1、第 9 讲 比和比例 知识点一：知识点一：比比 1.1.比的意义：比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2 2. .比的各部分名称及比的读法比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=45=0.8 前项 比号 后项 比值 3 3. .比的基本性质比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0 除外)，比值不变 4 4. .求比值与化简比求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100 千米:5 时=20 千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数
2、比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5 5. .比与分数、除法的关系比与分数、除法的关系 关系：关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比 号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的 除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称名称 比比 分数分数 除法除法 联系联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） （除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数
3、除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分 间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实 质是一样的。 6.6.按比分配按比分配: : （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配 方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求 各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点二：知识点二：比例比例 1 1. .比例的意义：比
4、例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.2.比例的各部分名称比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两 项叫做内项。 3.3.比例的比例的基本基本性质：性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.4.比和比例的区别比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项） ；比例表示两个比相等的式子，它 有四项（即两个内项和两个外项） 。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5 5. .解比例解比例: : 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未
5、知 项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点三：知识点三：正比例和反比例正比例和反比例 2.2.判断正比例和反比例的方法判断正比例和反比例的方法: : （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定 的，就不成比例。 3.3.正比例图像正比例图像: :正比例图像是一条直线。 4.4.用比例的知识解决实际问题用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2） 应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤应用比
6、例知识解决实际问题的一般方法和步骤: : 判断题中两种相关联的量是成正比例 还是成反比例；设未知量为 x；列出比例，解比例；检验并作答。 知识点三：知识点三：比例比例尺尺 1.1.比例尺的意义比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2)图上距离：实际距离 = 比例尺或 图上距离 实际距离 = 比例尺 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000 或 1 200000，比例尺一般写成前项是 1 或后项是 1 的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3 求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离比例尺 实际距离=图上距离比例尺 考点
7、一：比和比例的意义及基本性质比和比例的意义及基本性质 【例 1】（2019衢州）( )和 6， 4 5 ，3.2，这四个数可以组成一个比例 A3 B2 C1.5 D1 【思路分析】根据比例的基本性质两内项之积等于两外项之积，看看哪个数的积等于另外两个数的积，据 此判断即可 【规范解答】解： 4 363.2 5 4 263.2 5 4 1.563.2 5 4 1 63.2 5 故选：C 【名师点评】此题属于根据比例的意义或基本性质，判断四个数能否组成比例，一般运用比例的性质判断 较为简便 【例 2】（2019延平区）如果把3:46:8中第一个比的后项加上 3，要使等式成立，第二个比的后项应该 加
8、上 【思路分析】 第一个比的后项加 3 后变成3:7， 要想使等式成立， 就要让第二个比的最简比也应变成3:7， 根据比的基本性质，3:7(3 2):(72)6:14， 即第二个比的后项 8 加上 6 变成 14，6:(86)3:7， 所以第二个比的后项应该加 6 才能使比例成立 【规范解答】解：3:(43)3:7， 又3:7(3 2):(72)6:14 即需第二个比的后项 8 加上：1486， 所以第二个比的后项应该加 6 才能使比例成立 故答案为：6 【名师点评】完成本题要注意比值和原来不一样了，变化不是倍数关系 1 （2019武威）一个比的比值是 3，它的前项是 15，后项是 【思路分析
9、】因为比的前项除以后项是比值，所以后项等于前项除以比值，由此算出答案 【规范解答】解：1535， 则后项是 5； 故答案为：5 【名师点评】本题主要是灵活利用求比值的方法解决问题 2 （2019 秋洛阳期中）在4:9中，如果前项加上 8，要使比值不变，后项应( ) A加上 8 B乘以 2 C加上 18 【思路分析】根据4:9的前项加上 8，可知比的前项由 4 变成 12，相当于前项乘 3；根据比的性质，要使 比值不变，后项也应该乘 3，由 9 变成 27，也可以认为是后项加上 18；据此进行解答 【规范解答】解：如果4:9的前项加上 8，可知比的前项由 4 变成 12，相当于前项乘 3； 要使
10、比值不变，后项也应该乘 3，由 9 变成 27，也可以认为是后项加上27918 故选：C 【名师点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外） ，比值才不变 3（2019长沙） 在一个比例里， 已知两个外项互为倒数， 其中一个内项是最小的质数， 另一个内项是 【思路分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，以及互为倒数的两个数的乘积为 1， 最小的质数是 2，从而可以求得另一个内项 【规范解答】解：因为两内项之积等于两外项之积， 且两外项互为倒数，即两外项之积为 1， 则两内项之积也应互为倒数， 又因其中一个内项是最小的质数，即为 2， 则另一个内项是
11、1 2 ； 故答案为： 1 2 【名师点评】解答此题的主要依据是：比例的基本性质、倒数的意义以及质数的定义 考点二：化简比和求比值化简比和求比值 【例 3】（2019 秋武昌区期末）3 4 : 5 15 化为最简整数比是 : ； 0.75 吨： 500 千克的比值是 【思路分析】 （1）根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外）比值不变， 进而把比化成最简比； （2）用比的前项除以后项，所得的商即为比值 【规范解答】解： （1） 34 : 5 15 34 (15):(15) 515 9:4 （2）0.75 吨：500 千克 750千克：500 千克 750500 1.
