（元) 答：需贴上 5.6 元钱的邮票 （2）要求“两个邮件的质量最多相差多少克” ，则在相关计费方式下，需一个邮件的质量为最少，另一个 为最多； 因为1.2 (10020)6（元)，所以最
7、少是 81 克； 因为(7.26) 1.21，所以最重是100100200（克) 则两个邮件的质量最多相差了：20081119（克) 答：两个邮件的质量最多相差 119 克 【名师点评】完成此类题目要注意从图表中获得正确信息后解答 1 （2019宝山区模拟） 我国邮政部门规定： 国内平信 100 克以内 （包括 100 克） 每 20 克需贴邮票 0.80 元， 不足 20 克重的以 20 克计算；超过 100 克的，超过部分每 100 克需加贴 2.00 元，不足 100 克的以 100 克计算 （1）寄一封重 41 克的国内平信，需贴邮票多少元？ （2）某人寄一封国内平信贴了 6.00 元
8、邮票，此信重约多少克？ （3）有 9 人参加一次数学竞赛，每份答卷重 14 克，每个信封重 5 克，将这 9 份答卷分装两个信封寄出， 怎样装才能使所贴邮票金额最少？ 【思路分析】 （1）41 克不足 100 克，应按 3 个 20 克的质量付邮费 （2）100 克的平信邮费是 4 元，200 克的物品邮费应是 6 元就可以判断平信的质量 （3）9 份答卷以及两个信封总计 136 克，分成两个小于或等于 100 克的信封比较省钱 【规范解答】解： （1）41 克大约有 3 个 20 克， 0.832.4（元)， 答：41 克在 100 克以内，应贴 2.4 元的邮票 （2）因为236， 所以贴
9、 6 元的此信的质量应大于 100 克，小于等于 200 克 答：信的质量应大于 100 克，小于或等于 200 克 （3）9 份答卷以及两个信封总计：9 1425136（克)， 所以把它分成两个小于或等于 100 克的信封比较省钱， 设其中一个信封装x份答卷，则另一信封装(9) x份答卷， 则第一个信封的质量是：145 100 x ；另一个信封的质量上：14 (9)5 100 x ， 解这两个不等式组成的不等式组， 得：2.36.1x剟 则3x 或 4 或 5 或 6共四种情况 所以一个信封装 3 份答卷，另一个信封装 6 份答卷，或一个装 4 份，另一个装 5 份最省 答：比较省钱的做法是
10、：一个信封装 3 份答卷，另一个信封装 6 份答卷，或一个装 4 份，另一个装 5 份 【名师点评】解决本题的关键是能够正确确定未知数x的范围，然后分情况进行讨论 2 （2019浙江）邮局关于信函的资费标准如下： 计费单位 资费标准/元 本埠资费 外埠资费 首重100g内，每重20g（不足 20g按20g计算） 0.8 1.20 续重1012000g每重100g（不 足100g按100g计算） 1.20 2.00 （1）明明在临海城关读书，给临海市杜桥的一位朋友寄信，贴了三张 80 分的邮票明明这封信最多不超 过 60 克 （2）聪聪要把一些照片（共重 230 克）寄给在北京工作的叔叔，要付多
11、少邮资？ 【思路分析】 （1）三张 80 分，邮资一共是803分，本埠资费 0.8 元80分，因为首重100g内每重20g邮 资是 80 分，因此明明这封信最多不超过803802060 （克)； （2）共重 230 克，首重 100 克邮资为10020 1.206元；去掉首重 100 克，看看还有几个 100 克，然后 乘 2 元即可，列式为(230 100) 10024元；然后把这两部分邮资相加即可 【规范解答】解： （1）8038020， 320， 60（克)； 答：明明这封信最多不超过 60 克 （2）10020 1.206（元)； (230 100) 1002， 2 2， 4（元)；
