1、 2019-2020 学年学年山西省太原市迎泽区山西省太原市迎泽区高三（上）高三（上）9 月段考数学试卷（理科）月段考数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|lgx0，Bx|2x1，则 AB（ ） A （，0 B （，1 C0，+） D1，+） 2 （5 分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） Af（x）2x Bf（x）x|x| C Df（x）lg|x| 3 （5
2、 分）函数 yln（1x）的定义域为（ ） A （0，1） B0，1） C （0，1 D0，1 4 （5 分）已知命题 p：存在正数 M，N，满足 lg（M+N）lgM+lgN；命题 q：对满足 a0 且 a1 的任意 实数 a，loga2+log2a2则下列命题为真命题的是（ ） Ap（q） Bpq Cpq Dpq 5 （5 分）已知 a（），blog23，clog47，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 6 （5 分）由曲线 yx2，yx3围成的封闭图形面积为（ ） A B C D 7 （5 分）若函数 f（x）loga（2ax） （a0a1）在区间
3、（1，3）内单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A，1） B （0， C （1，） D） 8 （5 分） 已知函数 f （x） x+4， g （x） x22x， 则 F （x） 的最值是 （ ） A最大值为 8，最小值为 3 B最小值为1，无最大值 C最小值为 3，无最大值 D最小值为 8，无最大值 9 （5 分）已知函数yxsinxyxcosx，yx|cosx|，yx2x的部分图象如图，但顺序被打乱， 则 按 照 图 象 从 左 到 右 的 顺 序 ， 对 应 的 函 数 序 号 正 确 的 一 组 是 （ ） A B C D 10 （5 分） “a1”是“函数 f（x）lnx+ax+在1
4、，+）上是单调函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 （5 分）函数 f（x）在（0，+）单调递增，且 f（x+2）关于 x2 对称，若 f（2）1，则 f（x2） 1 的 x 的取值范围是（ ） A2，2 B （，22，+） C （，04，+） D0，4 12 （5 分）已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，且对任意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+3）+f（x） ，f（0） 1，则不等式 f（x）5ex的解集为（ ） A （4，1） B （1，4） C （，4）（1，+） D （，1）（4，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题
5、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设函数 f（x），则 f（2）+f（log212） 14 （5 分）命题“x（1，2）时，满足不等式 x2+mx+40”是假命题，则 m 的取值范围是 15 （5 分）已知函数，若存在实数 x1，x2，x3，x4，满足 x1x2x3x4， 且 f（x1）f（x2）f（x3）f（x4） ，则的值是 16 （5 分）已知函数 f（x），且函数 g（x）f（x）mxm 在（1，1内有 且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 解答题：共解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答第必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（60 分）分） 17 （12 分）定义在 R 上的单调函数 f（x）满足 f（3）log23 且对任意 x，yR 都有 f（x+y）f（x）+f （y） （1）求证 f（x）为奇函数； （2）若 f（k3x）+f（3x9x2）0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 18 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x）ex2x+2a，xR （1）求 f（x）的单调区间与极值； （2）
7、求证：当 aln21 且 x0 时，exx22ax+1 19 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x）x2+alnx（2+a）x （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当时，判断函数与函数 f（x）的图象有几个交点，并说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）2（x0） （1）试判断当 f（x）与 g（x）的大小关系； （2）试判断曲线 yf（x）和 yg（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理 由 21 （12 分）已知函数 g（x）f（x）+bx，函数 f（x）x+alnx 在 x1 处的切线 l 与直线 x+2y0 垂直 （1）求实数 a 的值
