1、第 7 讲 复合应用题 复合复合应用应用题是由若干个简单问题组成的， 需要两步或两步以上的计算才能算出答案。 复合题是由若干个简单问题组成的， 需要两步或两步以上的计算才能算出答案。 复合 应用题可以把它先分解成几个简单的一步应用题，分别求出间接结果，然后求出最后结果。应用题可以把它先分解成几个简单的一步应用题，分别求出间接结果，然后求出最后结果。 在具体分析解答中，一般采用分析法、综合法或分析综合法，对于比较复杂的问题，可以运在具体分析解答中，一般采用分析法、综合法或分析综合法，对于比较复杂的问题，可以运 用图示法、假设法、转化法等帮助分析。用图示法、假设法、转化法等帮助分析。 知识点一：知
2、识点一：复合应用题的解题方法及解题步骤复合应用题的解题方法及解题步骤 解题方法解题方法 解题步骤解题步骤 分析法分析法 就是从问题入手， 逐步分析题就是从问题入手， 逐步分析题 目中已知条件目中已知条件 1.1.审题：审清题意，并找出已知条件和所求审题：审清题意，并找出已知条件和所求 问题；问题； 2.2.分析：分析题目的数量间的关系，从而确分析：分析题目的数量间的关系，从而确 定先算什么，再算什么最后算什么；定先算什么，再算什么最后算什么； 3.3.列式计算：列出算式，算出得数；列式计算：列出算式，算出得数；4 4，检验，检验 作答：进行检验，写出答案。作答：进行检验，写出答案。 综合法综合
3、法 就是从应用题的已知条件， 逐就是从应用题的已知条件， 逐 步推向末知，直到求出解步推向末知，直到求出解 来源来源:Zxxk.Com:Zxxk.Com 分析综合法分析综合法 就是将分析法， 综合法结合起就是将分析法， 综合法结合起 来交替使用的方法来交替使用的方法 知识点二：知识点二：一般一般复合应用题中常见的数量关系复合应用题中常见的数量关系 类型类型 数量关系数量关系 类型类型 数量关系数量关系 价钱问题价钱问题 单价单价数量数量= =总价总价 总价总价数量数量= =单价单价 总价总价单价单价= =数量数量 产量问题产量问题 单产量数量单产量数量= =总产量总产量 总产量总产量数量数量=
4、 =单产量单产量 总产量总产量单产量单产量= =数量数量 行程问题行程问题 速度时间速度时间= =路程路程 路程路程时间时间= =速度速度 路程路程速度速度= =时间时间 收支问题收支问题 收入收入- -支出支出= =结余结余 收入收入- -结余结余= =支出支出 支出支出+ +结余结余= =收入收入 工程问题工程问题 工作效率工作时间工作效率工作时间= =工作总量工作总量 工作总量工作总量工作时间工作时间= =工作效率工作效率 工作总量工作总量工作效率工作效率= =工作时间工作时间 打折问题打折问题 现价现价原价原价= =折数折数 原价折数原价折数= =现价现价 现价现价折数折数= =原价原
5、价 知识点三：知识点三：典型应用题典型应用题 类型类型 特征特征 数量关系数量关系 关键点关键点 平均数问平均数问 题题 已知几个不相等的同类数量以及份已知几个不相等的同类数量以及份 数，求每份数数，求每份数 总数量总份数总数量总份数= =平均数平均数 找准总数量找准总数量 和总份数和总份数 归一问题归一问题 题中每份的量保持不变，解题时先题中每份的量保持不变，解题时先 求出不变的单位量，再求未知量求出不变的单位量，再求未知量 总数量份数总数量份数= =单位量单位量 单位量单位量份数单位量单位量份数= =总数量总数量 总数量单位量总数量单位量= =单位量份数单位量份数 确定不变的确定不变的 每
6、份量每份量 归总问题归总问题 题中的总量保持不变，解题时先求题中的总量保持不变，解题时先求 总量，再求未知量总量，再求未知量 每份量份数每份量份数= =总数量总数量 确定不变的确定不变的 总数量总数量 相遇问题相遇问题 两个物体同时做相向运动，经过一两个物体同时做相向运动，经过一 段时间后在途中相遇段时间后在途中相遇 速度和速度和相遇时间相遇时间= =路程路程 路程速度和路程速度和= =相遇时间相遇时间 路程相遇时间路程相遇时间= =速度和速度和 弄清物体运弄清物体运 动的方向和动的方向和 时间等时间等 追及问题追及问题 两个物体同时做同向运动，后者在两个物体同时做同向运动，后者在 一段时间内
