1、第第 6 6 讲讲 二次函数的图像性质和解析式二次函数的图像性质和解析式 模块模块一：二次函数的定义一：二次函数的定义 1定义：一般地，形如 2 yaxbxc（a，b，c是常数，0a ）的函数，叫做二次函数其中x是自变 量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 注意：注意：二次函数的二次项系数0a ，而b、c可以为零 模块模块二：二次函数的图象和性质二：二次函数的图象和性质 1二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点 2二次函数 2 yax(0)a 的性质： （1）函数 2 yax的图象与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a
2、 时抛物线开口向下顶点为其最高点； |a决定抛物线的开口大小：|a越大，抛物线开口越小；|a越小，抛物线开口越大 （2）抛物线 2 yax的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是0 x （y轴） a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 (0, 0) y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值 0 0a 向下 (0, 0) y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值 0 3二次函数 2 (0)yaxc a的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a
3、向上 (0, c) y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 (0, c) y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c 4二次函数 2 ()ya xhk(0a )的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 （h，k） x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 （h，k） x=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k 5二次函数 2 yaxbxc
4、(0a 的性质： 配方：二次函数 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 0a 向上 （ 2 b a ， 2 4 4 acb a ） 2 b x a 2 b x a 时，y随x的增大而增大； 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 2 b x a 时，y有最小值 2 4 4 acb a 0a 向下 （ 2 b a ， 2 4 4 acb a ） 2 b x a 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 2 b x a 时，y随x的增大而增大； 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 acb a 注意：注意：二次函数
5、2 yaxbxc与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点：(0, ) c； （2）与x轴的交点：使方程 2 0axbxc成立的x值 模块三模块三：二次函数的：二次函数的解析式解析式 1一般式： 2 (0)yaxbxc a 已知图象上三点 11 ()x y，、 22 ()xy，、 33 ()xy，可用一般式求解二次函数解析式 2顶点式： 2 ()(0)ya xhk a 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式 3交点式： 12 ()()(0)ya xxxxa 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式 4对称式： 12 ()()(0)ya xxxxk a 已知抛物线经
6、过点 1 (, )xk、 2 (, )xk时，可以用对称式来求二次函数的解析式 注意：注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有 抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式 可以互化 模块一 二次函数的定义 （1）在函数 2 1 31 2 yxx； 2 (32)(43)12yxxx； 2 yaxbxc（a、b、c是常数） ； 2 20yxkx（k为常数） ； 2 2 5 6yx x 中，y关于x的二次函
7、数是_ （填写序号） （2）当m _时，函数 2 24 (4)3 mm ymxx 是二次函数 （3）下列函数关系中，可以看作二次函数 2 yaxbxc(0)a 模型的是（ ） A圆的周长与半径之间的关系 B在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 C矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D我国人口的自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 【解析】【解析】（1）； （2）3； （3）C 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的定义，判断是否是二次函数满足以下三点： （1）函数解析式在等号两边都是整式； （2）含有一个自变量，且自变量的最高次数时 2；
