1、 2020 年四川省达州市中考数学押题试卷（一）年四川省达州市中考数学押题试卷（一） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，把你认为正确的答案写在答题卡相应的表格内）题目要求的，把你认为正确的答案写在答题卡相应的表格内） 1 （3 分）有理数的倒数是（ ） A B C D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa3+a32a6 B3m8m+6m1 C （2x2y）38x6y3 Dx6x2x3 3 （3 分）达州市今年参加中考人数
2、约为 45000 人，将 45000 用科学记数法表示为（ ） A4.5104 B0.45105 C4.5103 D45103 4 （3 分）如图所示几何体的俯视图是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，BCAE 于点 C，CDAB，B55，则1 等于（ ） A35 B45 C55 D65 6 （3 分）五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：28，30，31，28，29，则这五箱苹果质量的中位数和众数 分别为（ ） A30 和 28 B30 和 29 C28 和 28 D29 和 28 7 （3 分）若关于 x 的方程 x22（m+1）x+m2+30 有实数根，则反比例函数 y与一次函数
3、ymx+m 的图象大致是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC16，D 是 BC 边上一点，E 是 AC 边上一点，ADEC，CE： BD3：4，则 CD 的长为（ ） A12 B10 C8 D6 9 （3 分）小华在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使 点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以 求出 22.5角的正切值是（ ） A1 B+1 C+1 D1 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：
4、3a+b0；ab+c0； c0；a+b0其中正确的结论有（ ） A仅 B仅 C仅 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 12 （3 分）分解因式：3x212 13 （3 分） 为了丰富学生课余生活， 达州市某中学计划开设以下社团： A 足球， B 机器人， C 航模， D 绘 画，学校要求每人只能参加一个社团，小丽和小亮准备随机报名一个项目，则两人至少有一人参加“航 模”社团的概率为 14 （3 分）如图，在AOB 中，AOB90，tanOAB2，点 A 在反比例函数
5、 y的图象上，若点 B 在反比例函数 y的图象上，则 k 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，若矩形 OABC 的边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30，OC6，OA 12则点 B 的坐标为 16 （3 分）如图，在O 中，AB 是直径，D 是O 上一点，C 是的中点，弦 CEAB 于点 F，过点 D 的 切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CF，BC 于点 P，Q，连接 AC给出下列结论：BAD 2CAD；GPGD；AQ2PC；AFABCQCB；AQACQCBA其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分
6、 72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：|3|+2cos30+（） 1+（ ）0+ 18 （6 分）先化简，后计算：，其中 x2+x3 19 （7 分）为创建“国家园林城市” ，某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片制作比赛，评委会对 200 名 同学的参赛作品打分发现，参赛者的成绩 x 均满足 50 x100，并制作了频数分布直方图，如图 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）若依据成绩，采取分层抽样的方法，从参赛同学中抽 40 人参加图片制作比赛总结大会，则从成绩 80
7、 x90 的选手中应抽多少人？ （3）比赛共设一、二、三等奖，若只有 25%的参赛同学能拿到一等奖，则一等奖的分数线是多少？ 20 （7 分）我市为创建“国家级森林城市” ，政府对江边一处荒地进行绿化，要求栽植腊梅、黄葛两种不同 的树苗共 6000 棵，且腊梅树苗不得多于黄葛树苗某承包商以 35 万元的报价中标承包了这项工程根 据调查及相关资料表明： 移栽一棵树苗的平均费用为 8 元， 腊梅、 黄葛两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 腊梅树 20 90% 黄葛树 50 95% 设购买腊梅树苗 x 棵，承包商获得的利润为 y 元请根据以上信息解答下列问题： （1）设
8、y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）承包商要获得不低于中标价 16%的利润，应如何选购树苗？ （3）政府与承包商的合同要求规定：栽植这批树苗的成活率不得低于 93%，否则承包商出资补栽；若成 活率达到 94%以上（含 94%） ，则政府另给予中标价的 6%作为奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得 最大利润？最大利润为多少？ 21 （7 分）如图，直线 yx+b（b0）与双曲线 y（x0）交于点 A，与 x轴交于点 B，OA 与 x 轴 的正半轴的夹角为 ，且 OA2OB26，tan3，求一次函数和反比例函数的解析式 22 （8 分）如图，在一条笔直的公路 MN 的同侧
