1、专练 20 函数中的四边形存在性问题 1.如图，抛物线 与直线 AB 交于点 A(1，0)，B(4， )点 D 是抛物线 A ， B 两点 间部分上的一个动点(不与点 A ， B 重合)，直线 CD 与 y 轴平行，交直线 AB 于点 C ， 连接 AD ， BD (1)求抛物线的解析式； (2)设点 D 的横坐标为 m ， ADB 的面积为 S ， 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 取最大值时 的点 C 的坐标； (3)当点 D 为抛物线的顶点时，若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 AB 上的动点，判断有几个位置能使 以点 P ， Q ， C ， D 为顶点的四边形为平行
2、四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 【答案】 (1)解: 抛物线 与直线 AB 交于点 A(1，0)，B(4， ) ， 解得， ， 抛物线的解析式是 y x2+2x+ ； (2)解: 如图，过点 B 作 BFDE 于点 F 点 A(1，0)，B(4， )， 易求直线 AB 的解析式为：y x+ 又点 D 的横坐标为 m， 点 C 的坐标是(m， m+ )，点 D 的纵坐标是( m2+2m+ ) AEm+1，BF4m，CD m2+ m+2， S CD(AE+BF) ( m2+ m+2) (m+1+4m) (m )2+ (1m4) 当 m 时，S 取最大值 ，此时 C( ， )； (3)解: 假
3、设存在这样的点 P、Q 使以点 P，Q，C，D 为顶点的四边形为平行四边形 点 D 是抛物线的顶点， D(2， )，C(2， ) 如图 2，当 PQDC，PQDC 时 设 P(x， x2+2x+ )，则 Q(x， x+ )， x2+2x+ x 3， 解得，x1 或 x2(舍去)， Q(1，1)； 如图 3，当 CDPQ，且 CDPQ 时 设 P(x， x2+2x+ )，则 Q(x， x+ )， x+ + x22x 3， 解得，x5 或 x2， Q(5，3)、Q(2， )； 如图 4，当 PCDQ，且 PCDQ 时 过点 P 作 PECD 于点 E，过点 Q 作 QFCD 于点 F则 PEQF，
4、DEFC 设 P(x， x2+2x+ )，则 E(2， x2+2x+ )， Q(4x， x)，F(2， x)， 由 DECF 得， ( x2+2x+ ) x ， 解得，x1 或 x2(舍去)， Q(3，2) 综上所述，符合条件的点 Q 的坐标有：(1，1)、(5，3)、(2， )、(3，2) 2.如图，平行四边形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，点 B、C 在 x 轴上；OA、OB 长是关于 x 的一元二次方程 x27x+120 的两个根，且 OAOB ， BC6； (1)写出点 D 的坐标_； (2)若点 E 为 x 轴上一点，且 S AOE ， 求点 E 的坐标； 判断 AOE 与 A
5、OD 是否相似并说明理由； (3)若点 M 是坐标系内一点，在直线 AB 上是否存在点 F ， 使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？ 若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)(6，4) (2)解：设点 E(x，0)， ， 点 E 坐标 或 AOE 与 AOD 相似， 理由如下：在 AOE 与 DAO 中， ， ， 且DAOAOE90 ， AOEDAO； (3)解：存在， OA4，OB3，BC6， ，OBOC3，且 OABO， ABAC5，且 AOBO， AO 平分BAC， AC、AF 是邻边，点 F 在射线 AB 上时，AFAC5， 所以点 F 与 B
6、重合， 即 F(3，0)， AC、AF 是邻边，点 F 在射线 BA 上时，M 应在直线 AD 上，且 FC 垂直平分 AM， 点 F(3，8) AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为 ，直线L过( ，2)，且k值为 (平 面内互相垂直的两条直线 k 值乘积为1)， L 解析式为 y x+ ，联立直线 L 与直线 AB 求交点， F( ， )， AF 是对角线时，过 C 做 AB 垂线，垂足为 N， 根据等积法求 ，勾股定理得出， ，做 A 关于 N 的对称点即为 F， ，过 F 做 y 轴垂线，垂足为 G， ， F( ， ) 综上所述：F1(3，0)；F2(3，8)； ； 【解析】
7、解：(1)OA、OB 长是关于 x 的一元二次方程 x27x+120 的两个根， OA4，OB3， 点 B(3，0)，点 A(0，4)，且 ADBC ， ADBC6， 点 D(6，4) 故答案为：(6，4)； 3.如图，抛物线C1的图象与x轴交A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点 (1)求抛物线 C1的解析式和 D 点坐标； (2)将抛物线 C1关于点 B 对称后的抛物线记为 C2 ， 点 E 为抛物线 C2的顶点，求抛物线 C2的解析式和 E 点坐标； (3)是否在抛物线 C2上存在一点 P，在 x 轴上存在一点 Q，使得以 D，E，P，Q 为顶点的四
