1、2020-2021 学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷 一、填空题（共有一、填空题（共有 12 题题 16 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 分，分，712 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 分）分） 1代数式（其中 x0）可化简为 2已知向量 （5，3）， （1，x），且 ，则实数 x 3如果复数 z 满足（12i）z43i（i 为虚数单位），则|z| 4已知 为第三象限角，sin，则 tan（） 5已知关于 x 的一元二次不等式 x2axb0 的解集为（1，2），其中 a，bR，则函数 yax+b 的图象 必定不经过第 象限 6已知向量 （
2、5，3）， （1，2），则 在 上的投影向量的坐标为 7在流行病学领域，常用 Logisitic 模型作为预测预警模型，有学者根据已公布的数据建立了某国新州萨炎 在时间段 D（单位：天）内的 Logistic 函数为，其中，f（t）为累积确诊 病例数，M 为 D 内最大的每天确诊病例数，当 f（t）0.9M 时，标志着及情己取得初步遏制，则此时 t 约为 天（精确到 1 天） 8设点 P 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置 P0（0，1）出发，沿单位圆顺时针方向旋 转角后到达点 P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点 P2，若点 P2的纵坐 标是，则点 P1的坐标是 9已知
3、关于 x 的实系数一元二次方程 x2+（1k）x+k210 有两个虚根 x1，x2，且|x1|+|x2|2，则满足条 件的实数 k 的值为 10在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A30，b2，且满足条件的ABC 有两解， 设边 a 的所有可能取值构成集合 D，则函数的值域为 11写出一个最小正周期是 1，值域是0，1的函数解析式 （不用分段函数表示） 12 如图， 在直角三角形ABC 中， 斜边 AB4，以斜边 AB 为一边向外作矩形 ABMN， 且 BM2（其中点 M，N 与 C 在直线 AB 两侧），则的取值范围是 二、选择题二、选择题 13已知 a，bR，若
4、：|a|，|b|，：|a+b|1，则 是 的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 14下列幂函数在区间（0，+）上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ） A B C D 15我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图 所示，该扇面的圆心角为，长为，长为 10，则扇面 ABCD 的面积为（ ） A B C D 16函数与 y|sin2x|，x4，8交点的个数是（ ） A9 B10 C11 D12 三、解答题三、解答题 17已知全集 UR，函数 g（x）x2+x+2a，x0，1的值域为集合 B，集合
5、C x|xa|2，xR，a 为常数 （1）求集合 ； （2）若 BC，求实数 a 的取值范围 18已知 a，bR，i 是虚数单位，z1ai，z22+bi 在复平面上对应的点分别为 A，B （1）若 z12+z22是实数，求|的最小值； （2）设 O 为坐标原点，记，若，且点 C 在 y 轴上，求与的夹角 19如图所示，平面四边形 BCDE 为某金鱼池区域，ABE 为观光区域，准备在 AB、BE、AE 三条边上修 建观地训路，已知BCDCDEBAE，BCCD20米，DE80 米 （1）求四边形 BCDE 的面积（精确到 0.1 平方米）； （2）求观光道路长度总和的最大值（精确到 0.1 米，不
6、考虑道路的宽度） 20已知函数 （1）求函数 f（x）的振幅、频率、初始相位，以及在 x0，2上的增区间； （2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，得到函数 g（x）的图象，函数 h（x）f（x）+g（x）， 当，且 x1x2时，有 h（x1）h（x2），求 h（x1+x2）的值 21已知函数 f（x）2x+kg（x），kR （1）若 k，g（x）4x，求函数 f（x）的零点； （2）若 g（x）2x，写出函数 yf（x）在 R 上的奇偶性，不必说明理由； （3）若 g（x）x，判断函数 yf（x）在 R 上的单调性，并说明理由 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 1代数式（其中 x0
