1、 专题专题 06 解三角形解三角形 【2021 年】年】 一、【2021浙江高考】我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角 形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3，4，记大正方 形的面积为 1 S，小正方形的面积为 2 S，则 1 2 S S _. 【答案】25 【解析】 【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可. 【详解】由题意可得，大正方形的边长为： 23 345a ， 则其面积为： 2 1 525S ， 小正方形的面积： 2 1 2543 41 2 S ， 从而 1 2 25 25
2、1 S S . 故答案为：25. 【2021 浙江高考】 在ABC中，60 ,2BAB， M 是BC的中点，2 3AM ， 则AC _， cos MAC_. 【答案】 (1). 2 13 (2). 2 39 13 【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC，进而可得AC，再由余弦定理可得cosMAC. 【详解】由题意作出图形，如图， 在ABM中，由余弦定理得 222 2cosAMABBMBM BAB ， 即 2 1 12422 2 BMBM ，解得=4BM（负值舍去） ， 所以=2=2=8BCBMCM， 在ABC中，由余弦定理得 222 1 2cos4642 2 852 2 ACABBC
3、AB BCB ， 所以2 13AC ； 在AMC中，由余弦定理得 222 52 12 162 39 cos 2132 2 32 13 ACAMMC MAC AM AC . 故答案为：2 13； 2 39 13 . 二、【2021江苏高考】记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，.已知2= ，点 D 在边 AC 上， = (1)证明： = ； (2)若 = 2，求cos 【答案】解：(1)证明：由正弦定理知， sin = sin = 2， = 2， = 2， 2= ， 2 = 2， 即 = ， = = ； (2)由(1)知 = ， = 2， = 2 3， = 1 3， 在 中，由余弦定理知
4、，cos = 2:2;2 2 = 2:(2 3) 2;2 22 3 = 132;92 122 ， 在 中，由余弦定理知，cos = 2:2;2 2 = 2:(1 3) 2;2 21 3 = 102;92 62 ， + = ， cos + cos = 0， 即13 2;92 122 + 102;92 62 = 0， 得112= 32+ 62， 2= ， 32 11 + 62= 0， = 3或 = 2 3， 在 中，由余弦定理知，cos = 2:2;2 2 = 2:2; 2 ， 当 = 3时，cos = 7 6 1(舍)； 当 = 2 3时，cos = 7 12； 综上所述，cos = 7 12
5、【知识点】余弦定理、正弦定理 【解析】(1)利用正弦定理求解； (2)要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解 本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题 【2020 年】年】 一、【2020北京高考】2020年 3 月 14日是全球首个国际圆周率日( ).历史上，求圆周率的方法有 多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n充分大时，计算单位 圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n边形(各边均与圆相切的正 6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作 为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是( ) A. 3(sin 30 + tan 30 )
6、 B. 6(sin 30 + tan 30 ) C. 3(sin 60 + tan 60 ) D. 6(sin 60 + tan 60 ) 【答案】A 【知识点】解三角形的实际应用、合情推理（归纳、类比推理） 【解析】 【分析】 本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算 能力，属于基础题 设内接正 6n 边形的边长为 a，外切正 6n 边形的边长为 b，运用圆的性质，结 合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值 【解答】 解：如图，设内接正 6n边形的边长为 a，外切正 6n边形的边长为 b， 可得 = 2 360 12 = 2 30 ， = 2 360 12
7、= 2 30 ， 则2 6:6 2 = 6(sin 30 + tan 30 )， 即 3(sin 30 + tan 30 )， 故选：A 【2020北京高考（理） 】在 中， + = 11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知， 求： ()的值； ()和 的面积 条件： = 7， = 1 7； 条件： = 1 8， = 9 16 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】解：选择条件， ()由余弦定理得2= 2+ 2 2，即2 2= 49 14 ( 1 7) = 49 + 2， ( + )( ) = 49 + 2， + = 11， 11 11 = 49 + 2， 即11
8、13 = 49， 联立 + = 11 11 13 = 49，解得 = 8， = 3， 故 = 8 ()在 中， 0， = 1 cos2 = 43 7 ， 由正弦定理可得 = ， = = 743 7 8 = 3 2 ， = 1 2 = 1 2 8 3 3 2 = 63 选择条件， ()在 中， 0， 0， = ( + )， = 1 8， = 9 16， = 1 cos2 = 37 8 ， = 1 cos2 = 57 16 ， 由正弦定理可得 = ， = = 6 5， + = 11， = 6， = 5， 故 = 6； ()在 中， = ( + )， = sin( + ) = + = 37 8 9