12、5 故答案为：9，4；1.5 【名师点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和 后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数 1 （2019江西）把 1.2 千克：24 克化成最简整数比是 ，比值是 【思路分析】先把 1.2 千克换算单位，即 1.2 千克1.2 10001200克，然后根据比的意义，再一步步化 简和求比值 【规范解答】解：1.2 千克：24 克1200克：24 克1200:2450:1， 比值是：50:150150 故填：50:1，50 【名师点评】根据题意，先把比的前项后项统一单位，再根据题意求解即可
13、 2 （2019连江县校级模拟）0.4 平方米：160 平方分米化成最简整数比是 ，比值是 【思路分析】（1） 根据比的性质： 把 0.4 平方米： 160 平方分米中的后项 160 平方分米先换算成 1.6 平方米， 再把比的前项和后项同时乘上 5，先化成整数比，进而化成最简比； （2）根据求比值的方法用最简比的前项除以比的后项，所得的商即为比值；据此进行计算即可 【规范解答】解： （1）0.4 平方米：160 平方分米， 0.4平方米：1.6 平方米， (0.4 5):(1.6 5)， 2:8， 1:4； （2）0.4 平方米：160 平方分米， 1:4， 14 ， 1 4 ； 故答案为：
14、1:4， 1 4 【名师点评】此题考查化简比和求比值的方法，要注意区分：化简比是根据比的基本性质进行化简的，结 果仍是一个比；求比值是用比的前项除以后项，结果是一个数，可以是小数、分数和整数还要注意无 论是求比值还是化简比，都要先把单位化统一 3 （2019湘潭）若甲：乙 3 5 : 4 6 ，乙：丙 2 4 : 3 5 ，甲：乙：丙 （要求化成最简整数比） 【思路分析】根据题意，把甲乙的比和乙丙的比化成最简整数比，进而求出甲乙丙三者的比 【规范解答】解：根据题意 甲：乙 3 5 :9:10 4 6 乙：丙 2 4 :5:610:12 3 5 所以甲：乙：丙9:10:12 故答案为：9:10:
15、12 【名师点评】解决本题的关键是把甲乙的比、乙丙的比化成最简整数比 4 （2019当阳市）汽车 4 时行驶了 280 千米，行驶的路程与时间的比是 ，比值是 ，这个比值 表示的是 【思路分析】因为要求行驶的路程与时间的比是多少，也就是用 280 与 4 的比，利用比的基本性质化成最 简整数比即可；根据路程，速度，时间的关系即可得出答案 【规范解答】解： （1）280:4(2804):(44)70:1 （2）比值是 70 （3）路程除以时间是速度 故答案是70:1，70，速度 【名师点评】本题考查了比的基本性质的应用，以及速度，时间，路程的关系 5 （2019红桥区）一条路，甲行全程要用 1.