7、）可化简为 x 解：因为 x0， 所以 故答案为：x 2已知向量 （5，3）， （1，x），且 ，则实数 x 解：向量 （5，3）， （1，x），且 ， 5x3（1）0，解得 x 故答案为： 3如果复数 z 满足（12i）z43i（i 为虚数单位），则|z| 解：因为（12i）z43i， 所以， 则 故答案为： 4已知 为第三象限角，sin，则 tan（） 解：因为 为第三象限角，sin， 可得 cos， 所以 tan（）tan 故答案为： 5已知关于 x 的一元二次不等式 x2axb0 的解集为（1，2），其中 a，bR，则函数 yax+b 的图象 必定不经过第 二 象限 解：关于 x 的一
8、元二次不等式 x2axb0 的解集为（1，2）， 所以，解得 a3，b2， 所以函数 y3x2 的图象必定不经过第二象限 故答案为：二 6已知向量 （5，3）， （1，2），则 在 上的投影向量的坐标为 解：向量 （5，3）， （1，2）， 在 上的投影向量的坐标为：（ 1，2） 故答案为：（，） 7在流行病学领域，常用 Logisitic 模型作为预测预警模型，有学者根据已公布的数据建立了某国新州萨炎 在时间段 D（单位：天）内的 Logistic 函数为，其中，f（t）为累积确诊 病例数，M 为 D 内最大的每天确诊病例数，当 f（t）0.9M 时，标志着及情己取得初步遏制，则此时 t 约
9、为 63 天（精确到 1 天） 解：当 f（t）0.9M 时，即 ，即 ， 故答案为：63 8设点 P 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置 P0（0，1）出发，沿单位圆顺时针方向旋 转角后到达点 P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点 P2，若点 P2的纵坐 标是，则点 P1的坐标是 解：初始位置 P0（0，1）在的终边上， P1所在射线对应的角为， P2所在射线对应的角为， 由题意可知， 又， 则，解得， P1所在的射线对应的角为， 由任意角的三角函数的定义可知，点 P1的坐标是，即 故答案为： 9已知关于 x 的实系数一元二次方程 x2+（1k）x+k210 有两个虚根
10、 x1，x2，且|x1|+|x2|2，则满足条 件的实数 k 的值为 解：依题意，设 x1a+bi（b0），x2abi， 由根与系数的关系可得，则， 又|x1|+|x2|2， ，即 k211，解得， 又（1k）24（k21）0，解得 k1 或， 故答案为： 10在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A30，b2，且满足条件的ABC 有两解， 设边 a 的所有可能取值构成集合 D，则函数的值域为 解：在ABC 中，A30，b2， 所以 bsinA2， 因为满足条件的ABC 有两解， 所以 1a2，即 D（1，2）， 因为函数为单调递减函数， 则 f（2）f（x）f（1），
11、 所以， 则 f（x）的值域为 故答案为： 11写出一个最小正周期是 1，值域是0，1的函数解析式 f（x）|sinx|（答案不唯一） （不用分段 函数表示） 解：最小正周期为 1 且值域是0，1的函数可以考虑 y|sinx|， 则 f（x）|sinx| 故答案为：f（x）|sinx|（答案不唯一） 12 如图， 在直角三角形ABC 中， 斜边 AB4，以斜边 AB 为一边向外作矩形 ABMN， 且 BM2（其中点 M，N 与 C 在直线 AB 两侧），则的取值范围是 解：设ABC（，），以 C 为原点直线 CB、CA 分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 如图所示： 则 M（4cos
12、+2sin，2cos），N（2sin，4sin+2cos），C（0，0）， （4cos+2sin）2sin+2cos（4sin+2cos） 8sincos+4sin2+8sincos+4cos28sin2+4 （，），2（，），sin2，1， 8sin2+44+4，12 故答案为：4+4，12 二、选择题二、选择题 13已知 a，bR，若 ：|a|，|b|，：|a+b|1，则 是 的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 解：若|a|，|b|时， |a+b|a|+|b|+1，充分性成立， 当 a2，b2.5 时，满足|a+b|1，但|a|，|b|不成立，
13、必要性不成立， 是 的充分不必要条件， 故选：C 14下列幂函数在区间（0，+）上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ） A B C D 解：Ay的定义域0，+），为非奇非偶函数，不符合题意； By，定义域为 R，且为偶函数，不符合题意； Cy，定义域为 R，且为奇函数，符合题意； Dy，在在区间（0，+）上是严格减函数，不符合题意 故选：C 15我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图 所示，该扇面的圆心角为，长为，长为 10，则扇面 ABCD 的面积为（ ） A B C D 解：根据题意，得AO，则 AO20， 10OC，可得 OC