8、边形是平行四边 形，若存在求出 P 点坐标，若不存在请说明理由 【答案】 (1)抛物线 C1 的图象与 x 轴交 A(3，0)，B(1，0)两点 可设抛物线 C1 的解析式为 y=a(x3)(x1) 将点 C 的坐标代入，得 3=a(03)(01) 解得：a=-1 抛物线 C1 的解析式为 y=-(x3)(x1)=-x2-2x+3=-(x1)2+4 抛物线 C1 的顶点 D 的坐标为(-1,4) (2)将抛物线 C1 关于点 B 对称后的抛物线记为 C2 ， 点 E 为抛物线 C2 的顶点，设 C2 与 x 轴的另一交点 为 K，如下图所示 抛物线 C2 的二次项系数为 1 点 D(-1,4)
9、，B(1,0) 抛物线 C2 的顶点 E 的坐标为(3，-4) 抛物线 C2 的解析式为 y=(x3)24 (3)存在， 由对称性可知：BK=AB=1(-3)=4 点 K 的坐标为(5,0) 当 DE 为平行四边形的边时， DPEQ，DP=EQ，即 EQ 可看作 DP 平移得到 点 D(-1,4)到点 E(3，-4)的平移方式为：先向右平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位 点 P 到点 Q 的平移方式为：先向右平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位 点 Q 在 x 轴上 点 P 的纵坐标为 8 将 y=8 代入 C2 的解析式中，解得：x=3 此时点 P 的坐标为(3 ，8)或(3 ，8
10、)； 当 DE 为平行四边形的对角线时， 由 DE 的中点为点 B， PQ 的中点也为点 B， 由点 Q 在 x 轴上，点 B 也在 x 轴上 点 P 也在 x 轴上，即此时点 P 与点 K 重合 此时点 P 的坐标为(5,0)； 综上：点 P 的坐标为(3 ，8)或(3 ，8)或(5,0) 4.如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的边 BC 在 x 轴上，ABC90 ，以 A 为顶点的抛物线 yx2 bxc 经过点 C(3，0)，交 y 轴于点 E(0，3)，动点 P 在对称轴上. (1)求抛物线解析式； (2)若点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点
11、 B 停止，设运动时间为 t 秒，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D，过点 D 平行于 y 轴的直线 l 交抛物线于点 Q，连接 AQ，CQ，当 t 为何值时， ACQ 的面积最大？最大值是多少？ (3)若点 M 是平面内的任意一点，在 x 轴上方是否存在点 P，使得以点 P，M，E，C 为顶点的四边形是菱形， 若存在，请直接写出符合条件的 M 点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：将点 C，E 的坐标代入二次函数表达式得： 解得 故抛物线的表达式为：yx22x3 (2)解：yx22x3 A(1，4)， 设直线 AC 的解析式为 ，将点 A，C 的坐标代入，得： ，解得
12、直线 AC 的表达式为：y2x6 点 P(1，4t)， 点 D ， 设点 Q ，则 S ACQ DQ BC 0，故 S ACQ 有最大值，当 t2 时，其最大值为 1 当 t2 时，S ACQ 有最大值，其最大值为 1 (3)解：设点 P(1，m)，(m0)点 M(x，y)， 当 EC 是菱形一条边时， 当点 M 在 x 轴下方时， 点 E 向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 C，则点 P 平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 M， 则 13x，m3y x=4，y=m-3 MPEP 1(m3)2(41)2(m3m)2 解得： y= 点 M(4， )； 当点 M 在 x 轴上方
13、时，同理可得：点 M(2，3 )； 当 EC 是菱形一对角线时， 则 EC 中点即为 PM 中点， 则 x13，ym3 PEPC，即 1(m3)24(m2)2 ， 解得：m1， x2，y3m312， 点 M(2，2) 综上，点 M(4， )或(2，3 )或 M(2，2) 5.如图，抛物线 y=x2+bx+c经过 A(1，0)，B(3，0)两点，且与 y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛 物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD. (1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； (2)点 Q 在该抛物线的对称轴上，若 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 Q 的坐标；
