1、 2019-2020 学年学年山西省太原市迎泽区山西省太原市迎泽区高三（上）高三（上）11 月段考数学试卷（文科）月段考数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1 （5 分）已知集合 AxR|x2+x60，BxR|xe，则（ ） AAB BABR CBRA DAB 2 （5 分）若 z1+2i，则（ ） A1 B1 Ci Di 3 （5 分）下列结论错误的是（ ） A命题“若 p，则 q”与命题“若 q，则 p”互为逆否命题 B命题 p：x0，1，ex1
2、，命题 q：xR，x2+x+10，则 pq 为真 C若 pq 为假命题，则 p、q 均为假命题 D “若 am2bm2，则 ab”的逆命题为真命题 4 （5 分）（ ） A B C D 5（5 分） 已知定义在 R 上的可导函数 f （x） 是偶函数， 且满足 xf （x） 0， 则不等式 的解集为（ ） A B C D 6 （5 分）将函数 ycosxsinx 的图象先向右平移 （0）个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标 变为原来的 a 倍，得到 ycos2x+sin2x 的图象，则 ，a 的可能取值为（ ） A B C D 7 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10 且，
3、当 Sn取最大值时，n 的值为（ ） A9 B10 C11 D12 8 （5 分）已知一个项数为偶数的等比数列an，所有项之和为所有偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64， 则 a1（ ） A11 B12 C13 D14 9 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，且 2S（a+b）2c2，则 tanC（ ） A B C D 10 （5 分）在ABC 中，若+，记 S1SABD，S2SACD，S3SBCD，则下列结论正确的 是（ ） A B C D 11 （5 分）设不等式 x22ax+a+20 的解集为 A，若 A1，3，则实数 a 的取
4、值范围是（ ） A （1， B （1， C （2， D （1，3 12 （5 分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A B6 C11 D24 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）分，把答案填在题中的横线上） 13 （5 分）若，则 cos2 14 （5 分）已知正数 a，b 满足 ab2a+b，则 a+b 的最小值为 15 （5 分）设数列an的通项公式为，且，数列bn的前 n 项和为 Tn， 则 T5 16 （5 分）已知函数，f（x）0 的解集为（m，n） ，若 f（x）
5、 在（0，+）上的值域与函数 f（f（x） ）在（m，n）上的值域相同，则实数 a 的取值范围为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积为，b+c3，求 a 18 （12 分）已知数列an中，a11，an+1（nN*） （1）求证：+是等比数列，并求and 通项公式 an； （2）数列bn满足 bn（4n1） an，求数列bn的前 n 项和 Tn 19
6、 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12AB2，BAA1，D 为 AA1的中点，点 C 在平 面 ABB1A1内的射影在线段 BD 上 （1）求证：B1D平面 CBD； （2）若CBD 是正三角形，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 20 （12 分）已知为偶函数， （1）求实数 k 的值； （2）若 x0，1时，函数 f（x）的图象恒在 g（x）图象的下方，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx2ax，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）xax2在 x1 时恒成立，求 a 的取值范围 选做题：请在选做题：请在 A、
7、B 题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分选修选修 4-4-极坐标与极坐标与 参数方程参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为 x 轴的非负半 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数，mR） （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）若曲线 C 上的动点 M 到直线 l 的最大距离为，求 m 的值 选修选修 4-5-不等式选讲不等式选讲 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）若 abm 恒成立，求 m 的取值范围； （2）若 +|2x1|x
8、+2|恒成立，求 x 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1 （5 分）已知集合 AxR|x2+x60，BxR|xe，则（ ） AAB BABR CBRA DAB 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，进而求出 A 与 B 的交集，并集，A 的补集，即可做出判断 【解答】解：由 A 中不等式变形得： （x2） （x+3）0， 解得：x3 或 x2，即 A（，3）（2，+） ， B（，e） ，RA3，2， AB（，
9、3）（2，e） ，ABR， 故选：B 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键 2 （5 分）若 z1+2i，则（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可 【解答】解：z1+2i，则i 故选：C 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力 3 （5 分）下列结论错误的是（ ） A命题“若 p，则 q”与命题“若 q，则 p”互为逆否命题 B命题 p：x0，1，ex1，命题 q：xR，x2+x+10，则 pq 为真 C若 pq 为假命题，则 p、q 均为假命题 D “若 am2bm2，则 ab”的逆命题为真命题 【分析】写出 A