16、5 小时，乙行全程的 3 4 要用 6 5 小时，则甲与乙的速度的最简整 数比是 【思路分析】把一段路程的长度看作“1” ，根据路程时间速度，分别求出甲乙的速度，再写出相应的 比，根据比的基本性质化成最简整数比 【规范解答】解： 36 (1 1.5):() 45 2 5 : 3 8 25 (24):(24) 38 16:15； 答：甲与乙的速度的最简整数比是16:15 故答案为：16:15 【名师点评】关键是把路程的长度看作“1” ，再根据路程、时间与速度之间的关系求出甲乙的速度，写出 相应的比化简即可 考点三：判断正比例和反比例判断正比例和反比例 【例 4】（2019 春古浪县校级期中）判断
17、下面的两个量成正比例、反比例还是不成比例 圆的周长和半径 圆的面积和半径 正方形的周长和边长 圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径 一个自然数和它的倒数 比例尺一定，图上距离和实际距离 【思路分析】圆的周长半径2（一定） ，是比值一定，所以圆的周长和半径成正比例关系； 圆的面积公式 2 sr，也就是圆的面积只是与半径的平方成正比例关系，和半径不成比例关系； 因为正方形的周长边长4，可得：周长边长4，它们的比值一定，所以正方形的周长与边长成正 比例关系； 因为圆柱的底面周长高2底面半径高圆柱的侧面积（一定） ，是对应的乘积一定，所以圆柱 的高与底面半径成反比例关系； 因为 0 没有倒数，所以这
18、个自然数不包括 0，这个自然数它的倒数1（一定） ，即对应的乘积一定， 所以这个自然数与它的倒数成反比例关系； 因为图上距离：实际距离比例尺（一定） ，所以比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例关系 【规范解答】解：由分析知： 圆的周长和半径成正比例关系； 圆的面积和半径不成比例关系； 正方形的周长和边长成正比例关系； 圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径成反比例关系； 一个自然数和它的倒数成反比例关系； 比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例关系 故答案为：成正比例关系；不成比例关系；成正比例关系；成反比例关系；成反比例关系；成正比例关系 【名师点评】此题主要考查正比例的意义，判断两个相关
19、联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的 比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例 1 （2019高邮市）如果 2 (0) 2 x y y ，x和y成 比例；如果14xy，x和y成 比例 【思路分析】判断x和y之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果 是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例 【规范解答】解：因为 2 (0) 2 x y y ， 所以4xy （一定） 所以x和y成反比例； 因为14xy， 所以:14y x （一定） 所以x和y成正比例 故答案为：反，正 【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量
20、，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定， 再做判断 2 （2019郾城区）如果2xy，那么x和y成 比例；如果:45:xy，那么x和y成 比例 【思路分析】判断x和y成什么比例，要看x和y是比值一定，还是乘积一定，将所给条件进一步改写即 可 【规范解答】解：如果2xy（一定） ，那么x和y成正比例； 如果:45:xy，则4 520 xy （一定） ，那么x和y成反比例 故答案为：正，反 【名师点评】本题考查成正、反比例的知识，判断时，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一 定，同时也考查了对比例基本性质的运用来源:学_科_网 3 （2019 春青龙县期末）x、y、z三个相关联
21、的量，并有xyz （1）当z一定时，x与y成 比例关系 （2）当x一定时，z与y成 比例关系 （3）当y一定时，z与x成 比例关系 【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一 定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例 【规范解答】解：x、y、z三个相关联的量，并有xyz （1）当z一定时，x与y成 反比例关系 （2）当x一定时，z与y成 正比例关系 （3）当y一定时，z与x成 正比例关系 故答案为：反，正，正 【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定， 再做判断 4 （2019