7、追及前者一段时间内追及前者 路程差速度差路程差速度差= =追及时间追及时间 速度差追及时间速度差追及时间= =路程差路程差 来源来源 路程差追及时间路程差追及时间= =速度差速度差 弄清物体运弄清物体运 动的方向和动的方向和 时间等时间等 水中行船水中行船 问题问题 一般船是匀速运动，水速在船逆行一般船是匀速运动，水速在船逆行 和顺行中的作用不同和顺行中的作用不同 顺水速度顺水速度= =船速船速+ +水速水速 逆水速度逆水速度= =船速船速- -水速水速 船速船速= =（顺水速度（顺水速度+ +逆水速度）逆水速度）2 2 水速水速= =（顺水速度（顺水速度- -逆水速度）逆水速度）2 2 分清
8、是顺水分清是顺水 速度还是逆速度还是逆 水速度水速度 过桥问题过桥问题 涉及车长、桥长等问题涉及车长、桥长等问题 路程路程= =桥长桥长+ +车长车长 路程速度路程速度= =时间时间 分清路程是分清路程是 否包含车长否包含车长 和差问题和差问题 已知两个量的和与差，求这两个量已知两个量的和与差，求这两个量 较大数较大数= =（和十差）（和十差）2 2 较小数较小数= =（和一差）（和一差）2 2 移多补少移多补少 和倍问题和倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关已知两个量的差及两个量的倍数关 系，求这两个量系，求这两个量 和（倍数和（倍数+1+1）=1=1 倍的量倍的量 确定哪个量确定哪个量
9、是是 1 1 倍的量倍的量 差倍问题差倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关已知两个量的差及两个量的倍数关 系，求这两个量系，求这两个量 差（倍数差（倍数- -1 1）=1=1 倍的量倍的量 确定哪个量确定哪个量 是是 1 1 倍的量倍的量 年龄问题年龄问题 有关人的岁数问题，常与和倍、差有关人的岁数问题，常与和倍、差 倍等问题结合在一起倍等问题结合在一起 参照和倍、差倍的数量关系参照和倍、差倍的数量关系 年龄差始终年龄差始终 保持不变保持不变 类型类型 特征特征 数量关系数量关系 关键点关键点 盈亏问题盈亏问题 一定数量的物品分成若干份，在不一定数量的物品分成若干份，在不 同的分配中，有余（
10、盈）或不足同的分配中，有余（盈）或不足 （亏） ，已知余或不足的数量，求物（亏） ，已知余或不足的数量，求物 品的总数或份数品的总数或份数 （盈数（盈数+ +亏数）两次分得的差亏数）两次分得的差= =份数份数 找出两次分找出两次分 得的差与盈得的差与盈 亏的总数亏的总数 鸡兔同笼鸡兔同笼 问题问题 已知鸡与兔的总头数和总腿数，求已知鸡与兔的总头数和总腿数，求 鸡与兔各有多少只的应用题鸡与兔各有多少只的应用题 兔的只数兔的只数= =（总腿数（总腿数- -2 2总头数）总头数）2 2 鸡的只数鸡的只数= =（4 4总头数总头数- -总腿数）总腿数）2 2 假设法、方假设法、方 程法程法 植树问题植
11、树问题 不封闭不封闭 图形图形 两端都植树两端都植树 棵数棵数= =段数段数+1+1 分清封闭还分清封闭还 是不封闭，是不封闭， 两端都植树两端都植树 还是都不植还是都不植 两端都两端都不不植树植树 棵数棵数= =段数段数- -1 1 封闭图形封闭图形 在圆、 正方形等边上植在圆、 正方形等边上植 树树 棵数棵数= =段数段数 说明：分数百分数应用题放在第说明：分数百分数应用题放在第 1 10 0 讲主讲讲主讲；工程问题放在第工程问题放在第 1 11 1 讲主讲讲主讲；行程问题（相遇，行程问题（相遇， 追及，流水行船，火车过桥）放在第追及，流水行船，火车过桥）放在第 1 12 2 讲主讲讲主讲
12、；列方程解应用题放在第列方程解应用题放在第 8 8 讲主讲，比和比例讲主讲，比和比例 应用题放在第应用题放在第 9 9 讲主讲讲主讲；经济问题放在第经济问题放在第 1 13 3 讲主讲讲主讲；本讲重点复习讲解平均数问题、归一归本讲重点复习讲解平均数问题、归一归 总问题、和差倍问题、总问题、和差倍问题、盈亏问题、盈亏问题、年龄问题、年龄问题、鸡兔同笼问题、植树问题鸡兔同笼问题、植树问题 考点一：归一归总问题归一归总问题 【例 1】（2019株洲）学校用地砖铺会议室地面用每块面积是 9 平方分米的地砖，需要 320 块才能铺 满；如果改用边长是 4 分米的正方形地砖，需要多少块才能铺满？ 【思路分
