1、 专题专题 07 平面向量平面向量 【2021 年】年】 一、【2021浙江高考】已知平面向量, , ,(0)a b c c 满足1,2,0,0aba babc.记向量d在 , a b方向上的投影分别为 x，y，d a 在c方向上的投影为 z，则 222 xyz的最小值为_. 【答案】 2 5 【解析】 【分析】设(1,0),(0 2),( , )abcm n，由平面向量的知识可得252xyz，再结合柯西不等式 即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(0 2),( , )abcm n， 则20abcmn ，即2mn， 又向量d在, a b方向上的投影分别为 x，y，所以,dx y， 所以d
2、 a 在c方向上的投影 22 1 ()22 |5 m xny dacxy z c mn ， 即252xyz, 所以 22 22222222 112 21525 10105 xyzxyzxyz ， 当且仅当 215 252 xyz xyz 即 2 5 1 5 5 5 x y z 时，等号成立， 所以 222 xyz的最小值为 2 5 . 故答案为： 2 5 . 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 , ,x y z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小 值. 二、 【2021 江苏高考】 已知 O 为坐标原点， 点1(,)， 2(,)， 3(cos( + ),s
3、in( + )， (1,0)，则( ) A. |1 | = |2 | B. |1 | = |2 | C. 3 = 1 2 D. 1 = 2 3 【答案】AC 【知识点】向量的数量积 【解析】解： 1(,)，2(,)，3(cos( + ),sin( + )，(1,0)， 1 = (,)，2 = (,)， 3 = (cos( + ),sin( + )， = (1,0)， 1 = ( 1,)，2 = ( 1,)， 则|1 | = cos2 + sin2 = 1，|2 | = cos2 + ()2= 1，则|1 | = |2 |，故 A正确； |1 | = ( 1)2+ sin2 = cos2 + s
4、in2 2 + 1 = 2 2， |2 | = ( 1)2+ ()2= cos2 + sin2 2 + 1 = 2 2， |1 | |2 |，故 B错误； 3 = 1 cos( + ) + 0 sin( + ) = cos( + )， 1 ; 2 = = cos( + )， 3 = 1 2 ，故 C正确； 1 = 1 + 0 = ， 2 3 = ( + ) ( + ) = cos, + ( + )- = cos( + 2)， 1 2 3 ，故 D 错误 故选：AC 由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案 本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及
5、两角和的三角函数，考查运算求 解能力，是中档题 【2020 年】年】 一、【2020北京高考】已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足 = 1 2( + )，则| | = ； = 【答案】5 1 【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、向量的数量积 【解析】 【分析】 本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题 根据向量的几何意义可得 P为 BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出 【解答】 解：由 = 1 2( + )，可得 P为 BC的中点， 则| = 1， | = 22+ 12= 5， = ( + ) = ( + ) = 2 = 1， 故答案为5；1
6、 二、【2020浙江高考】已知单位向量1 ，2 满足|21 2 | 2，设 = 1 + 2 ， = 31 + 2 ，向量 ， 的夹角为，则cos2的最小值为 【答案】28 29 【知识点】利用向量的数量积求向量的模、利用向量的数量积求向量的夹角 【解析】 【分析】 本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，属于中档题 设1 、2 的夹角为，由题意求出 3 4；再求 ， 的夹角的余弦值cos2的最小值即可 【解答】 解：设1 、2 的夹角为，由1 ，2 为单位向量，满足|21 2 | 2， 所以41 2 41 2 + 2 2= 4 4 + 1 2， 解得 3 4； 又 = 1 + 2 ， =