9、16 + 57 16 1 8 = 7 4 ， = 1 2 = 1 2 6 5 7 4 = 157 4 【知识点】三角形面积公式、两角和与差的三角函数公式、余弦定理、正弦定理 【解析】本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识， 考查了运算能力求解能力，转化与化归能力，属于中档题 选择条件()由余弦定理求出( + )( ) = 49 + 2，再结合 + = 11，即可求出 a的值， ()由正弦定理可得 sinC，再根据三角形的面积公式即可求出， 选择条件()根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得 = = 6 5，再结合 + = 11，即可求出 a的 值，
10、 ()由两角和的正弦公式求出 sinC，再根据三角形的面积公式即可求出 二、【2020浙江高考】在锐角 中，角,的对边分别为,.已知2sin 3 = 0 (1)求角 B； (2)求cos + cos + cos的取值范围 【答案】解：(1) 2sin = 3， 2sinsin = 3sin， sin 0， sin = 3 2 ， ， = 3， (2) 为锐角三角形， = 3， = 2 3 ， ， 为锐角三角形， 解得， ， ， ， cos + cos + cos的取值范围为(3:1 2 , 3 2 【知识点】求正弦型函数的值域或最值、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、利用正弦定理解三
11、 角形、两角和与差的余弦公式 【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，属于较难题 (1)根据正弦定理可得sin = 3 2 ，结合角的范围，即可求出， (2)根据两角和与差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出 三、 【2020天津高考】在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.已知 = 22， = 5， = 13 ()求角 C 的大小； ()求 sinA 的值； ()求sin(2 + 4)的值 【答案】解：()由余弦定理以及 = 22， = 5， = 13， 则 = 2:2;2 2 = 8:25;13 2225 = 2 2 ， (0,)， = 4； ()由正弦
12、定理，以及 = 4， = 22， = 13， 可得 = = 22 2 2 13 = 213 13 ； ()由 ， ， 为锐角， = 11 14， sin( ) = = 3 2 11 14 ( 1 2) 53 14 = 43 7 【知识点】利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题 (1)利用余弦定理可得2= 2+ 2 2，代入已知条件即可得到关于 b的方程，解方程即可； (2)sin( ) = ，根据正弦定理可求出 sinC，然后求出 cosC，代入即可得解 【2019北京高考（文） 】在 中， = 3，
13、= 2， = 1 2 (1)求 b，c 的值； (2)求sin( + )的值 【答案】解：(1) = 3， = 2， = 1 2 由余弦定理，得2= 2+ 2 2 = 9 + ( 2)2 2 3 ( 2) ( 1 2)， = 7， = 2 = 5； (2)在 中， = 1 2， = 3 2 ， 由正弦定理有： = ， = = 3 3 2 7 = 33 14 ， sin( + ) = sin( ) = = 33 14 【知识点】利用正弦定理解三角形、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题 (1)利用余弦定理可得2= 2+ 2 2，代入已知条件即可
14、得到关于 b的方程，解方程即可； (2)sin( + ) = sin( ) = ，根据正弦定理可求出 sinA 二、 【2019 浙江高考】 在 中， = 4， = 3， 点 D 在线段 AC 上， 若， 则 = ； 【答案】122 5 72 10 【知识点】余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式 【解析】 【分析】 本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档 题 解直角三角形 ABC，可得 sinC，cosC，在三角形 BCD中，运用正弦定理可得 BD；再由三角函数的诱导公 式和两角和差公式，计算可得
15、所求值 【解答】 解：如图所示， 在直角三角形 ABC中， = 4， = 3，可得 = 5， = 4 5， 在 中，由正弦定理可得 3 2 2 = ，可得 = 122 5 ； 根据三角形内角和可知 = 135 ， sin = sin(135 ) = 2 2 ( + ) = 2 2 (4 5 + 3 5) = 72 10 ， 即有cos = cos(90 ) = sin = 72 10 ， 故答案为122 5 ；72 10 三、 【2019天津高考（理） 】在 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，.已知 + = 2， 3 = 4 ()求 cosB的值； ()求sin(2 + 6)的值 【
16、答案】解：()在三角形 ABC中，由正弦定理得 = ，所以 = ， 又由3 = 4， 得3 = 4，即3 = 4， 又因为 + = 2，得 = 4 3 ， = 2 3 ， 由余弦定理可得 = 2:2;2 2 = 2:4 9 2;16 9 2 22 3 = 1 4； ()由()得 = 1 2 = 15 4 ， 从而2 = 2 = 15 8 ， 2 = cos2 sin2 = 7 8， 故sin(2 + 6) = 2 6 + 2 6 = 15 8 3 2 7 8 1 2 = 35:7 16 【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余 弦定理解三角形
