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    2019-2020学年山西省太原市迎泽区高三上10月月考数学试卷(文科)含详细解答

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    2019-2020学年山西省太原市迎泽区高三上10月月考数学试卷(文科)含详细解答

    1、 2019-2020 学年学年山西省太原市迎泽区山西省太原市迎泽区高三(上)高三(上)10 月月考数学试卷(文科)月月考数学试卷(文科) 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,每小题有且只有一个正确选项)分,每小题有且只有一个正确选项) 1 (5 分)若集合 Ax|x(x1)0,By|yx2,则( ) AAB BAB CABR DBA 2 (5 分)若复数 z,则 ( ) A1 B1 Ci Di 3 (5 分)设非空集合 P,Q 满足 PQP,则( ) AxQ,有 xP BxQ,有 xP Cx0Q,使得 x0P Dx0P,使得 x

    2、0P 4 (5 分)已知 a(),blog23,clog47,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bbac Ccab Dacb 5 (5 分)已知ABC 中,E 是 BC 上一点,若,则 +( ) A1 B2 C3 D4 6 (5 分)如图是函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,xR)在区间,上的图象,为了得 到 ysinx(xR)的图象,只需将函数 f(x)的图象上所有的点( ) A向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 B向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

    3、,纵坐标不变 D向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 7 (5 分)函数 f(x)|lnx|x2的图象大致为( ) A B C D 8 (5 分)如图示,在圆 O 中,若弦 AB6,AC10,则的值为( ) A16 B2 C32 D16 9(5 分) 已知圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点, 那么的最小值为 ( ) A B C D 10 (5 分)在ABC 中,若,则的最小值为( ) A B C D 11 (5 分)若 (,)且 3cos24sin() ,则 sin2 的值为( ) A B C D 12(5 分) 已

    4、知 O 是平面上一定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足+ ( +)0,+) ,则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,把答案填在题中的横线上分,把答案填在题中的横线上 13 (5 分)已知两个单位向量 与 的夹角为 60,则向量在向量 方向上的投影为 14 (5 分)若点 M 是ABC 所在平面内一点,且满足,则ABM 与ABC 的面积之比 值为 15 (5 分) 16(5 分) 将函数的图象沿着 x 轴向右平移 a 个单位 (a0)

    5、 后的图象关于 y 轴对称, 则 a 的最小值为 三、解答题(本大题三、解答题(本大题 4 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (12 分)已知函数 f(x)2sinx(sinx+cosx)a 的图象经过点() ,aR (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若当 x0,时,不等式 f(x)m 恒成立,求实数 m 的取值范围 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (1)求角 A 的大小; (2)若 a2,求ABC 面积的最大值 19 (12 分)

    6、设函数 f(x)lnx+x22ax+a2,aR (1)当 a0 时,曲线 yf(x)与直线 y3x+m 相切,求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在1,3上存在单调递增区间,求 a 的取值范围 20 (12 分)如图,D 是直角ABC 斜边 BC 上一点,ABAD,记CAD,ABC (1)证明:sin+2cos21; (2)若,求 +2 的值 21 (12 分)已知函数 f(x)ex,g(x)lnx+a (1)设 h(x)xf(x) ,求 h(x)的最小值; (2)若曲线 yf(x)与 yg(x)仅有一个交点 P,证明:曲线 yf(x)与 yg(x)在点 P 处有相同 的切线,且 选做题

    7、:请在选做题:请在 22、23 题中任选一题作答,写清题号如果多做,则按所做第一题记分题中任选一题作答,写清题号如果多做,则按所做第一题记分 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为:( 为参数) 以直角坐标 系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)求直线 l 的直角坐标方程; (2)若点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值,并求出此时点 P 的坐标 23设函数 f(x)|x+1|+|x1|,xR,不等式 f(x)2的解集为 M (1)求 M; (2)当 a,bM 时,证明:|a+b|ab

