1、第九章第九章 综合与实践（数学广角）综合与实践（数学广角） 31.31.分析与推理分析与推理 一搭配问题一搭配问题 是指在生活中，利用排列或组合的知识解决生活中的问题，如:组数、选择出行路线，比赛场次等。 1.1.意义意义 排列是从 n 个给定的元素中选出 m 个元素按照一定的顺序排成一列;组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素 组成一组，不计较组内各元素的次序。 2.2.排列和组合的最主要区别排列和组合的最主要区别 排列与顺序有关，组合与顺序无关。 3.3.简单的排列方法简单的排列方法 (1)按顺序选定一个事物放在首位，再把剩下的事物排好顺序。 (2)先分组，再在组内按顺序排列。 4.4
2、.简单的组合方法简单的组合方法 (1)按顺序依次搭配，不重复、不遗漏。 (2)按顺序选定一个事物放在首位进行分组，再把剩下的事物进行分组组合，不重复、不遗漏。 5.5.口诀口诀: :分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 二、优化问题二、优化问题 在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题，完成某件事情，怎样规划安排，才能用最短的时间，最小的 投人，最少的人力，最快的速度，取得最好的效果，我们称之为统筹或优化问题。如:沏茶问题、烙饼问题 和田忌赛马问题等。 我们还会遇到“费用最省” 、 “用时最少” 、 “面积最大”和“损耗最小”等问题，这些问题往往可以以极端 情况去探讨它的最大(小)值，这类问
3、题在数学中称为极值问题，实际上都是“最优化问题” 。 三、逻辑推理三、逻辑推理 1.1.基本概念基本概念 逻辑推理，是指依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 2.2.基本方法和解题技巧基本方法和解题技巧 解决推理问题的常用方法有:直接法、假设法、排除法、反证法、图解法和列表法。逻辑推理问题的解决， 需要深人地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，在推理过程中往往需要 交替运用“排除法”和“反证法” ，要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填人表格内。在填 表时，对正确的(或不正确的)结果要及时注上“V”(或“X)，以免引起遗忘或混乱。
4、 四、四、找次品问题找次品问题 找次品是我们生活中经常遇到的问题，在一些外观看似相同的物品中，有一个质量不同(轻一点或重一点) 的物品，需要我们想办法把它找出来。像这类问题就是找次品问题。 用天平找次品的解题策略: 一是把待测物品分成三份。 二是要分得尽量平均，能平均分成三份的，就平均分，不能平均分成三份的，也应使多的与少的一份只差 1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数会更少。 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 搭配问题搭配问题 【例【例 1 1】 用 3，5，0 三个数字可以组成（ ）个不同的三位数（每个数字不能重复） 【精析】【精析】简单的排列组合问题，按照
5、一定的顺序来写，做到不重不漏。可分为:百位数字是 3 的有:305 ,350 共 2 个;百位数字是 5 的有:503,530 共 2 个，所以总共有 4 个不同的三位数。 【答案【答案】4 【归纳总结【归纳总结】注意 0 不能写在最高位上。 【例例 2 2】六年级 5 个班进行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要比赛( )场。 【精析【精析】简单的排列组合问题，从左往右依次组合，不重不漏。 【答案答案】六年级 5 个班记为 A,B,C,D,E，与 A 班进行的比赛有:AB , AC , AD , AE 共 4 场;与 B 班 进行的比赛有:BC,BD,BE 共 3 场;与 C 班进行