22、郴州模拟）甲、乙是两个相关联的量，a，c和b，(d a，c，b，d均不为0)是两组相对应的 值，如下表 甲 a b 乙 c d （1）如果甲、乙成正比例，那么 a （2）如果甲、乙成反比例，那么 【思路分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比 值也就是商一定，它们的关系叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的积一定，它们的关系叫做反比例关系 【规范解答】解： （1）如果甲、乙成正比例，那么:a cb d，即adbc； （2）如果甲、乙成反比例，那么acbd； 故答案为：a、d、b、c，a、c、
23、b、d 【名师点评】解答此题的关键要理解正反比例的意义 5 （2019 春亳州期中）下面各题中的两个量，哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例也不成 反比例？ （1）正方形的周长与边长 （2）小丽看一本故事书，已看的页数和剩下的页数 （3） 学苑新报的单价一定，订阅的费用与订阅的份数 （4）圆锥的体积一定，底面积与高 （5）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 （6）在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积 【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一 定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例 【规范解答】
24、解： （1）因为正方形的周长边长4，所以正方形的周长边长4（一定） ，即正方形的 周长和它的边长的比值一定，符合正比例的意义，所以正方形的边长和周长成正比例； （2）已看的页数剩下的页数一本书的总页数（一定） ，是和一定，不成比例； （3）订阅的费用订阅的份数单价（一定） ，是比值一定，成正比例； （4）圆锥的底面积高3圆锥的体积（一定） ，是乘积一定，所以成反比例， （5）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数反比例，因为：组数每组的人数 全班的人数一定 （6）种的黄瓜西红柿的面积一块菜地的总面积（一定） ，是和一定，不成比例； 故答案为：成正比例，不成比例，成正比例，成
25、反比例，成反比例，不成比例 【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定， 再做判断 考点四：解比例解比例 【例 5】（2019保定模拟）解比例 21 = 0.4 0.2 1 3： 1 20 = 5 9： 60 = 3：2 【思路分析】 （1）根据比例的基本性质的性质，把原式化为 0.2x210.4，然后方程的两边同时除以 0.2； （2）根据比例的基本性质的性质，把原式化为1 3x= 1 20 5 9，然后方程的两边同时除以 1 3； （3）根据比例的基本性质的性质，把原式化为 3x602，然后方程的两边同时除以 3 【规范解答】解： 21 =
26、0.4 0.2 0.2x210.4 0.2x0.2210.40.2 x42 1 3 ： 1 20 = 5 9 ： 1 3x= 1 20 5 9 1 3x 1 3 = 1 20 5 9 1 3 x= 1 12 60 = 3：2 3x602 3x36023 x40 【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同 时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0 除外） ，等式仍然成 立；两个外项的积等于两个内项的积 1 （2019 春贺州期中）解比例 x：387：9 0.25 2 = 1.25 4 5：x= 2 3： 1 4 【思
27、路分析】 （1）根据比例的基本性质的性质，把原式化为 9x387，然后方程的两边同时除以 9； （2）根据比例的基本性质的性质，把原式化为 0.25x1.252，然后方程的两边同时除以 0.25； （3）根据比例的基本性质的性质，把原式化为2 3x= 4 5 1 4，然后方程的两边同时除以 2 3 【规范解答】解： （1）x：387：9 9x387 9x93879 x29 （2）0.25 2 = 1.25 0.25x1.252 0.25x0.251.2520.25 x10 （3）4 5：x= 2 3： 1 4 2 3x= 4 5 1 4 2 3x 2 3 = 4 5 1 4 2 3 x= 3
