1、23.23.平面图形的测量平面图形的测量 知识要点梳理知识要点梳理 一、一、基本图形周长面积计算公式基本图形周长面积计算公式 二、组合图形求周长、面积二、组合图形求周长、面积 1 1阴影面积整体空白 2 2代换法代换法 梯形中的蝴蝶定理： S1S4 S1S3S2S4 3 3分割法分割法 4 4等高三角形等高三角形 （1）等高三角形面积的比等于底之比。 （2）等高三角形的常用判定方法：有一个公用的顶点，其余顶点均在同一直线上，所有顶点均在 同一对平行线上。 （3）等底三角形的面积之比等于高之比。 5.5.交叉定理交叉定理 bcad 扇 形 r表示半径 表示圆心角 360 2 rS 360 2 r
2、C 圆 环 r表示小圆半径 R 表示大圆半径 圆环面积=大圆面积- 小圆面积 )( 22 rRS 环 a b c d 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 组合图形的周长和面积组合图形的周长和面积 【例例 1 1】 求下面图形的周长和面积。 （单位：米） 【精析精析】 要求它的周长，可用长方形的 2 个长1 个宽圆的周长的 一半；要求它的面积，可用图中长方形的面积加上半圆的面积即可。 【答案答案】 周长：2.5223.1422 523.14 10.14（米） 面积：2.523.14 2 ) 2 2 (2 53.1412 51.57 6.57（平方米） 答：这个图形的周长
3、是 10.14 米，面积是 6.57 平方米 【归纳总结【归纳总结】 组合图形的计算，一般都要把它分割成规则图形再进行计算。 考点考点 2 2 等积变换法等积变换法求面积求面积 【例例 2 2】 如图，ABCD 是直角梯形，AB3 厘米，AD4 厘米，BC6 厘米，求阴影部分的面积。 【精析精析】 阴影部分的面积为三角形 ABE 和三角形 DEC 的 面积之和， 利用ABE和DEC是等高三角形则阴影部分的面积可以变换为BC边的长乘以高， 再除以2。 【答案答案】 6329（平方厘米） 【归纳总结归纳总结】 高一定，阴影部分面积底之和高2。 考点考点 3 3 割补法割补法求面积求面积 【例例 3
4、 3】 如图， 是一块长方形草地， 长方形的长是 16， 宽是 10， 中间有两条道路， 一条是长方形， 一条是平行四边形，那么，阴影部分的面积是多大？ 【精析精析】 如果按常规解法，此题较麻烦，如果用割补法、平移法则较简单。把左边沿路这一块割 下补在右边变成一个平行四边形，然后两条路平移到边上（如下图） ，就容易解答了。 【答案答案】 （162）（102）148112（平方米） 答：有草部分的面积为 112 平方米。 考点考点 4 4 转化法求面积转化法求面积 【例例 4 4】 如图， 正方形 ABCD 的边长为 5cm， 又CEF 的面积比ADF 的面积大 5 2 cm， 求 CE 的长。
5、 【精析精析】 因为CEF 的面积比ADF 的面积大 5 平方厘米，这两个三角形分别加上公共部分则三 角形 ABE 的面积比正方形 ABCD 的面积大 5 平方厘米，于是利用三角形和正方形的面积公式即可求解。 【答案答案】 （555）2557cm 【归纳总结归纳总结】 巧用等式的基本性质将局部转化为整体求面积。 考点 5 辅助线法求面积 【例例 5 5】 如图所示的大正方形的边长是 10 厘米，求阴影部分的面积。 【精析【精析】 （辅助线法）如图所示：三角形 BCF 和三角形 DCF 等底等高（底和高分别等于大、小正 方形的边长） ，则二者的面积相等，分别去掉公共部分（三角形 CFH） ，那么
6、剩余的部分的面积，仍然相 等，即三角形 BCH 和三角形 HFD 的面积相等，于是阴影部分的面积就变成了大正方形的面积的一半， 据此代入数据即可求解。 【答案答案】 10102100250（平方厘米） 答：三角形 BFD 的面积为 50 平方厘米。 【归纳总结归纳总结】 解答此题的关键是：推论得出阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半，问题即 可得解。 考点考点 6 6 平移法求面积平移法求面积 【例例 6 6】 如图，是由一个圆和两个正方形组成的图形，其中圆的半径为 2，则图中阴影部分的面 积为多少？ 【精析精析】 将图中的阴影部分不规则图形的面积通过平移转化成规则图形的面积集中求解。 【答
7、案【答案】22=4 442-444=4 答：阴影部分的面积为 4。 名题精析名题精析 【例例】 （西安某铁一中入学西安某铁一中入学） 右图是由 4 个边长为 4 厘米的正方形组成的图形， 每个小正方形的一个顶点恰好在另一个正方形的中心，且边互相平行，则此图形的 周长为（ ）cm，面积为（ ） 2 cm。 【精析【精析】 根据图形可以看出组合图形中第一个和最后一个正方形各相当于 3 条边的长度，其余 2 个正方形各相当于 2 条边的长度。 【答案答案】 422cm， （4222）440cm，221352 2 cm。 【方法归纳方法归纳】 解决此类题的关键是掌握组合图形的周长都包含哪些边。 毕业升