6、的比赛有:CD,CE 共 2 场;与 D 班进行的比赛有:DE 一场。所以总共有 4+3+2+1 =10 场比赛。 【归纳总结归纳总结】 本题考查循环赛场次问题:有 n 个班(或组)进行单循环比赛， 则比赛场次共有(n-1)+(n 一 2)+ +2+1 场。 考点考点 2 2 优化问题优化问题 【例例 3 3】妈妈下班回家做饭，淘米要 2 分钟，煮饭要 20 分钟，洗菜要 3 分钟，切菜要 2 分钟，炒菜要 10 分 钟，如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用( )时间。 【精析精析】简单的优化问题。可以这样安排:先淘米 2 分钟，煮饭 20 分钟，煮饭的同时可以洗菜、
7、切菜和炒 菜。所以最少要用:2 + 20 = 22(分钟)。 【答案答案】22 【归纳总结归纳总结】本题考查合理安排时间，既要抓住节省时间又不使工序矛盾进行分析设计。解决这类问题要 注意哪些事情可以同时做，哪些不能同时做，能同时做的事情，尽量同时做，这样可以节省时间。 【例例 4 4】如果将齐王的三种马的能力值设定为 9,7,5，而田忌的三种马的能力都分别少一些为 8,6 ,4，怎样 才能使田忌赢呢? 【精析精析】田忌赛马问题。根据三局两胜的规则，让田忌能力值最高的马与齐王的能力值第二的马比赛;让田 忌能力值第二的马与齐王能力第三的马比赛;让田忌能力值最低的马与齐王能力值最高的马比赛。这样能保
8、 证田忌胜出 2 局。 【答案【答案】列表格如下: 第一次 第二次 第三次 齐王 9 7 5 田忌 4 8 6 【归纳总结【归纳总结】田忌赛马问题考查的是对策论，必须齐王先出阵，田忌才可以选择对策。 考点考点 3 3 推理问题推理问题 【例例 5 5】 A,B,C 三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测。甲说:“A 肯定是第一名。 ”乙 说:”A 不是最后一名。 ”丙说:“ A 肯定不是第一名。 ”其中只有一人对比赛结果的预测是对的，预测对的 是( )。 A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定 【精析精析】推理问题，根据“两个互相否定的思想不能同真” ，甲和丙的预测互相矛盾，则必然有
9、一人的预测 是对的，再经过推论得出结果。根据题意，甲和丙的预测相互矛盾，必一对一错，因为只有一个人的预测 是对的，不论甲对还是丙对，乙必错，所以 A 是最后一名。甲说“A 肯定是第一名”与“A 是最后一名”相 矛盾，所以甲预测错误，则丙预测就是对的。 【答案【答案】C 【归纳总结【归纳总结】推理的关键是抓住一对截然相反、互相矛盾的说法展开推理，利用题目限定的条件，找出一 个必错或必对的说法，作为突破口。 考点考点 4 4 找次品问题找次品问题 【例【例 6 6】有 8 个相同的零件和 1 个稍轻的零件混在一起，用天平秤至少称()次能保证找到那个稍轻的零件。 【精析【精析】找次品问题，使用天平比
10、较物体质量的大小，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘 上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。将物体尽量平均分成 3 份，称的次数最少。第一步:把 9 个零件 平均分为三份(3,3,3)，用天平称前两组(3，3)。 (1)如果天平平衡，则稍轻的零件就在第 3 组里，再把第三组的 3 个零件平均分为三份(1,1,1),再用天 平称前两组，如果平衡，则最后一个就是那个稍轻的零件;如果不平衡，那么天平上升的那边就是那个稍轻 的零件。 (2)如果天平不平衡， 则把上升的那个托盘中的3 零件平均分成三份再称一次就能找到那个稍轻的零件。 所以，用天平至少称 2 次就能找到那个稍轻的零件。 【答案答
11、案】 2 【归纳总结归纳总结】 把待测物体尽量平均分成三份， 不能平均分的， 也使多的和少的一份只差 1 用天平找次品时， 要测物品的个数(只含一个次品)和至少需要的次数与数字 3 有关。它的规律(在知道物体是较重或较轻的情 况下)如下表所示: 要测物品的个数 其中最大数与 3 的关系 需要的次数 23 一个 3 1 49 9=33 2 1027 27=333 3 2880 81=3333 4 . . . 如果不知道次品是较轻还是较重的情况下，需要在多测一次。 名题精析名题精析 【例】 （西安高新某中入学）【例】 （西安高新某中入学）甲地有 57 吨货物运到乙城，大卡车载重量是 5 吨，小卡车