28、10 【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同 时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0 除外） ，等式仍然成 立；两个外项的积等于两个内项的积 2解比例 x：3.54：21 8 = 4.5 3.6 3 14 ： = 5 42 ： 1 4 【思路分析】 （1）根据比例的基本性质的性质，把原式化为 21x3.54，然后方程的两边同时除以 21 求解； （2）根据比例的基本性质的性质，把原式化为 3.6x4.58，然后方程的两边同时除以 3.6 求解； （3）根据比例的基本性质的性质，把原式化为 5 42x= 3 1
29、4 1 4，然后方程的两边同时除以 5 42求解 【规范解答】解： （1）x：3.54：21 21x3.54 21x213.5421 x= 2 3 （2） 8 = 4.5 3.6 3.6x4.58 3.6x3.64.583.6 x10 （3） 3 14 ： = 5 42 ： 1 4 5 42x= 3 14 1 4 5 42x 5 42 = 3 14 1 4 5 42 x= 9 20 【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同 时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0 除外） ，等式仍然成 立；两个外项的积等于两个内
30、项的积 3根据下列条件列出比例，并解比例 （1）3 和 2 的比等于1 4和 x 的比 （2）两内项是 4 和 x，两外项是 5 和 27 【思路分析】 （1）根据题意即可列出比例 3：2= 1 4：x，根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积， 把比例转化成一般方程 3x2 1 4，再等式的性质，方程两边都除以 3 即可得到原比例的解 （2）根据题意即可列出比例 5：4x：27，根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转 化成一般方程 4x527，再等式的性质，方程两边都除以 4 即可得到原比例的解 【规范解答】解： （1）3：2= 1 4：x 3x2 1 4 3x32 1 4 3
31、x= 1 6； （2）5：4x：27 4x527 4x45274 x33.75 【名师点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然 后再根据解方程的方法规范解答 考点五：按比分配问题按比分配问题 【例 6】（2019 秋灵石县期中）一个长方形长和宽的比是3:2，已知长方形的周长是110dm，这个长方 形的面积是多少？ 【思路分析】先利用长方形的周长公式求出长和宽的和，又因“长和宽的比是3:2” ，利用按比例分配的 方法，求得长与宽分别占和的几分之几，即可求出这个长方形的长和宽的值，进而利用长方形的面积公式 即可求解 【规范解答】解：长和宽的和：11025
32、5()dm 长方形的长： 3 55 23 3 55 5 33()dm 长方形的宽： 2 55 23 2 55 5 22()dm来源:学科网 长方形的面积： 2 33 22726()dm 答：这个长方形的面积是 2 726dm 【名师点评】此题主要考查长方形的周长和面积的计算方法的灵活应用，关键是先求出长方形的长和宽的 值，进而解决问题 【例 7】（2019沛县）新区器材厂用一根长 120 厘米的铁丝做成一个长方体框架，这个长方体长宽高的比 是3:2:1，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】由题意可知：这个长方体框架的棱长和是 120 厘米，依据“长方体的棱长和（长宽高） 4”即可求出
33、（长宽高） ，再利用按比例分配的方法，即可分别取出长、宽、高的值；从而求得它 的体积 【规范解答】解：120430（厘米） 30(32 1)5（厘米） 5315（厘米） 5210（厘米） 5 15 （厘米） 15 105750（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 750 立方厘米 【名师点评】解答此题的关键是：先据题目条件分别求出长、宽、高，进而可以求出其体积 1 （2019长沙）一个长方体的木块，它的棱长总和是 180 厘米，它的长、宽、高之比是4:4:1现将这个 长方体木块切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】用棱长和除以 4 求出长、宽、高的和，再除以(441
