1、北京高考高三导数专题复习 函数是贯穿高中数学课程的主线， 而导数是研究函数的基本工具， 导数的问题涉及到方程、 不等式、函数等所有的代数知识，同时，也会与图形的分析有直接的关系，所以导数相关问题 是有一定综合程度和难度的. 一、高考要求（按原文科要求） 考试内容 要求层次 A B C 导数概念及其几 何意义 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 根据导数定义求, 2 xyxycy 1 y x 的导数 导数的四则运算 导数公式表 导数在研究函数 中的应用 利用函数导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次) 利用导数研究函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次) 利用导数解决某些实际问题
2、 二、北京导数考点分类 考查考查 要点要点 考查内容考查内容 考查届别及设问位置考查届别及设问位置 主要函数主要函数 特色特色 考查考查 切线 方程 求切线方程 2009 理 18- 2010 理 18- 2013 理 18- 2015 理 18- 2016 文 19- 2020 京 19- 2019 理 19-文 20- 2017 理 18-文 19- 由直线与曲线相切 求参数的值或取值 范围 2012 理 18- 2013 文 19- 2014 文 18- 2016 理 18- 2018 理 18- 2018 文 18- 判断切线条数 2014 文 18- 3 ( )23f xxx 三次函
3、数 图象性质 单调 区间 求单调区间 2009 理 18- ( )e(0) kx f xxk 2010 理 18- 2 ( )ln(1)(0) 2 k f xxxxk 2012 理 18- 2 ( )1(0)f xaxa 3 ( )g xxbx 2015 文 19- 2 ( )ln ,0 2 x f xkx k 2016 理 18- ( )ea xf xxbx 构造函数 二阶导函数 由单调性求参数范 围 2009 理 18- 极值 最值 求极值 2015 文 19- 由极值求参数范围 2018 理 18- ( )f x = 2 (41)43axaxa e x f （x）=（ax1）(x2)ex
4、 2018 文 19- 求最值 2014 文 18- 2017 理 18-文 19- ( )e cos x f xxx 构造函数 二阶导函数 2020 京 19- 2 12( )xfx 构造函数 由最值证明不等式 2014 理 18- 2015 理 18- 3 2 3 x f xx 构造函数 2019 理 18-文 19- 32 4 ( ) 1 fxxxx ( )6xf xx 构造函数 由最值求参数范围 2011 理 18- 2015 理 18- 1 ln 1 x f x x ， 3 3 x f xk x 构造函数 2019 理 18-文 19- 32 4 ( ) 1 fxxxx 构造函数求最
5、值 2014 理 18- ( )cossin ,0, 2 f xxxx x sin x ab x 构造函数 二阶导函数 曲线 位置 关系 证明曲线与切线位 置关系 2013 理 18- ln x y x 由曲线与直线位置 关系求参数范围 2013 文 19- 2 ( )sincosf xxxxx 图象（单调 性+极值） 零点 证明零点个数 2015 文 19- 1 (1)0,()0 22 ek ffe 找介值定理 的端点 a，b 证明零点个数的充 分必要条件 2016 文 19- 32 ( )f xxaxbxc 三次曲线性 质 由零点情况求参数 范围 2016 文 19- 32 ( )44f
6、xxxxc 图象（单调 性+极值） 三、复习建议 （一） 全面复习，构建知识体系 1总体把握： （1）导数相关概念理解和求导运算是重要基础； （2）函数性态的全面认识取决于其单调性研究. 2理解概念：导数、切线、极值、极值点 3重视运算：求导公式、求导运算法则；找准学生运算过程中的各种问题 （二）复习要落实三大类问题 （一）（一）切线问题 1常用方法：据条件、列方程 待定系数法： 000 ()()()yf xfxxx； 2检查重点：区分“在点处”与“过点”的切线. （二）（二）求单调区间或极值、最值问题 1解题程序 (1)求定义域； (2)求导数 fx； 导数 导数概念 平均变化率 瞬时变化率