12、6410（元) 答：要付 10 元邮资 【名师点评】 解答此题需要分情况探讨， 明确题目中所给数量属于哪一种情况， 由此选择正确的解题方法 3 （2019河池校级模拟）邮局关于信函的资费标准如下表： （1）小敏在广西大学读书，给南宁的一位朋友寄信，贴了三张 80 分的邮票，小敏这封信最多不超过多少 克？ （2）小明要把一些照片（共重 230 克）寄给在北京工作的叔叔，要付多少邮资？ 计费单位 资费标准（元) 本埠资费 外埠资费 首付100g内，每重20g （不足20g按20g计算） 0.80 1.20 续重101 2000g每重100g （不足100g按100g计算） 1.20 2.00 【思
13、路分析】 （1）因为是在本埠范围内，100g内每重20g邮资 0.8 元，贴了三张 80 分的邮票，所以这封 信最多重20202060克； （2）寄往北京，100g内，每重20g邮资 1.2 元，100 克则需：1.2 (10020)元；现在 230 克，超过 100 克 130 克，外埠，续重101 2000g每重100g邮资 2.00 元，则另外 130 克，按 200 克计费，需邮资： 20010024元；进而用“64”解答即可 【规范解答】解： （1）20202060（克)； （2）超出 100 克：230100130克，按 200 克计算， (10020) 1.2(200 100)2
14、， 64， 10（元)； 答：小敏这封信最多不超过 60 克，小明要把一些照片（共重 230 克）寄给在北京工作的叔叔，要付 10 元 邮资 【名师点评】本题与实际生活紧密相连，需注意进一法的使用主要考查实际问题实际分析，分类讨论、 解决问题的能力 4 （2019焦作校级模拟）在投递信件时，国家邮政部门的相关收费规定： 业务种类 计费单位 资费标准/元 本埠资费 外埠资费 信函 首重100g内，每重20g（不足20g按 20g计算） 0.80 1.20 续重1012000gg，每重100g（不足 100g按100g计算） 1.20 2.00 （1）李克要给本市的姑姑寄一封 35 克重的信，需付
15、邮资多少钱？ （2）寄一封重 132 克的信到外地，最多只能贴 4 张邮票，如果只用 2 元和 3 元面值的邮票，可以怎样贴 邮票？ 【思路分析】我们把信函重量进行划类，看看在那一行列，再列式进行计算即可 （1）35 克看作 2 个 20 克进行计算即可 （2）132 克看作 2 个 100 克进行解答即可 【规范解答】解： （1）352015， 所以需要 2 张 0.8 元邮票 0.821.6（元)； 答：需付邮资 1.6 元 （2）13210032， 所以需要 2 张 2 元邮票 224（元)； 贴 2 张 2 元邮票 答：贴 2 张 2 元邮票即可 【名师点评】本题关键读懂统计表，再根据
16、题意进行解答即可 5国家邮政局邮资收费标准如下： 业务种类 计费单位 资费标准/元 本埠(b)资费 外埠资费来源:学+科+网 信函 首重100g内，每重20g（不足 20g按20g计算） 0.80 1.20 续重101 2000g，每重100g （不足100g按100g计算） 1.20 2.00 为方便机器检信，不超过400g的信函最多可以贴 4 枚邮票 （1）如果有一封寄往本市的信函重250g，那么需要邮资多少元？现在有 1.20 元和 2.00 元的邮票，怎样 选择邮票粘贴？（2）如果有一封寄往外地的信函重220g，那么需要邮资多少元？现在有 1.20 元和 2.00 元的邮票，够用吗？如
17、果够，怎样选择邮票粘贴；如果不够，至少再购买一枚多少面值的邮票？ 【思路分析】 （1）本题属于分段收费问题，因为1012502000，所以所需费用为：超过 100 的部分为 (250 100) 1002，总收费为：2 1.20.83.2（元)，1.223.2（元)，可以选择 1.20 元的和 2.00 元的邮票各一张 （2）1002202000，所以，220100120（克)，221.25.4（元)，1.2 元和 2 元不能凑成 5.4 元，1.2225.2（元)，5.45.20.2（元)，所以不够，至少再购买 1 张 0.2 元的邮票 【规范解答】解： （1）因为是本地，按本地资费收取 因为
