1、第 11 讲 工程问题 工程问题是小工程问题是小升初升初数学应用题中的重点，是分数应用题的引申与补充。数学应用题中的重点，是分数应用题的引申与补充。工程问题可工程问题可 分为两分为两大大类：一类是已知具体工作量，另一类是未给类：一类是已知具体工作量，另一类是未给出出具体工作量具体工作量；本讲重点研究本讲重点研究没有具体没有具体 给出给出工作量工作量的的工程问题工程问题。 一、一、基本概念基本概念： 定义定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题 1 1. .工作总量工作总量: :完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示. 2.工作时间：工作时
2、间：完成工作总量所需的时间。 3.工作效率：工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。 二、二、基本关系基本关系： 1 1一般公式：一般公式：工作总量工作效率工作时间 工作效率工作总量工作时间 工作时间工作总量工作效率 甲工效乙工效甲乙合作工效之和 特别注意：特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。 2 2巧解工程问题：巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。我们把工作总量假 设为单位“1”，这个巧解方法的公式有： （1）一般给出工作时间，工作效率 1 工作时间。 （2）一般给出工作效率1 ，就可以知道工作时间为 a。 三、三、工
3、程问题的类型工程问题的类型和和常用常用方法方法： 类型：双人工程问题类型：双人工程问题 多人工程问题多人工程问题 周期工程问题周期工程问题 水管问题水管问题 计算工程费用问题计算工程费用问题 方法：方法：基本关系基本关系法，法，整体整体转化转化法法、对比分析法对比分析法、方程法、比例法、方程法、比例法 考点一：双人工程问题双人工程问题 【例 1】（2019 秋武川县期末）工程队修一条路，甲队单独修 12 天能修完，乙队单独修 8 天能修完，如 果两队合作一起修，修了全长的 5 8 ，已经修了多少天？ 【思路分析】首先根据工作效率工作量工作时间，分别用 1 除以两队单独修需要的天数，求出两队的
4、工作效率各是多少；然后根据工作时间工作量工作效率，用 5 8 除以两队的工作效率之和，求出如果甲 乙两队合作，几天可以修完这条路的 5 8 即可 【规范解答】解： 511 () 8128 55 824 3（天) 答：已经修了 3 天 【名师点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量工作效 率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率，解答此题的关键是求出两 队的工作效率之和是多少 1 （2019 秋铜官区期末）加工一批零件，师傅单独做要 6 天完成，徒弟单独做要 8 天完成现在由师徒 两人同时开始合作完成，需要多少天？ 【思路分析】把这批零件的
5、总数看成单位“1” ，师傅的工作效率就是 1 6 ，徒弟的工作效率就是 1 8 ，二者的 和就是合作的工作效率，再用工作总量“1”除以合作的工作效率即可求出需要的时间 【规范解答】解： 11 1() 68 7 1 24 3 3 7 （小时） 答：现在由师徒两人同时开始合作完成，需要 3 3 7 天 【名师点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量 看作“1” ，再利用它们的数量关系解答 2 （2019长沙）加工一批零件，甲单独做 1 2 小时完成，乙单独做 1 3 小时完成，两人合作几小时完成任务 的一半？ 【思路分析】把这批零件看作单位“1” ，甲
6、单独做 1 2 小时完成，甲每小时的工作效率是 1 1 2 ，乙单独做 1 3 小时完成，乙每小时的工作效率是 1 1 3 ，然后用工作量 1 2 除以工作效率和即可 【规范解答】解： 111 (11) 223 1 (23) 2 1 5 2 1 10 （小时） 答：两人合作 1 10 小时完成任务的一半 【名师点评】此题属于简单分数工程问题，关键是把工作量看作单位“1” ，根据工作量工作效率和合 作的时间进行解答 3 （2019 秋红安县期末）一项工程每队单独做，甲要 15 天完成，乙 3 天完成这项工程的 1 4 现在甲队先 做 3 天，剩下的由甲乙合作完成，还需多少天？ 【思路分析】把这项