8、学训练毕业升学训练 一、填空题一、填空题 1如图，两个正方形边长分别是 10 厘米和 15 厘米，甲三角形的面积比乙三角形的面积大（ ） 平方厘米。 2如图，小半圆的直径是 4 厘米，图形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 3如图，正方形的面积是 4 平方米，圆的面积是（ ）平方米，空白部分 S 的面积是（ ）平方 米，阴影部分的面积是（ ）平方米。 二、选择题二、选择题 1 1把长方形的一个角上剪去一个小正方形，长方形的周长（ ） ，面积（ ） 。 A变大 B变小 C不变 2 2比较图中最大圆与最大圆中四个小圆的周长和， （ ） 。 A最大圆的周长大 B最大圆中四个小圆的周长大 C一
9、样大 三、解决问题三、解决问题 1 1下图是两个相同三角形叠放在一起，求阴影部分面积。 2 2如下图，长方形草地长为 16 米，宽为 10 米，中间有两条路，一条是长方形，一条是平行四边 形，小草覆盖的面积有多大？ 3 3小正方形边长为 6cm，CG6cm，求阴影部分面积。 4 4在ABC 中，DC3BD，DEEA，若ABC 面积是 2，求阴影部分的面积。 5 5四边形 ABCD 的对角线 DB 被 E、F 两点三等分，且四边形 AECF 的面积为 15cm2，求四边形 ABCD 的面积？ 6 6如图，直角梯形 ABCD 的上底与高相等，正方形 DEFH 的边长等于 6 厘米，阴影部分的面积是
10、多 少？ 7 7三角形 ABC 的面积是 36，D 为 AB 的中点，FC 与 DE 平行，那么三角形 BEF 的面积是多少？ 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、填空题一、填空题 1 1 （西安 （西安高新某中入学高新某中入学）如图，正方形 ABCD 中，边长为 18cm，CE2BE，AF2BF，AE、CF 交于点 O， 则阴影部分的面积为（ ） 。 2 2 （西安某铁一中分班 （西安某铁一中分班）如图，在大长方形中放置了 7 个形状，大小相同的小长方形，则图中阴影 部分的面积是（ ） 。 3 3 （西安高新某中入学 （西安高新某中入学）某小区准备在长方形地块上种植花草，设计图纸如图，BD、CF
11、将长方形 ABCD 分成四块， 红色三角形面积是 8 平方厘米， 黄色三角形面积是 12 平方厘米， 问绿色四边形面积是 （ ） 平方厘米。 4 4 （江西某师大附中入学 （江西某师大附中入学）三角形 ABC 的面积是 21 平方厘米，点 D 在 BC 上，且 DC3BD，点 E 在线 段 AD 上，且 AEDE，延长 CE 交 AB 于点 F，那么图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 二、解决问题二、解决问题 1 1 （西安某交大附中入学 （西安某交大附中入学）如图，是正方形与半圆形的组合，A 点是半圆弧的中点，请根据图中所标 示的数据计算阴影部分的面积。 （的值取 3） 2 2 （成都某七
12、中入学 （成都某七中入学）如图，长方形 ABCD 的长为 10cm，宽为 8cm，E、F 分别为所在边的中点，G 为 BC 上的任意一点，求阴影部分的面积。 3 3 （成都 （成都某七中入学某七中入学）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10cm 和 12cm，求阴影部 分的面积。 4 4 （西安某铁一中入学 （西安某铁一中入学） （1）请在方格纸中，以线段 AB 为边画出两个面积为 3 的格点三角形，要求 一个为锐角三角形，一个为钝角三角形。 （注：每个小方格的边长为 1；格点三角形是指三角形的三个 顶点都在方格的交叉点上） （2）某自助农场主将一块长方形的菜地，分割成 7 个小
13、长方形出租（如图 2） ，其中 5 块的面积分 别为 20，10，4，6，8（单位：平方米） ，请算出阴影部分的面积。 （3）一块形状为直角梯形的展板（如图 3） ，其中 AD 平行于 BC，AD，BC 垂直于 DC，点 E 为 AB 的 中点，阴影部分涂成绿色，其余部分涂成白色，请问绿色区域和白色区域的面积是否相等？请说明理 由。 5 5 （西安某交大附中入学 （西安某交大附中入学）如图，已知正方形 ABCD 边长为 4cm，AE 长为 5cm，BF 垂直 AE 于点 F，求 BF 的长。 6 6 （西安某交大附中入学 （西安某交大附中入学）操作发现： （1）如图 1，点 P 是直线 l 外