14、 (3)若 P 为 BD 的中点，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标. 【答案】 (1)解：抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1，0)，B(3，0)两点， ，解得 ， ； (2)解：由(1)知 B(3，0)， ， 连接 BC， BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形， 则 或 ， Q 在对称轴上，设 ， 则 ， ， ， 当 时，由勾股定理得： ， 即 ， 解得 ， ； 当 时，由勾股定理得： ， 即 ， 解得 ， ； 综上所述， 或 ； (3)解：
15、设点 ，则 ， 以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形， FM=MG，即 ， 当 ，解得 ； 当 ，解得 ； ， ， ， . 6.综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴 y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式 的最大整数解，线段 OB 的长是一元二次方程 的一个根，将 沿 BE 折叠，使 AB 边落在 OB 边所在的 y 轴上，点 A 与点 D 重合 (1)求 OA、OB 的长； (2)求直线 BE 的解析式； (3)在平面内是否存在点 M，使 B、O、E、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：5x-4
16、3(x+2)， 5x-43x+6， 2x10， x5， OA=4， x2-2x-3=0，(x-3)(x+1)=0， x-3=0，x+1=0， x=3，x= 1， OB=3， 答：OA=4，OB=3； (2)解：在 Rt AOB 中，OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5， OB=3， B(0，3)， 设 OE=x， 将 Rt ABO 沿 BE 折叠，使 AB 边落在 OB 边上，A 与 D 重合， DE=AE，BD=AB=5， DE=AE=4-x，OD=5-3=2， 在 Rt OED 中，由勾股定理得：22+x2=(4-x)2 ， 解得：x= ， 即 E 的坐标是：( ，0) 设直线 BE
17、 的解析式是 y=kx+b， 把 B、E 的坐标代入得： ， 解得：k=-2，b=3， 直线 BE 的解析式是：y=-2x+3； (3)存在， ； ； 【解析】解：(3)如图所示： 在平面内存在点 M，使 B、O、E、M 为顶点的四边形为平行四边形，点 M 的坐标是( ，3)或( ，3) 或( ， 3) 7.如图，矩形 的两条边 ， 的长是方程 的两根，其中 ，沿 直线 将矩形折叠，使点 与 轴上的点 重合， (1)求 ， 两点的坐标； (2)求直线 的解析式； (3)若点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在， 请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理
18、由 【答案】 (1)解： 可得： 或 ， ， 的长是方程 的两根，且 ， ， ， (2)解：由折叠的性质可得： ， 在 中， 所以 ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理可得： ， 所以 ，计算得出 ， 所以 设直线 的解析式为 ， 计算得出 直线 的解析式为 (3)解：当点 在 轴上方时，则有 ，如图，连接 、 交于点 ， 则 为 、 的中点， ，且 ， 计算得出 所以 所以 且 所以 的坐标为 即 设 ，且 所以 ， ， 当 在 轴下方时，则有 ，如图，连接 、 交于点 ， 则 为 、 的中点， 同理可得： ， 则： 即 ，计算得出 所以 且 所以 设 ，且 所以 ， ， ， 综上可知存在满
19、足条件的点 ，其坐标为 或 8.如图，一次函数 的图象交 y轴于点 A，交 x 轴于点 B点，抛物线 过A、 B 两点 (1)求 A，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式； (2)作垂直 x 轴的直线xt，在第一象限交直线AB于 M，交这个抛物线于N求当 t取何值时，MN有最大 值？最大值是多少？ (3)在(2)的情况下，以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐标 【答案】 (1)解： 的图象交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B 点， A、B 点的坐标为：A(0，2)，B(4，0)， 将 x=0，y=2 代入 得 c=2， 将 x=4，y=0,代入 得 b= ， 抛物