7、工程看作单位“1” ，甲队单独做需要 15 天完成，平均每天的工作效率是 1 15 ，乙队 3 天完成这项工程的 1 4 平均每天的工作效率是 11 3 412 ，先求出甲队 3 天完成的工作量，再求出剩下的 工作量，然后用剩下的工作量除以甲、乙两队每天的工作效率和即可 【规范解答】解： 11 3 412 111 (13)() 151512 13 (1) 520 420 53 16 3 （天) 答：还需要 16 3 天完成 【名师点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量 看作单位“1” ，再利用它们的数量关系解答 4 （2019 秋荆门期末）一项工
8、程，甲队独做需要 8 天，乙队独做需要 12 天，先让甲做了若干天后，乙再 接着做完，共用了 9 天，甲、乙各做了多少天？ 【思路分析】把这项工程的量看作单位“1” ，依据题意可设甲做了x天，乙做了(9) x天，根据工作效率 工作时间分别表示出甲乙两队完成的工作总量，然后把甲乙两队完成的工作总量相加等于单位“1” ，据此 列出方程即可解答 【规范解答】解：设甲做了x天，乙做了(9) x天， 11 (9)1 812 xx 131 1 8412 xx 11 244 x 6x 963（天) 答：甲做了 6 天，乙做了 3 天 【名师点评】本题主要考查学生依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系
9、解决问题的能力 【例 2】（2019廉江市模拟） 打一份稿件， 甲单独打 6 小时可以完成， 乙单独打 5 小时可以完成 现由甲、 乙两人合打，在合作的过程中，甲因事离开了一段时间，这样 4 小时玩成了打字任务，问甲因事离开了多 长时间？ 【思路分析】根据题意，甲的工作效率为： 1 16 6 ，乙的工作效率为： 1 15 5 ，由题意知，乙工作了 4 小时，其余为甲干的所以甲工作时间为： 116 (14) 565 （小时） ，然后用 4 小时减掉甲工作的时间， 即甲离开的时间 【规范解答】解： 11 4(14) 56 11 4 56 6 4 5 14 5 （小时） 答：甲因事离开了 14 5
10、小时 【名师点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题 与条件之间的关系再解答 1 （2019萧山区模拟）某批零件，甲车间单独加工需要 20 天完成，乙车间单独加工需要 30 天完成现 在甲车间先单独加工 5 天后，甲、乙两车间一起加工，还需要几天能够加工完成这批零件？ 【思路分析】首先根据：工作效率工作量工作时间，分别用 1 除以两个车间单独加工需要的时间，求 出它们的工作效率各是多少；然后用甲车间的工作效率乘 5，求出甲车间 5 天加工了几分之几，进而求出 还剩下几分之几，再用它除以两个车间的工作效率之和即可 【规范解答】解： 111 (15)(
11、) 202030 11 (1) 412 31 412 9（天) 答：还需要 9 天能够加工完成这批零件 【名师点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量工作效 率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率 2一项工程，甲队单独做 20 天能完成，乙队单独做 30 天能完成，现由甲、乙两队合作 16 天才完成，这 段时间里，甲队休息了 3 天，那么乙队休息了多少天？ 【思路分析】根据题意，甲队休息了 3 天，说明甲干了 13 天，然后假设乙没有休息干了 16 天，这样把甲 乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1” ，超出的工作量就是乙休息的时间内
12、的工作量，除以乙的工作 效率就是乙休息的天数 【规范解答】解： 111 (163)161 203030 1316 1 30 2030 39 1 30 60 11 30 60 5.5（天) 答；乙队休息了 5.5 天 【名师点评】本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力 3 （2019南昌）加工一批零件，甲乙合作 24 天可以完成，现在由甲先做 16 天，然后由乙方再做 12 天， 还剩下这批零件的 2 5 没有完成已知甲每天比乙多加工 3 个零件，求这批零件的个数 【思路分析】要求这批零件共多少个，需知道甲、乙二人的工作效率，然后这就转化为求甲、乙两人单独 做各需多少天
