1、 1 / 23 第第 4 章章 相似三角形单元测试相似三角形单元测试(B 卷提升篇）卷提升篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2018 秋西湖区期末）由不能推出的比例式是（ ） A B C D 【思路点拨】依据比例的性质进行变形，即可得出结论 【答案】解：A由可得，故本选项不合题意； B由可得，+1+1，即，故本选项不合题意； C由可得，11，即，故本选项符合题意； D由可得，故本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握内项之积等于外项之积 2 （3
2、 分） （2020余杭区一模）如图，ABCDMN，点 M，N 分别在线段 AD，BC 上，AC 与 MN 交于点 E，则（ ） A B C D 【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理，利用 MECD 得到，则利用比例的性质可判断 D 选项正确 【答案】解：MECD， ， 2 / 23 故选：D 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 3 （3 分） （2019 秋温州期末）如图，在 56 的方格纸中，画有格点EFG，下列选项中的格点，与 E， G 两点构成的三角形中和EFG 相似的是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【思路点拨】根据网格图
3、形可得所给EFG 是两直角边分别为 1，2 的直角三角形，然后利用相似三角 形的判定方法选择答案即可 【答案】解：观察图形可得EFG 中，直角边的比为， 观各选项，只有 D 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角 三角形的特点是解题的关键 4 （3 分） （2020下城区模拟）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为点 D，如果 ，AD9，那么 BC 的长是（ ） A4 B6 C2 D3 【思路点拨】证明ADCCDB，根据相似三角形的性质求出 CD、BD，根据勾股定理求出 BC
4、【答案】解：ACB90， ACD+BCD90， CDAB， A+ACD90， 3 / 23 ABCD，又ADCCDB， ADCCDB， ， ，即， 解得，CD6， ， 解得，BD4， BC2， 故选：C 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 5 （3 分） （2019 秋保山期末）如图，在ABC 中，点 P 在边 AB 上，则在下列四个条件中：ACP B； APCACB； AC2APAB； ABCPAPCB， 能满足APC 与ACB 相似的条件是 （ ） A B C D 【思路点拨】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组
5、对应边的比相等且 夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断 【答案】解：当ACPB，AA， 所以APCACB； 当APCACB，AA， 所以APCACB； 当 AC2APAB， 即 AC：ABAP：AC，AA 所以APCACB； 当 ABCPAPCB，即 PC：BCAP：AB， 而PACCAB， 4 / 23 所以不能判断APC 和ACB 相似 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两 组角对应相等的两个三角形相似 6 （3 分） （2020天台县模拟）如图，在ABC 中，点 E 是线段 AC 上一点，AE：CE1：2，过点 C 作
6、CD AB 交 BE 的延长线于点 D，若ABE 的面积等于 4，则BCD 的面积等于（ ） A8 B16 C24 D32 【思路点拨】先由 CDAB，证得ABECDE，再根据已知条件及相似三角形的性质得出 SCDE的 值，然后根据BCE 中 CE 边上的高和ABE 中 AE 边上的高相等及 CE2AE，得出 SBCE的值，最后 利用关系式 SBCDSCDE+SBCE，可得答案 【答案】解：CDAB ABECDE 又AE：CE1：2 SABE4 SCDE16 AE：CE1：2 CE2AE BCE 中 CE 边上的高和ABE 中 AE 边上的高相等 SBCE2SABE SABE4 SBCE248
7、 SBCDSCDE+SBCE16+824 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及等高三角形的面积关系，熟练掌握相关性质及定理是解 5 / 23 题的关键 7 （3 分） （2020姑苏区一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为（ ） A3：4 B9：16 C9：1 D3：1 【思路点拨】可证明DFEBFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案 【答案】解：四边形 ABCD 为平行四边形， DCAB， DFEBFA， DE：EC3：1， DE：DC3：4，
8、 DE：AB3：4， SDFE：SBFA9：16 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于 相似比的平方 8 （3 分） （2019杭州模拟）如图，已知O 的内接ABC 中，AB+AC12，ADBC 于 D，AD3，直径 AE 交 BC 边于点 G，有下列四个结论： AGEGBGCG；BE2EGAE；当 AB6 时，O 的面积取得最大值 36；三角形外接圆直 径等于它的任两边的积与第三边上的高的比 其中正确结论有（ ） 6 / 23 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【思路点拨】由相交弦定理得是正确的； 由条件并不能得出BEG