7、31 + 2 ，且 ， 的夹角为， 所以 = 31 2+ 41 2 + 2 2= 4 + 4， 2= 1 2+ 21 2 + 2 2= 2 + 2， 2= 91 2+ 61 2 + 2 2= 10 + 6； 则cos2 = ( )2 2 2= (4:4)2 (2:2)(10:6) = 4:4 5:3 = 4 3 8 3 5:3， 所以 = 3 4时，cos 2取得最小值为4 3 8 3 5:33 4 = 28 29 故答案为28 29 三、【2020 天津高考】 如图， 在四边形 ABCD中， = 60， = 3， = 6， 且 = ， = 3 2，则实数的值为 ，若 M，N是线段 BC上的
8、动点，且| | = 1，则 的最小值为 【答案】1 6 13 2 【知识点】平面向量的坐标运算、向量的几何运用、向量的加法、减法、数乘运算、二次函数、向量的数 量积 【解析】 【分析】 本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题 以 B 为原点， 以 BC为 x轴建立如图所示的直角坐标系， 根据向量的平行和向量的数量积即可求出点 D的坐 标，即可求出的值，再设出点 M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于 x的二次函数，根据二次函数的 性质即可求出最小值 【解答】 解：以 B 为原点，以 BC为 x轴建立如图所示的直角坐标系， = 60， = 3
9、， (3 2, 33 2 )， = 6， (6,0)， = ， /， 设(0, 33 2 )， = (0 3 2,0)， = ( 3 2, 33 2 )， = 3 2(0 3 2) + 0 = 3 2，解得0 = 5 2， (5 2, 33 2 )， = (1,0)， = (6,0)， = 1 6 ， = 1 6， | | = 1， 设(,0)，则( + 1,0)，其中0 5， = ( 5 2, 33 2 )， = ( 3 2, 33 2 )， = ( 5 2)( 3 2) + 27 4 = 2 4 + 21 2 = ( 2)2+ 13 2 ， 当 = 2时取得最小值，最小值为13 2 ， 故
10、答案为：1 6； 13 2 四、【2020 上海高考】 已知1 ， 2 ， 1 ， 2 ， ， ( )是平面内两两互不相等的向量， 满足|1 2 | = 1， 且 | | *1,2+(其中 = 1，2， = 1，2，)，则 k的最大值是 【答案】6 【知识点】向量的几何运用、向量的模 【解析】 【分析】 本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题 设 1 = 1 ，2 = 2 ，结合向量的模等于 1 和 2画出图形，由圆的交点个数即可求得 k的最大值 【解答】 解：如图，设1 = 1 ，2 = 2 ， 由|1 2 | = 1，且| | *1,2+， 分别以1，2为
11、圆心，以 1和 2 为半径画圆，其中圆的公共点共有 6个 故满足条件的 k 的最大值为 6 故答案为：6 【2019 年】年】 一、【2019北京高考（文） 】已知向量 = (4,3)， = (6,)，且 ，则 =_ 【答案】8 【知识点】向量垂直的判断与证明、向量的数量积 【解析】 【分析】 本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题 则 = 0，代入 ， ，解方程即可 【解答】 解：由向量 = (4,3)， = (6,)，且 ， 得 = 24 + 3 = 0， = 8 故答案为 8 二、 【2019浙江高考】已知正方形 ABCD 的边长为1.当每个( = 1,2，3，4，5，6)取遍
12、1时， |1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 |的最小值是 ，最大值是 【答案】0 25 【知识点】利用向量的数量积求向量的模、向量在平面几何中的应用 【解析】 【分析】 本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，难度较大 由题意可得 + = ， = ， = 0，化简|1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 | = (1 3+ 5 6)2+ (2 4+ 5+ 6)2，由于( = 1,2，3，4，5，6)取遍1，由完全平方数的最 值，可得所求最值 【解答】 解：如图， 正方形 ABCD的边长为 1，可得 + = ， = ， = 0， |1 +