13、由条件知“甲做 16 天，乙做 12 天共完成的工程” ，也相当于“甲乙二人合作 12 天后， 甲又独做 4 天” ，又知道甲乙二人合作 24 天可以完成，因此甲单独做所用的天数可求出，那么乙单独做 所用天数也就可求出，就可以求出 3 个对应的分率，用除法即可求出零件的个数 【规范解答】解：甲、乙合作 12 天，完成了总工程的几分之几： 11 12 242 ； 甲 1 天能完成全工程的几分之几： 21 (1)(1612) 52 ， 1 4 10 ， 1 40 ； 乙 1 天可完成全工程的几分之几： 111 244060 ； 这批零件共多少个： 11 3() 4060 ， 1 3 120 ， 3
14、60（个)； 答：这批零件共 360 个来源:学_科_网 【名师点评】本题的解答关键是：在把“甲做 16 天，乙做 12 天”转化成“甲乙二人合作 12 天后，甲又 独做 4 天”的基础上，求得甲、乙二人的工作效率，那么 3 个对应的分率就容易找到 4 （2019杭州）甲、乙两个队合修一条公路，共同工作 3 天后完成全部任务的75%，已知甲、乙两队的 工作效率之比是2:1，余下的任务由甲队单独去做，还要几天完成？ 【思路分析】把修一条公路的工作量看做单位“1” ，用工作总量减去已干的工作量得到剩下的工作量再除 以甲队的工作效率，就是余下的任务由甲队单独去做，还要需要的天数 【规范解答】解： 2
15、 (175%)(75%3) 21 ， 1312 () 4433 ， 1 6 4 ， 1 1 2 （天)； 答：余下的任务由甲队单独去做，还要 1 1 2 天完成 【名师点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出 发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题 考点二：多人工程问题多人工程问题 【例 3】（2019竞秀区模拟）一项工程单独完成甲队需要 10 天，乙队需要 15 天，丙队需要 20 天三队 一起干，甲队中途撤走，结果一共用了 6 天，甲队实际干了几天？ 【思路分析】首先根据：工作量工作效率工作时间，用乙、丙两队的工作
16、效率之和乘 6，求出乙、丙 两队一共完成了这项工程的几分之几；然后用 1 减去乙、丙两队完成的工作量，求出甲队完成了这项工程 的几分之几，再用它除以甲队的工作效率即可 【规范解答】解： 111 1()6 152010 71 16 6010 71 1 1010 31 1010 3（天) 答：甲队实际干了 3 天 【名师点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量工作效 率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率 1 （2019郴州模拟）如图表示甲、乙、丙三个工人单独完成某项工作所需的时间，三人合作完成全项工 作的 1 3 要多少天？ 【思路分析】
17、首先分别用 1 除以甲、乙、丙三个工人单独完成某项工作所需的时间，求出三人的工作效率 各是多少；然后根据：工作时间工作量工作效率，用 1 3 除以三人的工作效率之和，求出三人合作完成 全项工作的 1 3 要多少天即可 【规范解答】解： 1111 () 3252015 147 3300 6 2 47 （天) 答：三人合作完成全项工作的 1 3 要 6 2 47 天 【名师点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量工作效 率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率 2 （2019民乐县校级模拟）一项工程，甲乙全做 12 天完成，甲丙合作 20 天
18、完成，乙丙合作 24 天完成， 如果甲乙丙合作完成需几天？ 【思路分析】根据题意，甲乙效率和为 1 12 ，甲丙效率和为 1 20 ，乙丙效率和为 1 24 ，因此甲乙丙效率和为 111 ()2 122024 ，把这项工程总量看作单位“1” ，由此列式为 111 1 ()2 122024 ，解决问题 【规范解答】解： 111 1 ()2 122024 ， 211 1 1202 ， 7 1 80 ， 80 1 7 ， 3 11 7 （天)； 答：甲乙丙合作完成需 3 11 7 天 【名师点评】此题完成的关键是求出甲乙丙效率之和，然后根据关系式“工作量效率和时间”列式解 答 3 （2019 秋南部