9、与AEB 相似，故是错误的； 由条件可证ABE 与ADC 相似，从而可得 AEADABAC，进而可得O 的半径，设 ABx，O 的半径为 y，则有，故当 AB6 时，O 的最大面积为 36，故是正确的； 由 AEADABAC 这一结论一般化，得是正确的 【答案】解：由相交弦定理可知： AGEGBGCG， 所以正确； 由已知条件不能证明BEG 与AEB 相似， 所以错误； AE 是O 的直径， ABE90， ADBC， ADC90， ABEADC，EC， ABEADC， ， 即 AEADABAC， 设 ABx，O 的半径为 y， 则， （x6）2+6， 7 / 23 当 AB6 时，O 的最大半
10、径为 6， O 的最大面积为 36， 所以正确； AEADABAC， AE， 三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比， 所以正确 所以其中正确结论有 故选：C 【点睛】本题考查内接三角形与外接圆的概念、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函 数的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识 9 （3 分） （2018 秋南浔区期末）如图，已知在ABC 纸板中，AC4，BC8，AB11，P 是 BC 上一点， 沿过点 P 的直线剪下一个与ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 CP 长的取值范 围是（ ） A0CP1 B0CP2 C1CP8 D2CP8 【思
11、路点拨】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到 AP 的长的取值范围 【答案】解：如图所示，过 P 作 PDAB 交 AC 于 D 或 PEAC 交 AB 于 E，则PCDBCA 或BPE BCA， 此时 0PC8； 如图所示，过 P 作BPFA 交 AB 于 F，则BPFBAC， 此时 0PC8； 8 / 23 如图所示，过 P 作CPGB 交 AC 于 G，则CPGCAB， 此时，CPGCBA， 当点 G 与点 A 重合时，CA2CPCB，即 42CP8， CP2， 此时，0CP2； 综上所述，CP 长的取值范围是 0CP2 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质
12、，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 10 （3 分） （2019萧山区一模） 如图， ABC 中， D 为边 AB 上一点， E 是 CD 的中点， 且ACDABE 已 知 AC2，设 ABx，ADy，则 y 与 x 满足的关系式为（ ） Axy4 B2xyy24 Cxyy24 Dx2+xy2y24 【思路点拨】过 C 作 CFEB 交 AB 的延长线于 F，利用相似三角形的性质求解即可 【答案】解：过 C 作 CFEB 交 AB 的延长线于 F，由于 E 为 CD 中点，故 BFBD，FABE，而 ACDABE， ACDF， 在AFC 和ACD 中， ACDF，AA， AFCACD，
13、， AC2ADAF， 又BECF，DECE， 9 / 23 DBBFxy， 22y（2xy） ， 2xyy24， 故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等 难度的题目 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2019 秋奉化区期末）若，则的值为 【思路点拨】设k，利用比例的性质得到 a5k，b3k，然后把 a5k，b3k 代入代数式中进行 分式的运算即可 【答案】解：设k，则 a5k，b3k， 所以 故答案为 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质是解决此
14、类问题的关键 12 （4 分） （2019 秋衢州期中）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割， 则这个人好看如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿 10.18 cm 的鞋子才能好 看？（精确到 0.01cm） 10 / 23 【思路点拨】根据黄金分割的定义即可求解 【答案】解：设她应穿 xcm 的鞋子，根据题意，得 0.618（95+x）65 解得 x10.18 答：她应穿 10.18cm 的鞋子才能好看 故答案为 10.18 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义 13 （4 分） （2019 秋瑞安市期末）如图，在ABC 中，
15、AC4，BC6，CD 平分ACB 交 AB 于 D，DE BC 交 AC 于 E，则 DE 的长为 2.4 【思路点拨】由条件可证出 DEEC，证明AEDACB，利用对应边成比例的知识，可求出 DE 长 【答案】解：CD 平分ACB 交 AB 于 D， ACDDCB， 又DEBC， EDCDCB， ACDEDC， DEEC， 设 DEx，则 AE4x， DEBC， 11 / 23 AEDACB， ， 即， x2.4 故答案为：2.4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质及相似三角形的性 质：对应边成比例 14 （4 分） （2019 秋江北区期末）如图，在
16、ABC 中，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，DEBC，EF AB，AD：BD5：3，CF6，则 DE 的长为 10 【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理得到，证明AEDECF，根据相似三角形 的性质列出比例式，代入计算得到答案 【答案】解：DEBC， ，AEDC， EFAB， CEFA，又AEDC， AEDECF， ，即， 解得，DE10， 故答案为：10 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定定 理和性质定理是解题的关键 15 （4 分） （2020上城区模拟）如图，在ABC 中，C90，点 D、E、F 分别在边 BC、AB、AC