34、)求出一份是多少，再分别乘 4、1 求 出长、宽、高各是多少，再确定把长、宽当作底面，高圆柱的高削的最大 【规范解答】解：1804(44 1) 459 5（厘米） 5420（厘米） 长是 20 厘米、宽是 20 厘米、高是 5 厘米 把2020当作底面，5 厘米是高，这样削成的圆柱最大 20210（厘米） 3.14 10 105 3145 1570（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是 1570 立方厘米 【名师点评】本题比较难，关键是求出长、宽、高，再确定怎样削是最大的 2 （2019长沙模拟）学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有
35、45 人，三个班各植树多少棵？ 【思路分析】由按照三个班级的人数进行分配，首先求得三个班的总人数，进而分别求得三个班应栽树的 棵数占总棵数的几分之几，最后分别求得三个班各应栽树的棵数，列式解答即可 【规范解答】解：474845140 一班植树： 47 560188 140 （棵) 二班植树： 48 560192 140 （棵) 三班植树： 45 560180 140 （棵) 答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵 【名师点评】此题属于比的应用按比例分配的应用题，解决此题关键是先明确要分配的总量是多少，再看 此总量是按照什么比例进行分配的，再用按比例分配的方法解答 3 （2
36、019萧山区模拟）学校运来 280 棵树苗，老师栽种了10%，余下的按4:3:2分配给甲、乙、丙三个 班级，乙班分到多少棵？ 【思路分析】把这些树苗的总棵数(280棵）看作单位“1” ，根据百分数乘法的意义，老师栽种后剩下 280 (1 10%)棵再把老师栽剩下的棵数看作单位“1” ，把它平均分成(342)份，先求出 1 份是多少 棵，再分别求出 4 份（甲班） 、3 份（乙班） 、2 份（丙班）各是多少棵 【规范解答】解：280 (1 10%)(342) 28090%9来源:Zxxk.Com 2529 28（棵) 284112（棵) 28384（棵) 28256（棵) 答：分配给甲班 112
37、 棵、乙班 84 棵、丙班 56 棵 【名师点评】此题考查的知识有百分数乘法的意义及应用、按比例分配也可把比转化成分数，再根据分 数乘法的意义求出各班分得的棵数 4 （2019长沙）用 24 厘米的铁丝围成一个直角三角形，这个三角形三条边长度的比是3:4:5，这个直角 三角形斜边上的高是多少厘米？ 【思路分析】用 24 厘米长的铁丝围成一个直角三角形，也就是这个直角三角形的周长是 24 厘米，已知这 个三角形三条边长度比是5:4:3， 先求出总份数， 再求出各边占周长的几分之几， 分别求出各边的长度 再 根据三角形的面积公式： 1 2 sah，求出这个三角形的面积，进而求出斜边上的高 【规范解
38、答】解：34512（份)， 3 246 12 （厘米） ， 4 248 12 （厘米） ， 5 2410 12 （厘米） ， 1 8624 2 （平方厘米） ， 242104.8（厘米） ； 答：斜边上的高是 4.8 厘米 【名师点评】此题是考查了三角形的周长与面积公式的灵活应用，这里关键是根据三边长度的比和周长求 出两条直角边的长度 考点六：比的应用比的应用 【例 8】（2019武侯区）小明读一本书，已读和未读的页数比为1:5，如果再读 30 页，则已读和未读的 页数之比为3:5，求这本书共多少页？ 【思路分析】把这本书的总页数看作单位“1” ，已经读了这本书页数的 1 15 ，再读 30
39、页，就是这本书页 数的 3 35 ， 即 30 页所占的分率是 3 35 与 1 15 之差， 根据分数除法的意义， 用 30 页除以是 31 () 3515 就是这本书的总页数 【规范解答】解： 31 30() 3515 31 30() 86 5 30 24 144（页) 答：这本书共 144 页 【名师点评】解答此题的关键是把比转化成分数，再根据分数除法的意义解答 1 （2019福田区）甲、乙两人各带了一些钱去买书，甲买书用去 18 元，乙买书用去 24 元，这时两人剩 下的总数与原来总钱数的比是4:7，问：原来两人共带了多少钱？ 【思路分析】通过题意可知：甲买书用去 18 元，乙买书用去
40、 24 元，一共用去182442元，这时两人剩 下的总数与原来总钱数的比是4:7， 那么用去的钱数占总钱数的 43 1 77 ， 故原来两人共带了 3 4298 7 元， 据此解答即可 【规范解答】解： 4 (1824)(1) 7 3 42 7 7 42 3 98（元) 答：原来两人共带了 98 元钱 【名师点评】解答本题的关键是利用两人剩下的总数与原来总钱数的比是4:7求出花费的钱数与原来总钱 数的比是3:7 2 （2019新乡）一个粮仓有三堆袋装白面，第一堆与第二堆重量的比是5:4，第三堆的重量占整个仓库 总重量的 1 3 ，已知第一堆比第二堆多 400 袋这个仓库共有白面多少袋？ 【思路