20、线解析式为： (2)解：如答图 1 所示，设 MN 交 x 轴于点 E，则 E(t，0)，则 M(t， )， 又 N 点在抛物线上，且 xN=t， ， ， 当 t=2 时，MN 有最大值 4 (3)解：由(2)可知 A(0，2)、M(2，1)、N(2，5)， 以 A、M、N、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图 2 所示， 当 D 在 y 轴上时，设 D 的坐标为(0，a)， 由 AD=MN，得|a-2|=4，解得 a1=6，a2=-2， 从而 D 点坐标为(0，6)或 D(0，-2)， 当 D 不在 y 轴上时，由图可知 D3 为 D1N 与 D2M 的交点， 分别求出
21、 D1N 的解析式为： ， D2M 的解析式为： ， 联立两个方程得：D3(4，4)， 故所求的 D 点坐标为(0，6)，(0，-2)或(4，4) 9.如图，在直角坐标系中，A(4，0)，B(8，0)，C(0，4)动直线 EF(EFx 轴)从点 C 出发，以每秒 1 个单 位长度的速度沿 y 轴负方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点，动点 P 同时从点 B 出发，在线段 OB 上以每秒 2 个单位长度的速度运动至原点 O 停止，当点 P 停止时点 E 也随之停止 (1)求直线 BC 的解析式； (2)是否存在t的值，使得 BPFBCA 相似？若存在，试求出t的值，并求出此时
22、 EPF的面积；若不存 在，请说明理由； (3)若将直线CB绕点B顺时针旋转45 得到直线BD ， 在直线BD上有一动点M ， 在x轴上有一点N ， 是否存在点 M ， N ， 使得以点 C、A、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由 【答案】 (1)解： 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， B(8，0)，C(0，4) ， ) ， 解得 ) ， 直线 BC 的解析式为 ； (2)解： 当 BPFBAC 时， ， EFy 轴， ， ， 根据题意得：OC=AB=4，CE=t，BP=2t，OE=4-t， ， 解得 t= ， 当 BPFBCA
23、时， ， BC BF=BP AB， ， ， ， BC2=OC2+OB2=80, t= ， t= s 或 t= s； EFBO CEFCOB EF= S EPF= EF OE= (3)解： 过点 C 作 CQOB 交 BD 于点 Q，过点 Q 作 RQCB 于点 R OBC=QCB 根据题意可知，CBQ=45 ，设 QR=BR=m 由 tanCBO= tanQCR= CR=2，BC=3 3m=4 ， 即 m= CQ= = m= 点 Q 的坐标为( ， 4) 设直线 BD 为 y=k1x+b1 ) 解得，k1=-3，b1=24 直线 BD 为 y=-3x+24 当 AC 为平行四边形的对角线时，K
24、 为 AC 和 MN 的交点 点 A(4,0)，点 C(0,4) K 为(2,2) 设 M(x，-3x+24)，N(n，0) K( ， ) x= ， n=- N 点的坐标为(- ， 0) 当 AC 为平行四边形的边时，当 M 在 x 轴的上方时 CMAN，CM=AN 此时点 M 和点 Q 重合，M( ， 4) AN= ON=4+ = N 为( ， 0) 当 M 在 x 轴的下方时 由 A(4,0)，C(0,4)设 M(x，-3x+24)，N(a，0) 根据平移的性质可得， ) 解得，x= ， a= N( ， 0) 10.如图，已知抛物线 y =x 2+ bx + c 与 x 轴正半轴交于点 A
25、(3，0)，与 y 轴交于点 B(0，3)，点 P 是 x 轴上 一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 C，交直线 AB 于点 D，设 P(x，0). (1)求抛物线的函数表达式: (2)当 0 x 3 时，求线段 CD 的最大值； (3)若 P 点在 x 正半轴移动时，在 PDB 和 CDB 中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的 2 倍 时，求相应 x 的值: (4)若点Q在抛物线上，点H在线段AB的垂直平分线上，且点Q，H，A，B为顶点的四边形是平行四边形， 求 Q 点的横坐标. 【答案】 (1)解：抛物线与 x 轴交于点 A(3,0)，与 y 轴交于点 B(0,3)，