9、有 A，B 两个山头，为了测量这两个山头之间的距离，在 公路 MN 上选取点 C，在点 C 处测得ACM60，BCN45，从点 C 沿 CN 方向前进 1000 米到 达点 D，在点 D 处测得ADMADB45求 A，B 两个山头之间的距离（结果用根号表示） 23 （9 分）如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，且 CDAB 于点 F，连接 AD，O 的半径为 6，弦 CD 6 （1）试判断ACD 的形状，并说明理由； （2）若 E 为的中点，连接 CE 交 AB 于点 G求 CECG 的值 24 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，AB90，AD2，AB5，BC3 （1）如图，P 为 A
10、B 边上的一动点，以 PD，PC 为边作PCQD 请问四边形 PCQD 能否为矩形，若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由； 当 AP 时，四边形 PCQD 为菱形； 当 AP 时，四边形 PCQD 有四条对称轴 （2）如图，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？ 如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 （3） 如图， 若 P 为 DC 边上任意一点， 延长 PA 到 E， 使 AEnPA （n 为常数） ， 以 PE， PB 为边作PBQE， 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，
11、请说明理由 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0） ，C（3，0） ，D（3，4） 以 A 为顶点的抛物线 yax2+bx+c 过点 C，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动，点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的表达式； （2）过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点 P，Q 运
12、动的过程中当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q， E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值 2020 年四川省达州市中考数学押题试卷（一）年四川省达州市中考数学押题试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，把你认为正确的答案写在答题卡相应的表格内）题目要求的，把你认为正确的答案写在答题卡相应的表格内） 1 （3 分）有理数的倒数是（ ）
13、A B C D 【解答】解：（）（）1， 有理数的倒数是， 故选：D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa3+a32a6 B3m8m+6m1 C （2x2y）38x6y3 Dx6x2x3 【解答】解：A、a3+a32a3，故此选项错误； B、3m8m+6mm，故此选项错误； C、 （2x2y）38x6y3，正确； D、x6x2x4，故此选项错误； 故选：C 3 （3 分）达州市今年参加中考人数约为 45000 人，将 45000 用科学记数法表示为（ ） A4.5104 B0.45105 C4.5103 D45103 【解答】解：450004.5104， 故选：A 4 （3 分）如图所示
14、几何体的俯视图是（ ） A B C D 【解答】解：从上边看有两层，底层是三个正方形，上层的右边是一个正方形 故选：B 5 （3 分）如图，BCAE 于点 C，CDAB，B55，则1 等于（ ） A35 B45 C55 D65 【解答】解：如图，BCAE， ACB90 A+B90 又B55， A35 又 CDAB， 1A35 故选：A 6 （3 分）五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：28，30，31，28，29，则这五箱苹果质量的中位数和众数 分别为（ ） A30 和 28 B30 和 29 C28 和 28 D29 和 28 【解答】解：将这组数按小到大排列：28，28，29，30，31，
15、则中位数为 29， 28 出现了 2 次，出现的次数最多， 众数为 28 故选：D 7 （3 分）若关于 x 的方程 x22（m+1）x+m2+30 有实数根，则反比例函数 y与一次函数 ymx+m 的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：关于 x 的方程 x22（m+1）x+m2+30 有实数根， 2（m+1）24（m2+3）0 解得 m1， 反比例函数 y的图象在一三象限，一次函数 ymx+m 的图象经过一二四象限， 故选：B 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC16，D 是 BC 边上一点，E 是 AC 边上一点，ADEC，CE： BD3：4，则 CD 的长为（ ） A12