17、 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定 理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 ()根据正余弦定理可得； ()根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得 【2019 天津高考 （文） 】 在 中， 内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， .已知 + = 2， 3 = 4 ()求 cosB的值； ()求sin(2 + 6)的值 【答案】解：()在三角形 ABC中，由正弦定理得 = ，所以 = ， 又由3 = 4， 得3 = 4，即3 = 4， 又因为 + = 2，得 = 4 3 ， = 2 3 ， 由余弦定理可得 =
18、 2:2;2 2 = 2:4 9 2;16 9 2 22 3 = 1 4； ()由()得 = 1 2 = 15 4 ， 从而2 = 2 = 15 8 ， 2 = cos2 sin2 = 7 8， 故sin(2 + 6) = 2 6 + 2 6 = 15 8 3 2 7 8 1 2 = 35:7 16 【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余 弦定理解三角形 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定 理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 ()根据正余弦定理可得； ()根据二倍角
19、的正余弦公式以及和角的正弦公式可得 四、【2019上海高考】在 中， = 3，3 = 2，且 = 1 4，则 = 【答案】10 【知识点】正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的转化和计算能力，属于基础题 利用正弦定理可得 = 2，利用余弦定理即可得出结论 【解答】 解： 3 = 2， 由正弦定理可得：3 = 2， 由 = 3，可得： = 2， = 1 4， 由余弦定理可得：1 4 = 32:22;2 232 ， 解得： = 10 故答案为： 10 【2018 年】年】 一、 【2018 北京高考 （理） 】 在 中， 内角 A，
20、B， C 的对边分别是 a， b， c， 若 = 7， = 8， = 1 7 (1)求 A； (2)求 AC边上的高 【答案】解：(1) ， ，即 A 是锐角， = 1 7， = 1 cos2 = 1 ( 1 7) 2 = 43 7 ， 由正弦定理， = ， 得 = = 743 7 8 = 3 2 ， 又 A 为锐角， 则 = 3 ; (2)由余弦定理得2= 2+ 2 2， 即64 = 49 + 2+ 2 7 1 7， 即2+ 2 15 = 0， 得( 3)( + 5) = 0， 解得 = 3或 = 5(舍)， 则 AC边上的高 = = 3 3 2 = 33 2 【知识点】由一个三角函数值求其
21、他三角函数值、利用正弦定理解三角形、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题 (1)由正弦定理，进行求解即可; (2)利用余弦定理求出 c 的值，即可求出 h 【2018北京高考（文） 】若 的面积为 3 4 (2+ 2 2)，且为钝角，则 = ； 的取值范围 是 【答案】 3 (2,+) 【知识点】正切型函数的定义域、值域和最值、三角形面积公式、利用正弦定理解决范围与最值问题、两 角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】 【分析】 本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题 利用余弦定理，转化求解即可 【解答】 解： 的面积为 3 4
22、 (2+ 2 2 )， 可得： 3 4 (2+ 2 2) = 1 2， = 3， 可得： = 3，所以 = 3， 为钝角， (0, 6 )， 所以 1 (3,+)， = = sin( + ) = + 1 = 1 2 + 3 2 1 (2,+)， 故答案为： 3；(2,+) 二、 【2018浙江高考】在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.若 = 7， = 2， = 60， 则 = (1) ， = (2) 【答案】 21 7 3 【知识点】余弦定理、正弦定理 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题 由正弦定理得 7 60 = 2 ，由此能求出 sinB，由余弦定理得
23、60 = 4:2;7 22 ，由此能求出 c 【解答】 解：在 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c = 7， = 2， = 60， 由正弦定理得： = ，即 7 60 = 2 ， 解得 = 2 3 2 7 = 21 7 由余弦定理得： = 2:2;2 2 ，即60 = 4:2;7 22 ， 解得 = 3或 = 1(舍)， 故答案为： 21 7 ；3 三、【2018天津高考（理） 】 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，.已知 ()求角 B 的大小； ()设 = 2， = 3，求 b和的值 【答案】解：()在 中，由正弦定理得 = ，得 = ， 又 = ( 6 )， = ( 6
24、)， 即 = cos( 6) = 6 + 6 = 3 2 + 1 2， = 3， 又 (0,)， = 3 ()在 中， = 2， = 3， = 3， 由余弦定理得 = 2+ 2 2 = 7， 由 = ( 6)，得 = 3 7 ， ， = 2 7 ， 2 = 2 = 43 7 ， 2 = 22 1 = 1 7， sin(2 ) = 2 2 = 43 7 1 2 1 7 3 2 = 33 14 【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式、 二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用，考查运算求