14、15， 所以扇面 ABCD 的面积 SS扇形OABS扇形OCD201510 故选：A 16函数与 y|sin2x|，x4，8交点的个数是（ ） A9 B10 C11 D12 解：作出函数与 y|sin2x|的图象如下图所示， 由图象可知，在4，8上共有 10 个交点， 故选：B 三、解答题三、解答题 17已知全集 UR，函数 g（x）x2+x+2a，x0，1的值域为集合 B，集合 C x|xa|2，xR，a 为常数 （1）求集合 ； （2）若 BC，求实数 a 的取值范围 解：（1）全集 UR， x|0 x| 0 x|x2 或 x1， （2）函数 g（x）x2+x+2a，x0，1的值域为集合
15、B， 集合 B2a，2a+2， 集合 Cx|xa|2，xRa2，a+2，a 为常数，BC， ，解得2a0， 实数 a 的取值范围是2，0 18已知 a，bR，i 是虚数单位，z1ai，z22+bi 在复平面上对应的点分别为 A，B （1）若 z12+z22是实数，求|的最小值； （2）设 O 为坐标原点，记，若，且点 C 在 y 轴上，求与的夹角 解：（1）因为 z1ai，z22+bi 在复平面上对应的点分别为 A，B， 所以 A（a，1），B（2，b）， 因为 z12+z22a2b2+3+（4b2a）i 是实数， 则 a2b， 所以， 故| |的最小值为； （2）设 C（0，y）， 因为，则
16、（0，y）（a，1）+（2，b）（a+2，b1）， 所以 a+20，yb1， 则 a2， 又， 所以，可得 b2a4，则 y5， 所以， 故， 所以与的夹角为 arccos 19如图所示，平面四边形 BCDE 为某金鱼池区域，ABE 为观光区域，准备在 AB、BE、AE 三条边上修 建观地训路，已知BCDCDEBAE，BCCD20米，DE80 米 （1）求四边形 BCDE 的面积（精确到 0.1 平方米）； （2）求观光道路长度总和的最大值（精确到 0.1 米，不考虑道路的宽度） 解：（1）如图，连接 BD，BCD，BCCD20米，故三角形 BCD 为等腰三角形， 且CBDCDB，由CDE，故
17、，所以 BDDE， 易知 BD2CDcosCDB60， 所以 S四边形BCDESBCD+SBDE 2919.69（平方米） （2）由（1）可知， 在ABE 中，由余弦定理得 BE2AB2+AE22ABAEcosBAE， 即 10000AB2+AE22AEABAB2+AE2+ABAE（AB+AE）2ABAE 因为，（当且仅当 ABAE 时，取等号）， 故式可化为：，即， 故观光道路长度总和的最大值约为 BE+115.5215.5 米 20已知函数 （1）求函数 f（x）的振幅、频率、初始相位，以及在 x0，2上的增区间； （2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，得到函数 g（x）的图象，函数
18、 h（x）f（x）+g（x）， 当，且 x1x2时，有 h（x1）h（x2），求 h（x1+x2）的值 解：（1）对于函数，它的振幅为 A1，频率，初始相位， 在 x0，2上，它的增区间为和 （2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，得到函数 g（x）sin（x+）cosx 的图象， 函数 h（x）f（x）+g（x）sin（x+）+cosxsinx+cosxsin（x+）， 当，且 x1x2时，有 h（x1）h（x2）， 即 sin（x1+ ）sin（x2+），sin（x1+）sin（x2+） 再根据 h（x）sin（x+）的图象的对称性，x1+x2+2， x1+x2 ， 故 h（x1+x2
19、）sin（x1+x2+ ）sinsin 21已知函数 f（x）2x+kg（x），kR （1）若 k，g（x）4x，求函数 f（x）的零点； （2）若 g（x）2x，写出函数 yf（x）在 R 上的奇偶性，不必说明理由； （3）若 g（x）x，判断函数 yf（x）在 R 上的单调性，并说明理由 解：（1）k，g（x）4x，2x 4 x0， 2x，解得 x （2）若 g（x）2x，则 f（x）2x+k2x， f（x）k2x+2x， 若 f（x）k2x+2xf（x）（2x+k2x）， 化为：（2x+2x）（k+1）0，k1， 当 k1 时，f（x）在 R 上为奇函数； 若 f（x）k2x+2xf（x）（2x+k2x）， 化为：（2x2x）（k1）0，k1， 当 k1 时，f（x）在 R 上为偶函数； 当 k1 时，f（x）在 R 上既不是奇函数又不是偶函数 （3）g（x）x， 则函数 f（x）2xkx， 当 k0 时，y2x在 R 上单调递增，k0 时，函数 ykx 在 R 上单调递增，k0 时，y0 为常数 函数，f（x）在 R 上是严格增函数； 当 k0 时，f（x）在 R 上既不是增函数也不是减函数
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