7、 曲线割线斜率 曲线切线斜率 导数运算 基本初等函数求导 求导公式 简单函数求导 “四则运算”法则 导数应用 求曲线切线方程 研究函数单调性 函数性质与图象 函数的应用 求函数极值最值 (3)求方程 0fx的根,判断 fx符号； (4)规范列表（正确判断 fx在方程根左右的值的符号，明确极值） ； (5)写出单调区间.（多个同单调性区间要用逗号隔开，不能用“” ） 2. 注意的几个要点 （1）求导要确保正确； （2）坚持规范列表（除非分类讨论有多种情况） ； （3）要注意区分极值与极值点概念的不同； （4）求极值或最值，一定要指明是极（最）大值还是极（最）小值及何时取到. 3. 分类讨论 （1
8、）理解分类的理由和讨论的标准； （2）分类讨论做到不重不漏； （3）关注定义域和题目给定参数的范围. （三）（三）函数性质探究问题 1数形结合 （1）关注数形结合对解题思路的引领； （2）利用数形结合能高效分析导函数零点和符号； （3）以数解形，以形助数；导数是工具，图象是核心. 2目标函数 （1）分析问题、构建函数、研究函数、解决问题； （2）目标函数的选择或构建引发一题多解，加强落实和辨析； （3）把函数性态问题转化为运算问题，用导数程序思想理解和表达问题. 四、参考例题 导数综合题形式上变化很多, 但归根结底在于：合理利用导数工具研究函数性质形态，把导数理论有效 整合到函数认知体系中，从
9、而做到从函数整体性态上更为准确地认识函数和应用函数. 例 1、 【2011 北京理 18】已知函数 () 求的单调区间； () 若对于任意的，都有，求的取值范围 （）令，得. 当0 时，的情况如下： () (,) + 0 0 + 0 所以，的单调递减区间是（）和；单调递减区间是 当0 时，因为 1 1 (1) k k f ke e ，所以不会有 当 k时,一元二次方程 2 210axax 的判别式4 (1)0a a ， 记 12 ,x x是方程的两个根，不妨设 12 xx. 则 12 12 20, 1 0. xx x x a 所以 12 0 xx. 此时( )fx，( )f x随x的变化如下：
10、 x 1 (,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 极大值 极小值 所以( )f x的极小值为 2 ()f x. 又因为( )f x在 2 ,0 x单调递增， 所以 2 ()(0)1f xf=. 所以( )f x的极小值为小于1. 例 9、 【2020.4 西城一模 19】 设函数 2 ( )ln(2)f xaxxax，其中aR. （）若曲线( )yf x在点(2,(2)f 处切线的倾斜角为 4 ，求a的值； （）已知导函数( )fx 在区间(1, )e上存在零点，证明：当(1, )xe时， 2 ( )f x e. 解:（）由题
11、意，得( )2(2)fxxa x a ， 则 (2)tan 4 f ， 即2 2 4()1a a ，解得2a . （） (2 ( )2(2) )(1)x fx aa x xa xx ，其中(1,e)x. 令0 (2 ( ) )(1)ax fx x x ，得1x ，或 2 a x . 由导函数( )fx 在区间(1,e)上存在零点，得(1,e) 2 a ，即 (2,2e)a . 随着x变化，( )fx与( )f x的变化情况如下表所示： x (1,) 2 a 2 a (,e) 2 a ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以( )f x在(1,) 2 a 上单调递减，在(,e) 2 a 上单调
12、递增. 所以( )f x在(1,e)上存在最小值 2 ( )ln( ) 224 aaa faa . 设 2 ( )2 ln2g xxxxx，(1,e)x. 则( )( ) 22 aa gf，(1,e) 2 a . 所以( )2ln2g xxx. 由(1,e)x，得2ln(0,2)x，2(2,2e)x，则( )2ln20g xxx . 所以( )g x在区间(1,e)上单调递减. 所以 2 ( )(e)eg xg ，即 2 ( )( )e 22 aa gf 故当(1,e)x时， 2 ( )ef x . 附件附件历年北京高考导数解答题历年北京高考导数解答题 【2009 理 18】设函数( )e(0