19、县期末）一项工程，甲队独做 15 天完成，乙队独做 20 天完成，丙队独做 30 天完成现 在先由甲队独做 5 天，剩下的工程由乙、丙两队合做乙、丙两队合做几天后完成全工程？ 【思路分析】把这项工程看作单位“1”甲队独做 15 天完成，每天完成这项工程的 1 15 ；乙队独做 20 天完 成，每天完成这项工程的 1 20 ；丙队独做 30 天完成每天完成这项工程的 1 30 ；根据工作效率工作时间 工作量， 求出甲 5 天完成的工作量， 再求出还剩下的工作量， 然后根据合作的时间工作量工作效率和， 据此列式解答 【规范解答】解： 111 (15)() 152030 11 (1) 312 2 1
20、2 3 8（天) 答：乙、丙两队合做 8 天后完成全工程 【名师点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题 与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答 4 （2019南京）师徒三人合作加工一批零件 5 天可以完成，其中徒弟甲完成的工作是徒弟乙的 1 2 ，徒弟 乙完成的工作是师傅的 1 2 ，如果徒弟甲一人做 2 天后，徒弟乙和师傅合作余下的工作，还要几天完成？ 【思路分析】把这批零件看成单位“1” ，合作的工作效率是 1 5 ；徒弟甲完成的工作是徒弟乙的 1 2 ，徒弟乙 完成的工作是师傅的 1 2 ，那么：徒弟甲的效率：徒弟乙的效率：师傅的效率为1
21、:2:4，把合作的工作效 率按照这个比例分配就可以求出它们各自的工作效率， 再求出徒弟乙和师傅分工作效率和； 先求出徒弟 甲 2 天的工作量，剩下的工作量除以徒弟乙和师傅的工作效率和就是还需要的时间 【规范解答】解：徒弟甲完成的工作是徒弟乙的 1 2 ，徒弟乙完成的工作是师傅的 1 2 ，徒弟甲的效率：徒弟 乙的效率：师傅的效率为1:2:4 总份数：1247 徒弟甲的工作效率： 111 5735 ； 徒弟乙和师傅合作的工作效率： 124166 575735 ； 1233 121 353535 336 5.5 3535 （天) 答：还要 5.5 天完成 【名师点评】本题的关键是根据三人工作效率之
22、间的关系求出三人的工作效率，再根据工作效率、工作时 间、工作量之间的关系求解 5 （2019凉山州模拟）一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成如果甲工作 6 小时后，乙、丙 合做 2 小时，可以完成这项工作的 2 3 ；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时，也可以完成这项工作的 2 3 如果由甲、丙合做，需几小时完成？ 【思路分析】如果甲工作 6 小时后，乙丙合做 2 小时，可以完成这项工程的 2 3 ，由此可以看作三人合做了 2 小时，甲独做(62)小时完成了这项工作的 2 3 ，三人合做的 2 小时的工作量为 11 2 63 ，甲 4 小时完 成的工作量为 211 333
23、 ，甲的工作效率为每小时完成： 11 4 312 ； 同理可求出丙的工作效率是多少 求出甲丙的工作效率后即能求出甲、丙合做，需几小时完成 【规范解答】解：甲的工作效率为： 21 (2)(62) 36 21 ()4 33 ， 1 4 3 ， 1 12 丙的工作效率为： 21 (3)(63) 36 21 ()3 32 ， 1 3 6 ， 1 18 所以甲丙合作需要：来源:学|科|网 11 1() 1218 5 1 36 ， 1 7 5 （小时） 答：甲丙合作需要 1 7 5 小时完成 【名师点评】将甲工作 6 小时，乙、丙合做 2 小时看做三人合做了 2 小时，甲独做(62)小时，求出甲的 工作效
24、率，同理以此方法求得丙的工作效率是完成本题 考点三：周期工程问题周期工程问题 【例 4】（2019长沙）一项工程，乙单独做 20 天完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰 好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成这 项工程由甲单独做需要几天可以完成？ 【思路分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就 多据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙甲（最后一天是甲做的，若是乙做的， 则第二种情况不会出现多做半天的时间） ；而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲乙， 甲， 1 2 乙，把