16、 B10 C8 D6 【解答】解：如图， ABAC， BC， ADEC， ADB180ADECDE， DEC180CCDE， ADBDEC， ABDDCE， ， AB16，CE：BD3：4， ， DC12 故选：A 9 （3 分）小华在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使 点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以 求出 22.5角的正切值是（ ） A1 B+1 C+1 D1 【解答】解：将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的
17、点 E 处， ABC90，ABBE， AEBEAB45， 还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处， AEEF，EAFEFAAEB22.5， 设 ABx，则 AEEFx，BFBE+EFx+x， tanAFBtan22.51， 故选：A 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：3a+b0；ab+c0； c0；a+b0其中正确的结论有（ ） A仅 B仅 C仅 D 【解答】解：抛物线开口方向向下，则 a0， 对称轴是直线 x1，则 b2a， 3a+b3a2aa0，故正确； 当 x1 时，y0，即 ab+c0，故正确； 抛物线与
18、 y 轴交于正半轴，则 c0，故正确； b2a， a+ba2aa， a0， a0， a+b0，故正确 综上所述，正确的结论是： 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 x2 且 x1 【解答】解：由题意得，x+20 且 x10， 解得 x2 且 x1 故答案为：x2 且 x1 12 （3 分）分解因式：3x212 3（x2） （x+2） 【解答】解：原式3（x24） 3（x+2） （x2） 故答案为：3（x+2） （x2） 13 （3 分） 为了丰富学生课余生活，
19、 达州市某中学计划开设以下社团： A 足球， B 机器人， C 航模， D 绘 画，学校要求每人只能参加一个社团，小丽和小亮准备随机报名一个项目，则两人至少有一人参加“航 模”社团的概率为 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，一共有 16 种等可能结果，其中两人至少有一人参加“航模”社团的有 7 种结果， 两人至少有一人参加“航模”社团的概率为， 故答案为： 14 （3 分）如图，在AOB 中，AOB90，tanOAB2，点 A 在反比例函数 y的图象上，若点 B 在反比例函数 y的图象上，则 k 12 【解答】解：如图，过点 A、B 分别作 AMx 轴，BNx 轴，垂足分别为 M、N，
20、AOB90，tanOAB2， AOM+BON1809090，2， 又OAM+AOM90， OAMBON， AMOONB90， AMOONB， （）24， 点 A 在反比例函数 y的图象上， SAMO|3|， SONB46|k|， 又k0， k12， 故答案为：12 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，若矩形 OABC 的边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30，OC6，OA 12则点 B 的坐标为 （63，6+3） 【解答】解：过点 B 作 BEOE 于 E，交 OA 于 H， OEH90， 四边形 ABCO 是矩形， ABOC6，A90， AOE30， AHBOHE60， AHAB62
21、， BH2AH4， OA12， OH122， HEOH6，OEOH63， BEBH+HE6+3， 点 B 的坐标是（63，6+3） ， 故答案为： （63，6+3） 16 （3 分）如图，在O 中，AB 是直径，D 是O 上一点，C 是的中点，弦 CEAB 于点 F，过点 D 的 切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CF，BC 于点 P，Q，连接 AC给出下列结论：BAD 2CAD；GPGD；AQ2PC；AFABCQCB；AQACQCBA其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【解答】解：C 是的中点， ， ABCCAD， CEAB， ， ACEABC， APFACE+CAD
22、2CAD， BAD 不一定为 45， BAD 不一定等于APF， BAD 不一定等于 2CAD，故错误； 连接 BD，OD，如图所示： GD 为圆 O 的切线， ODDG， ADG+ADO90， OAOD， OADODA， OAD+ADG90， 又OAD+APF90， APFADG， GDPGPD， GPGD，故正确； ， ACEDAC， APCP， AB 是直径， BCA90， PQCPCQ， PCPQ， APCPPQ， AQ2CP，故正确； ACEABC，AFCACB90， ACFABC， ， AC2AFAB， CADABC，ACBACB， ABCQAC， ， AC2CBCQ， AFABC
23、BCQ，故正确； ABCQAC， ， AQACCQAB，故正确； 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：|3|+2cos30+（） 1+（ ）0+ 【解答】解：原式3+2+3+1+3 3+3+1+3 10 18 （6 分）先化简，后计算：，其中 x2+x3 【解答】解：原式（x3） （x3） ， 当 x2+x3 时， x3x2， 原式1 19 （7 分）为创建“国家园林城市” ，某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片制作比赛
