1、常考易错题汇编常考易错题汇编-几何图形问题几何图形问题-最短线路问题最短线路问题 【知识点归纳】【知识点归纳】 通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生 活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题 如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于 凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它 们位于圆柱和圆锥面上， 那么所求的最短路线是曲线段； 但允许上述哪种情况， 它们都有一个共同点： 当研究面仅限于可展开为平面上，两点间的最短路线则是连结两点的
2、直线段 当我们遇到的球面是不能展成一个平面的我们用过 A、B 两点及地球球心 O 的平面及截地球，在地 球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 A、B 两点之间不超过半个圆周的弧线就是所 求的 A、B 两点间的最短路线，航海上叫短路程线 一选择题一选择题 1某高层公寓大火时，小王逃生的时候看了下疏散通道如图所示，则最快逃离到楼梯（图中阴影） 的通道共有（ ）条 A3 B9 C6 D12 2如图所示，从 A 到 B 需沿图中线段行走，那么由 A 经 P 到 B 的最短路线有（ ）条 A2 B12 C20 D40 二填空题二填空题 3A 点与 B 点是两个动点（如图），它们每秒行 1 格
3、，当 A、B 同时到达 C 点并且路程最短的情况 下，A 点有 种走法，B 点有 种走法 4五所学校 A、B、C、D、E 之间有公路相通，图上标出每段公路的千米数，想借一个学校召开一 次学生代表会议，应出席会议的 A 校有代表 6 人，B 校有代表 4 人，C 校有代表 8 人，D 校有代 表 7 人，E 校有代表 10 人为使参加会议的代表所走路程总和为最小，你认为会议借在 校 召开最合理 5由 15 个相同的菱形组成的小鱼，从鱼头 A 至鱼尾 B，有 条最短路线 6沿着格子线（如图），从 A 点经过 P 点到达 B 点，沿最短路线走，有 种不同的走法 7 如图， 在长、 宽、 高分别为 2
4、dm， 2dm， 4dm 的长方体上有一只蚂蚁从顶点 A 出发， 要爬到顶点 D， 这只蚂蚁爬过的线路正好最短并经过 B 点，则 BC 长 dm 8 一个旅游团从 A 地出发， 最后目的地是 N 处， 他们要游览图上所有的古迹 图上的数字是千米 这 些旅游者要按最短的路线游览，距离是 千米 9下图的网状线表示的城市中的马路，其中 C 点到 D 点的一段正在修路（不能通行），若 A 点是小 明家，B 点是学校，问小明上学有 条不同的路可走 （不能绕远路） 10如图，正方形 ABCO 和正方形 ODEF 的边长都是 3 厘米一条小虫从 O 点出发，先爬到 A 点， 然后沿箭头所指方向（经过 O 点
5、后不拐弯）再连续爬行 2003 厘米后，它离 点最近 11如图所示，从入口到出口的最短路线有 条 12如图，从人民小学到体育馆，只能向南或向东走，一共有 种不同的走法 13如图所示八面体顶点 A 有一只蚂蚁沿棱爬行，每个顶点最多只能经过一次，共有 种不同 方法可以到达顶点 C 三解答题三解答题 14同学们在东湖划船，1 号船要从东湖西岸的 A 点划到东岸，怎样划船路程最短？把最短的路线画 出来 15如图：从甲地到乙地有两条线路，哪条线路近一些？ 16在线路板上有边长为 1 厘米的方格，在方格的交叉点上有 2 个结点（图一），要求用一根导线将 各结点由 A 到 B 连接起来，导线长不得超过 19
6、 厘米，图二和图三为两种连法，但导线长度都超过 了规定，你又办法连好吗？请在图四中画出图形 17最短路径 如图，正方体纸箱的顶点 B 处有一粒米，一只蚂蚁从纸箱的一个顶点 A 处爬向顶点 B，它沿着哪 条路线爬行路程最短呢？动手画一画 18某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如图所示现在准备建设一座糖厂，糖厂建于哪处总运费最 省？ 19如图，小明家到学校有 3 条东西向的马路和 5 条南北向的马路他每天步行从家到学校（只能向 东或向南走），最多有多少种不同的走法？ 20 21如图是连接城市 A、B、C 的公路网，一辆汽车从 A 地出发，经过 B 到 C，可以选择不绕远路的 不同路线共有几种？ 22