25、两种情况对照可得：甲一天的工作效率乙一天的工作效率甲半天工作效率，即甲半天 工作效率乙一天工作效率， 也就是说甲的工作效率是乙工作效率的 2 倍， 把这项工程的量看作单位 “1” ， 先表示出乙的工作效率，再求出甲的工作效率，最后根据工作时间工作总量工作效率即可解答 【规范解答】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的 2 倍 1 1(2) 20 1 1 10 10（天) 答：这项工程由甲单独做需要 10 天可以完成 【名师点评】根据题干表达的意义求出甲与乙工作效率关系，是解答本题的关键 1 （2019 春茂名期中） 一项工程， 如果第一天甲做， 第二天乙做， 这样交替轮流做， 恰好用整数天
26、完成 如 果第一天乙做， 第二天甲做， 这样交替轮流做要多 2 5 天才能完成 如果让甲、 乙两人同时合作， 只需 5 2 8 天就可以完成现在，由乙独做需要多少天才能完成？ 【思路分析】根据题意可知，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成如果使一 天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多 2 5 天才能完成这句话说明甲乙交替轮流做是甲结尾，而乙 甲交替轮流做是乙做一天后，甲再做 2 5 天完成，说明了甲做一天的效率乙做一天甲的 2 5 ，从而可以 知道甲的 3 32 天乙一天，那么甲乙的功效比就是5:3，把这项工程看作单位“1” ，利用按比例分配的 方法求出乙的工作效率，然后
27、根据工作量工作效率工作时间列式解答 【规范解答】解：甲乙每天的工作效率和是： 52188 1211 882121 ； 乙的工作效率是： 83831 21382187 ； 乙单独做需要的时间： 1 11 77 7 （天)； 答：由乙单独做需要 7 天才能完成 【名师点评】解答此题首先把这项工程看作单位“1” ，关键是求出乙的工作效率，再根据工作量、工作效 率、工作时间三者之间的关系列式解答 2 （2019江油市模拟）打印一部稿件，甲单独打要 12 小时完成，乙单独打要 15 小时完成现在，甲、 乙两人轮流工作甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时
28、，乙工 作 2 小时如此交替下去，打印这部稿件共要 1 13 4 小时 【思路分析】把工作总量看作单位“1” ，甲单独打要 12 小时完成，则甲每小时完成 1 12 ，乙单独打要 15 小时完成，乙每小时完成 1 15 ，甲工作 1 小时，乙工作 2 小时完成 1113 2 121560 ，甲工作 2 小时，乙 工作 1 小时完成 117 2 121530 ，6 小时甲乙共完成 1379 603020 ，则每 6 个小时两人完成全部的 9 20 ， 12 小时后完成 9 10 ，还剩 1 10 ，甲再工作 1 小时后还剩 111 101260 ，乙再工作 111 60154 （小时）完成 工作
29、， 1 121 4 即是打印这部稿件共需的时间 【规范解答】解： 1111 (2)(2) 12151215 1211 ()() 1215615 137 6030 9 20 ， 911 121(12) 201215 11 121 6015 1 13 4 （小时） ， 答：打印这部稿件共要 1 13 4 小时， 故答案为： 1 13 4 【名师点评】本题主要考查了实际问题工程问题，关键是得出每 6 个小时两人完成全部的 9 20 3小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作 1 个零件，但小李每制作 3 个零件要休息 1 分钟，小张每制作 4 个零件休息 1.5 分钟现在他们要共同完成制作
30、 300 个零件的任务，需要几分钟？ 【思路分析】小李每制作 3 个零件要休息 1 分钟，即小李 4 分钟做 3 个，小李的工作效率就是 3 34 4 ； 小张每制作 4 个零件休息 1.5 分钟，即小张 5.5 分钟做 4 个，校长的工作效率是 8 45.5 11 ， 38 411 ， 小李的工作效率高，先求出小李完成一半的工作量 150 个零件时需要的时间，即15034200 分钟， 再求出此时小张完成的数量，进而得出剩下的工作量，再把剩下的工作量分配完成即可求解 【规范解答】解：3 1 14 （分钟） 4 1 1.55.5 （分钟） 3 34 4 8 45.5 11 38 411 ，小李