24、，评委会对 200 名 同学的参赛作品打分发现，参赛者的成绩 x 均满足 50 x100，并制作了频数分布直方图，如图 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）若依据成绩，采取分层抽样的方法，从参赛同学中抽 40 人参加图片制作比赛总结大会，则从成绩 80 x90 的选手中应抽多少人？ （3）比赛共设一、二、三等奖，若只有 25%的参赛同学能拿到一等奖，则一等奖的分数线是多少？ 【解答】解： （1）200（35+40+70+10）45，如下图： （2）设抽了 x 人，则，解得 x8； （3）依题意知获一等奖的人数为 20025%50（人） 则一等奖的分数线是 80 分
25、 20 （7 分）我市为创建“国家级森林城市” ，政府对江边一处荒地进行绿化，要求栽植腊梅、黄葛两种不同 的树苗共 6000 棵，且腊梅树苗不得多于黄葛树苗某承包商以 35 万元的报价中标承包了这项工程根 据调查及相关资料表明： 移栽一棵树苗的平均费用为 8 元， 腊梅、 黄葛两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 腊梅树 20 90% 黄葛树 50 95% 设购买腊梅树苗 x 棵，承包商获得的利润为 y 元请根据以上信息解答下列问题： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）承包商要获得不低于中标价 16%的利润，应如何选购树苗？ （3
26、）政府与承包商的合同要求规定：栽植这批树苗的成活率不得低于 93%，否则承包商出资补栽；若成 活率达到 94%以上（含 94%） ，则政府另给予中标价的 6%作为奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得 最大利润？最大利润为多少？ 【解答】解： （1）y35000020 x+50（6000 x）+8600030 x+2000， 腊梅树苗不得多于黄葛树苗， 自变量的取值范围是：0 x3000； （2）由题意，得 30 x+200035000016%， 解得：x1800， 1800 x3000， 购买甲种树苗不少于 1800 棵且不多于 3000 棵； （3）若成活率不低于 93%且低于 94%时，由
27、题意得 0.9x+0.95（6000 x）0.936000 且 0.9x+0.95（6000 x）0.946000， 解得 1200 x2400， 在 y30 x+2000 中， 300， y 随 x 的增大而增大， 当 x2400 时， y最大74000， 若成活率达到 94%以上（含 94%） ，则 0.9x+0.95（6000 x）0.946000， 解得：x1200， 由题意得 y30 x+2000+3500006%30 x+23000， 300， y 随 x 的增大而增大， 当 x1200 时，y最大值59000， 综上所述，7400059000， 购买甲种树苗 2400 棵，乙种树
28、苗 3600 棵，可获得最大利润，最大利润是 74000 元 21 （7 分）如图，直线 yx+b（b0）与双曲线 y（x0）交于点 A，与 x轴交于点 B，OA 与 x 轴 的正半轴的夹角为 ，且 OA2OB26，tan3，求一次函数和反比例函数的解析式 【解答】解：作 ADx 轴于 D， tan3， 3， 设 A（a，3a） ， 由直线 yx+b（b0）可知ABO45， ABD 是等腰直角三角形， ADBD3a， BO2a， OA2OB26，OA2AD2+OD2a2+（3a）210a2， 10a2（2a）26， 解得 a1 或1（舍去） ， A（1，3） ，B（2，0） ， 双曲线 y（x
29、0）经过点 A， k133， 反比例函数的解析式为 y； 把 B（2，0）代入 yx+b 求得 b2， 一次函数的解析式为 yx+2 22 （8 分）如图，在一条笔直的公路 MN 的同侧有 A，B 两个山头，为了测量这两个山头之间的距离，在 公路 MN 上选取点 C，在点 C 处测得ACM60，BCN45，从点 C 沿 CN 方向前进 1000 米到 达点 D，在点 D 处测得ADMADB45求 A，B 两个山头之间的距离（结果用根号表示） 【解答】解：过 A 作 AEMN 于点 E，过点 B 作 BFAE 于点 F， 设 CExm，则在 RtACE 中，ACM60， AECMtan60 xm
30、， 在 RtADE 中，ADM45，DE1000+x（m） ， AEDE，即x1000+x， 解得，x500+500（m） ， AEDE1000+x500+1500（m） ， ADMADB45 BDC90， 四边形 BDEF 为矩形， EFBD，BFDE500+1500（m） ， BCN45， BDCD1000m， EF1000m， AFAEEF500+500（m） ， AB1000+1000（m） ， 答：A，B 两个山头之间的距离为（1000+1000）m 23 （9 分）如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，且 CDAB 于点 F，连接 AD，O 的半径为 6，弦 CD 6 （1）试判断
31、ACD 的形状，并说明理由； （2）若 E 为的中点，连接 CE 交 AB 于点 G求 CECG 的值 【解答】解： （1）ACD 为等边三角形 理由如下： CDAB， CFDFCD63， 在 RtOCF 中，sinCOF， COF60， CABCOF30， AC2CF6， AF 垂直平分 CD， ADAC6， 即 ACADCD， ACD 为等边三角形； （2）作直径 CM，连接 ME，如图， CM 为直径， CEM90， E 为的中点， OEAB， CFAB， OECD， OECFCG， OCOE， OCEOEC， OCEFCG， CEMCFG，ECMFCG， CEMCFB， ， CECGC