18、1012502000， 所以所需费用为： (250 100) 100 150100 2来源:学科网 ZXXK 2 1.20.8 2.40.8 3.2（元) 可以选择 1.20 元的和 2.00 元的邮票各一张： 1.223.2（元) 答：需要邮资 3.2 元，可以贴一张 1.20 元的和一张 2.00 元的邮票 （2）因为是外地的，按外地资费收取 1002202000 所以，220100120（克) 221.25.4（元) 1.2 元和 2 元不能凑成 5.4 元 1.2225.2（元) 5.45.20.2（元) 所以不够，至少再购买 1 张 0.2 元的邮票 答：需要游资 5.2 元，贴一张
19、 1.20 元的邮票和 2 张 2 元的邮票，再买一张 0.2 元的才够 【名师点评】本题主要考查分段付费问题，关键根据题意找对对应的收费，进行计算 考点二：有趣的平衡有趣的平衡 【例 2】（2019 春黄冈期末）母子俩在玩跷跷板，儿子体重 15 千克，坐的地方距支点 20 分米，母亲体 重 60 千克，她坐的地方距支点多远才能保持跷跷板平衡？ 【思路分析】因为动力动力臂阻力阻力臂，即体重和距支点的距离成反比例，由此设出未知数，列 出比例式解答即可 【规范解答】解：设母亲坐的地方距支点x分米才能保持跷跷板平衡，则： 601520 x 60300 x 5x 答：她坐的地方距支点 5 分米才能保持
20、跷跷板平衡 【名师点评】此题首先判定两种量成反比例，再设出未知数，列出比例式进行解答即可 【例 3】（2019娄底模拟）如果竹竿左右两边拴上重物A和B，竹竿平衡已知A物体重180g，B物体 重多少克？ 【思路分析】根据平衡原理，力臂的长度与所挂重物的质量的乘积一定，所以用 180 乘 5，然后再除以 3 即可 【规范解答】解：180 53 9003 300（克) 答：B物体重 300 克 【名师点评】解答本题关键是理解力臂的长度与所挂重物的质量的乘积是一定的 1 （2019思明区）如图，选一根粗细均匀的竹竿（长约1 )m，在中点的位置打个小孔并拴上绳子，然后从 中点开始每隔8cm做一个记号如果
21、左边的塑料袋在刻度 2 和 4 上，袋中都放着 3 个棋子，那么右边的塑 料袋在刻度 3 上，且袋中应放 个棋子才能保持竹竿平衡 【思路分析】根据题干，由杠杆平衡原理可得：在竹竿平衡的情况下，左边袋子中的棋子数与对应刻度的 乘积等于右边袋子数与对应刻度的乘积， 根据题意， 可知左边为4323， 然后再除以右边的刻度数 3， 据此即可求解 【规范解答】解：(4 32 3)3 (126)3 183 6（个) 答：袋中应放 6 个棋子才能保持竹竿平衡 故答案为：6 【名师点评】本题是利用数学知识解决物理问题，是生活中常用到的内容 2 （2019秀屿区）如图，左边袋子放 6 克黄豆，右边袋子放 克黄豆
22、才能保持平衡 【思路分析】由图可知，左边袋子放 6 克黄豆，平衡杆是 4 段，右边平衡杆是 2 段，设右边的袋子放x千 克黄豆得到 2 与x的乘积等于 6 与 4 的乘积，进一步求出x的值 【规范解答】解：设右边袋子放x千克 264x ， 22242x ， 12x ； 答：右边袋子放 12 克黄豆才能保持平衡 【名师点评】本题的等量关系就是左边黄豆的重量平衡杆的段数右边的黄豆的重量平衡杆的段数， 由此可以解答 3 （2019 春黄冈期末）根据下列竹竿左侧放棋子的数量和位置，想一想，在右侧的袋子里放几个棋子才 能保证竹竿平衡？画出表示棋子的点 【思路分析】 （1）设右侧数字 3 的位置上放x个棋