8、； （2）若函数 g（x）存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围； （3）设 x1、x2（x1x2）是函数 g（x）的两个极值点，若 b，求 g（x1）g（x2）的最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系的原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐标为 （1，0） ， 若直线 l 的极坐标方程为cos （+） 10，曲线 C 的参数方程
9、是（t 为参数） （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）设直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求+ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1| （1）求不等式 g（x）3 的解集； （2）x22，2，x12，2，使得不等式 f（x1）g（x2）成立，求 a 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求
10、的 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|lgx0，Bx|2x1，则 AB（ ） A （，0 B （，1 C0，+） D1，+） 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集，确定出 A 与 B，找出两集合的并集即可 【解答】解：由 A 中的不等式变形得：lgx0lg1，即 0 x1， A（0，1； 由 B 中的不等式变形得：2x120，即 x0， B（，0， 则 AB（，1 故选：B 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键 2 （5 分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） Af（x）2x Bf（x）x|x| C Df（x）lg|x| 【分析】根据题意
11、，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，f（x）2x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 B，f（x）x|x|，既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于 C，f（x），在其定义域上不是增函数，不符合题意； 对于 D，f（x）lg|x|，是偶函数，不符合题意； 故选：B 【点评】 本题考查函数的奇偶性与单调性的判定， 关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性， 属于基础题 3 （5 分）函数 yln（1x）的定义域为（ ） A （0，1） B0，1） C （0，1 D0，1 【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求
12、的定义域，从而选出正确 选项 【解答】解：由题意，自变量满足，解得 0 x1，即函数 y的定义域为0，1） 故选：B 【点评】 本题考查函数定义域的求法， 理解相关函数的定义是解题的关键， 本题是概念考查题， 基础题 4 （5 分）已知命题 p：存在正数 M，N，满足 lg（M+N）lgM+lgN；命题 q：对满足 a0 且 a1 的任意 实数 a，loga2+log2a2则下列命题为真命题的是（ ） Ap（q） Bpq Cpq Dpq 【分析】根据条件分别判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：当 MN2 时，lg（2+2）lg42lg2，lg2+lg22lg
13、2，此时命题 p 为真命题， 当 0a1 时，loga20，此时 loga2+log2a2 不成立，命题 q 是假命题， 则 p（q）为真命题，其余为假命题， 故选：A 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题 p，q 的真假是解决本题的关键 5 （5 分）已知 a（），blog23，clog47，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 【解答】解：， 0a（）（）01， blog23log49clog47log441， a，b，c 的大小关系为 acb 故选：D 【点评】本题考查三个数的大
14、小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题 6 （5 分）由曲线 yx2，yx3围成的封闭图形面积为（ ） A B C D 【分析】要求曲线 yx2，yx3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx 即可 【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1） ， （0，0）故积分区间是0，1 所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx， 故选：A 【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积 7 （5 分）若函数 f（x）loga（2ax） （a0a1）在区间（1，3）内单调递增，则 a 的取