13、析】根据铺的面积相等来解答先求出铺的总面积，再除以边长为 4 分米的每块方砖的面积 【规范解答】解：9320（44） 932016 180（块） 答：需要 180 块才能铺满 【名师点评】此题抓住不变量来解答，因为铺的面积不变，先求出总面积，用总面积除以边长为 4 分米 的每块方砖的面积即可 【例 2】（2019北海校级模拟）一台织布机 3 小时织布 5.4 米，照这样计算，如果再织 2 小时，一共可 织布多少米？（用两种方法解，其中一种用比例解） 【思路分析】 （1）根据题意知道，织布机的工作效率一定，那工作量和工作时间成正比例，由此列比例 解答即可 （2）先求出每小时的工作效率，然后乘总的
14、工作时间即可 【规范解答】解： 方法一： 设一共可以织布 x 米，来源:Zxxk.Com 5.4：3x： （3+2） ， 3x5.4（3+2） ， 3x5.45， x9， 答：一共可以织布 9 米 方法二： 5.43（3+2） ， 5.435， 9（米） ， 答：一共可以织布 9 米 【名师点评】 （1）解答此题的关键是，根据题意和工作量，工作效率与工作时间的关系，判断哪两种量 成何比例，列出比例，解答即可 （2）求出工作效率是解决本题的关键 1 （2019长沙模拟）春雨面粉厂加工面粉，已知 100 千克小麦可磨面粉 75 千克，照这样计算，10 吨小麦 可磨面粉多少千克 【思路分析】用面粉的
15、总质量除以小麦的质量，即可求出平均每千克小麦可磨面粉多少千克；先把 10 吨化成 10000 千克，然后乘上每千克小麦可磨面粉的质量即可求解 【规范解答】解：751000.75（千克） 10 吨10000 千克 0.75100007500（千克） 答：10 吨小麦可磨面粉 7500 千克 【名师点评】解决本题关键是求出不变的量，即每千克小麦可磨面粉的质量，再进一步求解 2 （2019衡水模拟）一间教室要用方砖铺地，用面积是 0.09 平方米的方砖需要 720 块，如果改用面积是 0.16 平方米的方砖，那么需要多少块？ 【思路分析】根据一间教室的面积一定，一块方砖的面积方砖的块数一间教室的面积
16、（一定） ，由 此判断一块方砖的面积与方砖的块数成反比例，设出未知数，列出比例解答即可 【规范解答】解：设改用面积是 0.4 平方米的方砖需要 x 块，则： 0.16x0.09720 0.16x6.48 x405 答：需要 405 块 【名师点评】此题首先判定两种量成反比例，再设出未知数，列出比例式进行解答即可 3 （2019湘潭模拟）洗衣机门市部，上午卖出洗衣机 5 台，比下午多卖出 2 台同样的洗衣机，下午比上 午少收售货款 3780 元，上下午共收售货款多少元？ 【思路分析】 上午比下午多卖出 2 台同样的洗衣机， 上午比下午多收款 3780 元， 用这个钱数除以 2 台， 求出每台的钱
17、数，再用上午卖出的台数减去 2 台，求出下午卖出的台数，进而求出一共卖出的台数，再 用每台的钱数乘上午下午一共卖出的台数，即可求出上下午共收售货款多少元 【规范解答】解：37802（52+5） 18908 15120（元） 答：上下午共收售货款 15120 元 【名师点评】解决本题先根据单价总价数量，求出不变的单价，再根据总价单价数量求解 4 （2019太仓市）小芳读一本故事书，每天读 15 页，12 天可以读完如果每天读 18 页，几天可以读完？ （列方程解答） 【思路分析】设 x 天可以读完，先用 1512 求出这本故事书的总页数，列出方程解答即可 【规范解答】解：设 x 天可以读完， 1
18、8x1512 18x180 x10 答：10 天可以读完 【名师点评】解答此题的关键是求出这本故事书的总页数，列出方程解答即可 考点二：平均数问题平均数问题 【例 3】（2019保定模拟）在抗震救灾的日子里，解放军张叔叔前 4 天在一线共奋战了 74 小时，后 3 天平均每天在一线工作 15 小时，这一周，张叔叔平均每天在一线工作多少小时？ 【思路分析】根据题意可以求出张叔叔在 7 天一共工作了几小时，用总的小时数除以总天数，就是要求 的答案 【规范解答】解： （74+153）（4+3） ， （74+45）7， 1197， 17（小时） ； 答：这一周，张叔叔平均每天在一线工作 17 小时 【