    8、+3| 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,每小题有且只有一个正确选项)分,每小题有且只有一个正确选项) 1 (5 分)若集合 Ax|x(x1)0,By|yx2,则( ) AAB BAB CABR DBA 【分析】利用不等式的解法求出集合 A,函数的值域求解集合 B,然后判断两个集合的关系 【解答】解:集合 Ax|x(x1)0 x|0 x1,By|yx2y|y0 可知:AB 故选:B 【点评】本题考查函数值域的求法,不等式的解法,集合的关系,是基本知识的考查 2 (5 分)若复数 z,则 (

    9、 ) A1 B1 Ci Di 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案 【解答】解:z, 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础的计算题 3 (5 分)设非空集合 P,Q 满足 PQP,则( ) AxQ,有 xP BxQ,有 xP Cx0Q,使得 x0P Dx0P,使得 x0P 【分析】根据交集运算结果判定集合关系,再结合 Venn 图判断元素与集合的关系即可 【解答】解:PQP,PQ A 错误;B 正确;C 错误;D 错误 故选:B 【点评】本题考查命题真假的判断,考查子集的关系 4 (5 分)已知 a(),blog23,clog

    10、47,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bbac Ccab Dacb 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 【解答】解:, 0a()()01, blog23log49clog47log441, a,b,c 的大小关系为 acb 故选:D 【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识,考查运算求解 能力,考查函数与方程思想,是基础题 5 (5 分)已知ABC 中,E 是 BC 上一点,若,则 +( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据向量的运算法则,由,表示向量,求出 + 即可 【解答】解:由条件得,+() ; ; 32; 由于,+321

    11、 故选:A 【点评】本题考查了向量的线性表示,属于基础题 6 (5 分)如图是函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,xR)在区间,上的图象,为了得 到 ysinx(xR)的图象,只需将函数 f(x)的图象上所有的点( ) A向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 B向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 D向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,可得函

    12、数的解析 式,再根据函数 yAsin(x+)的图象变换规律,得出结论 【解答】解:根据函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,xR)在区间,上的图象, 可得 A1,+,2 再根据五点法作图,2 ()+0,求得 ,故函数 f(x)sin(2x+) 故把 f(x)的图象向右平移个单位长度,可得 ysin2x 的图象; 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,可得 ysinx 的图象, 故选:D 【点评】本题主要考查由函数 yAsin(x+)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出 A, 由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,还考查了函数 yAsin(x+)的图象变换规律,属

    13、于中档 题 7 (5 分)函数 f(x)|lnx|x2的图象大致为( ) A B C D 【分析】根据函数的定义域,极限,单调性判断 【解答】解:f(x)的定义域为x|x0,排除 A 当 x0+时,f(x)+,排除 D 当 x1 时,f(x)lnx,f(x), 令 f(x)0 解得 x2, 当 x2 时,f(x)0, f(x)在(2,+)上是减函数,排除 B 故选:C 【点评】本题考查了函数图象的判断,通常从函数的单调性,特殊点等方面采用排除法判断 8 (5 分)如图示,在圆 O 中,若弦 AB6,AC10,则的值为( ) A16 B2 C32 D16 【分析】先计算 、,再利用 ,即可求得结

    14、论 【解答】解:设圆的半径等于 R,则R6cosOABR618, R10cosOACR1050, 501832, 故选:C 【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识,解答关键是利用向量数量积的几何意义,属于 中档题 9(5 分) 已知圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点, 那么的最小值为 ( ) A B C D 【分析】 要求的最小值, 我们可以根据已知中, 圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点,结合切线长定理,设出 PA,PB 的长度和夹角,并将表示成一个关于 x 的函数,然 后根据求函数最值的办法,进行

    15、解答 【解答】解:如图所示:设 OPx(x0) , 则 PAPB, APO,则APB2, sin, (12sin2) (x21) (1) x2+323, 当且仅当 x2时取“” ,故的最小值为 23 故选:D 【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法判别式法,同 时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 10 (5 分)在ABC 中,若,则的最小值为( ) A B C D 【分析】根据向量的加减的几何意义可得 3(a2b2)2c2,再根据余弦定理和正弦定理可得 6sinBcosA sinC,化简整理可得 tanA5tanB,再根据基本不等式即可求出最