13、2 + 3 + 4 + 5 + 6 | = |1 + 2 + 3 + 4 + 5 ( + ) + 6 ( )| = |(1 3+ 5 6) + (2 4+ 5+ 6) | = (1 3+ 5 6)2+ (2 4+ 5+ 6)2， 由于( = 1,2，3，4，5，6)取遍1， 当1 3+ 5 6= 0，2 4+ 5+ 6= 0时， 可取1= 3= 5= 6，5= 1，6= 1，2= 1，4= 1， 可得所求最小值为 0； 接下来求最大值： |1 3+ 5 6|，|2 4+ 5+ 6|的最大值都为 4， 但是当5+ 6= 2或2时，5 6= 0， |2 4+ 5+ 6|可取最大值 4，|1 3+
14、5 6|最大值只能取 2； 当5+ 6= 0时，5 6= 2或2， |1 3+ 5 6|可取最大值 4，|2 4+ 5+ 6|最大值只能取 2 可得所求最大值为42+ 22= 25 故答案为：0；25 三、 【2019天津高考】在四边形 ABCD中，/， = 23， = 5， = 30，点 E在线段 CB 的延长线上，且 = ，则 = 【答案】1 【知识点】向量的数乘运算、向量的数量积的概念及其运算 【解析】 【分析】 本题考查了向量的数量积及向量的线性运算，属于中档题 利用向量数量积的运算律，并结合向量的线性运算进行计算即可 【解答】 解： = ，/， = 30， 在等腰三角形 ABE中，
15、= 120， 又 = 23， = = 2， = 2 5 ， = + ， = 2 5 ， 又 = + = + ， = ( + ) ( 2 5 ) = 2+ 7 5 2 5 2 = 2+ 7 5 | | cos 2 5 2 = 12 + 7 5 5 23 3 2 2 5 25 = 1 故答案为1 四、【2019 上海高考】 在椭圆 2 4 + 2 2 = 1上任意一点P， Q与P关于x轴对称， 若有1 2 1， 则1 与 2 的 夹角范围为_ 【答案】, arccos 1 3,-或,arccos. 1 3/,- 【知识点】平面向量的坐标运算、向量的夹角、椭圆的概念及标准方程、向量的数量积 【解析】
16、 【分析】 本题考查椭圆的标准方程，平面向量的夹角与数量积，属于中档题 设(,)，则(,)，结合1 2 1， 2 4 + 2 2 = 1可得：2 ,1,2-，进而可得1 与 2 的夹角满足： = 1 2 |1 |2 |的范围，最后得到答案 【解答】 解：设(,)，则(,)， 椭圆 2 4 + 2 2 = 1的焦点坐标为1(2,0)，2(2,0)， 1 2 1， 2 2 + 2 1， 结合 2 4 + 2 2 = 1 可得：2 ,1,2- 故 1 与 2 的夹角满足： = 1 2 |1 | |2 | = 2 2 2 (2+ 2 + 2)2 82 = 2 32 2+ 2 = 3 + 8 2+ 2
17、,1, 1 3- 故 , arccos 1 3,-或,arccos. 1 3/,- 故答案为：, arccos 1 3,-或,arccos. 1 3/,- 【2018 年】年】 一、 【2018北京高考（文） 】设向量 = (1,0)， = (1,).若 ( )，则 = 【答案】1 【知识点】向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量线性运算的坐标表示 【解析】 【分析】 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力 利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可 【解答】解：向量 = (1,0)， = (1,) = ( + 1,) ( )， + 1 = 0，解得 =
18、1 故答案为1 二、 【2018浙江高考】已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量若非零向量 与 的夹角为 3，向量 满足 2 4 + 3 = 0，则| |的最小值是( ) A. 3 1 B. 3 + 1 C. 2 D. 2 3 【答案】A 【知识点】向量垂直的判断与证明、数形结合思想、向量的模、圆有关的最值问题、点到直线的距离公式 【解析】 【分析】 本题考查平面向量的数量积运算以及模的应用，考查数学转化思想 方法与数形结合的解题思想方法，属较难题 把等式 2 4 + 3 = 0变形，可得得( ) ( 3 ) = 0，即 ( ) ( 3 )，设 = (1,0)，则 的终点在以(2,0)为圆心，