31、的工作效率高， 3002150（个) 15034200 （分钟） 因为2005.5362，所以小张 200 分钟做了： 3642146（个) 剩下的3001501464（个) 剩下的 2 个零件正好每人做 2 分钟， 2002202（分钟） 答：需要 202 分钟 【名师点评】解决本题先判断出谁的工作效率高，然后令其完成工作量的一半，求出此时需要的时间，再 求出另一个人此时完成的数量，进而得出剩下的数量，再把剩下的数量分配完成，从而得解 考点四：水管问题水管问题 【例 5】（2019 秋南阳期中）一个蓄水池有两根水管，单开进水管，8 分钟可以注满全池；单开出水管 12 分钟可以将全池水放完；两
32、管同时打开，向空池内注水，几分钟还空出全池的 1 4 ？ 【思路分析】把水池的总蓄水量看作单位“1” ，根据“单开进水管，8 分钟可以注满全池；单开出水管 12 分钟可以将全池水放完”可知，两管同时打开时，每分钟的注水量为 11 812 ，根据“蓄水量每分钟的 注水量注水时间”得出两管同时打开向空池内注水，还空出全池的 1 4 的时间 【规范解答】解： 111 (1)() 4812 31 424 3 24 4 18（分)， 答：两管同时打开，向空池内注水，18 分钟还空出全池的 1 4 【名师点评】解答此题的关键是把水池的蓄水总量看作单位“1” ，然后根据注水总量、甲每分钟的注水量 的和乙每分
33、钟的出水量以及合开时间之间的关系进行解答即可 1 （2019石阡县）一个游泳池装有甲、乙两个进水管单开甲水管 2 小时可将池注满，单开乙水管 3 小 时可将池注满如果两管齐开，几小时可注满？ 【思路分析】把游泳池的总容量看成单位“1” ，甲的工作效率是 1 2 ，乙的工作效率是 1 3 ，二者的和就是合 作的工作效率；然后用工作总量除以合作的工作效率就是需要的时间 【规范解答】解： 11 1() 23 ， 5 1 6 ， 6 5 （小时） ； 答： 6 5 小时可以注满 【名师点评】本题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量 看做单位“1” ，再利用工作时
34、间工作量工作时间求解 2 （2019椒江区校级自主招生）一个水池，单独开甲进水管需 10 小时将它注满，单独开乙进水管需 12 小时将它注满，单独开丙放水管需 30 小时放完一池水，问同时开放三管，多少小时将空池注满？ 【思路分析】把水池的容量看作单位“1” ，那么甲水管工作效率就是 1 10 ，乙水管的工作效率就是 1 12 ，丙 水管的工作效率就是 1 30 ，它们同时开放的工作效率就是 1113 10123020 ，它们工作时间就是工作量 单位：1 除以它们合作的工作效率，即 320 1 203 （小时） 【规范解答】解： 1113 10123020 320 1 203 （小时） 答：同
35、时开放三管， 20 3 小时将空池注满 【名师点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量 看做 1，再利用它们的数量关系解答 3 （2019石家庄）一个水池，底部按有一个常开的排水管，上面装有若干个一样的排水管，当打开 4 个 进水管时，需要 5 小时才能注满水，当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池，现在需要 3 小 时内将水池注满水，只要要开几个进水管？ 【思路分析】据题意可知，水管与出水管同样粗细，当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池， 相当于一个水管在往中注水，设池的容量为 1，一个注水管的注水效率为 1 1 1
36、5 15 ，同样出水效率也 为 1 15 ，故只开一进水管、一排水管池中无水，要想 3 小时内将水池注满应多开的进水管数为：1( 1 3)1 15 【规范解答】解：据题意可知，一个注水管的注水效率为： 1 1 15 15 ； 同样出水效率也为 1 15 ； 要想 3 小时内将水池注满应多开的进水管数为： 1( 1 3)1 15 51 6（个) 答：至少要打开 6 个进水管 故答案为：6 【名师点评】完成本题的关健是抓住“水管与出水管同样粗细，当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能 注满水池”这一条件求出注水与出水的效率 4 （2019温州）一个水池可容水 84 吨，有两个注水管注水，单开