15、值范围是（ ） A，1） B （0， C （1，） D） 【分析】先将函数 f（x）loga（2ax）转化为 ylogat，t2ax，两个基本函数，再利用复合函数求 解 【解答】解：令 ylogat，t2ax， a0 t2ax 在（1，3）上单调递减 f（x）loga（2ax） （a0，a1）在区间（1，3）内单调递增 函数 ylogat 是减函数，且 t（x）0 在（1，3）上成立 0a 故选：B 【点评】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再 求参数的范围本题容易忽视 t2ax0 的情况导致出错 8 （5 分） 已知函数 f （x） x+4， g
16、 （x） x22x， 则 F （x） 的最值是 （ ） A最大值为 8，最小值为 3 B最小值为1，无最大值 C最小值为 3，无最大值 D最小值为 8，无最大值 【分析】解不等式 f（x）g（x） ，得出 F（x）的解析式，再根据 F（x）的单调性求出 F（x）的最值 【解答】解：令 f（x）g（x）可得 x+4x22x，解得：1x4， F（x）， F（x）在（，1）上单调递减，在1，4上单调递增，在（4，+）上单调递增 F（x）的最小值为 F（1）f（1）3，F（x）没有最大值 故选：C 【点评】本题考查了分段函数的最值及其求法，也可利用函数图象来判断最值的存在，属于中档题 9 （5 分）已
17、知函数yxsinxyxcosx，yx|cosx|，yx2x的部分图象如图，但顺序被打乱， 则 按 照 图 象 从 左 到 右 的 顺 序 ， 对 应 的 函 数 序 号 正 确 的 一 组 是 （ ） A B C D 【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断 【解答】解：yxsinx 是偶函数，其图象关于 y 轴对称； yxcosx 是奇函数，其图象关于原点对称； yx|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称且当 x0 时，y0； yx2x为非奇非偶函数，且当 x0 时，y0；当 x0 时，y0； 故选：A 【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数值特点，属于基础题 10 （5 分） “a1
18、”是“函数 f（x）lnx+ax+在1，+）上是单调函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性的性质进行判断即可 【解答】解：若函数 f（x）lnx+ax+在1，+）上是单调函数， 则函数的导数 f（x）满足不变号， 即 f（x）0 或 f（x）0 在1，+）上恒成立， f（x）+a， 若函数 f（x）单调递减，则 f（x）+a0，即 a+（）2恒成立， 设 g（x）（）2， x1，01，则当时，g（x）取得最小值，此时 a， 若函数 f（x）单调递增，则 f（x）+a0，即 a+（）2恒成立， 设
19、 g（x）（）2， x1，01， 则g（x）0，此时 a0， 综上若函数 f（x）lnx+ax+在1，+）上是单调函数，则 a0 或 a， 则“a1”是“函数 f（x）lnx+ax+在1，+）上是单调函数”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导 数的应用 11 （5 分）函数 f（x）在（0，+）单调递增，且 f（x+2）关于 x2 对称，若 f（2）1，则 f（x2） 1 的 x 的取值范围是（ ） A2，2 B （，22，+） C （，04，+） D0，4 【分析】根据题意，分析可得函数 f（x）为偶函数，结
20、合函数的单调性分析可得 f（x2）1f（|x 2|）f（|2|）|x2|2，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】解；根据题意，f（x+2）关于 x2 对称，则 f（x）为偶函数，且 f（2）f（2）1， 则 f（x2）1f（|x2|）f（|2|） ， 又 f（x）在（0，+）单调递增， 所以|x2|2，解可得 0 x4； 故选：D 【点评】本题考查抽象函数的单调性以及奇偶性，关键是分析 f（x）的奇偶性 12 （5 分）已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，且对任意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+3）+f（x） ，f（0） 1，则不等式 f（x）5ex的解集为（ ） A （4，
21、1） B （1，4） C （，4）（1，+） D （，1）（4，+） 【分析】可设令 g（x），再设 g（x）x2+3x+c，根据 f（0）1，解得 c1，即可求出 g（x） ， 由不等式 f（x）5ex可得 x2+3x+15，解不等式即可 【解答】解：令 g（x）， g（x）2x+3， g（x）x2+3x+c， g（0）1， c1， g（x）x2+3x+1， f（x）5ex， 5， x2+3x+15， 即 x2+3x40， 解得4x1， 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研函数的性质、方程与不等式的解法、构造方法，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共
