1、 专题专题 08 相等关系和不等关系相等关系和不等关系 【2021 年】年】 一、【2021浙江高考】若实数 x，y 满足约束条件 10 0 2310 x xy xy ，则 1 2 zxy的最小值是（ ） A. 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 10 【答案】B 【解析】 【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22yxz，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y轴 上截距的最大值即可. 【详解】画出满足约束条件 10 0 2310 x xy xy 的可行域， 如下图所示： 目标函数 1 2 zxy化为22yxz， 由 1 2310 x xy ，解得 1 1 x y ，设( 1,1)A
2、， 当直线22yxz过A点时， 1 2 zxy取得最小值为 3 2 . 故选：B 二、【2021江苏高考】若过点(,)可以作曲线 = 的两条切线，则( ) A. B. C. 0 D. 0 0恒成立， 函数的图象如图， 0，即取得坐标在 x 轴上方， 如果(,)在 x轴下方，连线的斜率小于 0，不成立 点(,)在 x 轴或下方时，只有一条切线 如果(,)在曲线上，只有一条切线； (,)在曲线上侧，没有切线； 由图象可知(,)在图象的下方，并且在 x轴上方时，有两条切 线，可知0 0的解集是( ) A. (1,1) B. (,1) (1,+) C. (0,1) D. (,0) (1,+) 【答案】
3、D 【知识点】不等式求解、函数图象的应用 【解析】 【分析】 本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于基础题 不等式即2 + 1.由于函数 = 2和直线 = + 1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论 【解答】 解：不等式() 0，即2 + 1 由于函数 = 2和直线 = + 1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示： 不等式() 0的解集是(,0) (1,+)， 故选：D 二、【2020浙江高考】若实数 x，y 满足约束条件 3 + 1 0 + 3 0 ，则 = + 2的取值范围是( ) A. (,4- B. ,4,+) C. ,5,+) D. (,+)
4、 【答案】B 【知识点】范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】【解析】 本题考查简单的线性规划，属于基础题 作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图形判断目标函数 = + 2的取值范围 【解答】 解：作出实数 x，y满足约束条件 3 + 1 0 + 3 0 对应的平面区域，如图： 将目标函数变形为 = 1 2 + 2， 则 z 表示直线在 y轴上截距的二倍，纵截距越大，z越大， 当目标函数过点(2,1)时，纵截距最小，此时 = 2 + 2 = 4， 故目标函数 = + 2的取值范围是,4,+) 故选：B 【2020浙江高考】已知 a， 且 a， 0，若( )
5、( )( 2 ) 0在 0上恒成立，则( ) A. 0 C. 0 【答案】C 【知识点】不等式的恒成立问题、分类讨论思想 【解析】 【分析】 本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题 先由 = 0时， 不等式(2 ) 0恒成立， 可得1 + 2 0， 则,至少有一个是小于 0的， 再按 0, 0， 0， 0, 0，讨论可得结论 【解答】 解：由题意知， = 0时，不等式(2 ) 0恒成立，即(2 + ) 0， 0，可得1 + 2 0，则,至少有一个是小于 0 的， (1)若 0, 0， 0， 2 0， ( )( )( 2 ) 0在 0时恒成立，符合题意； (2)若 0，
6、 2 + 0， ( )( )( 2 ) 0在 0上恒成立， 则 = 2 + ， 得 = 0， 矛盾，不符合题意 (3)若 0, 0，2 + 0， ( )( )( 2 ) 0在 0时恒成立，则 = 2 + ，则 + = 0，符合题意 综合， 0， 0，且 = 1，则 1 2 + 1 2 + 8 :的最小值为_ 【答案】4 【知识点】由基本不等式求最值或取值范围 【解析】 【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，考查运算转化能力，属于较难题 由 1 2 + 1 2 + 8 : = : 2 + 8 : = : 2 + 8 :，利用基本不等式即可求出，注意检验取等号的条件是否成立 【解答】 解： 0，
7、 0，且 = 1， 则 1 2 + 1 2 + 8 : = : 2 + 8 : = : 2 + 8 : 2: 2 8 : = 4， 当且仅当: 2 = 8 :时取等号，解得 + = 4，结合 = 1， a，b为方程2 4 + 1 = 0的两根， = 2 + 3， = 2 3或 = 2 3， = 2 + 3 取等号， 1 2 + 1 2 + 8 :的最小值为 4， 故答案为 4 【2020天津高考】设 0, 0, + 2 = 5，则 (:1)(2:1) 的最小值为_ 【答案】43 【知识点】利用基本不等式求最值 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题 将 (:1)(
8、2:1) 变形为2 + 6 ，利用基本不等式求最值 【解答】 解： 0， 0， + 2 = 5， 则 (:1)(2:1) = 2:2:1 = 2:6 = 2 + 6 ； 由基本不等式有： 2 + 6 22 6 = 43； 当且仅当2 = 6 时， 即： = 3， + 2 = 5时，即： = 3 = 1或 = 2 = 3 2 时，等号成立， 故 (:1)(2:1) 的最小值为43； 故答案为：43 四、【2020上海高考】下列等式恒成立的是( ) A. 2+ 2 2 B. 2+ 2 2 C. + 2| D. 2+ 2 2 【答案】B 【知识点】基本不等式 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式
9、的应用，考查了转化思想，属基础题 利用( + )2 0恒成立，可直接得到2+ 2 2成立，通过举反例可排除 ACD 【解答】 解：.显然当 0时，不等式2+ 2 2不成立，故 A 错误； B ( + )2 0， 2+ 2+ 2 0， 2+ 2 2，故 B正确，D 错误； .显然当 0， 0时，不等式 + 2|不成立，故 C 错误； 故选：B 【2020上海高考】在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间， 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 = ，x为道路密度，q 为车辆密度 = () = 100 135 ( 1 3) ,0
10、 95，求道路密度 x 的取值范围； (2)已知道路密度 = 80，交通流量 = 50，求车辆密度 q 的最大值 【答案】解：(1) = ， 越大，x 越小， = ()是单调递减函数， 0， 当40 80时，v最大为 85， 于是只需令100 135 (1 3) 95，解得 3， 故道路密度 x的取值范围为(3,40) (2)把 = 80， = 50代入 = () = ( 40) + 85中， 得50 = 40 + 85，解得 = 7 8 = = 100 135 (1 3) ,0 40 7 8 ( 40) + 85,40 80 , 当0 40时，q单调递增， 4000 故车辆密度 q的最大值为
11、28800 7 【知识点】函数模型的应用 【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档 题 (1)易知 v 越大，x 越小，所以 = ()是单调递减函数， 0，于是只需令100 135 (1 3) 95，解不等 式即可； (2)把 = 80， = 50代入 = ()的解析式中，求出 k的值，利用 = 可得到 q关于 x 的函数关系式，分 段判断函数的单调性，并求出各自区间上 q的最大值，取较大者即可 【2019 年】年】 一、【2019北京高考（理） 】若 x，y满足| 1 ，且 1.则3 + 的最大值为( ) A. 7 B. 1 C. 5 D.