17、 上， 且四边形 CDEF 为正方形，若 AE3，BE5，则 SAEF+SEDB 12 / 23 【思路点拨】设正方形 CDEF 的边长为 x，则 EFDEx，证明AEFEBD，利用相似比得到 AF x，BDx，在 RtBDE 中利用勾股定理得到 x2+（x）252，则 x2，然后根据三角形面积 公式计算 SAEF+SEDB 【答案】解：设正方形 CDEF 的边长为 x，则 EFDEx， EFBC， AEFB， AFEEDB90， AEFEBD， ，即， AFx，BDx， 在 RtBDE 中，x2+（x）252， x2， SAEF+SEDBxx+xxx2 故答案为 【点睛】本题考查了相似三角形
18、的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了正方形的性质 16 （4 分） （2019 秋温州期末）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆 O 上一点，C 是的中点，连结 AC 交 BD 于点 E，连结 AD，若 BE4DE，CE6，则 AB 的长为 4 13 / 23 【思路点拨】如图，连接 OC 交 BD 于 K设 DEkBE4k，则 DKBK2.5k，EK1.5k，由 AD CK，推出 AE：ECDE：EK，
19、可得 AE4，由ECKEBC，推出 EC2EKEB，求出 k 即可解决问 题 【答案】解：如图，连接 OC 交 BD 于 K，连结 BC ， OCBD， BE4DE， 可以假设 DEkBE4k，则 DKBK2.5k，EK1.5k， AB 是直径， ADKDKCACB90， ADCK， AE：ECDE：EK， AE：6k：1.5k， AE4， ECKEBC， EC2EKEB， 361.5k4k， k0， k， BC2， AB4 故答案为 4 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型 14 / 2
20、3 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2019 秋长兴县期末）如图，AC、BD 交于点 E，BCCD，且 BD 平分ABC （1）求证：AEBCED； （2）若 BC6，EC3，AE2，求 AB 的长 【思路点拨】 （1）证得DDBA，则结论得证； （2）由（1）可得，则 AB 的长可求出 【答案】 （1）证明：BCCD， DBCD， BD 平分ABC， DBCDBA， DDBA， 又AEBCED， AEBCED； （2）解：AEBCED， ， 又BCCD6，EC3，AE2， ， AB4 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，相似
21、三角形的判定与性质，熟练掌握相似三 角形的判定方法是解题的关键 18 （8 分） （2020东莞市一模）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，线段 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 （1）求证：ADFACG； 15 / 23 （2）若，求的值 【思路点拨】 （1）由AEDB、DAECAB 利用相似三角形的判定即可证出ADEACB；根 据相似三角形的性质再得出ADFC，即可证出ADFACG； （2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案 【答案】 （1）证明：AEDB，DAECAB， AEDABC， ADFC， 又， ADFACG； （2）解：
22、ADFACG， ， ， ， 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础 题 19 （8 分） （2019温州二模）在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上一点，且 BP3PC，Q 是 CD 的中点 （1）求证：ADQQCP； （2）若 PQ3，求 AP 的长 16 / 23 【思路点拨】 （1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：DC90，若证明两三角形 相似，可证两个三角形的对应直角边成比例； （2）证明 AQ2PQ，AQPQ 即可解决问题 【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ADCD，CD90； 又Q 是 CD 中点，
23、 CQDQAD； BP3PC， CPAD， ， 又CD90， ADQQCP； （2）由（1）知，ADQQCP， AQ2PQ， PQ3， AQ6， ADQQCP， AQDQPC，DAQPQC， PQC+DQADAQ+AQD90， AQQP， AQP90， PA3 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找 17 / 23 相似三角形相似的条件，属于中考常考题型 20 （10 分） （2019麻城市校级自主招生）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E，且 DC2CECA （1）求证：BCCD （2）分别延长
24、 AB，DC 交于点 P，若 PBOB，CD2，求O 的半径 【思路点拨】 （1）由 DC2CECA 和ACDDCE，可判断CADCDE，得到CADCDE， 再根据圆周角定理得CADCBD，所以CDBCBD，于是利用等腰三角形的判定可得 BCDC； （2）连结 OC，如图，设O 的半径为 r，先证明 OCAD，利用平行线分线段成比例定理得到 2，则 PC2CD4，然后证明PCBPAD，利用相似比得到，再利用比例的性质 可计算出 r 的值 【答案】 （1）证明：DC2CECA， ， 而ACDDCE， CADCDE， CADCDE， CADCBD， CDBCBD， BCDC； （2）解：连结 OC