    16、小值 【解答】解:, 3(+)3(+) 3(+) ()3(|2|2)2|2, 即 3(a2b2)2c2, 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA, 3(c22bccosA)2c2, 6bccosAc2, 即 6bcosAc, 6sinBcosAsinCsin(A+B)sinAcosB+cosAsinB, 5sinBcosAsinAcosB, tanA5tanB, A,B 是三角形的内角, tanA0,tanB0, 5tanB+22, 当且仅当 tanA,tanB时取等号, 的最小值为 2, 故选:B 【点评】本题考查了向量的加减的运算以及正余弦定理,三角函数的化简和基本不等式,属于中档题

    17、 11 (5 分)若 (,)且 3cos24sin() ,则 sin2 的值为( ) A B C D 【分析】由条件化简可得 3(cos+sin)2,平方可得 1+sin2,从而解得 sin2 的值 【解答】解:(,) ,且 3cos24sin() , 3(cos2sin2)4(cossin) , 化简可得:3(cos+sin)2, 平方可得 1+sin2,解得:sin2, 故选:C 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题 12(5 分) 已知 O 是平面上一定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足+ ( +)0,+) ,则点 P 的轨迹一

    18、定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 【分析】将提取出来,转化成 t(+) ,而 t(+)表示与共线的 向量,点 D 是 BC 的中点,故 P 的轨迹一定通过三角形的重心 【解答】解:设它们等于 t, +(+) 而+2 (+)表示与共线的向量 而点 D 是 BC 的中点,所以即 P 的轨迹一定通过三角形的重心 故选:C 【点评】本题主要考查了空间向量的加减法,以及三角形的三心等知识,属于基础题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,把答案填在题中的横线上分,把答案填在题中的横线上 13 (5 分)已知两个单位向量

    19、与 的夹角为 60,则向量在向量 方向上的投影为 【分析】运用向量数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,向量的投影概念,计算即可得到所 求值 【解答】解:两个单位向量和夹角为 60, 可得 11, ( ) 2 1 , 向量 在向量 方向上的投影为, 故答案为: 【点评】本题考查向量数量积的定义和性质,以及向量投影的求法,考查运算能力,属于基础题 14 (5 分)若点 M 是ABC 所在平面内一点,且满足,则ABM 与ABC 的面积之比 值为 【分析】可画出图形,取 BC 边的中点 D,从而得出,从而根据可得出 ,从而根据三角形的面积公式即可得出ABM 与ABC 的面积之比值 【解答】解:

    20、如图,取 BC 的中点为 D,则, , , , , , 故答案为: 【点评】本题考查了长度为 0 的向量为零向量,向量加法的平行四边形法则,向量的数乘运算,向量数 乘的几何意义,三角形的面积公式,考查了计算能力,属于基础题 15 (5 分) 4 【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简求解即可 【 解 答 】 解 : 原 式 故答案为:4 【点评】本题列出两角和与差的三角函数,二倍角公式的应用,三角函数化简求值,考查计算能力 16(5 分) 将函数的图象沿着 x 轴向右平移 a 个单位 (a0) 后的图象关于 y 轴对称, 则 a 的最小值为 【分析】利用辅助角公式进行化简,结合平移

    21、求出函数解析式,利用函数关于 y 轴对称,建立方程进行 求解即可 【解答】解:f(x)2sin(x) , 将 f(x)的图象沿着 x 轴向右平移 a 个单位(a0)后的图象关于 y 轴对称, 得 y2sin(xa) , 此时得a+k,得 ak, a0, 当 k1 时,a, 即 a 的最小值为, 故答案为: 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式以及三角函数的图象变换求出函数的解 析式,利用对称性建立方程是解决本题的关键比较基础 三、解答题(本大题三、解答题(本大题 4 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步