10、 命题的逆否命题，即可判断 A 的正误；对于 B，判断两个命题的真假即可判断正误；对 于 C 直接判断即可；对于 D 命题的逆命题为“若 ab，则 am2bm2”然后判断即可； 【解答】解：对于 A：因为命题“若 p，则 q”的逆否命题是命题“若 q，则 p” ，所以） 命题“若 p， 则 q”与命题“若 q，则 p”互为逆否命题；故正确 对于 B：命题 p：x0，1，ex1，为真命题，命题 q：xR，x2+x+10，为假命题，则 pq 为真， 故命题 B 为真命题 对于 C：若 pq 为假命题，则 p、q 均为假命题，正确； 对于 D： “若 am2bm2，则 ab”的逆命题为： “若 ab
11、，则 am2bm2 ” ，而当 m20 时，由 ab，得 am2bm2， 所以“am2bm2，则 ab”的逆命题为假，故命题 D 不正确 故选：D 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，训练了特称命题的否定的格式，同时训练了复合命题真假 的判断，有时利用反例判断 4 （5 分）（ ） A B C D 【分析】将原式分子第一项中的度数 4717+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后， 合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值 【解答】解： sin30 故选：C 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的 关键 5（5 分） 已知定义
12、在 R 上的可导函数 f （x） 是偶函数， 且满足 xf （x） 0， 则不等式 的解集为（ ） A B C D 【分析】根据抽象函数 f（x）的性质，由于 xf（x）0，当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x 0 时，f（x）0，f（x）单调递减； 由于 f （x） 是偶函数， f （） 0， 则 f （） 0； 把不等式等价于或 解得即可 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的可导函数偶函数，且满足 xf（x）0，当 x0 时，f（x）0， f（x）单调递增；当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递减； 又，f（）0； 不等式或； 0 x或 x2； 不等式的解集为： （0，）
13、（2，+） 故选：D 【点评】本题考查了导数及抽象函数的性质，利用抽象函数的单调性解不等式，属于中档题 6 （5 分）将函数 ycosxsinx 的图象先向右平移 （0）个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标 变为原来的 a 倍，得到 ycos2x+sin2x 的图象，则 ，a 的可能取值为（ ） A B C D 【分析】直接利用正弦型函数的平移和伸缩变换求出结果 【解答】解：函数 ycosxsinx的图象先向右平移 （0）个单位， 得到 y的图象，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的 a 倍， 得到 ycos2x+sin2x的图象， 所以：a +， 解得：（kZ） ， 故当 k0 时，
14、故选：D 【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的图象的平移和伸缩变换问题的应用 7 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10 且，当 Sn取最大值时，n 的值为（ ） A9 B10 C11 D12 【分析】由题意，不妨设 a69t，a511t，则公差 d2t，其中 t0，因此 a10t，a11t，即可得 出 【解答】解：由题意，不妨设 a69t，a511t，则公差 d2t，其中 t0， 因此 a10t，a11t，即当 n10 时，Sn取得最大值 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8 （5 分）已知一个项数为偶数的等比数列a
15、n，所有项之和为所有偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64， 则 a1（ ） A11 B12 C13 D14 【分析】由已知数据和等比数列的性质可得 q 的值，由前 3 项之积为 64 可得 a2，由通项公式可得 a1 【解答】解：由题意可得所有项之和 S奇+S偶是所有偶数项之和 S偶的 4 倍， S奇+S偶4S偶，设等比数列an的公比为 q， 由等比数列的性质可得 S偶qS奇，即 S奇S偶， S偶+S偶4S偶，解得 q， 又前 3 项之积 a1a2a3a2364，解得 a24， a112 故选：B 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的性质，属中档题 9 （5 分
16、）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，且 2S（a+b）2c2，则 tanC（ ） A B C D 【分析】首先由三角形面积公式得到 SABC，再由余弦定理，结合 2S（a+b）2c2，得 出 sinC2cosC2，然后通过（sinC2cosC）24，求出结果即可 【解答】解：ABC 中，SABC，由余弦定理：c2a2+b22abcosC， 且 2S（a+b）2c2，absinC（a+b）2（a2+b22abcosC） ， 整理得 sinC2cosC2，（sinC2cosC）24 4，化简可得 3tan2C+4tanC0 C（0，180） ，tanC，
17、 故选：C 【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角 C 的范围，属于中 档题 10 （5 分）在ABC 中，若+，记 S1SABD，S2SACD，S3SBCD，则下列结论正确的 是（ ） A B C D 【分析】可作出图形，然后作，从而得出四边形 AEDF 是平行四边形，并设ABD 的边 AB 上的高为 h1，ACD 的边 AC 上的高为 h2，从而可得出，进而得出 ，从而可求出，从而得出正确选项 【解答】解：如图， 作，则， 四边形 AEDF 是平行四边形， SADESADF， 设ABD的边AB上的高为h1， ACD的边AC上的高为h2， 则：， ， ，