12、 7 【答案】C 【知识点】范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】 【分析】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 由约束条件作出可行域，令 = 3 + ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代 入目标函数得答案 【解答】 解：由| 1 1 作出可行域如图， 联立 = 1 + 1 = 0，解得(2,1)， 令 = 3 + ，化为 = 3 + ， 由图可知，当直线 = 3 + 过点 A时，z有最大值为3 2 1 = 5 故选：C 【2019北京高考（理） 】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、 桃，价
13、格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一 次购买水果的总价达到 120 元， 顾客就少付 x 元 每笔订单顾客网上支付成功后， 李明会得到支付款的80% 当 = 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 (1) 元； 在促销活动中， 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折， 则 x的最大值为 (2) 【答案】130 15 【知识点】不等式求解、函数模型的应用 【解析】 【分析】 本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题 由题意可得顾客一次购买的总金额，减去 x，可得所求值； 在促销活动中
14、，设订单总金额为 m 元，讨论 m的范围，可得( ) 80% 70%，解不等式，结 合恒成立思想，可得 x的最大值 【解答】 解：当 = 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，可得60 + 80 = 140(元)， 即有顾客需要支付140 10 = 130(元)； 在促销活动中，设订单总金额为 m 元， 当0 0, 0, + 2 = 5，则 (:1)(2:1) 的最小值为_ 【答案】43 【知识点】利用基本不等式求最值 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题 将 (:1)(2:1) 变形为2 + 6 ，利用基本不等式求最值 【解答】 解： 0， 0， + 2
15、= 5， 则 (:1)(2:1) = 2:2:1 = 2:6 = 2 + 6 ； 由基本不等式有： 2 + 6 22 6 = 43； 当且仅当2 = 6 时， 即： = 3， + 2 = 5时，即： = 3 = 1或 = 2 = 3 2 时，等号成立， 故 (:1)(2:1) 的最小值为43； 故答案为：43 【2019天津高考】设变量,满足约束条件 + 2 0, + 2 0, 1, 1, 则目标函数 = 4 + 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【知识点】范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】 【分析】 本题考查简单的线性规划知识，考查数
16、形结合的解题思想方法，是基础题 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图： 联立 = 1 + 2 = 0，解得(1,1)， 化目标函数 = 4 + 为 = 4 + ， 由图可知，当直线 = 4 + 过 A 时，z 有最大值为 5 故选 C 三、【2019上海高考】不等式| + 1| 5的解集为_ 【答案】(6,4) 【知识点】不等式和绝对值不等式 【解析】 【分析】 本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题 根据绝对值不等式的解法可解得答案 【解答】 解：由| + 1| 5得5 + 1 5，即6 4， 2+，则( ) A
17、. 对任意实数 a，(2,1) B. 对任意实数 a，(2,1) C. 当且仅当 4， 2+ = *(,)| 1， + 4， + 2+， 显然(2,1)不满足， + 4， + 2，所以 A不正确； 当 = 4时， 集合 = *(,)| 1， + 4， 2+ = *(,)| 1， 4 + 4， 4 2+， 可知：此时(2,1) ，所以 B不正确； 当 = 1时， 集合 = *(,)| 1， + 4， 2+ = *(,)| 1， + 4， 2+， 显然此时(2,1) ，所以 C 不正确； 故选：D 【2018北京高考（文） 】能说明“若 ，则1 0， ，但1 0，则 4:44:1 的最小值为_ 【
18、答案】4 【知识点】利用基本不等式求最值 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式的求最值问题，是中档题 两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件 【解答】 解：a， ， 0， 4+ 44+ 1 24 44+ 1 = 422+ 1 = 4 + 1 24 1 = 4， 当且仅当 4 = 44 4 = 1 ， 即 2 = 22 22= 1 4 ， 即 = 1 2 4， = 1 8 4或 = 1 2 4， = 1 8 4时取“=”； 上式的最小值为 4 故答案为：4 三、 【2017上海高考】不等式;1 1的解集为_ 【答案】(,0) 【知识点】不等式求解 【解析】 【分析】 根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可 本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题 【解答】 解：由;1 1得： 1 1 1 1 0 0， 故不等式的解集为：(,0)， 故答案为(,0)
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