12、载重量是 3 吨，耗 油量分别是 10 升和 5. 7 升，则用多少辆大卡车和小卡车来运输，耗油量最省? 【精析精析】最佳策略问题，先求出大卡车和小卡车每吨货物的耗油量，即大、小卡车的运愉成本，然后比较 哪种卡车的运愉成本低，在设计方案时尽量选择运愉成本低的卡车，而且尽量满载。 【答案答案】大卡车每吨耗油量:10 5 =2(升)。小卡车每吨耗油量:5.7 3 =1.9(升) 所以尽可能选择小卡车， 而且尽量满载;57 吨货物选择小卡车来运， 需要(辆)耗油量为:1.9 x57=108.3(升) 答:用 19 辆小卡车来运输，耗油量最省，为 108.3 升。 【归纳总结【归纳总结】做题时，既要考
13、虑运输成本，尽量选择运输成本低的卡车，又要尽量满载。 毕业升学训练毕业升学训练 一、填空题一、填空题 1.由 1,2,3 这三个数字能组成的三位数一共有( )个，它们的和是( )。 2.奥运会上，八个国家，每两个国家赛一场，共要赛( )场。 3.笑笑安排时间最合理:起床整理被褥 3 分钟，刷牙 3 分钟，洗脸 2 分钟，听英语录音 8 分钟。如果六点起 床，最快( )时( )分做完这些事情。 4.亮亮从学校到少年宫有 2 条线路，从少年宫到公园有 3 条线路，那么亮亮从学校到公园共有( )条线路 可走。 5.小明用平底锅烙饼，每次只能放 2 张饼，烙一张饼需要 2 分钟(正、反面各需 1 分钟
14、)。为了节约时间， 小明要烙 7 张饼最少需要( )分钟。 6.两人玩扑克牌比大小的游戏， 每人每次出一次牌， 各出三次赢两次者胜， 小红的牌是 “9” , “7” , “5” ;， 小芳的牌是“8”;“6”;“3”;。当小红出“9”时，小芳出( )才可能赢。 二、选择题二、选择题 1.小明、小刚、小强分别担任语文、数学、外语某一门学科的课代表，并分别有篮球、排球、乒乓球三种 爱好中的一种，若已知: (1)爱好排球、篮球的和小明一起去游泳; (2)爱好乒乓球的常和数学课代表一起写作; (3)小刚一点也不爱好篮球; (4)语文课代表对乒乓球、排球一窍不通。 由此可以推断，小明、小刚、小强分别担任
15、的学科课代表是( )。 A.外、数、语 B.数、语、外 C.语、外、数 D.不能确定 2. A,B,C,D,E 五人进行乒乓球比赛，每两人都要赛一场，现在 A 已经赛了 4 场，B 已经赛了 3 场，C 已经赛 了 2 场，D 已经赛了 1 场，那么 E 赛了( )场。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.在 10 个零件里有 1 个是次品(次品重些)，用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 A. 3 B. 2 C.4 D. 5 4.刚接到学校通知，有一个紧急演出，让学校的合唱队去参加，离演出时间很近了，合唱队共有 31 人，通 知一个学生需要 1 分钟。老师最快( )分钟能通知到
16、这 31 名同学。 A. 32 B.8 C.16 D. 5 5.师生共 32 人去公园划船，大船租金 30 元，限乘 6 人，小船租金 24 元，限乘 4 人，下列( )方案最省 钱。 A. 6 条大船 B. 5 条大船，1 条小船 C. 4 条大船，2 条小船 6.六年级有三个班，每班有两个班长。开班长会时，每次每班只需要一个班长参加。第一次参加会议的有 A,B,C;第二次参加会议的有 B,D,E;第三次参加会议的有 A,E,F。下列说法正确的是( )。 A. B 和 E 同班 B. C 和 E 同班 C. A 和 F 同班 D. C 和 F 同班 三、解决问题三、解决问题 1.赵、钱、孙三
17、个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。 赵不在甲厂，钱不在乙厂，在甲厂的不是钳工，在乙厂的是车工，钱不是电工。 这三个人分别在哪个工厂?干什么工作? 2.兵兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面、三面，并且 不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号? 3.小华妈妈每天 7：30 要上班，起床后每项家务所需时间如下： 项目 穿衣 洗刷 煮饭菜 搞卫生 吃饭 时间（分） 2 4 20 5 6 （1）小花妈妈至少要用几分钟完成这些事 （2）小花妈妈必须在几时几分之前起床？ 4.市第一小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四