25、解能力，是中档题 ()由正弦定理得 = ，结合 = ( 6)，由此能求出 B ()由余弦定理得 = 7，由 = ( 6)，得 = 3 7 ， = 2 7 ，由此能求出sin(2 ) 【2017 年】年】 一、【2017北京高考（理） 】在 中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，且2+ 2= 2+ .若 ，则 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】正弦定理及变形、利用余弦定理判断三角形的形状 【解析】 【分析】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题 由已知2+ 2= 2+ ，利用余弦定理可得 = 1
26、2，可得 = 3，由sin = sin 2，利用正弦定理 可得 = 2，代入2+ 2= 2+ ，可得 = .由此可以确定三角形形状 【解答】 解：因为2+ 2= 2+ ，所以 = 2+ 2 2， 利用余弦定理可得 = 2:2;2 2 = 1 2， 因为， 故， 因为，利用正弦定理可得 = 2， 代入2+ 2= 2+ 可得( )2= 0，故 = ， 所以 为等边三角形 故选 C 【2017北京高考（理） 】在 中， = 60， = 3 7. (1)求 sinC 的值； (2)若 = 7，求 的面积 【答案】解：(1) = 60， = 3 7， 由正弦定理可得 = 3 7 = 3 7 3 2 =
27、33 14 ； (2) = 7，则 = 3， ， = 5， = 6， = 3 5 ()求 b和 sinA的值； ()求sin(2 + 4)的值 【答案】解：()在 中， ， 故由 = 3 5，可得 = 4 5 由已知及余弦定理， 有2= 2+ 2 2cos = 25 + 36 2 5 6 4 5 = 13， = 13 由正弦定理 = ，得 = = 313 13 = 13， = 313 13 ； ()由()及 ，得 = 213 13 ， 2 = 2 = 12 13，2 = 1 2 2 = 5 13 故sin(2 + 4) = 2 4 + 2 4 = 12 13 2 2 5 13 2 2 = 72
28、 26 【知识点】二倍角正弦公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、利用正弦定理解三角形、利用余弦定 理解三角形 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数关系，考查倍角公式的应用， 属于中档题 ()由已知结合同角三角函数基本关系式求得 cosB，再由余弦定理求得 b，利用正弦定理求得 sinA； ()由同角三角函数基本关系式求得 cosA，再由倍角公式求得 sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案 【2017天津高考（文） 】在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.已知 = 4， = 5(2 2 2) ()求 cosA的值； ()求sin(2 )的值
29、 【答案】()解：由 = ，得 = ， 又 = 4， 两式作比得： 4 = ， = 2 由 = 5(2 2 2)，得2+ 2 2= 5 5 ， 由余弦定理，得 = 2:2;2 2 = ; 5 5 = 5 5 ； ()解：由()，可得 = 25 5 ， 代入 = 4，得 = 4 = 5 5 由()知，A 为钝角，则 B为锐角， = 1 sin2 = 25 5 ， 于是2 = 2 = 4 5，2 = 1 2 2 =3 5， 故sin(2 ) = sin2cos cos2sin = 4 5 ( 5 5 ) 3 5 25 5 = 25 5 【知识点】二倍角正弦公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、利
30、用正弦定理解三角形、两角和与差 的正弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查正，余弦定理在解三角形中的应用，三角函数二倍角公式及和差角公式的应用， 属于中档题 ()由正弦定理得 = ，结合 = 4，得 = 2.再由 = 5(2 2 2)，得 2+ 2 2= 5 5 ，代入余弦定理的推论可求 cosA 的值； ()由()可得 = 25 5 ， 代入 = 4， 得 sinB， 进一步求得.利用倍角公式求 sin2B， cos2B， 展开两角差的正弦可得sin(2 )的值 四、【2017上海高考】已知函数() = cos2 sin2 + 1 2， (0,) (1)求()的单调递增区间； (2)
31、设 为锐角三角形，角 A 所对边 = 19，角 B所对边 = 5，若() = 0，求 的面积 【答案】解：(1)函数() = cos2 sin2 + 1 2 = 2 + 1 2， (0,)， 由2 2 2， ， 解得 1 2 ， ， (0,)， 可得()的单调递增区间为 2 ,)； (2)设 为锐角三角形， 角 A 所对边 = 19，角 B所对边 = 5， 若() = 0，即有2 + 1 2 = 0，A为锐角， 解得2 = 2 3，即 = 1 3， 由余弦定理可得2= 2+ 2 2， 化为2 5 + 6 = 0， 解得 = 2或 3， 若 = 2，则 = 19:4;25 2192 0， 即有 B为钝角， = 2不成立， 则 = 3，经检验符合条件， 的面积为 = 1 2 = 1 2 5 3 3 2 = 153 4 【知识点】三角形面积公式、判断余弦型函数的单调性或求解单调区间、二倍角余弦公式、利用余弦定理 解三角形 【解析】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考 查运算能力，属于中档题 (1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，可得所求单调增区间； (2)由() = 0，解得 A，再由余弦定理解方程可得 c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值
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