25、，如图，设O 的半径为 r， CDCB， ， BOCBAD， OCAD， 18 / 23 ， PC2CD4， PCBPAD，CPBAPD， PCBPAD， ，即， r4， 即O 的半径为 4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定 两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用， 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合； 或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独 使用还是综合运用，都要具备应有的条件方
26、可也考查了圆周角定理 21 （10 分） （2020杭州）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE，DAE 的平分线 AG 与 CD 边交于点 G，与 BC 的延长线交于点 F设（0） （1）若 AB2，1，求线段 CF 的长 （2）连接 EG，若 EGAF， 求证：点 G 为 CD 边的中点 求的值 【思路点拨】 （1）根据 AB2，1，可以得到 BE、CE 的长，然后根据正方形的性质，可以得到 AE 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到 EF 的长，从而可以得到线段 CF 的长； 19 / 23 （2）要证明点 G 为 CD 边的中点，只要证明ADGF
27、GC 即可，然后根据题目中的条件，可以得 到ADGFGC 的条件，从而可以证明结论成立； 根据题意和三角形相似，可以得到 CE 和 EB 的比值，从而可以得到的值 【答案】解： （1）在正方形 ABCD 中，ADBC， DAGF， 又AG 平分DAE， DAGEAG， EAGF， EAEF， AB2，B90，点 E 为 BC 的中点， BEEC1， AE， EF， CFEFEC1； （2）证明：EAEF，EGAF， AGFG， 在ADG 和FCG 中 ， ADGFCG（AAS） ， DGCG， 即点 G 为 CD 的中点； 设 CD2a，则 CGa， 由知，CFDA2a， EGAF，GDF90
28、， EGC+CGF90，F+CGF90，ECGGCF90， EGCF， EGCGFC， 20 / 23 ， GCa，FC2a， ， ， ECa，BEBCEC2aaa， 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解 答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 22 （12 分） （2019 秋诸暨市期末）锐角ABC 中，BC6，AD 为 BC 边上的高线，SABC12，两动点 M， N 分别在边 AB，AC 上滑动，且 MNBC，以 MN 为边向下作正方形 MPQN（如图 1） ，设其边长为 x， （1）当 PQ 恰好落在边 BC 上（如图 2）
29、时，求 x； （2）正方形 MPQN 与ABC 公共部分的面积为时，求 x 的值 【思路点拨】 （1）根据 SABC12 求出 AD4，再由AMNABC，确定比例关系求出 x 的值即可； （2）当正方形 MPQN 与 ABC 公共部分的面积为 时，可分两种情况，一是当 PQ 在ABC 的内部， 二是当 PQ 在ABC 的外部，当当 PQ 在ABC 的外部时，根据相似三角形的性质得出比例线段，表达 出重叠部分面积，再列出方程，解出 x 的值即可 21 / 23 【答案】解： （1）BC6，AD 为 BC 边上的高线，SABC12， ， AD4， 设 AD 交 MN 于点 H， MNBC， AMN
30、ABC， ，即，解得 x， 当 PQ 恰好落在边 BC 上时，x （2）当 PQ 在ABC 的内部时，正方形 MPQN 与ABC 公共部分的面积即为正方形 MPQN 的面积， ， 解得， 当 PQ 在ABC 的外部时，如图 3，PM 交 BC 于点 E，QN 交 BC 于点 F，AD 交 MN 于点 H， 22 / 23 设 HDa，则 AH4a， 由得，解得 a， 矩形 MEFN 的面积为 MN（2.4x6） 即， 解得 x14，x22（舍去） ， 综上：正方形 MPQN 与ABC 公共部分的面积为时，x 为或 4 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正确进
31、行分类是解题的 关键 23 （12 分） （2020徐州模拟）如图，RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm，动点 P 从点 B 出 发，在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的 速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2） ，连接 PQ （1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值； （2）连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值 【思路点拨】 （1）分两种情况：当BPQBAC 时，BP：BABQ：BC；当BPQBCA 时，BP： BCBQ：BA，再根据 BP5t，QC4t，AB10cm，BC
32、8cm，代入计算即可； （2）过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB5t，PM3t，MC84t，根据ACQ 23 / 23 CMP，得出 AC：CMCQ：MP，代入计算即可 【答案】解：根据勾股定理得：BA； （1）分两种情况讨论： 当BPQBAC 时， BP5t，QC4t，AB10，BC8， ，解得，t1， 当BPQBCA 时， ，解得，t； t1 或时，BPQBCA； （2）过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，如图所示： 则 PB5t，PM3t，MC84t， NAC+NCA90，PCM+NCA90， NACPCM， ACQPMC， ACQCMP， ， ，解得 t 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键
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