18、故选：C 【点评】本题考查了向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，三角形的面积公式，考查了计 算能力，属于中档题 11 （5 分）设不等式 x22ax+a+20 的解集为 A，若 A1，3，则实数 a 的取值范围是（ ） A （1， B （1， C （2， D （1，3 【分析】利用不等式和函数之间的关系，设函数 f（x）x22ax+a+2，利用二次函数的图象和性质即可 得到结论 【解答】解：设 f（x）x22ax+a+2， 不等式 x22ax+a+20 的解集 A1，3， 若 A，则4a24（a+2）0， 即 a2a20，解得1a2， 若 A，则， 即， 2， 综上1， 故实数 a
19、的取值范围是（1， 故选：A 【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，利用二次函数是解决本 题的关键，注意要进行分类讨论 12 （5 分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A B6 C11 D24 【分析】画出几何体的直观图，求出外接球的半径，然后求解即可 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图，建立如图所示的空间直角坐标系，几何体的外接球的球 心坐标为： （，z） ， P（2，0，1） ，则， 可得 z， 外接球的半径为： 该几何体外接球的表面积为：411 故选：C 【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，求解外接球的
20、半径是解题的关键，是难题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）分，把答案填在题中的横线上） 13 （5 分）若，则 cos2 【分析】利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解 【解答】解：， cos2 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题 14 （5 分）已知正数 a，b 满足 ab2a+b，则 a+b 的最小值为 【分析】将等式 ab2a+b 转化为，本题化为基本不等式的常见模型， “1”代换法的模型，接下 来用“1”代换法做下去即可
21、 【解答】 解： 将等式 ab2a+b 两边同除以 ab， 得， a+b， 当且仅当时， 即时，与 aba+b 联立得，时，等号成立 故答案为： 【点评】本题考查基本不等式的基本模型，是基础题 15 （5 分）设数列an的通项公式为，且，数列bn的前 n 项和为 Tn， 则 T5 【分析】求得，运用数列的裂项相消 求和，化简可得所求和 【解答】解：由， 可得， 则 T5+ 故答案为： 【点评】本题考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题 16 （5 分）已知函数，f（x）0 的解集为（m，n） ，若 f（x） 在（0，+） 上的值域与函数 f（f（x） ）在 （m，n）上的值域相同，则
22、实数 a 的取值范围为 2， +） 【分析】讨论 f（x）的单调性，得出 f（x）在（0，+） 上的值域为 （，f（1），设 tf（x） ， 即 f（t）在（0，f（1）上的值域为（，f（1）则只需 f（1）1； 【解答】解： a0，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减； f（x）在（0，+） 上的值域为 （，f（1）； 根据题意有； f（x）0 的解集为（m，n） ，则设 tf（x） ， 当 x（m，n）时，tf（x）（0，f（1）； f（x）在（0，+）上的值域与函数 f（f（x） ）在（m，n）上的值域相同； 即 f（t）在（0，f（1）上的值域为（，f（1）； 只需
23、f（1）1，即，得 a2 故答案为：2，+） 【点评】本题考查函数单调性，函数值域，数形结合思想，本题关键在于等价转化，属于难题 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积为，b+c3，求 a 【分析】 （1）用正弦定理角化边，再用余弦定理求出 A； （2）根据面积公式求出 bc，再用余弦定理求出 a 【解答】 解：（1）， 所以 b2+c2a2bc， 所
24、以 cosA，A（0，） ，所以 A； （2）SbcsinA，bc2，又 b+c3， 所以 a2b2+c2+bc（b+c）2bc927 所以 a 【点评】此题考查了余弦定理与正弦定理，解三角形，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，基础题 18 （12 分）已知数列an中，a11，an+1（nN*） （1）求证：+是等比数列，并求and 通项公式 an； （2）数列bn满足 bn（4n1） an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）首先利用递推关系式求出数列的通项公式 （2）利用乘公比错位相减法求出数列的和 【解答】解： （1）数列an中，a11，an+1（nN*） 则：， 所以：，
25、则：数列是以为首项，4 为公比的等比数列 故： （2）数列bn满足 bn（4n1） an， 所以：， Tnb1+b2+b3+bn， ， ， 得： ， ， 故： 【点评】 本题考查的知识要点： 数列的通项公式的求法及应用， 乘公比错位相减法在数列求和中的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12AB2，BAA1，D 为 AA1的中点，点 C 在平 面 ABB1A1内的射影在线段 BD 上 （1）求证：B1D平面 CBD； （2）若CBD 是正三角形，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 【分析】 （1）设点 C 在平面