7、 垃圾车要走过小区所有的街道，如图各线段表示小区的距离，从 A 点开出再回到 A 点，最少要 行 公里 23操作题 小明家住甲村，奶奶家住乙村小明星期天要从家里出发北山坡打柴，又到南山坡打柴，最后送 到奶奶家小明怎样走路程最近（画图表示） 24春日的校园樱花烂漫，美不胜收某同学前去游览的线路如图所示，其中 A 为入口处，B、C、D 为三个风景点，E 为三叉路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：km）某游 客从 A 处出发，以每小时 4km 的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时 若该游客沿路线 “ADCEA”游览回到 A 处时，共用去 2 小时 求 C、E 两点间的路程
8、； 若该游客从 A 处出发，打算在最短时间内游览完成三个景点并返回 A 处（仍按上述步行速度和 在景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一条步行路线，并对路线设计的合理性予 以说明 25如图所示，侦察员骑马从 A 地出发，去 B 地取情报在去 B 地之前需要先饮一次马，如果途中 没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来 26在如图所示的街道示意图中，从 A 到 B 的最短路线共有 条 27如图所示图形是新区规划的部分平面图： （1）如果从竹园修一条新路，与现在的书店到医院的那条路相连结，要使这条新路的距离最短， 应该怎样修？请在图上画出来 （2）从菊园到医院
9、，请你选择一条最近的路在途中标示出的地名，表示这条路最近的路线：菊 园 医院 量一量：图中你选择这条最近的路有 厘米（得数保留整厘米数） 算一算：这条路实际有 千米如果从菊园到医院坐出租车，走你选择的这条路，要付 元钱（注：新区内出租车收费标准是：1.5 千米内收费 4 元，超过 1.5 千米以后的每千米收费 1.4 元，尾数不足 1 千米的按 1 千米收费，总价按四舍五入收整元） 28如图，在河的两岸共有三个小镇 A、B、C问应在河的什么位置架两座桥，使两岸人们来往路 程最短？（两座桥都垂直于河岸） 29如图，明明家到学校有 5 条东西方向的马路和 3 条南北方向的马路，他每天步行从家到学校
10、（只 能向东或向南走），最多有多少种不同的走法？ 参考答案参考答案 一选择题一选择题 1解：如图所示： 故最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有 6 条 答案：C 2解：根据分析画图如下： 所以由 A 经 P 到 B 的最短路线有 20 条 答案：C 二填空题二填空题 3解：要想 A、B 同时到达 C 点并且路程最短、B 都需要移动 3 格： A 点一共有 3 种走法： B 点有 2 种不重复的走法： 答案：3，2 4解：在 A 校召开，行走的总路程是：24+38+47+710146， 在 B 校召开，行走的总路程是：26+38+57+510100， 在 C 校召开，行走的总路程是：76+38+
11、57+81097， 在 D 校召开，行走的总路程是：46+54+53+410112， 在 E 校召开，行走的总路程是：77+45+78+44106， 答：为使参加会议的代表所走路程总和为最小，你认为会议借在 C 校召开最合理 答案：C 5解：最短的路线如下： 可以看出，共有 120 条 答案：120 6解：由图可知：最短路线是 7 个格子， 路线为：AMPCDFGB； AMPCHFGB； AMPCHXGB； AMPCHXKB； ASPCDFGB； ASPCHFGB； ASPCHXGB； ASPCHXKB； 从 A 点经过 P 点到达 B 点，沿最短路线走； 答案：8 7解：根据展开图分析和两点