19、名师点评】此题是典型的解答平均数应用题，关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数 【例 4】（2019南昌）朝阳小学五年级有两个班，一班有 51 人，二班有 49 人，期中考试两个班全体同 学的平均成绩是 81 分， 已知二班的平均成绩比一班的平均成绩高 7 分， 那么二班的平均成绩是多少分？ 【思路分析】先用“51+49100”求出两个班的总人数，进而根据“平均成绩总人数总成绩”求出 两个班全体同学的总成绩，为：100818100 分，假设二班和一班的平均成绩一样高，那么两个班全 体同学的总成绩为：81004977757 分；进而用“7757100”求出一班的平均成绩，进而得出二 班的
20、平均成绩 【规范解答】解：一班：（51+49）81497（51+49） 8100343100 77.57（分） 二班：77.57+784.57（分） 答：二班的平均成绩是 84.57 分 【名师点评】求出假设二班和一班的平均成绩一样高时，两个班全体同学的总成绩，进而求出一班的平 均成绩，是解答此题的关键所在 1 （2019武汉）王飞到山上图书馆借书，他上山每小时行 3 千米，从原路返回，每小时行 6 千米求他 上下山的平均速度 【思路分析】 把王飞上山的路程看作单位 “1” ， 用 13 求出他上山的时间， 再用 16 求出下山的时间， 最后用上下山的总路程除以上下山的时间就是上下山的平均速度
21、 【规范解答】解： （1+1）（13+16） 2（1 3 + 1 6） 2 1 2 4（千米） ； 答：他上下山的平均速度是 4 千米 【名师点评】此题主要考查了平均速度的计算方法，即往返的总路程往返的总时间平均速度 2 （2019郑州模拟）一列火车从甲地开往乙地返回时，速度提高1 5，结果提前 1 小时到达甲地甲、乙两 地相距 440 千米，求这列火车的往返平均速度 【思路分析】 把从甲地到乙地的速度看作 “1” ， 则返回时的速度为 1+ 1 5 = 6 5， 则往返的速度比为 1： 6 5 =5： 6， 路程一定，往返的用时之比是速度之比的反比，即往返的用时之比为 6：5这列火车去时用时
22、为 1（6 5）66（小时） ，返回时用时 615（小时） ，根据“速度路程时间” ，用从甲地到乙地的往 返回程除以（6+5）就是这列火车的平均速度 【规范解答】解：往返速度比1： （1+ 1 5）1： 6 5 =5：6 因为甲、乙两地的距离一定，时间与速度成反比， 所以往返的用时之比为 6：5 去时用时 1（65）6 116 6（小时） 反回时用时 615（小时） 4402（6+5） 88011 80（千米/小时） 答：这列火车的往返平均速度 80 千米/小时 【名师点评】平均速度总路程总时间关键是根据已知条件求出这列火车往返的时间 3 （2019华亭县模拟）李叔叔骑自行车到县城去买东西，去
23、时因有上坡路速度是 12 千米/小时，1.5 小时 到达；原路返回时因有下坡路速度是 18 千米/小时，李叔叔往返的平均速度是多少？ 【思路分析】根据公式速度时间路程可用 12 乘 1.5 计算出到县城的路程，然后再利用公式路程 速度时间求出返回时用的时间，最后用往返的总路程除以总时间即可求出往返的平均速度 【规范解答】解：121.52（1.5+121.518） 362.5 14.4（千米/时） ； 答：李叔叔往返的平均速度是 14.4 千米/时 【名师点评】此题主要考查的是公式速度时间路程的灵活应用，注意往返的路程是相等的来源:Zxxk.Com 4 （2019广汉市校级模拟）达朗在期末考试时
24、，英语成绩公布之前四门功课的平均成绩是 90 分，英语成 绩公布后他的平均成绩上升了 2 分，达瓦的英语考了多少分？ 【思路分析】 根据题意可知； 五门成绩的平均分是 90+292 分， 即可求出五门总成绩： 925460 分， 前四门功课的平均成绩是 90 分， 即可求出四门功课的总成绩 904360 分， 再用五门功课的总成绩 四门功课的总成绩英语成绩 【规范解答】解： （90+2）5904， 460360， 100（分） ， 答：达瓦的英语考了 100 分 【名师点评】此题是有关平均数的综合运用题，根据平均数求总数，再根据总数差求出多的那个数 考点三：和差倍问题和差倍问题 【例 5】（2
25、019云岩区）两个粮库共有粮食 420 吨从甲粮库取出 30 吨粮食放入乙粮库，两个粮库的粮 食就同样多原来两个粮库各有粮食多少吨？（先把线段图补充完整，再解答） 【思路分析】从甲粮库取出 30 吨粮食放入乙粮库，两个粮库的粮食就同样多，可得甲粮库比乙粮库多 60 吨，用两个粮库共有粮食 420 吨减 60 吨，除以 2 即可得乙粮库存粮，再求甲粮库存粮即可 【规范解答】解：如图： （420302）2 （42060）2 3602 180（吨） ， 420180240（吨） ， 答：甲粮库有粮食 240 吨，乙粮库有粮食 180 吨 【名师点评】本题考查了和差问题，用到（两数和两数差）2小数，关
