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    专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)

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    专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)

    1、专练 21 二次函数的图像变换问题 1.已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A(3,0),B(1,0)两点(如图 1),顶点为 M. (1)a、b 的值; (2)设抛物线与 y轴的交点为 Q(如图 1),直线 y=2x+9 与直线OM交于点 D现将抛物线平移,保持顶点在 直线 OD 上.当抛物线的顶点平移到 D 点时,Q 点移至 N 点,求抛物线上的两点 M、Q 间所夹的曲线 MQ 扫过的区域的面积; (3)设直线 y=2x+9 与 y 轴交于点 C,与直线 OM 交于点 D(如图 2).现将抛物线平移,保持顶点在直线 OD 上.若平移的抛物线与射线 CD(含端点 C)没有公共点时,试探求

    2、其顶点的横坐标 h 的取值范围. 【答案】 (1)解:将 A(-3,0),B(-1,0)代入抛物线 y=ax2+bx+3 中,得: , 解得:a=1、b=4 (2)解:连接 MQ、QD、DN, 由图形平移的性质知:QNMD,即四边形 MQND 是平行四边形; 由(1)知,抛物线的解析式:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,则点 M(-2,-1), 当 x=0 时,y=3, Q(0,3); 设直线 OM 的解析式为 y=kx, -2k=-1, k= , 直线 OM:y= x,联立直线 y=-2x+9,得: , 解得 则 D( ); 曲线 QM 扫过的区域的面积:S=S MQND=2S MQD

    3、; (3)解:由于抛物线的顶点始终在 y= x 上,可设其坐标为(h, h),设平移后的抛物线解析式为 y=(x-h)2+ h; 当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点 C(0,9)时,有: h2+ h=9,解得:h= (依题意,舍去正值) 当平移后的抛物线与直线 y=-2x+9 只有一个交点时,依题意: , 消去 y,得:x2-(2h-2)x+h2+ h-9=0, 则: =(2h-2)2-4(h2+ h-9)=-10h+40=0,解得:h=4, 结合图形,当平移的抛物线与射线 CD(含端点 C)没有公共点时,h 或 h4 2.定义:如果一条抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴有两个交点,

    4、那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点 的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然,“特征轴三角形”是等腰三角形. (1)抛物线 yx22 x 对应的“特征轴三角形”是_;抛物线 y x 22 对应的“特征轴三角形” 是_.(把下列较恰当结论的序号填在横线上:腰与底边不相等的等腰三角形;等边三角形; 非等腰的直角三角形;等腰直角三角形.) (2)若抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形,请求出 a 的值. (3)如图,面积为 12 的矩形 ABCO 的对角线 OB 在 x 轴的正半轴上,AC 与 OB 相交于点 E,若 ABE 是抛物线 yax2+bx+c 的“特

    5、征轴三角形”,求此抛物线的解析式. 【答案】 (1); (2)解:设抛物线 yax2+2ax3a 与 x 轴的交点坐标为 A,B,顶点为 D, A(3,0),B(1,0),D(1,4a), 抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形, AB2AD2+BD2 , 164+16a2+4+16a2 , a ; (3)解:如图, 四边形 ABCD 是矩形, AECEOEBE, S ABE 矩形 12 3 , ABE 是抛物线的“特征轴三角形”,根据抛物线的对称性得,AEAB, AEABBE, ABE 是等边三角形, 过点 A 作 AHBE, AHABsinABE AB BE, B

    6、E23 , BE2 , AH3,EH , A(3 ,3),E(2 ,0),B(4 ,0), 设抛物线解析式为 ya(x3 )2+3,将点 E(2 ,0)代入得,a1, y(x3 )2+3x2+6 x24. 过点 A,B,E 三点的抛物线的解析式 yx2+6 x24. 【解析】解:(1)由抛物线 yx22 x 可得顶点坐标为: ,与 x 轴的交点坐标为: , 抛物线 yx22 x 对应的“特征轴三角形”是等边三角形; 由抛物线 y x22 可得顶点坐标为: ,与 x 轴的交点坐标为: , 抛物线 y x22 对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形; 故答案为; 3.已知抛物线 ,直线 ,直线 (

    7、1)当 m=0 时,若直线 经过此抛物线的顶点,求 b 的值 (2)将此抛物线夹在 与 之间的部分(含交点)图象记为 ,若 - , 判断此抛物线的顶点是否在图象 上,并说明理由; 图象 上是否存在这样的两点: 和 ,其中 ?若存在,求相应的 和 的取值范围 【答案】 (1)解:当 m=0 时,抛物线: 则顶点坐标为(0,-2) 把(0,-2)代入 ,可得 b=-2 (2)解:抛物线的顶点不在图像 C 上,理由如下: 因为 , 所以抛物线顶点为(m,2m-2) 当 x=m 时,对于 ,对于 因为 所以 所以 即顶点在 的下方 所以抛物线的顶点不在图像 C 上 解:设直线 与抛物线交于 A、B 两