23、子，依据竹竿左侧放棋子的数量和位置可列算式23， 棋子放在 3 的位置，依据平衡原理可列方程：323x ，依据等式的性质即可解答； （2）设右侧数字 3 的位置上放x个棋子，依据竹竿左侧放棋子的数量和位置可列算式34，棋子放在 3 的位置，依据平衡原理可列方程：334x ，依据等式的性质即可解答； （3）设右侧数字 5 的位置上放几个棋子，依据竹竿左侧放棋子的数量和位置可列算式54，棋子放在 5 的位置，依据平衡原理可列方程：554x ，依据等式的性质即可解答 观察发现：左边棋子个数左边位置右边棋子个数左边位置，据此解答 【规范解答】解： （1）设右侧数字 3 的位置上放x个棋子； 323x
24、33233x 2x 答：右侧数字 3 的位置上放 2 个棋子 （2）设右侧数字 3 的位置上放x个棋子； 334x 33343x 4x 答：右侧数字 3 的位置上放 4 个棋子 （3）设右侧数字 5 的位置上放x个棋子； 554x 55545x 4x 答：右侧数字 5 的位置上放 4 个棋子 观察以上几幅图，我发现：左边棋子个数左边位置右边棋子个数左边位置 故答案为： 左边棋子个数左边位置右边棋子个数左边位置 【名师点评】本题属于开放题，只要设定棋子放的位置，再根据天平秤平衡原理列方程，依据等式的性质 即可解答 4母女俩在玩跷跷板，女儿体重12kg，坐在距支点15dm处，妈妈体重60kg （1
25、）妈妈坐的地方距支点多远才能保持跷跷板平衡？ （2）如果想让妈妈跷起来，女儿应如何坐？ （3）如果想让女儿跷起来，妈妈应如何坐？ 【思路分析】 （1）根据题意，设妈妈坐在距离支点x分米远处才能保持跷跷板的平衡，根据等量关系：女 儿体重女儿距离支点的距离妈妈体重妈妈距离支点的距离，列方程解答即可 （2） 、 （3）根据（1）中的结果和公式，妈妈和女儿的体重一定，想让妈妈翘起来，女儿应在离支点距离 大于15dm；想让女儿翘起来，妈妈应在其保持跷跷板平衡距离以外据此解答 【规范解答】解： （1）设妈妈坐在距离支点x分米远处才能保持跷跷板的平衡， 6012 15x 60180 x 3x 答：妈妈坐的地
26、方距支点 3 分米才能保持跷跷板平衡 （2）如果想让妈妈跷起来，女儿应坐在距支点 12 分米以外 （3）如果想让女儿跷起来，妈妈应坐在距支点 3 分米以外 【名师点评】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：女儿体重女儿距离支点的距离妈妈 体重妈妈距离支点的距离列方程 考点三：数字编码数字编码 【例 4】（2019 秋城关区期末）乐乐收集了四个身份证号码，但他把其中的一个号码抄错了，错误的是( ) A62197601232562 B62201007053471 C62197405192783 D62201113057228 【思路分析】根据身份证号码的意义：前 2 位一样，不会有问题，根
27、据7 10位找出出生的年月日，根据 生活经验，进行判断即可 【规范解答】解：通过分析发现： .62201113057228D 表示 2019 年 13 月 5 日出生， 因为一年只有 12 个月，所以这个号码应该是错误的 故选：D 【名师点评】本题是考查身份证的数字编码问题，身份证上： 1，前六位是地区代码； 2，7 14位是出生日期； 3，15 17位是顺序码，其中第 17 位奇数分给男性，偶数分给女性； 4，第 18 位是校验码 【例 5】（2019 秋雁塔区校级期末）学校每年开一次运动会， “132125061”是运动员张小华的编码，若 “13” 代表 2019 年运动会， “21” 代
28、表学校第 21 届运动会， “2506” 代表二年级五班第六位选手， 末尾 “1” 代表男生，“2” 代表女生 如果 2019 年张小华代表本班第十位选手参加运动会， 那他 2019 年的编码是 【思路分析】132125061”是运动员张小华的编码，若“13”代表 2019 年运动会， “21”代表学校第 21 届 运动会， “2506”代表二年级五班第六位选手，末尾“1”代表男生， “2”代表女生，由此可知：前两位表 示年份，第 3、4 位表示届数，第 5 位表示年级，第 6 位表示班，第 7、8 位表示运动员的班内编号，最后 一位表示性别据此解答 【规范解答】解：2019 年张小华代表本班