26、键是得出甲粮库比乙粮库 多 60 吨 【例 6】（2019郑州）中原领航实验学校开展了综合课程学习，七年级某班有 34 名同学分别到河南省博 物馆和郑州市科技馆进行学习，到河南省博物馆的人数是到郑州市科技馆的人数的 2 倍多 1 人，求到 两个地点学习的同学各有多少名？ 【思路分析】设郑州市科技馆的人数为 x 人，则到河南省博物馆的人数为 2x+1 人，根据等量关系：到 河南省博物馆的人数+到郑州市科技馆的人数七年级总人数 34 人， 列方程解答即可得出到郑州市科技 馆的人数，再求到河南省博物馆的人数即可 【规范解答】解：设郑州市科技馆的人数为 x 人，则到河南省博物馆的人数为 2x+1 人，
27、 2x+1+x34 3x33 x11 341123（名） 答：到郑州市科技馆 11 名，到河南省博物馆 23 名 【名师点评】本题考查了和倍问题，关键是根据等量关系：到河南省博物馆的人数+到郑州市科技馆的 人数七年级总人数 34 人列方程 1 （2019大东区）有两条纸带，一条长 21 厘米，一条长 13 厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后 发现长纸带剩下的长度是短纸带剩下的长度的 2 倍，问剪下的一段有多长？ 【思路分析】本题可列方程解答，设剪下的一段有 x 厘米，则长纸带还剩下 29x 厘米，短纸带还剩下 13x 厘米，又知道长纸带剩下的长度是短纸带剩下的长度的 2 倍，由此可得方程2
28、1 13 =2，解此方程 即可 【规范解答】解：设剪下的一段有 x 厘米，可得方程： 21 13 =2 21x2（13x） x5 答：剪下的一段有 5 厘米长 【名师点评】通过设未知数，根据已知条件列出等量关系式是完成本题的关键 2 （2019宿迁模拟）水果店有两箱苹果，第一箱的质量是第二箱的 4 倍如果从第一箱拿 7.5 千克苹果放 入第二箱，则两箱苹果的质量一样多原来两箱苹果各有多少千克？ 【思路分析】如果从第一箱拿 7.5 千克苹果放入第二箱，则两箱苹果的质量一样多，那么原来第一箱比 第二箱多 7.5215 千克，又第一箱的质量是第二箱的 4 倍，根据差倍公式进行解答 【规范解答】解：
29、（7.52）（41） 153 5（千克） 5420（千克） 答：原来第一箱苹果有 20 千克，第二箱有 5 千克 【名师点评】本题关键是求出两箱苹果的质量差，然后再根据差倍公式差（倍数1）较小数进行 解答 3 （2019衡水模拟）一种商品随季节出售，如果按现价降低 10%，每件仍可盈利 200 元；如果按现价降 低 20%，则每件亏损 220 元这种商品每件的进价是多少元？ 【思路分析】要求这种商品的进价是多少元，应先求出这种商品的定价，根据前后价格之差和分率之差 即可求出定价，即从降价 10%到降价 20%，商品的销售就从每件盈利 200 元到每件亏损 220 元，相差 200+220420
30、（元） ，每件现价为 42010%4200（元） ，再由每件现价的（110%）减去盈利的 200 元就是每件进价了 【规范解答】解： （200+220）（20%10%） 42010% 4200（元） 4200（110%）200 420090%200 3780200 3580（元） 答：这种商品每件的进价是 3580 元 【名师点评】根据盈亏问题的解法求出定价是解答此题的关键 考点四：盈亏问题盈亏问题 【例 7】（2019雨花区）育才小学学生乘汽车去春游，如果每车坐 65 人，则有 15 人不能乘车如果每 车多坐 5 人，恰好多余一辆车有多少个学生去春游？ 【思路分析】 每车多坐 5 人， 也就
31、是每车坐 65+570 人， 恰好多余了一辆车， 也就是还差一辆车的人， 即 70 人因此，问题转化为：如果每车坐 65 人，则有 15 人不能乘车如果每车坐 70 人，则还差 70 人求有多少人和多少辆汽车 【规范解答】解 （15+65+5）5 855 17（辆） 6517+15 1105+15 1120（人） 答：一共有 1120 个学生去春游 【名师点评】解答此题的关键是，根据题意，将问题转化为我们比较熟悉的题型，即可解决 1 （2019重庆）有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减 少一条船，正好每条船坐 9 人问这个班共有多少名同学？ 【思路分