    8、点,且 解得 因为 ,且对于 ,y 随 x 的增大而增大 所以 所以 ,此时 设直线 与抛物线交于 C,D 两点,且 所以 所以 因为 所以 , 所以 因为 ,且对于 ,y 随 x 的增大而增大, 所以 所以 ,此时 因为 , 又因为 所以 又因为 所以 ,即 因为 ,即点 A 在抛物线对称轴的左侧,则在抛物线对称轴的右侧,必存在点 A 的对称点 ,其中 所以 因为抛物线的开口向上, 所以当 xm 时,y 随 x 的增大而减小, 因为抛物线顶点在 的下方,故点 C 也在抛物线对称轴左侧, 设 是抛物线上 A、C 两点之间的任意一点,则有 所以 又因为在抛物线上必存在其对称点 ,其中 所以 也即

    9、抛物线上 A、C 两点之间的任意点的对称点都在点 D 下方 同理,抛物线上 B、D 两点之间的部分所有点的对称点都在点 A 上方 所以图像 C 上不存在这样的两点: 和 ,其中 4.若抛物线 l1的顶点 A 在抛物线 l2上,抛物线 l2的顶点 B 在抛物线 l1上(点 A 与点 B 不重合),我们把这样 的两抛物线 l1 , l2称为“伴随抛物线”,可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。 (1)在图 1 中,抛物线 l1:y=-x2+4x-3 与 l2:y=a(x-4)2-3 互为“伴随抛物线”,则点 A 的坐标为_,a 的 值为_; (2)在图 2 中,已知抛物线 l3:y=2x2-8

    10、x+4,它的“伴随抛物线”为 l4 , 若 l3与 y 轴交于点 C,点 C 关于 l3 的对称轴对称的点为 D,诸求出以点 D 为顶点的 l4的解析式; (3)若抛物线 y=a1(x-m)2+n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为 y=a2(x-h)2+k,请写出 a1与 a2的关系式,并 说明理由。 【答案】 (1)(2,1);1 (2)解:将 y=2x2-8x+4 化成顶点式,得 y=2(x-2)2-4, C(0,4),抛物线 l3 的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,-4)。 点 C 关于对称轴 x=2 的对称点为 D (4,4) 设 l4:y=a0(x-4)2+4, 将点(2,-

    11、4)代入,得-4=4a0+4 解得 a0=-2 以点 D 为顶点的 4 的解析式为 y=-2(x-4)2+4 (3)解:a1=-a2 , 理由如下:由“伴随抛物线”的定义可知点(h,k)在抛物线 y=a1(x-m)2+n 上,点(m,n)在抛物线 y=a2(x-h)2+k 上, +得:(a1+a2)(m-h)2=0, 伴随抛物线的顶点不重合,a1=-a2 【解析】解:(1) y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, 抛物线 l1 的顶点 A 的坐标为(2,1), 抛物线 l1:y=-x2+4x-3 与 l2:y=a(x-4)2-3 互为“伴随抛物线”, 点 A(2,1)在抛物线 l2 上,

    12、1=a(2-4)2-3, a=1. 故答案为:(2,1);1; 5.二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点 A(x1 , 0)、B(x2 , 0),且(x1+1)(x2+1)= -8. (1)求二次函数解析式; (2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移 2个单位,设平移后的图象与 y轴的交点为C,顶点为P,求 POC 的面积. (3)在(2)的条件下,若自变量 x 在 m xm+3 时,函数的最小值为-5,则 m_. 【答案】 (1)解:二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点 A(x1 , 0)、B(x2 , 0), x1+ x2=-(k

    13、-5)=5-k,x1x2=-(k+4) (x1+1)(x2+1)= -8 x1x2+(x1+ x2)+1=-8 -(k+4)+ 5-k+1=-8 解得:k=5 y=x2-9,此时 b2-4ac=360,故符合题意; (2)解:平移后的二次函数解析式为 y=(x-2)2-9,大致画出图象如下,过点 P 作 PDy 轴于 D 顶点 P 的坐标为(2,-9) PD=2 将 x=0 代入 y=(x-2)2-9 中,得 y=-5 点 C 的坐标为(0,-5) OC=5 POC 的面积= OC PD=5; (3)-3 或 4 【解析】解:(3)二次函数 y=(x-2)2-9 的图象的对称轴为直线 x=2