29、第十位选手参加运动会，则前两位就是 18； 2019 年是第 21 届，那么 2019 年就是第 26 届，所以第 3、4 位是 26； 21 届时张小华是二年级五班，则第 26 届就是七年级五班，所以第 5、6 位是 75； 2019 年是第十位选手，那么第 7、8 位就是 10； 张小华是男性，那么最后一位就是 1； 所以 2019 年张小华的编号就是：182675101； 故答案为：182675101 【名师点评】这类型的题目先理解每一位上的数字代表什么，再根据已知表示出来即可 1 （2019 秋长安区期末）郑老师的身份证号码是 612123197506120193，郑老师 2019 年
30、( )岁 A43 B42 C40 D20 【思路分析】 身份证号码是 612123197506120193， 可知郑老师生日是 1975 年 6 月 12 日， 要求郑老师 2019 年多少岁，用减法解答即可 【规范解答】解：2017197542（岁) 答：郑老师 2019 年 42 岁 故选：B 【名师点评】解答此题的关键是明确身份证7 14位表示生日 2 （2019 秋扬州期末）学校每年开一次运动会， “172143061”是去年参加运动会的一名男运动员编码， “17” 代表 2019 年运动会， “21” 代表学校第 21 届运动会， “4306” 代表 4 年级 3 班第 6 位选手，
31、 末尾 “1” 表示男性，末尾“2”表示女性如果今年该校 5 年级 2 班的王丹（女生）代表班级的第 12 位选手参加运 动会，那么王丹的运动员编码应是( ) A172152122 B182142122 C182242122 D182252122 【思路分析】根据编号“172143061”是去年参加运动会的一名男运动员编码可知： “17”代表 2019 年运 动会， “21”代表学校第 21 届运动会， “4306”代表 4 年级 3 班第 6 位选手，末尾“1”表示男性，末尾“2” 表示女性去年为 12，则今年为 18，去年是 21 届，今年为 22 届据此解答 【规范解答】解：根据分析可知
32、， 王丹的运动员编码应是：182252122 故选：D 【名师点评】先根据给出的编号，找出各个位上数字表示的含义，再根据这个含义求解 3 （2019 秋西城区期末）某商厦中每个商户都有一个编号，编号是这样设置的：一层第 4 通道商户的编 号是 “1401 1499” ， 二层第 6 通道商户的编号是 “26012699” ， 三层第 1 通道商户的编号是 “31013199” 五层第 3 通道 56 号商户的编号应是 【思路分析】根据前三层的设置规律可得，第一个数字表示第几层，第二个数字表示第几通道，后面两位 都是01，接着是号数，最后是 99，据此解答 【规范解答】解：根据前三层的设置规律可
33、得， 五层第 3 通道 56 号商户的编号应是：53015699 故答案为：53015699 【名师点评】找出前三层编号的设置规律是解题关键 4 （2019 秋雅安期末）金楠小区共有 6 幢楼房，第 1 幢 1 单元 6 层 5 号房的门牌号为“1 165 ” 东 东家的门牌号为“52163” ，请写出东东家在金楠小区的具体位置是 【思路分析】根据第 1 幢 1 单元 6 层 5 号房的门牌号为“1 165 ” ，可知这个编号的第一个数字表示第 几幢，第二个数字表示第几单元，第三数字表示第几层，最后一个表示第几号，由此求解 【规范解答】解：根据这个小区的编号规律可知： 东东家的门牌号为“521