32、析】根据“增加一条船，正好每条船坐 6 个人；如果减少一条船，每条船必须坐 9 个人” ，即 “每条船坐 6 个人，余 6 人；如果每条船坐 9 个人，少 9 人” ，得出：相差 6+915 人，每条船的人数 相差（96）人，用 1535 求出船的条数，然后根据题意，进一步求出这个班的人数 【规范解答】解： （6+9）（96） 153 5（条） ； 6（5+1）36（人） 或 9（51）36（人） ； 答：这个班共有 36 人 【名师点评】本题是典型的盈亏问题，关键是根据少的人数的和，与每条船上少坐的人数的差，求出原 计划租的船数 2 （2019徐州）用一根绳子测量一口枯井的深度，把绳子对折一
33、次量，井外多 6 米，把绳子对折两次量， 井外多 1 米井深多少米？绳子长多少米？ 【思路分析】由题意可知，绳子长度的1 2比井深多 6 米，长度的 1 4比井深多 1 米，所以绳长的 1 2比它的 1 4多 5 米，因此绳长：5（1 2 1 4）20（米） ；井深：20 1 2 6，计算即可 【规范解答】解：绳长： （61）（1 2 1 4） ， 5 1 4， 20（米） ； 井深： 2026， 106 4（米） ； 答：井深 4 米，绳子长 20 米 【名师点评】此题也可用方程解答，设井深为 x 米：由题意得 2（x+6）4（x+1） ，解得 x4绳长： 2（4+6）20（米） 3 （20
34、19绵阳）妈妈给一批上衣缝纽扣，如果每天缝 15 件，就比规定的工期晚 2 天完成；如果每天缝 18 件，就可比规定的工期提前 3 天完成这批上衣共多少件？ 【思路分析】把这批上衣的数量看作单位“1” ，如果每天缝 15 件，需要的时间是 1 15，每天缝 18 件， 需要的时间是 1 18，则每天缝 15 件和 18 件所需时间的差是 1 15 1 18，实际的时间差为 2+35，根据时间 差求出这批上衣的数量，即 【规范解答】解： （2+3）（ 1 15 1 18） ， 5 1 90， 590， 450（件） ； 答：这批上衣共 450 件 【名师点评】此题在解答时，运用了盈亏问题的解法，
35、即（亏数+盈数）两次分物数量的差（时间差） 分物份数（上衣数量） 4 （2019天津模拟） 学校分配寝室 如果每间住 6 人， 还有 20 人没有床位， 如果每间住 8 人， 正好住满 学 生宿舍有多少间寝室？ 【思路分析】如果每个房间住 6 人，则还有 20 人没有床位，即盈 20 人；如果每个房间住 8 人，那么房 间正好住满；两次分配的差为 86，人数差为 20，根据盈亏问题公式可知共有寝室 20（86）10 间；据此解答 【规范解答】解：20（86） 202 10（间） 答：学生宿舍有 10 间寝室 【名师点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二
36、是每 份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额每份的差额 总份数 5 （2019西安模拟）学校安排新生住宿，若每间宿舍住 6 人，则多出 34 人；若每间宿舍住 7 人，则多出 4 间宿舍，求住宿舍的学生有多少人？（列方程解应用题） 【思路分析】设学生宿舍有 x 间，根据等量关系：若每间宿舍住 6 人，便有 34 人没有住处，若每间宿 舍住 7 人，则多出 4 间宿舍，列出方程求解即可 【规范解答】解：设学生宿舍有 x 间， 6x+347（x4） 6x+347x28 6x+346x7x286x 34x28 34+28x28+28 x62； 662+34 3
37、72+34 406（人） ； 答：住宿舍的学生有 406 人 【名师点评】考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是列方程解应用题的关键 6 （2019江西模拟）神童幼儿园里买来一些玩具，如果每班分 8 个玩具，就多出 2 个玩具，如果每班分 10 个玩具，就少 12 个玩具，幼儿园里有多少个班？ 【思路分析】根据题意知：每班多发 1082 个玩具，则就需要 2+1214 个玩具，据此可求出班数 【规范解答】解： （2+12）（108） ， 142， 7（个） ， 答：幼儿园有 7 个班 【名师点评】本题属于盈亏问题，关键是根据“ （盈+亏）两次分的玩具数差”求出班数 考点五：年龄问题年龄问