18、名学生的成绩作了如下估计: (1)丙得第一、乙得第二。(2)丙得第二、丁得第三。(3)甲得第二、丁得第四。 比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前 4 名。 但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名? 5.有 16 人去公园划船游玩，有两种租船方式，5 人座每只船 3 元，3 人座每只船 2 元(不许超载)，请你至 少写出 3 种租船方案，并说明花钱最少的租船方案? 6.在 17 个银元中，有一个是假的，除比真银元稍轻之外，其外表与真银元无任何差别;用一台去砝码天平 至少称多少次就可保证找出假银元? 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、填空题一、填空题 1.(1.(抚州某一中入学
19、抚州某一中入学)用 1 g,2 g,4 g,8 g 的祛码各一个，最多能称出( )种不同质量的物体。 2.(2.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )一场体育比赛中，一共有 10 名运动员，如果每两人握一次手，一共握了( )次。 3.(3.(西安某工大附中入学西安某工大附中入学) )用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一张饼至少需要 2 分钟(正反两面各 需要 1 分钟)，那么煎熟 3 张饼至少要( )分钟 4.(4.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌， 一人得铜牌。王老师猜测:小明得金牌，小华不得金牌，小强
20、不得铜牌。结果老师只猜对了一个，那么小明 得( )、小华得( )、小强得( )。 5.(5.(成都某九中入学成都某九中入学) )三个同学到少年宫参加课外活动，但活动时间不相同，甲每隔 3 天去一次，乙每隔 5 天去一次，丙每隔 9 天去一次，上次他们三人在少年宫同时见面时间是星期五。那么下次三人同时在少年 宫见面是星期( )。 二、选择题二、选择题 1.(1.(陕西某师大附中入学陕西某师大附中入学) )妈妈让小明给客人沏茶。洗水壶用 1 分钟，烧开水用 8 分钟，洗茶壶用 1 分钟， 洗茶杯用 1 分钟，泡茶用 4 分钟，那么客人最 决( )分钟能喝到茶。 A. 15 B. 12 C. 13
21、D. 9 2.(2.(西安西安某工大附中入学某工大附中入学) )小赵、小钱和小孙一位是工人，一位是医生，一位是教师。现在只知道: (1)小孙比教师年龄大;(2)小赵和医生不同岁; (3)医生比小钱年龄小。 请分析( )是教师。 A.小赵 B.小钱 C.小孙 D.无法确定 3.(3.(西安某一中学入学西安某一中学入学)一个三位数，有相邻两个数字的和为 16，那么这样的三位数共有( )个。 A. 54 B. 38 C. 76 D. 19A. 54 B. 38 C. 76 D. 19 4.(4.(成都某四中入学成都某四中入学) )四个小朋友各准备了一份礼物，先集中起来，然后每人从中取出一件别人的礼物
22、，则 四件礼物不同的分配方式有( )种。 A. 12 B. 11 C. 9 D. 6 二、解决问题二、解决问题 1.(1.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )从 8 人的兴趣小组中选 2 人。(1)分别担任正副组长，有多少种不同的选法?(2)一 起去参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法? 2.(2.(南昌某中入学南昌某中入学) )甲城有 157 吨货物运到乙城，大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大卡车 运一趟货物耗油 10 升，小卡车运一趟货物耗油 5 升，用多少辆大卡车和小卡车来运这批货物，才能使所有 耗油量最少，最少耗油多少升? 3.(3.(临川某中分班临川某中分