13、) kx f xxk （）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函数( )f x在区间( 1,1)内单调递增，求k的取值范围 【2010 理 18】已知函数 2 ( )ln(1)(0) 2 k f xxxxk （）当2k 时，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （）求( )f x的单调区间 【2011 理 18】已知函数 2 ( )() e x k f xxk （）求( )f x的单调区间； （）若对于任意的(0,)x，都有( )f x 1 e ，求k的取值范围 【2012 理 1
14、8】已知函数 2 ( )1(0)f xaxa， 3 ( )g xxbx. （）若曲线( )yf x与曲线( )yg x在它们的交点(1, ) c处具有公共切线，求, a b的值； （）当 2 4ab时，求函数( )( )f xg x的单调区间，并求其在区间(, 1 上的最大值 【2013 理 18】设L为曲线C： ln x y x 在点)0 , 1 (处的切线 （）求L的方程； （）证明：除切点)0 , 1 (之外，曲线C在直线L的下方 【2013 文 18】已知函数 2 ( )sincosf xxxxx （）若曲线( )yf x在点( ,( )a f a)处与直线yb相切，求a与b的值； （
15、）若曲线( )yf x与直线yb 有两个不同的交点，求b的取值范围 【2014 理 18】已知函数( )cossin ,0, 2 f xxxx x . （）求证：( )0f x ； （）若 sin x ab x 在(0,) 2 上恒成立，求a的最大值与b的最小值. 【2014 文 18】已知函数 3 ( )23f xxx. （）求( )f x在区间 2,1上的最大值； （）若过点(1, )Pt存在 3 条直线与曲线( )yf x相切，求t的取值范围； （）问过点( 1,2), (2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线( )yf x相切？（只需写出结论） 【2015 理 18】已知函
16、数 1 ln 1 x f x x （）求曲线 yf x在点 00f，处的切线方程； （）求证：当0 1x，时， 3 2 3 x f xx ； （）设实数k使得 3 3 x f xk x 对0 1x，恒成立，求k的最大值 【2015 文 19】设函数 2 ( )ln ,0 2 x f xkx k. （）求( )f x的单调区间和极值； （）证明：若( )f x存在零点，则( )f x在区间(1,e上仅有一个零点。 【2016 理 18】设函数( )ea xf xxbx ，曲线( )yf x在点(2, (2)f处的切线方程为(e1)4yx （）求, a b的值； （）求( )f x的单调区间 【2
17、016 文 19】设函数 32 ( )f xxaxbxc （）求曲线( )yf x在点(0, (0)f处的切线方程； （）设4ab若函数( )f x有三个不同零点，求c的取值范围； （）求证： 2 30ab是( )f x有三个不同零点的必要而不充分条件 【2017 理 18 文 19】已知函数( )e cos x f xxx. （）求曲线( )yf x在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数( )f x在区间0，上的最大值和最小值. 【2018 理 18】设函数 ( )f x = 2 (41)43axaxaex （）若曲线 ( )yf x 在点(1, (1) f 处的切线与x轴平行，求
18、a； （）若 ( )f x 在2x 处取得极小值，求a的取值范围 【2018 文 19】设函数 2 ( )(31)32exf xaxaxa. （）若曲线在点(2,(2)f处的切线斜率为 0，求 a； （）若( )f x在处取得极小值，求 a 的取值范围. 【2019 理 19 文 20】已知函数 32 4 ( ) 1 fxxxx. （）求曲线( )yf x的斜率等于 1 的切线方程； 2 ( )yf x 1x （）当 2,4x 时，求证：( )6xf xx； （） 设( ) |( )()|()xxxafaFR， 记( )F x在区间 2,4上的最大值为( )M a. 当( )M a最小时， 求a的值. 【2020 北京 19】已知函数 2 12( ) xfx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （）设曲线( )yf x在点( ,( )t f t处的切线与坐标轴围城的三角形面积为( )S t，求( )S t的最小值.
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