8、（3）二次项系数不等于零 模块二 二次函数的图象和性质 例题 1 （1）若二次函数 22 2yaxbxa（a，b为常数）的图象如图 2-1，则a的值为_ （2）如图 2-2，抛物线对应的解析式为 2 1 ya x， 2 2 ya x， 2 3 ya x， 2 4 ya x，将 1 a、 2 a、 3 a、 4 a从 小到大排列为_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）2； （2） 4321 aaaa 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数中a的作用： （1）a的正负性决定抛物线的开口方向；0a ，开口向上；0a ，开口向下 （2）| |a决定抛物线的开口大小：|a越大
9、，开口越小；|a越小，开口越大 （1）抛物线 2 23yxbx的对称轴是直线2x ，则b的值为_，顶点坐标为_ （2）抛物线 2 23 (0)yaxaxa a的对称轴是直线_，与x轴的交点为_和_ （3）二次函数 2 2(1)4yxkx的顶点在y轴上，则k _，若顶点在x轴上，则k _ 【解析】【解析】（1）8，( 2, 5)； （2）1x ，( 1,0)，(3,0)； （3）1，1 或3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称轴和顶点的求解： （1）对称轴 2 b x a ，顶点（ 2 b a ， 2 4 4 acb a ） ，记住套用； x y O x y O 例题
10、2 例题 3 （2）配方求解 （1） 若点 1 (2,)Ay， 2 ( 3,)By， 3 (5,)Cy三点在抛物线 2 4yxxm的图象上， 则 1 y、 2 y、 3 y的大小关系是 （ ） A 123 yyy B 213 yyy C 231 yyy D 321 yyy （2）已知二次函数 2 4(0)yaxaxc a，当自变量x分别取2，3，0 时，对应的值分别为 1 y， 2 y， 3 y， 则 1 y， 2 y， 3 y的大小关系正确的是（ ） A 321 yyy B 123 yyy C 213 yyy D 312 yyy （3）已知二次函数 2 (1)1yxmx，当1x 时，y随x的
11、增大而增大，则m的取值范围是_ 【解析】【解析】（1）C； （2）A； （3）1m 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的增减性，增减性和抛物线的对称轴、开口方向有关 （1）已知抛物线经过点( 2,7)A ，(6,7)B，(3,8)C，8D m ，则m _ （2）已知抛物线 2 21yxx经过点( , )A m n，(6, )B mn，则n _ （3）已知点 1 ( ,5)A x， 2 (,5)B x是函数 2 3yxmx上两点，则当 12 xxx和x _时的函数值相等 【解析】【解析】（1）1； （2）9； （3）0 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的
12、对称性，纵坐标相同的点关于对称轴对称 （1）已知二次函数 2 (3)1yx下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线3x ；其图 象顶点坐标为(3, 1)；当3x 时，y随x的增大而减小则其中说法正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （2）对于二次函数 2 23(0)yxmxm，有下列说法： 例题 4 例题 5 例题 6 如果2m ，则y有最小值1； 如果当1x 时，y随x的增大而减小，则1m ； 如果当1x 时的函数值与2015x 时的函数值相等，则当2016x 时的函数值为 3 其中正确的说法是_ （把你认为正确的结论的序号都填上） （3） 在同一直角坐标系中， 函
13、数ymxm和函数 2 22ymxx（m是常数， 且0m ） 的图象可能 是 （ ） A B C D 【解析】【解析】（1）B； （2）； （3）D 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是二次函数的综合考查，相对综合，锻炼孩子们的综合能力 模块三 二次函数的解析式 （1）已知一个二次函数的图象经过(1,0)A、(2,3)B、(3,28)C三点，求此二次函数的解析式 （2）已知一个二次函数的图象经过(0, 1)A、(1,5)B、( 1, 3)C 三点，求此二次函数的解析式并把二次函数转 化成顶点式 【解析】【解析】（1）设二次函数的解析式为 2 yaxbxc， 则由题意得， 0 423 93
14、28 abc abc abc ，解得 11 30 19 a b c ， 二次函数的解析式为 2 113019yxx （2）设二次函数的解析式为 2 yaxbxc， 则由题意得， 1 5 3 c abc abc ，解得 2 4 1 a b c ， 二次函数的解析式为 2 241yxx 22 2412(1)3yxxx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用一般式求解析式 DCBA x y O x y O x y OO y x 例题 7 （1）已知二次函数过点(0,1)，且顶点为( 1, 2)，求二次函数的解析式 （2）已知二次函数的顶点坐标为(2,2)，且其图象经过点(3,1)，求此二
15、次函数的解析式，并求出该函数图象 与x轴的交点坐标 【解析】【解析】（1）设二次函数的解析式为： 2 (1)2ya x， 二次函数过点(0,1)， 2 1(0 1)2a ，即：12a 3a 二次函数的解析式为 2 3(1)2yx （2）设二次函数的解析式为： 2 (2)2ya x， 则由题意得，21a ，解得3a ，二次函数的解析式为 2 3(2)2yx 令0y ，则 2 3(2)20 x，解得 1 6 2 3 x ， 2 6 2 3 x ， 与x轴的交点坐标为 6 2,0 3 和 6 2,0 3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用顶点式求二次函数的解析式 （1）若抛物线过(