26、ABB1A1内的射影为 E，推导出 CEB1D，BDB1D，由此能证明 B1D平 面 CBD （2）三棱柱 ABCA1B1C1的体积33，由此能求出结果 【解答】证明： （1）设点 C 在平面 ABB1A1内的射影为 E， 则 EBD，CE平面 CBD且 CE平面 ABB1A1， B1D平面 ABB1A1，CEB1D， 在ABD 中，ABAD1，BAD， 则ABDADB， 在A1B1D 中，A1B1A1D1， 则A1B1DA1DB1， 故，故 BDB1D， CEBDE，B1D平面 CBD 解： （2）33， 由（1）得 CE平面 ABB1A1，CE 是三棱锥 CA1AB 的高， CBD 是正三
27、角形，BDABAD1，CE， ， ， 三棱柱 ABCA1B1C1的体积： 33 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20 （12 分）已知为偶函数， （1）求实数 k 的值； （2）若 x0，1时，函数 f（x）的图象恒在 g（x）图象的下方，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由偶函数性质可得 f（1）f（1） ，进而建立方程得解； （2）问题转化为在 x0，1恒成立，构造函数（x0，1） ，则 aymin，进而得 解 【解答】解： （1）为偶函数， f（1）f（1） ，
28、即， k1； （2）由题意可得 x0，1时，恒成立， 即，即恒成立， 所以恒成立，且 23xa0， 即在 x0，1恒成立， 因为在 x0，1上单调递增，所以 a0 【点评】本题考查函数性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，难度不 大 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx2ax，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）xax2在 x1 时恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间； （2）不等式等价于 lnx+ax2（2a+1）x0 在 x1 恒成立，令 g（x）lnx+ax2（2
29、a+1）x，x1，求 出函数的导数，根据函数的单调性确定 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）2a（x0） ， 若 a0，f（x）0，f（x）在（0，+）递增， 若 a0，令 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（0，）递增，在（，+）递减， 综上，若 a0，f（x）在（0，+）递增， 若 a0，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减； （2）不等式考核 lnx+ax2（2a+1）x0 在 x1 恒成立， 令 g（x）lnx+ax2（2a+1）x，x1， g（x）， 若 a0，g（x）0，g（x）在（1，+）递减， 故 g（x）g（1）a1， 故不等式恒成立等价于a10，故 a1，
30、故1a0， 若 0a，则1， 当 1x时，g（x）0， 当 x时，g（x）0， 故 g（x）在（1，）递减，在（，+）递增， 故 g（x）g（） ，+） ，不合题意， 若 a，当 x1 时，g（x）0， 故 g（x）在（1，+）递增， 故 g（x）（g（1） ，+） ，不合题意， 综上，a1，0 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道 综合题 选做题：请在选做题：请在 A、B 题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分选修选修 4-4-极坐标与极坐标与 参数方程参数方程 22
31、（10 分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为 x 轴的非负半 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数，mR） （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）若曲线 C 上的动点 M 到直线 l 的最大距离为，求 m 的值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）直接利用点到直线的距离和三角函数关系式的恒等变变换求出结果 【解答】解： （1）曲线的极坐标方程为， 转换为直角坐标方程为：x2+4y24， 整理得：， 直线 l 的参数方程为（t 为参数，mR） 转换为直角坐标方程为：x2y+m0
32、， （2）把转换为参数方程为：（ 为参数） ， 由于：线 C 上的动点 M（2cos，sin）到直线 l 的最大距离为， 则：d， 当 m0 时， 解得：m2， 当 m0 时， 解得：m2（舍去） ， 故：m2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式 的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5-不等式选讲不等式选讲 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）若 abm 恒成立，求 m 的取值范围； （2）若 +|2x1|x+2|恒成立，求 x 的取值范围 【分析】 （1）由题意利用基本不等式求得 ab 的最大值，
33、可得 m 的范围 （2）利用用基本不等式求得的最小值为 9，可得 9|2x1|x+2|恒成立，分类讨论、去掉绝对值，求 得 x 的范围，综合可得结论 【解答】解： （1）a0，b0，且 a+b1， ab（）2，当且仅当 ab时“”成立， 由 abm 恒成立，故 m； （2）a，b（0，+） ，a+b1，+（+） （a+b）5+5+29， 故若 +|2x1|x+2|恒成立，则|2x1|x+2|9， 当 x2 时，不等式化为 12x+x+29，解得6x2， 当2x，不等式化为 12xx29，解得2x， 当 x时，不等式化为 2x1x29，解得x12， 综上所述 x 的取值范围为6，12 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想， 属于中档题
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