38、题 【例 8】（2019长沙）小聪 7 岁时，他的爸爸 37 岁，当小聪的年龄是爸爸年龄的2 3时，爸爸多少岁？ 【思路分析】小聪与他爸爸的年龄差不变，都是 37730 岁；把要求的爸爸的年龄看成单位“1” ，它 的（1 2 3）就是年龄差 30 岁，由此用除法求出爸爸的年龄 【规范解答】解： （377）（1 2 3） 30 1 3 90（岁） 答：当小聪的年龄是爸爸年龄的2 3时，爸爸 90 岁 【名师点评】本题的关键是找出单位“1” ，再根据年龄差不变，找出数量对应了单位“1”的几分之几， 再用除法就可以求出单位“1”的量 1 （2019宜昌）兄弟二人三年后的年龄和是 26 岁，弟弟今年的
39、年龄恰好是兄弟二人年龄差的 2 倍请问 3 年后兄弟二人各几岁？ 【思路分析】三年后两个人一共增加了 3+36 岁，那么今年的年龄和是 26620 岁，把年龄差看作 1 倍的量，则弟弟今年的年龄就是 2 倍的量，哥哥的年龄就是 2+13 倍的量，则 20 岁相当于年龄差的 2+2+15 倍，由此求出年龄差为：2054（岁） ， 然后根据和差问题的解答方法即可求出 3 年后兄弟二人各几岁 【规范解答】解：年龄差： （2633）（2+2+1） 205 4（岁） 哥哥： （26+4）2 302 15（岁） 弟弟：261511（岁） 答：3 年后哥哥 15 岁，弟弟 11 岁 【名师点评】解答年龄问题
40、解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数） ，而倍数却是每年都在变化的 这个关键 一般解答方法是： 几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄； 几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差 2 （2019渝北区）今年小玲和妈妈岁数之和正好是 60 岁，小玲的岁数是妈妈的 1/4，小玲和妈妈今年各 有多少岁？ 【思路分析】根据题干分析可得，把小玲和妈妈的年龄之和平均分成 5 份，则小玲的年龄是其中的 1 份，则妈妈的年龄就是 4 份，由此求出 1 份是多少，即可得出小玲的年龄，进而解答问题 【规范解答】解：小玲的年龄是：60512（岁） ， 则妈妈的年龄是：601248（岁） ， 答：小玲 12 岁，妈妈 48 岁
41、【名师点评】根据题干得出小玲与妈妈的年龄的倍数关系，利用和倍公式即可解答 3 （2019海门市校级模拟）今年小亮和爸爸的年龄和是 37 岁，其中爸爸的年龄比小亮的 3 倍多 1 岁小 亮今年几岁？ 【思路分析】爸爸的年龄减少 1 岁，那么正好是小亮年龄的 3 倍，年龄和就是 37136 岁，相当于小 亮年龄的 3+14 倍，用除法求出小亮的年龄即可 【规范解答】解： （371）（3+1） 364 9（岁） 答：小亮今年 9 岁 【名师点评】本题考查了年龄问题与和倍问题的综合应用，关键是找到数量和与它对应的倍数和，从而 求出一倍的量 4 （2019广州模拟）老张问了小李的年龄后，老张说： “当你
42、到我现在的年龄时，咱们的年龄之和是 72 岁，在我是你现在的年龄时，你的年龄刚好是我现在的五分之一 ”问：两人现在各多少岁？ 【思路分析】根据老张说的话，把老张现在的年龄看作单位“1” ，那么老张现在的年龄相当于 5 份，则 年龄差相当于（51）22 份；所以当“当你到我现在的年龄时，咱们的年龄之和是 72 岁， ”时， 老张的年龄是现在年龄的5+2 5 ，小李的年龄老张现在的年龄，所以老张：72（1+ 7 5）30（岁） ， 小李：30（1 2 5）18（岁） 【规范解答】解：老张：72（1+ 5+2 5 ） ， 72（1+ 7 5） ， 30（岁） ； 小李：30（1 2 5）18（岁）
43、； 答：老张现在 30 岁，小李现在 18 岁 【名师点评】解题关键是弄清题意，找准两人的年龄差是多少份关键是要认识到两人的年龄差始终不 变 考点六：植树问题植树问题 【例 9】（2019长沙）某中学对校园主干道进行绿化，计划把道路的一侧全部栽上银杏树要求路的两 端都栽一棵，并且每相邻两棵树的间隔相等如果每隔 5 米栽一棵，则树苗缺 21 棵；如果每隔 6 米栽 一棵，则树苗正好用完这条道路共多长？ 【思路分析】 由题意， 设原有树苗 x 棵， 如果每隔 5 米栽一棵， 则树苗缺 21 棵， 那么道路全长为 5 （x+21 1）米；如果每隔 6 米栽一棵，则树苗正好用完，那么道路全长为 6（x