19、以 1 为半径的圆周上，再由已知得到 的终点在不含端点 O的两条射线 = 3( 0)上，画出图形，数形结 合得答案 【解答】 解：由 2 4 + 3 = 0，得( ) ( 3 ) = 0， ( ) ( 3 )， 如图，不妨设 = (1,0)， 则 的终点在以(2,0)为圆心，以 1 为半径的圆周上， 又非零向量 与 的夹角为 3，则 的终点在不含端点 O 的两条射线 = 3( 0)上 不妨以 = 3为例，则| |的最小值是(2,0)到直线3 = 0的距离减 1 即|23| 3:1 1 = 3 1 故选：A 三、【2018 天津高考 （理） 】 如图， 在平面四边形 ABCD中， ， ， = 1
20、20， = = 1.若 点 E 为边 CD上的动点，则 的最小值为( ) A. 21 16 B. 3 2 C. 25 16 D. 3 【答案】A 【知识点】向量数量积的坐标运算 【解析】 【分析】 本题考查了向量数量积，坐标法解决向量问题，属于中档题 以 D 为原点，以 DA所在的直线为 x 轴，以 DC所在的直线为 y 轴，求出 A，B，C 的坐标，根据向量的数量 积和二次函数的性质即可求出 【解答】 解：如图所示，以 D为原点，以 DA所在的直线为 x轴，以 DC所在的直线为 y轴，过点 B 作 轴，过 点 B 作 轴， ， ， = 120， = = 1， = 60 = 1 2， = 60
21、 = 3 2 ， = 1 + 1 2 = 3 2， = 3 2， = 30 = 3 2 ， = + = 3， (1,0)，(3 2, 3 2 )，(0,3)， 设(0,)， = (1,)， = ( 3 2, 3 2 )，0 3， = 3 2 + 2 3 2 = ( 3 4 )2+ 3 2 3 16 = ( 3 4 )2+ 21 16， 当 = 3 4 时，取得最小值为21 16 故选 A 【2018天津高考（文） 】在如图所示的平面图形中，已知 = 1， = 2， = 120， = 2 ， = 2 ，则 的值为( ) A. 15 B. 9 C. 6 D. 0 【答案】C 【知识点】向量的数量积
22、的概念及其运算、利用余弦定理解三角形 【解析】 【分析】 本题考查了平面向量数量积，余弦定理的应用，是中档题 由题意判断/，且 = 3，再利用余弦定理求出 MN和的余弦值，再计算 即可 【解答】 解：连接 MN，由题意， = 2 ， = 2 ， = = 2， /，且 = 3， 又2= 2+ 2 2 120 = 1 + 4 2 1 2 (1 2) = 7， = 7； = 37， cos = 2:2;2 2 = 1:7;4 217 = 2 7 ， = | | | |cos( ) = 37 1 ( 2 7 ) = 6 故选：C 四、 【2018 上海高考】 在平面直角坐标系中， 已知点(1,0)、
23、(2,0)， E、 F是 y轴上的两个动点， 且| | = 2， 则 的最小值为_ 【答案】3 【知识点】平面向量的坐标运算、二次函数、向量的数量积 【解析】 【分析】 本题考查向量的数量积，向量的坐标运算，二次函数，属于中档题 据题意可设(0,)， (0,)， 从而得出| | = 2， 即 = + 2， 或 = 2， 并可求得 = 2 + ， 将 = + 2代入上式即可求出 的最小值，同理将 = 2带入，也可求出 的最小值 【解答】 解：根据题意，设(0,)，(0,)； | | = | | = 2； = + 2，或 = 2； 且 = (1,), = (2,)； = 2 + ； 当 = + 2
24、时， = 2 + ( + 2) = 2+ 2 2； 2+ 2 2的最小值为;8;4 4 = 3； 当 = 2， = 2 + ( 2) = 2 2 2； 2 2 2最小值也为;8;4 4 = 3， 的最小值为3 故答案为：3 【2018上海高考】已知实数1、2、1、2满足：1 2 + 1 2 = 1，2 2 + 2 2 = 1，12+ 12= 1 2，则 |1:1;1| 2 + |2:2;1| 2 的最大值为 【答案】2 + 3 【知识点】向量数量积的坐标运算、由标准方程确定圆心和半径、点到直线的距离 【解析】 【分析】 本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查直线与圆的位置
25、关系，属于较难题 设(1,1)，(2,2)，O 为坐标原点， = (1,1)， = (2,2)，由圆的方程和向量数量积的定义、 坐标表示，可得三角形 OAB 为等边三角形， = 1，|1:1;1| 2 + |2:2;1| 2 的几何意义为点 A，B两点到直线 + 1 = 0的距离1与2之和，设 AB 中点为 M，则距离1与2之和等于 M 到直线 l的距离的两倍，接着 求出点 M到直线 l的距离的最大值，由此可求|1:1;1| 2 + |2:2;1| 2 的最大值 【解答】 解：设(1,1)，(2,2)，O 为坐标原点， = (1,1)， = (2,2 )， 由1 2 + 1 2 = 1，2 2