41、分析】根据题意把第一堆和第二堆的总重量看做 9 份，第一堆比第二堆多一份是 400 袋，可求出第 一堆和第二堆的总重量是400 (54)3600袋，再把这三堆白面的总袋数看做单位“1” ，用单位“1” 减去第三堆所占的分率，就是第一堆和第二堆所占的分率，用分率所对应的量除以分率就可求出总量， 计算即可 【规范解答】解： 1 400(54)(1) 3 1 4009(1) 3 2 3600 3 3 3600 2 5400（袋) 答：这个仓库共有白面 5400 袋 【名师点评】此题关键是把比看作分得的份数，知道一份的量求出总量，再根据分数除法的意义计算 3 （2019河西区）文具店有红色和蓝色两种彩
42、纸，上午卖出了 16 包红色彩纸后，红色彩纸剩下的包数是 蓝色彩纸的 1 2 ； 下午卖出了 24 包蓝色彩纸， 这时蓝色彩纸剩下的包数与红色彩纸剩下的包数的比是2:5 （1）上午卖出红色彩纸后，蓝色彩纸的包数是剩下的红色彩纸的 2 倍 （2）红色和蓝色彩纸原来各有多少包？（写出解答过程） 【思路分析】 （1）下午卖出 24 包蓝色彩纸，此时红色彩纸没再变化；上午买后红色彩纸剩下的包数是蓝 色彩纸的 1 2 ，那么蓝色彩纸就是红色彩纸的 1 12 2 倍； （2）后来蓝色彩纸剩下的包数与红色彩纸剩下的包数的比是2:5，那么此时蓝色彩纸的包数就是红色彩 纸的 2 5 ，减少了红色彩纸的 2 (2
43、) 5 倍，由此用除法求出卖出后 16 张后红色彩纸的数量，再除以 1 2 就是 原来蓝色彩纸的数量，再用红色彩纸卖后剩下的数量加上 16 包，就原来红色彩纸的数量 【规范解答】解： （1） 1 12 2 答：上午卖出红色彩纸后，蓝色彩纸的包数是剩下的红色彩纸的 2 倍 （2） 2 24(2) 5 8 24 5 15（包) 1 1530 2 （包) 151631（包) 答：红色彩纸原来有 31 包，蓝色彩纸原来有 30 包 故答案为：2 【名师点评】解决本题根据下午卖出的只是蓝色彩纸，红色彩纸的数量没再变化，把单位“1”统一，从 而根据分数除法的意义求出上午卖出红色彩纸后的张数，进而求解 4
44、（2019绍兴）甲、乙两地相距 450 千米，快车和慢车分别从两地同时相向开出，经过 2.5 小时相遇，已 知快车和慢车的速度比是3:2，两车的速度各是多少？ 【思路分析】运用路程除以相遇时间就是速度和，用速度和乘以甲车占甲、乙两列火车的速度和的分率， 就是甲的速度，再用它们的速度和减去甲的速度就是乙的速度 【规范解答】解： 3 4502.5 32 3 180 5 108（千米） 4502.5108 180108 72（千米） 答：甲车每小时行驶 108 千米，乙车每小时行驶 72 千米 【名师点评】根据甲、乙两地相距 450 千米，经过 2.5 小时相遇，先求出甲、乙两列火车的速度和是解答
45、本题的关键 5 （2019高邮市）暑期里，李方看一本名著，第一天看了全书的 1 6 ，第二天看了 42 页，这是余下的页数 与已看的页数之比是3:2，这本书一共有多少页？ 【思路分析】第二天后，余下的页数与已看的页数之比是3:2，剩下的页数与全书的页数的比是3:5，则 看的页数是全部的 2 5 ，又第一天看了全书的 1 6 ，则第二天看了全部的 21 56 ，所以全书有 21 42() 56 【规范解答】解： 21 42() 236 21 42() 56 7 42 30 180（页) 答：这本书一共有 180 页 【名师点评】本题考查了比的应用首先根据剩下的页数与全书的页数的比求出前两天看的占
46、总页数的分 率是完成本题的关键 考点七：用比例的方法解决实际问题用比例的方法解决实际问题 【例 9】（2019西吉县模拟）学校食堂买来 1200 千克大米，3 天吃了 150 千克，照这样的吃法，剩下的 几天吃完？（用比例解） 【思路分析】要求剩下的还能吃几天，根据大米的重量天数每天吃的大米的重量（一定） ，即大米的重 量和天数成正比例；然后设剩下的x天吃完，根据题意，列出正比例式子，进行解答即可 【规范解答】解：设剩下的x天吃完，由题意可得： 150:3(1200 150):x 1 5 031 0 5 0 x 21x 答：剩下的 21 天吃完 【名师点评】 此题属于比例的应用题， 解答此类题
47、的方法较多， 应从多方面进行分析， 解答即可得出结论 【例 10】（2019 春简阳市 期中）生产一批零件，计划每天生产 160 个，15 天可以完成，实际每天超产 80 个，可以提前几天完成？（用比例方法解） 【思路分析】根据题意知道，总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式解答即可 【规范解答】解：设可以提前x天完成 160 15(16080)(15) x 160 15240 (15) x 1 6 01 5 15 240 x 1 51 0 x 5x 答：可以提前 5 天完成 【名师点评】解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间和工作量三者的关系，判断哪两种 量成何比例，然后找出对应量，列
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