    14、当 m+32,即 m-1 时, 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而减小 当 x=m+3 时,y 取最小值,由函数的最小值为-5 (m+3-2)2-9=-5 解得:m=-3 或 m=1(不符合前提条件,舍去); 当 m2m+3,即-1m2 时, 此时当 x=2 时,y 取最小值,最小值为-9,(不符合题意,舍去) 当 m2 时, 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大 当 x=m 时,y 取最小值,由函数的最小值为-5 (m-2)2-9=-5 解得:m=4 或 m=0(不符合前提条件,舍去); 综上:m=-3 或 4 故答案为:-3 或 4. 6.已知抛物线 与 x 轴交于点 A,B 两点(A

    15、在 B 的左侧),与 y 轴交于点 C. (1)直接写出点 A,B,C 的坐标; (2)将抛物线 经过向下平移,使得到的抛物线与 x 轴交于 B, 两点( 在 B 的右侧),顶点 D 的对 应点 ,若 ,求 的坐标和抛物线 的解析式; (3)在(2)的条件下,若点 Q 在 x 轴上,则在抛物线 或 上是否存在点 P,使以 为顶点的四 边形是平行四边形?如果存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由. 【答案】 (1)由题意得抛物线 与 x 轴交于点 A,B 两点(A 在 B 的左侧)与 y轴交于点 C, 当 y=0 时, 即(x+3)(1-x)=0 解得 x1=-3,x2=

    16、1, A 的坐标为(-3,0),B 的坐标为(1,0), 当 x=0 时,y=-02-2 0+3=3, C 的坐标为(0,3), 综上:A(-3,0),B(1,0),(0,3); (2)设 B (t,0), 由题意得 y2 由 y1 平移所得, a=-1, 可设 y2 的解析式为:y2=-(x-1)(x-t)=-x2+(1+t)x-t, D ( , ), B 和 B 是对称点,D 在对称轴上,BD B =90 , BD B 是等腰直角三角形, yD = |BB |, = (t-1), 解得 t=3, B (3,0), y2=-x2+4x-3; (3)若 Q 在 B 右边,则 P 在 x 轴上方

    17、,且 CPB Q, yP=yC=3, 此时 P 不在两条抛物线上,不符合题意舍去; 若 Q 在 B 左边, 当 B Q 为边时,则 CPB Q, 此时 yP=yC=3,P 点在 y1 上, 将 yP=3,代入 y1 得 , 解得 x1=0,x2=-2, 此时 P 的坐标为(-2,3); 当 B Q 为对角线时,则 B CQP, yC-yB =3, yQ-yP=3, Q 在 x 轴上, yP=-3, 将 yP=-3 代入 y1 得 , 解得 x1=-1+ ,x2=-1- , 将 yP=-3 代入 y2 得-x2+4x-3=-3, 解得 x1=0,x2=4, P 的坐标为:(-1+ ,-3),(-

    18、1- ,-3),(0,-3),(4,-3), 综上:P 的坐标为:(-2,3),(-1+ ,-3),(-1- ,-3),(0,-3),(4,-3). 7.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线与 x 轴交于(p,0),(q,0),则该抛物线的解析式可以表示为: y=a(x-p)(x-q)=ax2-a(p+q)x+apq. (1)若 a=1,抛物线与 x 轴交于(1,0),(5,0),直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标; (2)若 a=-1,如图(1),A(-1,0),B(3,0),点 M(m,0)在线段 AB 上,抛物线 C1与 x 轴交于 A,M,顶点为 C; 抛物线 C2与 x 轴交于 B,

    19、M,顶点为 D.当 A,C,D 三点在同一条直线上时,求 m 的值; (3)已知抛物线 C3与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0),线段 EF 的端点 E(0,3),F(4,3).若抛物线 C3与线段 EF 有公共 点,结合图象,在图(2)中探究 a 的取值范围. 【答案】 (1)解:由题意抛物线的解析式为 , ,抛物线的顶点坐标为(3,-4) (2)解:如图 1 中,过点 C 作 CEAE 于 E,过点 D 作 DFAB 于 F. 由题意抛物线 C1 为 , 抛物线 C2 为 , , A,C,D 共线,CEDF, , , 解得 , 经检验, 是分式方程的解, (3)解:如图 2-1,当