34、63” ， 他家在这个小区的第 5 幢 2 单元 16 层 3 号 答：东东家在金楠小区的具体位置是 第 5 幢 2 单元 16 层 3 号 故答案为：第 5 幢 2 单元 16 层 3 号 【名师点评】先根据给出的编号找出各个位上数字的含义，然后再根据这个含义求解 5 （2019郑州）文博学校会给每一位新生编号，男生后面是 1，女生后面是 2，一位女生 2019 年入学 8 班 24 号，编号为：128242，一位男生 2019 年 2 班 13 号，他的编号为 【思路分析】由“一位女生 2019 年入学 8 班 24 号，编号为：128242” ，可知前两位数字表示年份，第三 位数字表示班
35、号，第四、五位数字表示学号，第六位数字表示性别据此解答即可 【规范解答】解：一位男生 2019 年 2 班 13 号，他的编号为 132131 故答案为：132131 【名师点评】此题属于数字编码问题，考查学生观察与分析问题的能力 考点四：统筹优化一找次品统筹优化一找次品 【例 6】（2019江西模拟）有 6 瓶多种维生素，其中一瓶少了 4 片如果用天平秤，左右两盘各放 1 瓶， 秤 次肯定能找到少药片的那瓶； 如果左右两盘各放2瓶， 至少需要称 次肯定能找到少药片的那瓶； 如果左右两盘各放 3 瓶，至少需要称 次肯定能找到少药片的那瓶 【思路分析】 （1）根据每次天平两边所放维生素的瓶数，如
36、果用天平秤，左右两盘各放 1 瓶，秤 3 次肯定 能找到少药片的那瓶第一次，天平两边分别放 1 瓶，若不平衡可找到较轻的一瓶；若不平衡，继续第二 次 第二次天平两边分别放 1 瓶， 若天平不平衡， 可找到较轻的一； 瓶若天平平衡， 则较轻的在未取的中， 继续第三次第三次天平两侧分别放 1 瓶，即可找到较轻的一瓶 （2） 如果左右两盘各放 2 瓶， 至少需要称 2 次肯定能找到少药片的那瓶 第一次， 天平两侧分别放 2 瓶， 若天平不平衡，可找到较轻的一份，继续第二次称量；若天平平衡，则较轻的一瓶在未取的 2 瓶中；第二 次，取含较轻的一份分别放在天平两侧，即可找到较轻的一瓶 如果左右两盘各放
37、3 瓶，至少需要称 2 次肯定能找到少药片的那瓶第一次天平两侧分别放 3 瓶，找到较 轻的一份；第二次，取较轻的一份中的 2 瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，则为取的 1 瓶较轻，若天平 不平衡，则可找到较轻一瓶 【规范解答】解： （1）根据每次天平两边所放维生素的瓶数，如果用天平秤，左右两盘各放 1 瓶，秤 3 次 肯定能找到少药片的那瓶 第一次，天平两边分别放 1 瓶，若不平衡可找到较轻的一瓶；若不平衡，继续第二次 第二次天平两边分别放 1 瓶，若天平不平衡，可找到较轻的一；瓶若天平平衡，则较轻的在未取的中，继 续第三次 第三次天平两侧分别放 1 瓶，即可找到较轻的一瓶 （2）如果左右两盘
38、各放 2 瓶，至少需要称 2 次肯定能找到少药片的那瓶 第一次，天平两侧分别放 2 瓶，若天平不平衡，可找到较轻的一份，继续第二次称量；若天平平衡，则较 轻的一瓶在未取的 2 瓶中； 第二次，取含较轻的一份分别放在天平两侧，即可找到较轻的一瓶 如果左右两盘各放 3 瓶，至少需要称 2 次肯定能找到少药片的那瓶 第一次天平两侧分别放 3 瓶，找到较轻的一份； 第二次，取较轻的一份中的 2 瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，则为取的 1 瓶较轻，若天平不平衡，则 可找到较轻一瓶 故答案为：3；2；2 【名师点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取的瓶数 1 （2019金水区）有 11 个零