    22、骤) 17 (12 分)已知函数 f(x)2sinx(sinx+cosx)a 的图象经过点() ,aR (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若当 x0,时,不等式 f(x)m 恒成立,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)根据函数 f(x)的图象过点()求出 a 的值, 再化 f(x)为正弦型函数,求出它的单调递增区间; (2)求出 x0,时 f(x)的最小值,再求 m 的取值范围 【解答】解: (1)函数 f(x)2sinx(sinx+cosx)a 的图象经过点() , 2sin(sin+cos)a1, 即 2a1,解得 a1; 函数 f(x)2sinx(sinx

    23、+cosx)1 2sin2x+2sinxcosx1 2+sin2x1 sin2xcos2x sin(2x) ; 令+2k2x+2k,kZ; 解得+kx+k,kZ; f(x)的单调递增区间为+k,+k,kZ; (2)当 x0,时,2x, sin(2x)()1; 又不等式 f(x)m 恒成立, 实数 m 的取值范围是 m1 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了三角恒等变换问题,是基础题 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (1)求角 A 的大小; (2)若 a2,求ABC 面积的最大值 【分析】 (1)把条件中所给的既有角又有边的

    24、等式利用正弦定理变化成只有角的形式,整理逆用两角和 的正弦公式,根据三角形内角的关系,得到结果 (2)利用余弦定理写成关于角 A 的表示式,整理出两个边的积的范围,表示出三角形的面积,得到面 积的最大值 【解答】解: (1), (2cb) cosAacosB, 由正弦定理,得: (2sinCsinB) cosAsinAcosB 整理得 2sinCcosAsinBcosAsinAcosB 2sinCcosAsin(A+B)sinC 在ABC 中,sinC0 cosA,A (2)由余弦定理 cosA,a2 b2+c220bc2bc20 bc20,当且仅当 bc 时取“” 三角形的面积 Sbcsin

    25、A5 三角形面积的最大值为 5 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理,本题解题的关键是角和边的灵活互化,两个定理的灵活应用和 两角和的公式的正用和逆用,属于中档题 19 (12 分)设函数 f(x)lnx+x22ax+a2,aR (1)当 a0 时,曲线 yf(x)与直线 y3x+m 相切,求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在1,3上存在单调递增区间,求 a 的取值范围 【分析】 (1)将 a0 代入 f(x) ,求出 f(x)的导数,得到 f(x)3,解得 x 的值,求出切点坐标, 代入求出 m 的值即可; (2)假设函数 f(x)在1,3上不存在单调递增区间,必有 g(x)0,得到关

    26、于 a 的不等式组,解出 即可 【解答】解: (1)当 a0 时,f(x)lnx+x2,x(0,+) , f(x)+2x0, 令 f(x)3,解得:x1 或 x, 代入 f(x)得切点坐标为(1,1) ,或(,ln2) , 将切点坐标代入直线 y3x+m,解得:m2 或 mln2; (2)f(x)+2x2a,x1,3, 设 g(x)2x22ax+1, 假设函数 f(x)在1,3上不存在单调递增区间,必有 g(x)0, 于是,解得:a, 故要使函数 f(x)在1,3上存在单调递增区间, 则 a 的范围是(,) 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查曲线的切线方程以及导数的应用,是一道中档题 2

    27、0 (12 分)如图,D 是直角ABC 斜边 BC 上一点,ABAD,记CAD,ABC (1)证明:sin+2cos21; (2)若,求 +2 的值 【分析】(1) 利用诱导公式可求得 2, 进而利用诱导公式求得 sincos2, 整理得 sin+cos2 0原式得证 (2)根据正弦定理可求得 sinsin 进而利用(1)中的结论求得 sin(12sin2)代入 sin sin 即可求得 sin,进而求得 的值,即可求解+2 的值 【解答】 (1)证明:BAD(2)2, sinsin(2)cos2, 即 sin+cos20 sin+2cos2sin+cos2+10+11,得证 (2)解:ADC