37、甲管 8 小时可将水池注满，单开乙管 6 小时可注满现在同时打开两个水管，注满水池时，乙管注入水池多少吨水？ 【思路分析】首先根据工作量一定时，工作效率和工作时间成反比，可得甲、乙两管的工作效率之比是 3:4(6:83:4)；然后根据题意，可得注满水池时，甲、乙两管注水量的比是3:4，则乙管注水量占这 个水池的容量的 4 34 ，再把这个水池的容量看作单位“1” ，根据分数乘法的意义，用这个水池的容量 乘乙管注水量占这个水池的容量的分率，求出注满水池时，乙管注入水池多少吨水即可 【规范解答】解：因为甲、乙两管注满水池用的时间的比是：8:64:3， 所以甲、乙两管的工作效率之比是3:4， 所以注
38、满水池时，甲、乙两管注水量的比是3:4， 4 84 34 4 84 7 48（吨) 答：注满水池时，乙管注入水池 48 吨水 【名师点评】 （1）此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量工 作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率，解答此题的关键是 要明确：工作量一定时，工作效率和工作时间成反比 （2）此题还考查了分数乘法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求一个数的几分之 几是多少，用乘法解答 5 （2019 秋慈溪市期末）一个水池装甲，乙两个进水管和丙，丁两个排水管，已知单独开一个水管装满 或排尽一池水分别用 3、5、4、
39、6 小时，现在池中有六分之一的水，按甲、丙、乙、丁的顺序各开 1 小 时，经过多少时间水溢出水池？ 【思路分析】如果按甲、丙、乙、丁的顺序循环开各自水管，每次每管开 1 小时，循环 1 次用 4 小时，可 以灌： 11117 345660 池水池内原有 1 6 池水，循环开各自水管几次后，再开甲管 1 小时可以灌 1 3 ， 需循环： 11 (1 63 7302 )4 6077 次 因为循环4次后还灌不满， 所以取5次 循环5次总时间：5420 小时， 可以灌：7 5 5 6012 ， 这时池内有水： 173 6124 ， 还需灌 31 1 44 池水， 单开甲管还需要： 113 434 小时
40、45分钟，所以 20 小时 45 分钟后水开始溢出水池 【规范解答】解：循环 1 次可以灌： 11117 345660 ， 循环开各自水管几次后，再开甲管 1 小时可以灌，需循环： 117302 (1)4 636077 （次) 循环 5 次可以灌： 77 5 6012 ， 这时池内有水： 173 6124 ， 还需灌： 31 1 44 ， 单开甲管还需要： 113 434 小时45分钟， 20 小时45分钟20小时 45 分钟； 答：20 小时 45 分钟后水开始溢出水池 【名师点评】此题主要考查有关进水管与出水管的工程问题的解答方法，关键先求出循环几次 6 （2019江西）甲乙两个水管单独开
41、，注满一池水，分别需要 20 小时，16 小时丙水管单独开，排一池 水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5 小时后，再打开排水管丙，水池注满还要 35 小 时 【思路分析】 把一池水的水量看作单位 “1” ， 5 小时甲乙两个水管共注水 119 ()5 201616 ， 离注满还有 7 16 ， 这时打开丙管，求注满水池需要的时间，列式为 7111 () 16201610 ，解决问题 【规范解答】解： 11111 1()5() 2016201610 ， 45458 1()5() 8080808080 ， 91 15 8080 ， 9 1 80 16 ， 7 80 16 ， 35（
42、小时） ； 答：水池注满还要 35 小时 故答案为：35 【名师点评】在此题中，求出甲乙两个水管 5 小时的注水量是解答问题的关键 考点五：计算工程费用问题计算工程费用问题 【例 6】（2019广州）某市有一项工程公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标三家公司的竞标条件 如下： 若该市想选择两家公司合作完成，当想尽快完工时，选择哪两家合作？若想降低成本，则如何选择？请具 体说明原因 【思路分析】由统计表可以看出，甲公司用的天数最少，其次是乙公司，要想尽快完工，选择用这两家公 司若想降低成本，首先计算出哪两家公司所需要成本最低，用成本最低的和居中间的两家公司 【规范解答】解： （1）101530