14、一点，则线段 PA、PB、PC 中哪条线段最短？ （2）如图 2，将三角形 ABC 沿直线 l 翻折得到三角形 ADC，若B108，130，求2 的度 数。尝试应用： （3）如图 3，在三角形 ABC 中，BAC45，BC4，三角形 ABC 的面积是 6，点 D 是 BC 上任意一点， 将三角形 ABD 沿 AB 翻折得到三角形 ABE，将三角形 ACD 沿 AC 翻折得到三角形 ACF，若连接 EF，试计算 三角形 AEF 面积的最小值。 7（西安某铁一中入学）（西安某铁一中入学） （1）如图，一张长方形纸片经过折叠，恰好得到一个三角形 ABC，这个三角 形面积与长方形面积之比是 13，BA
15、C90 度。 （2）如图，一张面积是 240cm2 的长方形纸片 ABCD 的四个角向内折叠，恰好能将其拼成一个无缝 隙无重叠的四边形“信封”EFGH，若 HF20cm，求 AB 的长。 8 8 （西安某工大附中分班 （西安某工大附中分班）已知如图 1，正方形 ABCD 的边长为 a，P 是边 CD 上的一动点（不与 C、D 重合） ，CPb，以 CP 为一边在正方形 ABCD 外作做正方形 PCEF，连接 BF、DF。 （1）观察计算： 当 a4，b1 时，四边形 ABFD 的面积为 16。 当 a4，b2 时，四边形 ABFD 的面积为 16。 （2）探索发现： 根据上述的计算结果你认为四
16、边形 ABFD 的面积与正方形 ABCD 面积之间有怎样的关系？请直接写出 你的结论： （3）结论应用： 如图 2，连接 BD，若三角形 BDF 的面积为 12.5，正方形 PCEF 的面积为 4，点 M 是 BF 与 CD 的交点， 求四边形 MCEF 的面积。 23.平图形的测量 毕业升学训练 一、1.37.5 2.25.12 25.12 3.12.56 3.14 0.86 二、1.C B 2.C 三、1.【解析】阴影部分面积=梯形 ABCD 的面积=(8-3 +8)52=32.5 答:阴影部分面积为 32.5。 2.【解析】阴影部分面积=(16-2)(10-3)=98 (米) 答:小草覆
17、盖的面积是 98 平方米。 3.【解析】662=18(c ) 答:阴影部分面积为 18c 。 4.【解析】连接 FD, 7 6 7 3 2 答：阴影部分的面积为 7 6 。 5.【解析】153=45(c ) 答:四边形 ABCD 的面积是 45c 6.【解析】662=18(平方厘米) 答:阴影部分面积是 18 平方厘米。 7.【解析】连接 CD,36 2=18 答:三角形 BEF 的面积是 18。 冲刺名校提升 一、1. 81c 2.100 3.22 4.12 二、1.【解析】16162=128c 884=48c 128c +48c -(16+8)82=80(c ) 答:阴影部分的面积是 80
18、c 2.【解析】10(82)2 =1042 =20(平方厘米) 答:阴影部分的面积是 20 平方厘米。 3.【解析】1212+1010-(12+10)122-10 102-(12-10)12 2=144+100-132-50- 12=50(c ) 答:阴影部分的面积是 50c 。 4.【解析】(1)满足条件高为 2 即可(答案不唯一)。 (2)684=12(平方米) 4+6+8+12=30(平方米) 30 x10=20=15(平方米) 答:阴影部分的面积是 15 平方米。 (3)相等。 过点 E 作 CD 的平行线交 BC 于 G,延长 DA 交于 则 BEGAEFSS 所以 阴影S =SSS
19、EGCDEF 2 1 长方形 CDFG， 绿色区域和红色区域的面积相等。 5.【解析】连接 EB,三角形 AEB 是正方形面积的一 44 2=8c ,同时 FB 是 AE 底边上的高,8 5= 5 16 cm。 答:BF 的长是长 5 16 cm。 6.【解析】(1)利用点与线段之间垂线段最短,PC 短。 (2)。4230180180=BAC=2 (3)由于(2)可知AF,=AE，90=EAF 要使直角三角形AEF的面积最小，只要AFAE 短即可。 由(1)可知,当ABC为三角形AD高时,最短为 2 1 3,=4 三角形AEF的面积为5 . 4 2 1 33。 7.(1)1:3 90 (2)【解析】 四边形S240=EFGH 2 1 120c= 6cm=20120=EM 6cm=EM=AE 6cm=EM=BE 12cm=6cm+6cm=BM+AE=AB 8.(1)16 16 (2)ABCDABFDSS四边形四边形 (3)【解析】连接CF， 因为 125 2 1 BDFABFDBDFSSS，正方形 ，所 25ABCDS正方形,所以5 BCAB 因为4PCEFS正方形,所以2 PFCE 又因为BMCDNFSS， MCMC5 2 1 2)5( 2 1 7 10 MC 所以 42 7 10 2 1 四边形CEFMCFMCEFSSS 7 24 2 7 10
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