39、件，其中有 1 个零件的质量与众不同，它比正品的零件要轻些，用一架天平 至少要称 3 次才能确定哪件是次品零件 【思路分析】把 11 分成(4，4，3)，把两个 4 个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在 3 个一组里，再 把 3 分成(1，1，1)可找出次品如在 4 个一组中，把 4 分成(2,2)，找出次品的一组，再把 2 分成(1,1) 可找出次品据此解答 【规范解答】解：把 11 分成11(4，4，3)，把两个 4 个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在 3 个一组 里，再把 3 分成(1，1，1)可找出次品，需 2 次 如在 4 个一组中，把 4 分成(2,2)，找出次品的一组，再把
40、 2 分成(1,1)可找出次品，需 3 次 所以至少要称 3 次才能确定哪件是次品零件 故答案为：3 【名师点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力 2 （2019 秋任丘市期末）用天平找 24 盒牛奶中的哪一盒少了时，至少需要称 次才能保证找到这盒少 了的牛奶 【思路分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行 分组称量，即可进行选择 【规范解答】解：为了叙述方便，把少了的那盒看做次品， （1）把 24 成两组：8 为 1 组，进行第一次称量，那么次品就在较轻的那一组中， （2）由此再把较轻的 8 分成 3 组：3、3、2 拿出其中 3
41、、3 两组进行测量，若平衡，次品在剩下的 2 盒中， 分别放在天平的两端进行第三次称量，较轻的那盒就是次品；若不平衡，次品就在较轻的那一组中， （3）由此再把较轻的 3 盒分成 3 组：1 盒为 1 组，剩下 1 盒，如果左右相等说明剩下的 1 盒是次品，考虑 最差情况：左右不等，那么次品就在较轻的那 1 盒中， 综上所述，至少经过 3 次即可找出次品 故答案为：3 【名师点评】此题是灵活考查天平的应用，方法还是杠杆的平衡原理 3 （2019高新区校级自主招生）有八个编号分别为的小球，其中有六个一样重，另外两个球都轻 1 克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次比轻，第二次比
42、重，第三次和一样重，那么这两个轻球的编号是 【思路分析】由比轻，可知与中至少有一个轻球，由比重，可知与至 少有一个轻球，和一样重可知两个轻球的编号是、 【规范解答】解：因为比轻， 所以与中至少有一个轻球， 又因比重， 所以与至少有一个轻球， 这样 2 个轻球一定在、中， 因为和一样重可知：和不可能都是轻球，等式中没有球， 等式两边只能各有 1 个轻球，所以两个轻球的编号是、 故答案为：、 【名师点评】本题考查的是等式的性质的灵活运用 4 （2019绵阳）在 17 个银元中，有一个是假的，除比真银元稍轻而外，其外表与真银元无任何差别；用 一架无砝码的天平至少称( )次就可保证找出假银元 A16
43、B3 C8 【思路分析】第一次称：两边各放 8 个，如果天平平衡，则没参与称的那个是假的；若天平不平衡，则轻 的一边有假的， 第二次称： 把有假的 8 个银元分成 3 份：332； 两侧各放三个， 此时如果天平平衡， 则假银元在未称的两个里面；如果天平不平衡，则假银元就在轻的一边第三次称：1在天平两侧放 未称的两个银元，轻的为假的；2取出轻的一侧 3 个银元，任选两个，分别置于天平两端，如果平衡， 则剩余的一个为假的；如果不平衡，则轻的一侧为假的所以，至少称 3 次就可保证找出假银元 【规范解答】解：把 17 分成(88 1) 三组，第一次，从 17 个银元中称出含有假银元一组 第二次，把 8