22、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设函数 f（x），则 f（2）+f（log212） 9 【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得 f（2）+f（log212）的值 【解答】解：由函数 f（x）， 可得 f（2）+f（log212）（1+log24 ）+（1+2）+3+69， 故答案为：9 【点评】本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的运算性质，求函数的值，属于基础题 14 （5 分）命题“x（1，2）时，满足不等式 x2+mx+40”是假命题，则 m 的取值范围是 （， 5 【分析】写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否
23、命题为真命题；分离出m；通过导函数求 出不等式右边对应函数的在范围，求出 m 的范围 【解答】解：命题“x（1，2）时，满足不等式 x2+mx+40”是假命题， 命题“x（1，2）时，满足不等式 x2+mx+40”是真命题， 在（1，2）上恒成立 令x（1，2） f（x）f（1）5， m5， m5 故答案为： （，5 【点评】 将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立， 进一步将不等式恒成立转化为函数的最值 15 （5 分）已知函数，若存在实数 x1，x2，x3，x4，满足 x1x2x3x4， 且 f（x1）f（x2）f（x3）f（x4） ，则的值是 12 【分析】作出函数 f（x）的图象
24、，根据 f（x1）f（x2）f（x3）f（x4） ，得到 x1x21，且 x3，x4关 于 x6 对称，然后进行计算即可 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图： 由条件知 0 x11x22，2x3x410， 且 x3，x4关于 x6 对称， 则 x3+x412， 由 f（x1）f（x2）得|log2x1|log2x2|， 则log2x1log2x2， 即 log2x1+log2x2log2x1x20， 则 x1x21， 则12 故答案为：12 【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件作出图象，结合函数对称性以及对数函数的性质得到 x1x21，且 x3，x4关于 x6 对称是解决本题的关
25、键 16 （5 分）已知函数 f（x），且函数 g（x）f（x）mxm 在（1，1内有 且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 （，2（0， 【分析】由 g（x）f（x）mxm0，即 f（x）m（x+1） ，作出两个函数的图象，利用数形结合即 可得到结论 【解答】解：由 g（x）f（x）mxm0，即 f（x）m（x+1） ， 分别作出函数 f（x） （图中红色曲线） ， 和 yh（x）m（x+1）的图象（图中绿色曲线） ， 为一条过点（1，0）的直线，如图： 由图象可知 f（1）3，h（x）表示过定点 A（1，0）的直线， 当 h（x）过（1，3）时，m，此时两个函数有两个交点， 此时
26、满足条件的 m 的取值范围是 0m 当 h（x）过（0，2）时，h（0）2，解得 m2， 此时两个函数有两个交点 当 h（x）与 f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时 x+3m（x+1） ， 即 m（x+1）2+3（x+1）10， 当 m0 时，只有 1 解； 当 m0，由9+4m0 得 m，此时直线和 f（x）相切 要使函数有两个零点，则m2 综上可得，函数 g（x）f（x）mxm 在（1，1内有且仅有两个不同的零点， 则实数 m 的取值范围为（，2（0， 故答案为： （，2（0， 【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题 解答题：共解答题：
27、共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答第必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（60 分）分） 17 （12 分）定义在 R 上的单调函数 f（x）满足 f（3）log23 且对任意 x，yR 都有 f（x+y）f（x）+f （y） （1）求证 f（x）为奇函数； （2）若 f（k3x）+f（3x9x2）0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）欲证 f（x）为奇函数即要
28、证对任意 x 都有 f（x）f（x）成立在式子 f（x+y）f（x） +f（y）中，令 yx 可得 f（0）f（x）+f（x）于是又提出新的问题，求 f（0）的值令 xy0 可得 f（0）f（0）+f（0）即 f（0）0，f（x）是奇函数得到证明 （2）先将不等关系 f（k3x）+f（3x9x2）0 转化成 f（k3x）f（3x+9x+2） ，再结合函数的单调 性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最后利用分离系数法即可求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）证明：f（x+y）f（x）+f（y） （x，yR） ， 令 xy0，代入式，得 f（0+0）f（0）+f（0） ，即 f（0）0 令