26、 -9+3b+c=0, c=3, b=2, y= x 2+ 2x +3； (2)解：A(3,0)，B(0,3)， 直线 AB 的解析式为 y=-x+3, P(x,0), D(x,-x+3),C(x,x 2+ 2x +3), 0 x0)， 则-(3+x)2+2(3+x)+3=x-3， 解得 x= 或 x= (舍)， 故 Q 的横坐标为 , Q(3-x，-(3+x),(x0)， 则-(3-x)2+2(3-x)+3=-(3+x), 解得 x= (舍)或 x= (舍)， 故 Q 的横坐标为 . 11.抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，且 A(-1
27、，0)、B(4，0)，与 y轴交于点 C，点 C 的坐标为(0，-2)，连接 BC，以 BC 为边，点 O 为中心作菱形 BDEC， 点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m，0)，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q，交BD 于点M (1)求抛物线的解析式； (2)x 轴上是否存在一点 P，使三角形 PBC 为等腰三角形，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由； (3)当点 P 在线段 OB 上运动时，试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形？请说明理由 【答案】 (1)解：由题意可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx-2，抛物线与 x 轴交于 A(-1
28、，0)，B(4，0)两点， 故抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4)，即-4a=-2，解得：a= ，抛物线的解析式为：y= x2- x-2 (2)解：设点 P 的坐标为(m，0)，则 PB2=(m-4)2 ， PC2=m2+4，BC2=20， 当 PB=PC 时，(m-4)2=m2+4，解得：m= ； 当 PB=BC 时，同理可得：m=4 2 ； 当 PC=BC 时，同理可得：m= 4(舍去 4)， 故点 P 的坐标为：( ，0)或(4+2 ，0)或(4-2 ，0)或(-4，0) (3)解：C(0，-2)由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0，2)，设直线 BD的解析
29、式为 y=kx+2，又 B(4， 0)解得 k=- ，直线 BD 的解析式为 y=- x+2；则点 M 的坐标为(m，- m+2)，点 Q 的坐标为(m， m2- m-2)，如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形，(- m+2)-( m2- m-2)=2-(-2)， 解得 m1=0(不合题意舍去)，m2=2，当 m=2 时，四边形 CQMD 是平行四边形 12.如图，已知抛物线：y1x22x+3 与 x 轴交于 A，B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C. (1)直接写出点 A，B，C 的坐标； (2)将抛物线 y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线 y2与 x
30、 轴交于 B，B两点(B在 B 的右侧)，顶点 D 的 对应点为点 D，若BDB90 ，求点 B的坐标及抛物线 y2的解析式； (3)在(2)的条件下，若点 Q 在 x 轴上，则在抛物线 y1或 y2上是否存在点 P，使以 B，C，Q，P 为顶点的四 边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：对于 y1x22x+3，令 y10，得到x22x+30，解得 x3 或 1， A(3，0)，B(1，0)， 令 x0，得到 y3， C(0，3) (2)解：设平移后的抛物线的解析式为 y(xa)2+b， 如图 1 中，过点 D作 DHOB于
31、 H.，连接 BD，BD. D是抛物线的顶点， DBDB，D(a，b)， BDB90 ，DHBB， BHHB， DHBHHBb， a1+b， 又y(xa)2+b，经过 B(1，0)， b(1a)2 ， 解得 a2 或 1(不合题意舍弃)，b1， B(3，0)，y2(x2)2+1x2+4x3. (3)解：如图 2 中， 观察图象可知，当点 P 的纵坐标为 3 或3 时，存在满足条件的平行四边形. 对于 y1x22x+3，令 y3，x2+2x0，解得 x0 或2，可得 P1(2，3)， 令 y3，则 x2+2x60，解得 x1 ，可得 P2(1 ，3)，P3(1+ ，3)， 对于 y2x2+4x3，令 y3，方程无解， 令 y3，则 x24x0，解得 x0 或 4，可得 P4(0，3)，P5(4，3)， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(2，3)或(1 ，3)或(1+ ，3)或(0，3)或(4，3)
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