    28、 中由正弦定理 ,即, 则 sinsin, 由(1)得 sincos2(12sin2) , 即 2 sin2sin0, 解得 sin,或 sin, 0, sin, ,可得 2, +2 【点评】本题主要考查了诱导公式化简求值,正弦定理考查了学生综合分析问题和基本的运算能力, 属于基础题 21 (12 分)已知函数 f(x)ex,g(x)lnx+a (1)设 h(x)xf(x) ,求 h(x)的最小值; (2)若曲线 yf(x)与 yg(x)仅有一个交点 P,证明:曲线 yf(x)与 yg(x)在点 P 处有相同 的切线,且 【分析】 (1)求出 h(x)(x+1)ex,利用导数性质能求出 x1

    29、时,h(x)取得最小值 (2) 设 t (x) f (x) g (x) exlnxa, 则, 推导出存在 使得 T(x0)0,求出 t(x) )的最小值为,由此能证明曲线 yf(x)与 yg (x)在 P 点处有相同的切线,并能求出 【解答】解: (1)f(x)ex,h(x)xf(x)xex, h(x)(x+1)ex, 当 x1 时,h(x)0,h(x)单调递减; 当 x1 时,h(x)0,h(x)单调递增, 故 x1 时,h(x)取得最小值 证明: (2)g(x)lnx+a 设 t(x)f(x)g(x)exlnxa,则, 由(1)得 T(x)xex1 在(0,+)单调递增,又,T(1)0,

    30、存在使得 T(x0)0, 当 x(0,x0)时,t(x)0,t(x)单调递减; 当 x(x0,+)时,t(x)0,t(x)单调递增, t(x) )的最小值为, 由 T(x0)0 得, 曲线 yf(x)与 yg(x)在 P 点处有相同的切线, 又, , 【点评】本题考查函数的最小值的求法,考查曲线 yf(x)与 yg(x)在点 P 处有相同的切线,且 的证明,考查导数性质、构造法、函数单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想,是中档题 选做题:请在选做题:请在 22、23 题中任选一题作答,写清题号如果多做,则按所做第一题记分题中任选一

    31、题作答,写清题号如果多做,则按所做第一题记分 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为:( 为参数) 以直角坐标 系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)求直线 l 的直角坐标方程; (2)若点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值,并求出此时点 P 的坐标 【分析】 (1)把展开两角差的正弦,然后结合极坐标与直角坐标的互化公式即可求 得直线 l 的直角坐标方程; (2)设 P(2cos,sin) ,写出点到直线的距离公式,再由三角函数求最值 【解答】解: (1)由,得, 即,代入,得 直线

    32、 l 的直角坐标方程为; (2)由曲线 C 的参数方程( 为参数) ,可设 P(2cos,sin) , 则点 P 到直线 l 距离 d(tan) 当 sin()1 时,点 P 到直线 l 距离取最大值为, 此时 ,kZ,kZ cos,sin, P 点坐标为() 【点评】 本题考查简单曲线的极坐标方程, 考查点到直线距离公式的应用, 训练了利用三角函数求最值, 是中档题 23设函数 f(x)|x+1|+|x1|,xR,不等式 f(x)2的解集为 M (1)求 M; (2)当 a,bM 时,证明:|a+b|ab+3| 【分析】 (1)由条件利用绝对值的意义求出不等式 f(x)2的解集 M (2)

    33、用分析法证明此不等式, 分析使此不等式成立的充分条件为 (a23) (3b2) 0, 而由条件 a, bM 可得(a23) (3b2)0 成立,从而证得要证的不等式 【解答】解: (1)不等式即|x+1|+|x1|2, 而|x+1|+|x1|表示数轴上的 x 对应点到1、1 对应点的距离之和, 和对应点到1、1 对应点的距离之和正好等于 2, 故不等式的解集为 M,; (2)要证|a+b|ab+3|,只要证 3(a+b)2(ab+3)2, 即证:3(a+b)2(ab+3)23(a2+b2+2ab)(a2b2+6ab+9) 3a2+3b2a2b29(a23) (3b2)0, 而由 a,bM,可得a,b, a230,3b20, (a23) (3b2)0 成立, 故要证的不等式|a+b|ab+3|成立 【点评】本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法,用分析法证明不等式,体现了转化的数学 思想,属于中档题


    注意事项

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