29、 yx，代入式，得 f（xx）f（x）+f（x） ，又 f（0）0，则有 0f（x）+f（x） 即 f（x）f（x）对任意 xR 成立，所以 f（x）是奇函数 （2）解：f（3）log230，即 f（3）f（0） ， 又 f（x）在 R 上是单调函数， 所以 f（x）在 R 上是增函数， 又由（1）f（x）是奇函数 f（k3x）f（3x9x2）f（3x+9x+2） ， k3x3x+9x+2， 令 t3x0，分离系数得：， 问题等价于，对任意 t0 恒成立 ， 【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题说明：问 题（2）本题解法：是根据函数的性质f（x）是奇
30、函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数 f （t）t2（1+k）t+2 对于任意 t0 恒成立对二次函数 f（t）进行研究求解 18 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x）ex2x+2a，xR （1）求 f（x）的单调区间与极值； （2）求证：当 aln21 且 x0 时，exx22ax+1 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可； （2）设 g（x）exx2+2ax1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可 【解答】解： （1）解：由 f（x）ex2x+2a，xR， 知，f（x）ex2，xR， 令 f（x）0，得 xln2
31、，于是，当 x 变化时，f（x）和 f（x）的变化情况如下表： x （，ln2） ln2 （ln2，+） f（x） 0 + f（x） 单调递减 22ln2+2a 单调递增 故 f（x）的单调递减区间是（，ln2） ，单调递增区间是（ln2，+） ， f（x）在 xln2 处取得极小值，极小值为 f（ln2）22ln2+2a （2）证明：设 g（x）exx2+2ax1，xR， 于是 g（x）ex2x+2a，xR 由（1）知，对任意 xR，都有 g（x）0， 所以 g（x）在 R 内单调递增 于是，当 aln21 时，对任意 x（0，+） ， 都有 g（x）g（0） ，而 g（0）0， 从而对任意
32、 x（0，+） ，都有 g（x）0， 即 exx2+2ax10，故 exx22ax+1 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题 19 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x）x2+alnx（2+a）x （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当时，判断函数与函数 f（x）的图象有几个交点，并说明理由 【分析】 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）由 g（x）f（x）可得x2lnx2x0，令 h（x）x2lnx2x，求导，判断函数的单调性， 求出函数的极值，即可判断函数零点的个数 【解答】解： （1）由题意得 f（
33、x）2x+（2+a），x（0，+ ） 当 a0 时，函数 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增 当 a0 时，令 f（x）0 得 x1 或 x， 当1，即 a2 时，在（0，+）上恒有 f（x）0，故函数 f（x）在（0，+）上单调递增 当1，即 0a2 时，函数 f（x）在（0，） ， （1，+）上单调递增，在（，1）上单调递减； 当1，即 a2 时，函数 f（x）在（0，1） ， （，+）上单调递增，在（1，）上单调递减； （2）g（x）f（x）即x2xx2lnxx， 化简得x2lnx2x0 令 h（x）x2lnx2x， 则 h（x）3x2， 所以 h（x）在（0，1）上
34、为减函数，在（1，+）上为增函数，极小值为 h（1）， 且 h（）ln40，h（2）2ln20， 故 h（x）有两个零点， 从而函数 g（x）与 f（x）的图象有两个交点 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点的判定，体现了转化思想的解题思 想方法，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）2（x0） （1）试判断当 f（x）与 g（x）的大小关系； （2）试判断曲线 yf（x）和 yg（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理 由 【分析】 （1）利用作差法构造新函数，判断新函数在 x0 时取值情况判断 f（x）g（x）的差与 0
35、 的大 小关系即可 （2）假设存在公切线，设出两个切点，分别求出切线，根据两条切线是相同的，列出方程求解进行判断 即可 【解答】解： （1）设 F（x）f（x）g（x） ，则， 由 F（x）0，得 x3，当 0 x3 时，F（x）0，当 x3 时 F（x）0F（x）在区间（0，3）单调 递减，在区间（3，+）单调递增， 所以 F（x）取得最小值为 F（3）ln310， F（x）0，即 f（x）g（x） （2）假设曲线 f（x）与 g（x）有公切线，切点分别为 P（x0，lnx0）和 因为，所以分别以 P（x0，lnx0）和为切线的切线方程为 令，即 令 所以由，得 x13 显然，当 0 x13