16、3,0)，(1,0)，且与y轴交点为0 4（， ），求二次函数的解析式 （2）已知二次函数 2 yaxbxc的对称轴为2x ，且经过点(1,4)、(5,0)，求二次函数的解析式 【解析】【解析】（1）设二次函数的解析式为：(3)(1)ya xx， 由题意得，34a，解得 4 3 a ， 二次函数的解析式为 4 (3)(1) 3 yxx 2 48 4 33 xx （2）二次函数的对称轴为2x ，且经过点(5,0)， 二次函数与x轴的另一个交点坐标是( 1 0) ， 设二次函数的解析式为：(1)(5)ya xx， 例题 8 例题 9 又图象经过点(1,4)，4(1 1)(1 5)a， 1 2 a
17、二次函数的解析式为 1 (1)(5) 2 yxx 2 15 2 22 xx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用交点式求二次函数的解析式 （1）已知二次函数图象经过点(1,3)A、(0,2)B、(5,3)C三点，求此二次函数解析式 （2）已知函数 2 | | 12yxx的图象与x轴交于相异两点A、B，另一抛物线 2 yaxbxc过A、B，顶点为P， 且APB是等腰直角三角形，求a、b、c 【解析】【解析】（1）解法一：设对称点式 抛物线经过 (1,3)A 、 (5,3)C ， 设抛物线的解析式为： (1)(5)3ya xx 将 (0,2)B 代入得：532a ，解得 1 5 a
18、， 抛物线的解析式为 1 (1)(5)3 5 yxx ，化为一般式得 2 16 2 55 yxx 解法二：设顶点式 抛物线经过 (1,3)A 、 (5,3)C ， 抛物线的对称轴为3x 设抛物线的解析式为： 2 (3)ya xh， 将 (1,3)A 、 (0,2)B 代入得： 43 92 ah ah ，解得 1 5 19 5 a h ， 抛物线的解析式为 2 119 (3) 55 yx ，化为一般式为： 2 16 2 55 yxx 解法三：设一般式 设此二次函数解析式为： 2 yaxbxc， 由已知得： 3 2 2553 abc c abc ，解得 1 5 6 5 2 a b c 例题 10
19、此二次函数的解析式为 2 16 2 55 yxx （2）由已知得(4,0)A、( 4,0)B ，故设另一抛物线为(4)(4)ya xx 又APB是等腰直角三角形，则P点坐标为(0, 4)或(0, 4) ， 1 4 0 4 a b c ， ， ， 或 1 4 0 4. a b c ， ， 模块一 二次函数的定义 （1）下列函数： 2 1 y x ；(1 )(3 )yxx； 2 yxbx c（b、c是常数） ； 2+3 yaxx（a为常数） ； 2 (1)(1)(1)yxxx，其中是二次函数的是_ （填序号） （2）当m _时，函数 2 56 (4)3 mm ymxx 是关于x的二次函数 （3）已
20、知函数 2 222 ()(32)2 mm ymm xmmxmm 是二次函数，则函数为_ 【解析】【解析】（1）； （2）1； （3） 2 6128yxx 模块二 二次函数的图象和性质 （1）如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出 2 3yx， 2 1 2 yx ， 2 yx的图象，则从里到外的 三条抛物线对应的函数依次是_ （填序号） （2）抛物线2(1)(3)yxx的顶点坐标是_ 演练 1 演练 2 （3）抛物线 2 2yxx的对称轴是_，顶点坐标为_，当x _时，y有最_值是 _ （4） 已知抛物线 2 (2)320yxmxm经过点(1,3)， 则抛物线与x轴交点的坐标为_和_ 【解析】【
21、解析】（1）； （2）(1, 8)； （3） 1 2 x ， 19 24 ， 1 2 ，小， 9 4 ； （4）(2 0)，(4,0) （1）已知二次函数 2 2yxmx的对称轴为直线 9 4 x ，则m _ （2）已知抛物线 2 2(1)16yxkx的顶点在x轴上，则k的值是_ （3）抛物经 2 (0)yxxp p与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p，则该抛物线的顶点的坐标是 _ 【解析】【解析】（1） 9 2 ； （2）5或 3； （3） 19 24 , （1）已知点 1 (1,)Ay， 2 (2)By,， 3 ( 2,)Cy在函数 2 1 2(1) 2 yx上，则 1 y， 2 y， 3
22、 y的大小关系是（ ） A 123 yyy B 132 yyy C 312 yyy D 213 yyy （2）已知二次函数 2 422yxmx，当2x 时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 _ 【解析】【解析】（1）B； （2）8m （1）已知 2 2934yxx，当x取不同的值 1 x， 2 x时函数值相等，则当 12 xxx时的值（ ） A与1x 的函数相等 B与0 x 的函数相等 演练 3 演练 4 演练 5 C与 1 4 x 的函数相等 D与 9 4 x 的函数相等 （2）已知抛物线 2 16yxbx经过点(1, )An，(7, )Bn，则n _ （3）在同一坐标系中，一
23、次函数yaxb与二次函数 2 ybxa的图象可能是（ ） A B C D 【解析】【解析】（1）B； （2）9； （3）C 模块三 二次函数的解析式 （1）已知二次函数的图像经过( 1,1)A 、(0,2)B、(1,3)C，求二次函数的解析式 （2）已知抛物线经过点(2,3)，且顶点坐标为(1,1)，求这条抛物线的解析式 （3）已知二次函数的对称轴是直线1x ，且图像过点(3,0)A和( 2,5)B ，求此函数的解析式 （4）设二次函数 2 yaxbxc，当3x 时取得最大值为 10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为 4求二 次函数的解析式 【解析】【解析】（1） 2 22yxx； （2） 2 243yxx； （3） 2 23yxx （4）因为对称轴为3x ，且在x轴上截得的线段长为 4， 则图象可知，与x轴的交点的横坐标为 1、5， 可设(1)(5)ya xx， 410a，解得 5 2 a 2 525 15 22 yxx DC BA y O y xx O x y O y O x 演练 6
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