43、 11 1() 1015 1 1 6 6（天) 答：如果想尽快完工，应该选择甲、乙两家公司合作，需要 6 天完成 （2）甲公司：5.6 1056（万元） 乙公司：3.8 1557（万元） 丙公司：1.73051（万元） 575651 11 1()(5.61.7) 1015 2 17.3 15 7.57.3 54.75（万元） 答：如果想尽量降低工资成本，应该选择甲、丙两家公司合作，完工时要付工资 54.75 万元 【名师点评】完成本题要注意从图表中获得正确信息并分析，然后根据工作量、工作效率及工作时间之间 的关系进行分析 1一项工程，甲工程队做需 30 天完成，每天工程费用 2 3 万元；乙工
44、程队做需 40 天完成，每天工程费用 1 4 万元为了在 20 天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工作的天数可以不一样，那 么，两队共同完成这项工程的总费用至少需要 15 万元 【思路分析】因为甲完成全部工程需要 2 3020 3 万元，乙完成全部工程需 1 4010 4 万元，所以完成每 单位的工程量乙需要的费用要比甲少，所以为了费用最小，要尽量安排乙多做，即乙工作 20 天，其余 的工作量由甲来完成，由此进行求解 【规范解答】解： 2 3020 3 （万元） 1 4010 4 （万元） 10 万元20万元 则要尽量安排乙多做，即乙工作 20 天，其余的工作量由甲来完成 甲工
45、作天数 201 : 115 4030 天， 甲需要 2 1510 3 万元， 乙需要 1 205 4 万元， 共需要：10515（万元） 答：两队共同完成这项工程的总费用至少需要 15 万元 【名师点评】首先由题意明确尽量安排乙多做，即乙工作 20 天，其余的工作量由甲来完成最节省费用是 完成本题的关键 2 （2019 秋灌南县期末）老师为 12 名学生准备好了 10 天夏令营生活的费用，结果又增加了 3 名学生参 加夏令营如果每人每天的费用不变，老师准备的这些费用可维持几天？ 【思路分析】把老师准备的费用看着单位“1” ，可以求出每人每天 1 12 10 ，增加了 3 名学生，现在有学生 1
46、2315人，能求出这些费用可维持几天 【规范解答】解： 1 115 12 10 ， 12015， 8（天)； 答：老师准备的这些费用可维持 8 天 【名师点评】分析题意，找到单位“1” ，本题中总费用不变，可根据学生人数的变化来求 3甲乙两队合作 24 天完成、费用 120 万元、甲单独做 20 天，剩下的乙做还要 40 天，费用 110 万元 （1）问甲乙两队单独完成各多少天 （2）甲乙两队单独完成各多少万元？ 【思路分析】 我们运用方程进行解答较容易理解， 把一项工程的工作量看作单位 “1” ， 设乙需要x天完成 进 一步求出甲用的天数，然后设甲每天需要的费用是z万元，乙需要y万元根据题意
47、列方程求出甲乙两 队每天的费用， 然后分别再用甲乙两队单独完成的天数乘以各自的一天的费用就是甲乙两队单独完成的 费用 【规范解答】解：设乙需要x天完成 111 ()20401 24xx ， 202040 1 24xx ， 520 1 6x ， 55205 1 666x ， 201 6x ， 120 x ； 甲需要的天数： 11 1() 24120 ， 51 1() 120120 ， 1 1 30 ， 30（天)； 答：甲乙两队单独完成各用 30 天，120 天 设甲每天需要的费用是z万元，乙需要y万元 2 4()1 2 0zy， 24 ()2412024zy， 5zy； 根据甲单独做 20 天，剩下的乙做还要 40 天，费用 110 万元列方程得： 2040110zy， 20 ()20110zyy， 因为5zy， 所以20 520110y ， 1 0 02 01 0 01 1 01 0 0y， 2010y ， 20201020y ， 0.5y ； 把0.5y 代入5zy， 得，0.55y， 0.50.550.5y， 4.5y ； 4.5 30135（万元） ； 0.5 12060（万元） ； 答：甲乙各需要 135 万元，60 万元 【名师点评】本题运用先求出他们各自完成的天数，列方程求出甲乙每天的费用，然后运用每天的费用乘 以天数就是各自独自完成
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