44、 个银元分成(332)三组，从 8 个银元中称出含有假银元的一组 第三次，把 3 个银元分成(21)两组，直接将剩余三个中的任意两个置于天平两端即可确定次品 答：至少称 3 次就可以保证找出假银元 故选：B 【名师点评】解答此题关键在于：1、依据天平平衡原理2、合理的分组和组合 5 （2019 春腾冲县校级期末）有 10 袋白糖，其中 9 袋每袋500g，另 1 袋不是500g，但不知道比500g重 还是轻，用天平称，至少( )次就能保证把它找出来 A3 B4 C5 D6 【思路分析】先将这 10 袋白糖分成(3，3，4)三组，取(3,3)这两组分别放入天平称量，即可找出有次品 的一组称量过程
45、要注意次品与正品的轻重关系是未知的 【规范解答】解：先将这 10 袋白糖分成(3，3，4)三组，取(3,3)这两组分别放入天平称量，即可找出有 次品的一组 若天平平衡，则可确定次品在未取的 4 袋白糖组中； 若天平不平衡（此时可以确定未取的 4 袋白糖都是正品） ，则可将天平较高端（或较低端）的 3 袋白糖组 用未取的 4 袋白糖组中的任意 3 袋正品白糖换算换上正品后，若此时天平平衡，则可确定被换下的 4 袋白糖组就是次品组，同时还可确定次品比正品轻（或重） ；若此时天平仍然不平衡，则可确定被换下 的 3 袋白糖组就是次品，同时还可以确定次品比正品重（轻) 确定次品组后， 若次品组是 3 袋
46、白糖组，则从这 3 袋白糖中任取 2 袋分别放入天平两端称量，即可找出次品来源:Z_xx_k.Com 若次品组是 4 袋白糖组，则从这 4 袋白糖中任取 2 袋分别放入天平两端称量 若天平平衡，则可确定未取的 2 袋白糖中有 1 袋是次品有 1 袋是正品，然后再用未取的 2 袋白糖中的任意 1 袋换下此时平衡的天平两端中的任意 1 袋正品白糖换下正品后，若此时天平仍平衡，则可确定最后 还未取的那袋白糖就是次品；若此时天平不平衡，则可确定换上的这袋白糖是次品 若天平不平衡，则可确定次品就是此时放入天平两端中的这 2 袋白糖中的某一袋，还可确定未取的 2 袋白 糖都是正品，然后再用未取的 2 袋正
47、品白糖中的任意一袋换下此时不平衡的天平两端中的任意一袋白 糖换上正品后，若此时天平平衡，则可确定被换下的那袋白糖就是次品；若此时天平仍然不平衡，则 可确定未被换下的那袋白糖就是次品 综上所述，不管次品是 4 袋白糖组，还是 3 袋白糖组，确保找出次品，都至少要称量 3 次 答：用天平秤，至少称 3 次就能保证把不是500g的这袋白糖找出来 故选：A 【名师点评】 解答此题时， 要注意次品与正品的轻重关系是未知的， 不能想当然地认为次品就比正品轻 （或 重） ，在以上的称量过程中，有些在找出次品的同时还可以确定次品与正品的轻重关系，有些并不能确 定，如果既要保证找出次品又要确定次品比正品轻还是重
48、，那么至少要称几次呢？ 考点五：统筹优化统筹优化- -合理安排时间合理安排时间 【例 7】（2019郑州）王欢周末帮妈妈做下面的事情：洗衣机自动洗衣服要 40 分钟，拖地要用 6 分钟， 擦家具要用 10 分钟，晾衣服要用 5 分钟，经过合理安排她做完这些事至少要花 分钟 【思路分析】用洗衣机洗衣服 40 分钟内，可以同时拖地和擦家具，然后再晾衣服；如此合理的安排时间 能节约花费的时间 【规范解答】解：用洗衣机洗衣服 40 分钟内，可以同时拖地和擦家具，然后再晾衣服； 40545（分钟） 答：经过合理安排她做完这些事至少要花 45 分钟 故答案为：45 【名师点评】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答 1 （2019成都）小明给爷爷沏茶洗水壶要用 1 分钟，烧开水要用 8 分钟，洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯 要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟为了让爷爷早点喝
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