23、班) )有 100 瓶水，其中 99 瓶质量相同，另有一瓶是糖水，比其他的水略重一些，至少称多少 次才能保证找出这瓶糖水? 4.(4.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )一位警察，抓获四个盗窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，他们的供词如下:甲说:“不是我 偷的。 ”乙说:“是甲偷的。 ”丙说:“不是我。 ”丁说:“是乙偷的。 ”他们四人中只有一人说的是真话，你知 道谁是小偷吗? 第九章第九章 综合与实践（数学广角）综合与实践（数学广角） 31. 31. 分析与推理分析与推理 毕业升学训练毕业升学训练 一、 1. 6 1332 2. 28 3. 6 8 4. 6 5. 7 6. 3 二、 1. A 2
24、. A 3. A 4. D 5. C 6. B 三、 1.【解析】通过和可知，钱不在乙厂，不是车工；通过知道钱不是电工，那么，钱必定是钳工； 又通过可知在甲厂的不是钳工，则钱必定是丙厂的钳工；通过赵不在甲厂，是乙厂的车工；那么孙必 定是在甲厂工作，是电工。 答：赵在乙厂干车工工作，钱在丙厂干钳工工作，孙在甲厂干电工工作。 2.【解析】简单的排列组合问题。按照一定的顺序分类讨论，做到不重不漏。 （1）挂一面旗子，共有 3 种情况； （2）挂两面旗子，共有 32-6 种不同的情况； （3）挂三面旗子，共有 32-6 种不同的情况； 总共有：3+6+6=15（种）不同的信号。 答：一共可以表示 15
25、 种信号。 3.【解析】优化问题。 （1）在煮饭菜的同时可以洗刷与搞卫生，最后吃饭。 共需：2+20+6-28（分钟） 。 （2）7:30 往前推 28 分钟就是 7 时 2 分。 答：小华妈妈至少要 28 分钟完成这些事。她必须要 7 时 2 分之前起床。 4.【解析】推理问题。 假设（1）中“丙得第一”说错了， “乙得第二”说对了；则（2）中“丙得第二”说错了， “丁得第三” 说对了；那么（3）中的两句话都是错的，与题目中“每一种只对了一半错了一半”相矛盾。这种假设不成 立。 从相反的方向推理。得：丙得第一、甲得第二、丁得第三、乙得第四。 5.【解析】租船问题。 5 人座每人：35-0.6
26、（元） 。 3 人座每人：230.67（元） 若租 4 条 5 人座船，则还有 4 个空座每人坐，费用为：43-12（元） 若租 3 条 5 人座船，还有 1 人不能上船，剩余 1 人租 3 人座船，费用为： 33+2-11（元） 若租 2 条 5 人座船，2 条 3 人座船，16 人刚好坐满，费用为：23+22-10（元） 12 元11 元10yua 答：租 2 条 5 人座船，2 条 3 人座船花钱最少。 6.【解析】找次品问题。 把 17 个银元分成（6,6，5） ，先称前两组（6,6） ，若平衡，则把第三组 5 个银元分成（2，2,1） ，先 称（2,2） ，若平衡，则最后一个银元就是
27、次品；若不平衡，则把稍轻的 2 个银元再分成（1,1）再称一次就 能找出次品。至少称 3 次才能保证找出假银元。若不平衡，把稍轻的 6 个银元分成（2,2,2） ，先称前两 组（2,2） ，若平衡，则把最后 2 个分成（1,1）在称一次就能找出次品；若不平衡，把稍轻 2 个银元再分成 （1,1）在称一次就能找出次品。至少称 3 次才能保证找出假银元。 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、 1. 15 2. 45 3. 3 4. 铜牌 金牌 银牌 5. 二 二、 1. C 2. A 3. A 4. C 三、 1.【解析】排列组合问题。 （1）87-56（种） 答：有 56 种不同的选法。 -（2）7+
28、6+5+4+3+2+1-28（种） 答：有 28 种不同的选法。 2.【解析】大卡车每吨耗油：105-2（升） 。 小卡车每吨耗油：52-2.5（升） 。所以尽量用大卡车运货物，且尽量不空载。 如果用 31 辆大卡车和 1 辆小卡车，刚好运完 157 吨货物，最少耗油是： 3110+15-215（升） 打：运完这些货物最少耗油 315 升。 3.【解析】找次品问题。 按照规律，100 在 81243 之间，243-33333，则至少称 5 次才能保证找出这瓶糖水。 答：至少称 5 次才能保证找出这瓶糖水。 4.【解析】根据题意，甲和乙的说法相互矛盾，必一真一假，因为还有一人说的是真的。不论甲真还 是乙真，丙和丁说的必然是假的。丙说“不是我” ，他说的是假的，那么丙就是小偷。丁说“是乙偷得” ， 说明乙不是小偷，与丙是小偷不矛盾。 答：丙是小偷。
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