32、MCF12336 24 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，AB90，AD2，AB5，BC3 （1）如图，P 为 AB 边上的一动点，以 PD，PC 为边作PCQD 请问四边形 PCQD 能否为矩形，若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由； 当 AP 3 时，四边形 PCQD 为菱形； 当 AP 3 时，四边形 PCQD 有四条对称轴 （2）如图，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？ 如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 （3） 如图， 若 P 为 DC 边上任意一点， 延长 PA 到 E， 使 AEnPA （n
33、为常数） ， 以 PE， PB 为边作PBQE， 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 【解答】解： （1）能 理由：如图中，过点 D 作 DEBC 于点 E， 梯形 ABCD，ADBC，ABBC 四边形 ABED 是矩形， DEAB5，BEAD2， CEBCBE1， DC， 四边形 PCQD 是矩形， DPC90， 设 PBx，则 AP5x， 在 RtDPC 中，PD2+PC2DC2，即 x2+32+（5x）2+22（）2， 化简得 x25x+60， 解得：x12，x23， AP3 或 2， 即对角线 PQ 与 DC 可能相等，此时 AP2
34、 或 3 由可知，当 x2 时，AP3，PDPC，四边形 PDQC 是菱形， 故答案为：3 当四边形 PDQC 是正方形时，有四条对称轴，此时 PA3 故答案为 3 （2）存在 理由：如图，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H， APQHQP， APD+DPQPQC+CQH， PDQC， DPQCQP， APDCQH， 在ADP 和HCQ 中， ， ADPHCQ（AAS） ， ADCH2， BHBC+CH3+25， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5 （3）存在，理由如下： 如图中，设 PQ 与 AB 相交于点 G， PEBQ，AEnPA， ， 作 QHPD，交 CB 的延长线于 H
35、，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K， ADBC，ABBC， ADPQHC，DAP+PAGQBH+QBG90，PAGQBG， QBHPAD， ADPBHQ， ， AD2， BH2（n+1） ， CHBH+BC2+2n+32n+5， 过点 D 作 DMBC 于 M， 则四边形 ABND 是矩形， BMAD2，DMAB5， CMBCBM321， DCMCHK， sinDCMsinCHK， ， CK（2n+5） ， 当 PQCD 时，PQ 的长最小， PQ 最小值为（2n+5） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0） ，C（3，0） ，D（
36、3，4） 以 A 为顶点的抛物线 yax2+bx+c 过点 C，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动，点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的表达式； （2）过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点 P，Q 运动的过程中当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q， E，H 为顶点的四边形为菱形？请
37、直接写出 t 的值 【解答】解： （1）A（1，4） 由题意知，可设抛物线解析式为 ya（x+1）2+4 抛物线过点 C（3，0） ， 0a（3+1）2+4， 解得，a1， 抛物线的解析式为 y（x+1）2+4，即 yx22x+3 （2）A（1，4） ，C（3，0） ， 可求直线 AC 的解析式为 y2x+6 点 P（1，4t） 将 y4t 代入 y2x+6 中，解得点 E 的横坐标为 x1t 点 G 的横坐标为1t，代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为 4 GE（4）（4t）t 又点 A 到 GE 的距离为t，C 到 GE 的距离为 2t， 即 SACGSAEG+SCEGEGt+EG（2t）2（t）（t2）2+1 当 t2 时，SACG的最大值为 1 （3）第一种情况如图 1 所示， 点 H 在 AC 的上方，由四边形 CQEH 是菱形知 CQCEt， 由点 A、C 的坐标知，AC2，则 AE2t，AB4，APt， PEBC， APEABC， 则，即，解得 t208； 第二种情况如图 2 所示，点 H 在 AC 的下方， 由四边形 CQHE 是菱形知 CQQEEHHCt，PEt，EM2t，MQ42t 则在直角三角形 EMQ 中，根据勾股定理知 EM2+MQ2EQ2，即（2t）2+（42t）2t2， 解得，t1，t24（不合题意，舍去） 综上所述，t208或 t
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