    20、 a0 时, 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3), 当抛物线经过 F(4,3)时,3=a 5 1, , 观察图象可知当 时,满足条件. 如图 2-2 中,当 a0 时,顶点在线段 EF 上时,顶点为(1,3), 把(1,3)代入 ,可得 , 观察图象可知当 时,满足条件, 综上所述,满足条件的 a 的范围为: 或 8.如图,二次函数 、 的图像分别为 、 , 交 轴于点 ,点 在 上,且位于 轴右侧,直线 与 在 轴左侧的交点为 . (1)若 点的坐标为 , 的顶点坐标为 ,求 的值; (2)设直线 与 轴所夹的角为 . 当 ,且 为 的顶点时,求 的值; 若 ,试说明:当 、 、

    21、 各自取不同的值时, 的值不变; (3)若 ,试判断点 是否为 的顶点?请说明理由. 【答案】 (1)解: 的顶点坐标为 , , 将点 P(0,2)代入得: , 解得: ; (2)解:由题意可知, , 如图所示,过点 A 作 AMy 轴于点 M,则 M(0,n),MA=m, 直线 与 轴所夹的角为 , MAP 为等腰直角三角形, MA=MP=m, OP=n-m, P(0,n-m),代入 得: , 解得: ; 如图所示,当 时, 将 x=0 代入 ,得 , , 当 时, , 解得: , , AP=2m, 当 时,即 , 解得: , 点 B 在 y 轴左侧, , PB= , ,不变. (3)解:如

    22、图所示,过点 P 作 CDx 轴,过点 B 作 BDCD 于点 D,过点 A 作 ACCD 于点 C, 则 BDAC, BDPACP, 设 ,则 PD=-x,BD= , PA=2PB, CP=2PD=-2x,AC=2BD= , , 代入 得: , 化简得: ,解得: , (舍去), ,则点 A 是 C1 的顶点. 9.阅读以下材料,并解决相应问题: 小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数 ya1x2+b1x+c1(a10,a1、b1、c1是常数)与 ya2x2+b2x+c2(a20,a2、b2、c2是常数)满 足 a1+a20,b1b2 , c1+c20,则这两个函数互为“旋转

    23、函数”求函数 y2x23x+1 的旋转函数,小 明是这样思考的,由函数 y2x23x+1 可知,a12,b13,c11,根据 a1+a20,b1b2 , c1+c2 0,求出 a2 , b2 , c2就能确定这个函数的旋转函数 请思考小明的方法解决下面问题: (1)写出函数 yx24x+3 的旋转函数 (2)已知函数 y2(x1)(x+3)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C , 点 A、B、C 关于原点的 对称点分别是 A1、B1、C1 , 试求证:经过点 A1、B1、C1的二次函数与 y2(x1)(x+3)互为“旋转函 数” 【答案】 (1)解:由 yx24x+3 函数

    24、可知,a11,b14,c13, a1+a20,b1b2 , c1+c20, a21,b24,c23, 函数 yx24x+3 的“旋转函数”为 yx24x3(2)若函数 y5x2+(m1)x+n 与 y5x2nx3 互 为旋转函数,求(m+n)2020 的值 解:y5x2+(m1)x+n 与 y5x2nx3 互为“旋转函数”, , 解得: , (m+n)2020(2+3)20201 (2)证明:当 x0 时,y2(x1)(x+3)6, 点 C 的坐标为(0,6) 当 y0 时,2(x1)(x+3)0, 解得:x11,x23, 点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(3,0) 点 A,B,C

    25、 关于原点的对称点分别是 A1 , B1 , C1 , A1(1,0),B1(3,0),C1(0,6) 设过点 A1 , B1 , C1 的二次函数解析式为 ya(x+1)(x3), 将 C1(0,6)代入 ya(x+1)(x3),得:63a, 解得:a2, 过点 A1 , B1 , C1 的二次函数解析式为 y2(x+1)(x3),即 y2x2+4x+6 y2(x1)(x+3)2x2+4x6, a12,b14,c16,a22,b24,c26, a1+a22+(2)0,b1b24,c1+c26+(6)0, 经过点 A1 , B1 , C1 的二次函数与函数 y2(x1)(x+3)互为“旋转函数

    26、” 10.如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线 与 轴交于点 和点B,与 y 轴交于点 C (1)求抛物线 的表达式; (2)如图2,将抛物线 先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线 ,若抛物线 与抛 物线 相交于点 D,连接 , , 求点 D 的坐标; 判断 的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,抛物线 上是否存在点 P,使得 为等腰直角三角形,若存在,求出点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)解:将点 代入抛物线 的表达式得: 解得 则抛物线 的表达式为 故抛物线 的表达式为 ; (2)解:由二次函数的平移规律得:抛物线 的表达式为 即 联立 ,解得