26、 + 2 2 = 1，12+ 12= 1 2， 可得 A，B两点在圆2+ 2= 1上， 且 = 1 1 cos = 12+ 12= 1 2， 即有 = 60， 即三角形 OAB为等边三角形， = 1， |1:1;1| 2 + |2:2;1| 2 的几何意义为点 A，B 两点到直线: + 1 = 0的距离1与2之和， 设 AB中点为 M，则距离1与2之和等于 M到直线 l的距离的两倍， 圆心(0,0)到线段 AB中点 M 的距离 = 3 2 ，圆心到直线 l的距离 = 1 2 = 2 2 ， 到直线 l的距离的最大值为 + = 3 2 + 2 2 ， 即|1:1;1| 2 + |2:2;1| 2
27、 的最大值为2 + 3， 故答案为：2 + 3 【2017 年】年】 一、【2017北京高考（文） 】设 ， 为非零向量，则“存在负数，使得 = ”是“ 0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】向量的数量积的概念及其运算 【解析】 【分析】 本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题 从充分性和必要性两方面分别分析即可 【解答】 解： ， 为非零向量，存在负数，使得 = ， 则向量 ， 共线且方向相反，可得 0 反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 0，而 = 不成立
28、 ， 为非零向量，则“存在负数，使得 = ”是 0”的充分不必要条件 故选 A 二、 【2017浙江高考】如图，已知平面四边形 ABCD， ， = = = 2， = 3，AC与 BD交于点 O，记1= ， 2= ， 3= ，则( ) A. 1 2 3 B. 1 3 2 C. 3 1 2 D. 2 1 90， 由图象知 ， ， 0， 即3 1 2， 故选：C 【2017浙江高考】已知向量 、 满足| | = 1，| | = 2，则| + | + | |的最小值是 (1) ，最大值 是 (2) 【答案】4 25 【知识点】范围与最值问题、函数的最值、向量的概念及几何表示 【解析】 【分析】 本题考
29、查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等 基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题 通过记 = (0 )，利用余弦定理可可知| + | = 5 + 4、| | = 5 4，进而 换元，转化为线性规划问题，计算即得结论 【解答】 解：记 = ，则0 ，如图， | + |2= | |2+ | |2+ 2| | |cos = 5 + 4cos， | |2= | |2+ | |2 2| | |cos = 5 4cos， | + | = 5 + 4， | | = 5 4， 令 = 5 4， = 5 + 4， 则2+ 2= 10(、 1)，其图象为一段圆弧 M
30、N，如图， 令 = + ，则 = + ， 则直线 = + 过 M、N 时 z 最小为= 1 + 3 = 3 + 1 = 4， 当直线 = + 与圆弧 MN相切时 z 最大， 由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的2倍， 也就是圆弧 MN 所在圆的半径的2倍， 所以 = 2 10 = 25 综上所述，| + | + | |的最小值是 4，最大值是25 故答案为：4、25 三、 【2017 天津高考 （理） 】 在 中， = 60， = 3， = 2.若 = 2 ， = ( )，且 = 4，则的值为 【答案】 3 11 【知识点】向量的加减与数乘混合运算、向量的数量积的概念及其运算 【解析】 【分析】 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题 根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，再根据平面向量的数量积结合 = 4列出方 程求出的值 【解答】 解：如图所示， 中， = 60， = 3， = 2， = 2 ， = + = + 2 3 = + 2 3 ( ) = 1 3 + 2 3 ， 又 = ( )， = (1 3 + 2 3 ) ( ) = (1 3 2 3) 1 3 2+ 2 3 2 = (1 3 2 3) 3 2 60 1 3 32+ 2 3 2 2 = 4， 11 3 = 1， 解得 = 3 11 故答案为 3 11
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