44、1）米；根据道路的全长不 变列出方程，求出树苗的棵数，进而求得道路的全长即可 【规范解答】解：设原有树苗 x 棵，由题意可得： 6（x1）5（x+211） 6x65x+100 6x5x100+6 x106 （1061）6 1056 630（米） 答：这条道路共 630 米长 【名师点评】 解答此题关键是明确植树线路的两端都要植树， 那么植树的棵数应比要分的段数多 1， 即： 棵数间隔数+1 【例 10】（2019岳阳模拟）城东新区新修了一条道路，全长 1500 米，在这条道路的一侧从头到尾每隔 60 米安装一盏路灯，相邻两盏路灯之间等距离地栽 2 株侧柏 （1）共栽种了多少株侧柏？ （2）相邻
45、两株侧柏之间间隔多少米？ 【思路分析】 （1）先求出 1500 米里面有几 60 米，即有几个间隔，最后一端还要安装一盏，由此再乘 2 就是共栽种了多少株侧柏； （2）相邻两盏路灯之间等距离地栽 2 株侧柏，即 60 之间栽 2 棵，相当于 2+13 个间隔，然后再除 60 即可 【规范解答】解： （1）1500602 252 50（株） 答：共栽种了 50 株侧柏 （2）60（2+1） 603 20（米） 答：相邻两株侧柏之间间隔 20 米 【名师点评】如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1，即：棵数间隔数 +1如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少
46、 1，即：棵数间隔数1 1 （2019杭州模拟）园林工人计划在一条公路的一旁种 37 棵树，每相邻两棵树间隔 5 米实际栽种了 46 棵树（两端的树不动） ，实际每相邻两棵树间隔多少米？ 【思路分析】因为计划在一条公路的一旁种 37 棵树，每相邻两棵树间隔 5 米，间隔数植树棵数1， 所以公路的长度是 5（371）180（米） ；实际栽种了 46 棵树（两端的树不动） ，然后除以间隔数 有 46145 个，即可解答 【规范解答】解：5（371） 536 180（米） 180（461） 18045 4（米） 答：实际每相邻两棵树间隔 4 米 【名师点评】如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数
47、应比要分的段数多 1，即：棵数间隔数 +1 2 （2019萧山区模拟）奥运会男子 110 米栏共有 10 个栏架，每两个栏架间距离相等其中第一个栏架距 离起跑线为 13.72 米， 最后一个栏架距离终点线为 14.02 米， 那么每两个栏架之间的距离是多少米？ （提 示：在草稿纸上先画一下草图） 【思路分析】根据题意可知，10 个栏架之间的距离是相等的，利用植树问题公式，10 个栏架之间有 9 个空，则每个空之间的距离为： （11014.0213.72）99.14（米） 【规范解答】解：如图： （11014.0213.72）9 82.269 9.14（米） 答：每两个栏架之间的距离是 9.14
48、 米 【名师点评】本题主要考查植树为题，关键知道栏架和栏架之间的空之间的数量关系 3 （2019延边州）原计划沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻两根的间距是 50 米后来实际只埋了 201 根，求实际每相邻两根的间距 【思路分析】根据题意，埋电线杆 301 根，有 3011300 个间隔，乘上每相邻两根的间离是 50 米， 可以求出这条路的距离；实际只埋了 201 根，有 2011200 个间隔，用路长除以实际的间隔数，就是 实际的间隔距离 【规范解答】解： 路长： （3011）5015000（米） ； 实际间隔距离：15000（2011）75（米） 答：实际每相邻两根的间距是 75 米 【名师点评】关键是根据两端植树问题，由原来的间隔距离和埋电线杆的根数，求出这条路的距离，然 后再进一步解答即可注意两端植树问题中，植树棵数
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