    27、 则点 D 的坐标为 ; 对于 当 时, ,解得 或 则点 B 的坐标为 当 时, ,则点 C 的坐标为 由两点之间的距离公式得: 则 , 故 是等腰直角三角形; (3)解:抛物线 的表达式为 设点 P 的坐标为 由题意,分以下三种情况: 当 时, 为等腰直角三角形 是等腰直角三角形, , 点 D 是 CP 的中点 则 ,解得 即点 P 的坐标为 对于抛物线 的表达式 当 时, 即点 在抛物线 上,符合题意 当 时, 为等腰直角三角形 , , 四边形 BCDP 是平行四边形 点 C 至点 B 的平移方式与点 D 至点 P 的平移方式相同 点 C 至点 B 的平移方式为先向下平移 4 个单位长度

    28、,再向右平移 2 个单位长度 即点 P 的坐标为 对于抛物线 的表达式 当 时, 即点 在抛物线 上,符合题意 当 时, 为等腰直角三角形 则点 P 在线段 BD 的垂直平分线上 设直线 BD 的解析式 将点 代入得: ,解得 则直线 BD 的解析式 设 BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 点 的中点的坐标为 ,即 将点 代入 得: ,解得 则 BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 因此有 ,即点 P 的坐标为 由两点之间的距离公式得: 又 , 为等腰直角三角形 则 解得 或 当 时, ,即点 P 的坐标为 当 时, ,即点 P 的坐标为 对于抛物线 的表达式 当 时, 即点 不在抛物线 上

    29、,不符合题意,舍去 当 时, 即点 不在抛物线 上,不符合题意,舍去 综上,符合条件的点 P 的坐标为 或 11.如图 1,抛物线 与抛物线 相交 y 轴于点 C , 抛物线 与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),直线 交x轴负半轴于点N , 交y轴于点M , 且 (1)求抛物线 的解析式与 k 的值; (2)抛物线 的对称轴交 x 轴于点 D , 连接 ,在 x 轴上方的对称轴上找一点 E , 使以点 A , D , E 为顶点的三角形与 相似,求出 的长; (3)如图2,过抛物线 上的动点G作 轴于点H , 交直线 于点Q , 若点 是 点 Q 关于直线 的对称点,是否存在点 G(不与

    30、点 C 重合),使点 落在 y 轴上?若存在,请直接写出 点 G 的横坐标,若不存在,请说明理由 【答案】 (1)解:当 时, , 点 C 的坐标为 (0,4), 点 C (0,4)在抛物线 的图象上, , , 抛物线 的解析式为 , C (0,4), , , 点 N 的坐标为 ( ,0), 直线 过 N ( ,0), , 解得 , 抛物线 的解析式为 ,k 的值为 ; (2)解:连接 , 令 ,则 , 解得 , , 点 A 的坐标为 ( ,0),点 B 的坐标为 (4,0), 抛物线 的对称轴为直线 点 A 的坐标为 ( ,0), C (0,4), , , , 当 时, , , ; 当 时,

    31、 , , , 综上, 的长为 或 10; (3)解:如图,点 是点 Q 关于直线 的对称点,且点 在 y 轴上时, 由轴对称性质可知, , , , 轴, 轴 , , , , 四边形 为菱形, , 作 轴于点 P, 设 , , 则 , , , , , , 令 ,则 ,令 ,则 , 直线 与坐标轴的交点分别为 M (0,3),N( ,0), OM=3,ON=4, 在 中, , , , 解得 , , , , 经检验 , , , 都是所列方程的解, 综上,点 G 的横坐标为 或 或 或 12.如图,抛物线 与 x 轴正半轴交于点 A,与 y 轴交于点 B. (1)求直线 的解析式及抛物线顶点坐标; (

    32、2)如图 1,点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点,过点 P 作 轴,垂足为 C, 交 于点 D,求 的最大值,并求出此时点 P 的坐标; (3)如图 2,将抛物线 向右平移得到抛物线 ,直线 与抛物线 交于 M,N 两 点,若点 A 是线段 的中点,求抛物线 的解析式. 【答案】 (1)解:在 中, 令 ,则 ,解得 , . 令 ,则 , . 设直线 的解析式为 ,则 ,解得: , 直线 的解析式为 . , 抛物线顶点坐标为 (2)解:如图,过点 D 作 轴于 E,则 . , , 设点 P 的坐标为 , 则点 D 的坐标为 , . , , , , . 而 , , , ,由二次函数的性质可知: 当 时, 的最大值为 . , . (3)解:设平移后抛物线 的解析式 , 联立 , , 整理,得: , 设 ,则 是方程 的两根, . 而 A 为 的中点, , ,解得: . 抛物线 的解析式 .


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