12、之间线段最短可得：AD 就是蚂蚁爬行的最短路线，且 BC：BECD： AE1：2， 4+23， 3（分米）， 答：BC 的长为分米 答案： 8解：最短路线为：ABXCDTEFN， 则总路程为： 130+100+50+130+100+50+130+100， 790（千米） 答：这些旅游者要按最短的路线游览，距离是 790 千米 答案：790 9解：根据题意，标数如下： 所以，小明上学有 44 条不同的路可走 答案：44 10解：发现小虫爬行 8 条边又回到 O 点，也就是小虫的爬行周期为 8 条边； 连续爬行 2003 厘米，共爬行正方形的边数为：20037667（条）2（厘米），又往前爬行了
13、2 厘米； 那么 667 条边有几个周期呢？667883（个周期）3（条边），又向前爬行了 3 条边；因为小 虫爬行了 667 条边后，所以小虫应超过 C 点 6 厘米 综上，小虫离 O 点最近 答案：O 11解：由上图可知从入口到出口的最短路线有 6 条，即：入口ABC出口； 入口ADE出口；入口FDC出口；入口FGE出口 答案：6 12解： 所以，共有 4 种； 答：一共有 4 种不同的走法 答案：5 13解：方法有： 中间经过一个点：ABC；AEC；AFC； 中间经过两个点 ABEC；AEBC；AFBC；ADEC；ADFC； 中间经过三个点 ABEDC；ADEBC；AFDEC；ADFBC
14、；A EBFC； 中间经过四个点 ABEDFC；AFDEBC；ABFDEC；AEB FDC；ADEBFC； 一共有：4+8+8+828（种） 答：共有 28 种不同方法可以到达顶点 C 答案：28 三解答题三解答题 14解：画图如下： 15解：如图， 第一条路（过点 A 的路）：3.14515.8（m）， 第二条路（过点 E 的路）：3.141+2.144 3.14+12.56 15.6（m）， 15.7m15.7m， 因此，两条路同样长； 答案：同样长 16解：如图， 这样连接正好是 19 厘米，不超过 19 厘米 17解：如图： 18解：由下图可知， 在 AF 厂之间 C 厂在它们的中间，
15、所以糖厂建于 C 处总运费最省 19解：标数法如下： 答：最多有 15 种不同的走法 20解：从家到商店有三条路可走，从家直接到商店的路最近 21解：由 A 到 B 有 6 种方法，由 B 到 C 有 7 种不绕远路的方法 由 A 经过 B 到 C 有 3742 种方法 答：选择不绕远路的不同路线共有 42 种 22解：如上图，最短线路为：ABCDEFCDGHIJGHKLIJE FA、GH、EF 需要重复走； 所以走的路程即所有街道的路程加上需要重复走的 CD、GH、EF 的路程， 即（1+2+2+3+1）5+36+8+3+3+450（公里） 答案：50 23解：两点之间，直线段最短如图，连接
16、甲乙后交北山坡于 A； 小明应在 A 处打柴，在 B 处打柴，此时路程最近 24解：（1）CE 长为： （20.42）4（5.3+1+7.1）， 143.4， 53.4， 4.6（km） （2）路线是：由图可知最佳路线为 ADCEBEA， 路程为：1.7+1+0.4+0.4+8.4+1.54.8（km）， 此路程线路为最短 答：（1）CE 长为 5.6km（2）路线是：最佳路线为 ADCEBEA 25解：如图，从 A 点到 P 点饮马，最节省时间； 26解：经过的最短路线有 3 条； 经过的最短路线有 4 条； 经过的最短路线有 4 条； 经过的最短路线有 1 条； 故从 A 到 B 的最短路线共有 3+2+2+110 条 答案：10 27解：（1）画图如下： （2）从菊园到医院最近的路线：菊园书店医院量得这条路约有 4 厘米， 实际距离是：4800000（厘米）8 千米 付费为：85.56.4（千米）7 千米， 4+81.4， 6+9.8， 13.8（元）， 14 元， 答：这条路实际有 2 千米如果从菊园到医院坐出租车，要付 14 元钱 答案：书店；4；8；14 28解：如图，过 A 点做河岸的垂线，连接 BD 交河岸于点 E，交对岸于 F； 同理，GH 为 AC 小镇之间应架桥的位置 29解：如图， 1+18，2+18，1+38，1+43， 答：最多有 15 种不同的走法
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