36、 时，h（x）0，当 x13 时，h（x）0， 所以 h（x）minln310， 所以方程无解， 故二者没有公切线 所以曲线 yf（x）和 yg（x）是否不存在公切线 【点评】本题考查了作差法比较两个数的大小，考查了导数的几何意义，综合性较强，对学生有较高的 要求属于中档题 21 （12 分）已知函数 g（x）f（x）+bx，函数 f（x）x+alnx 在 x1 处的切线 l 与直线 x+2y0 垂直 （1）求实数 a 的值； （2）若函数 g（x）存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围； （3）设 x1、x2（x1x2）是函数 g（x）的两个极值点，若 b，求 g（x1）g（x2）的最小值
37、 【分析】 （1）由 f（x）1+，利用导数的几何意义能求出实数 a 的值； （2） ）由已知得 g（x）+x（b1），x0，由题意知 g（x）0 在（0，+ ）上有解，即 x+1b0 有解，由此能求出实数 b 的取值范围； （3）由 g（x）+x（b1），x0，由题意知 g（x）0 在（0，+）上有 解，x0，设 （x）x2（b1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出 g（x1）g（x2）的最小 值 【解答】解： （1）f（x）x+alnx， f（x）1+， f（x）在 x1 处的切线 l 与直线 x+2y0 垂直， kf（x）|x11+a2， 解得 a1 （2）g（x）lnx+x2（b
38、1）x， g（x）+x（b1），x0， 由题意知 g（x）0 在（0，+）上有解， 即 x+1b0 有解， 定义域 x0， x+2， x+b1 有解， 只需要 x+的最小值小于 b1， 2b1， 解得实数 b 的取值范围是b|b3 （3）g（x）lnx+x2（b1）x， g（x）+x（b1），x0， 由题意知 g（x）0 在（0，+）上有解， x1+x2b1，x1x21， x0，设 （x）x2（b1）x+1， 则 （0）ln（x1+x12（b1）x1lnx2+x22（b1）x2 ln+（x12x22）（b1） （x1x2） ln+（x12x22）（x1+x2） （x1x2） ln（） ， 0
39、x1x2， 设 t，0t1， 令 h（t）lnt（t） ，0t1， 则 h（t）（1+）0， h（t）在（0，1）上单调递减， 又b，（b1）2， 由 x1+x2b1，x1x21， 可得 t+， 0t1，由 4t217t+4（4t1） （t4）0 得 0t， h（t）h（）ln（4）2ln2， 故 g（x1）g（x2）的最小值为2ln2 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数的最小值的求法，解题时要 认真审题，注意函数的单调性的合理运用 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中
40、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系的原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐标为 （1，0） ， 若直线 l 的极坐标方程为cos （+） 10，曲线 C 的参数方程是（t 为参数） （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）设直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求+ 【分析】 （1）直线 l 的极坐标方程转化为 cossin1，由此能求出直线 l 的直角坐标方程；曲线 C 的参数方程消去参数，能求出曲线 C 的普通方程 （2）联立，得
41、x26x+10，由此利用根的判断式、韦达定理、两点间距离公式能求出+ 的值 【解答】解：直线 l 的极坐标方程为cos（+）10， （cossin）1cossin1， 直线 l 的直角坐标方程为 xy1 曲线 C 的参数方程是（t 为参数） 曲线 C 的普通方程是 y24x （2）联立，得 x26x+10， 364320，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x26，x1x21， M（1，0） ， + + 1 【点评】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程的求法，考查两线段的倒数和的求法，考查参 数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
42、方程思想，是 中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1| （1）求不等式 g（x）3 的解集； （2）x22，2，x12，2，使得不等式 f（x1）g（x2）成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）由已知中 g（x）的解析式，可得不等式 g（x）3 的解集； （2）x22，2，x12，2，使得不等式 f（x1）g（x2）成立，f（x）ming（x）min（x2， 2） ，进而得到答案 【解答】解： （1）当 x时，g（x）3， 由 所以3 分 （2）x22，2，x12，2，使得 f（x1）g（x2）成立 f（x）ming（x）min（x2，2）5 分 又 g（x）min2 f（x）min2（x2，2）7 分 而8 分 解得10 分 【点评】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质， 熟练掌握二次函数的图象和性质， 是解答的关键
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