1、专练 13 圆的综合问题 1.如图 1.已知M 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C、D 两点，A、B 两点的横坐标分别为1 和 7，弦 AB 的弦心距 MN 为 3， (1)求M 的半径； (2)求弦 CD 的长； (3)如图 2，P 在弦 CD 上，且 CP2，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF于点 E，当CPQCQD 时， 求 CQ 的长； (4)如图 3.若 P 点是弦 CD 上一动点，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF 于点 E，当CPQ 与CQD 互余 时，求 PEM 面积的最大值. 【答案】 (1)解：连接 MB，如图 1 所示： A、B 两点的横坐
2、标分别为1 和 7， AB8， MNAB， BN4， 在 Rt BMN 中，由勾股定理得：BM 5， 即M 的半径为 5 (2)解：作 MNAB 于 N，MGCD 于 G，如图 2 所示： 则 AN4，MN3，MGONANAO3， MNMG， CDAB8. (3)解：CPQCQD，PCQQCD， CPQCQD， ， CQ2CP CD2 816， CQ4 (4)解：CF 是M 的直径， CDF90 ， F+DCF90 ， CQDF， CQD+DCF90 ， CPQ+CQD90 ， DCFCPQ， CEPE， 作 EKCP 于 K，PTCM 于 T，如图 3 所示： 则 CKPK， ， 设 EK3
3、x，则 CK4x，CEPE5x，PC8x， 同(2)得： CPTCFD， ， PT x，CT x， PEM 的面积 S EM PT (55x) x12x2+12x12(x )2+3， 120， S 有最大值， 当 x 时，S 的最大值为 3， 即 PEM 面积的最大值为 3 2.如图 (1)如图，圆 的半径为 2，圆内有一点 ， ，若弦 过点 ，则弦 长度的最大值 为_；最小值为_； (2)如图，将 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 与原点 重合，点 在 轴的正半轴 上， ， ， 在 轴上方是否存在点 ，使得 ， 且 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图， 是学校的
4、一块空地示意图，其中 ， 米， 米现在学校 领导想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地， 用来建“学生劳动教育基地”若学校想建的“学生劳动教育基地”是四边形 ，且满足 ， 你认为学校领导的想法能实现吗？若能，求出这个四边形“学生劳动教育基地”面积和周长的最大值；若不 能，请说明理由 【答案】 (1)4； (2)解：如图，作 CHAB 于 H， OH= AB ， ACBC，ACB120 ， COB30 ，OHBH ， OC=2CH CH2+OH2=OC2 即 ( ) 解之：CH=6， 以 C 为圆心，OC 长为半径作C， 过 C 作 x 轴的平行
5、线交C 于 M1 ， M2 ， 则OMB OCB60 ，且 S AMBS ABC， 点 M1 ， M2 符合题意， 点 C 的坐标为( ， 6)， 点 M1 的横坐标为 ， 点 M2 的横坐标为 ， 存在点 M，坐标为 M1( ， 6)，M2( ， 6); (3)解：能. 如图， ABC90 ，AB80 米，BC60 米， 作 AOC，使得AOC120 ，OAOC，以 O 为圆心，OA 长为半径画O， ADC60 ， 点 D 在优弧 ADC 上运动， 当点 D 是优弧 ADC 的中点时，四边形 ABCD 面积和周长取得最大值， 连接 DO 并延长交 AC 于 H，则 DHAC，AHCH， DA
6、DC， ADC60 ， ACD 为等边三角形， ADCD100， AHCH50， ， 这个四边形鱼塘面积最大值为 S ADC+S ABC= m2. 这个四边形鱼塘周长最大值为 AB+BC+AD+DC=80+60+100+100=340 米. 【解析】解：(1)圆的半径一定，垂线段最短， 当 OQAB 时，连接 OA， AB=2AQ， OQ1，OB2， 当 AB 为直径时，弦最长，AB 的最大值为 4， 故答案为：4， ； 3.若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形.如图 1，四边形 ABCD 中， 若 ACBD，ACBD，则称四边形 ABCD 为奇妙四边形.根据奇妙
7、四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙 四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答： (1)矩形_奇妙四边形(填“是”或“不是”)； (2)如图 2，已知O 的内接四边形 ABCD 是奇妙四边形，若O 的半径为 8，BCD60 .求奇妙四边形 ABCD 的面积； (3)如图 3，已知O 的内四边形 ABCD 是奇妙四边形，作 OMBC 于 M.请猜测 OM 与 AD 的数量关系， 并证明你的结论. 【答案】 (1)不是 (2)解：如图 2 连接 OB,OD,作 OHBD 于 H， BOD=2BCD=2 60 =120 OBD=30 OH=OB=3 BH= OH
8、=3 BD=2BH=6 AC=BD=6 “奇妙四边形”ABCD 的面积= AC BD=54 (3)解：如图 3 作直径 BE，连接 EC MOBC M 是 BC 的中点 MO 是 BCE 的中位线 CE=2MO 四边形 ABCD 是奇妙四边形 BDAC A+ABD=90 BCE=90 E+CBE=90 A=E ABD=CBE AD=CE AD=2MO 4.已知 P 是O 上一点，过点 P 作不过圆心的弦 PQ，在劣弧 PQ 和优弧 PQ 上分别有动点 A、B(不与 P，Q 重合)，连接 AP、BP若APQBPQ (1)如图 1，当APQ45 ，AP1，BP 时，求O 的半径； (2)在(1)的
9、条件下，求四边形 APBQ 的面积 (3)如图 2，连接 AB，交 PQ 于点 M，点 N 在线段 PM 上(不与 P、M 重合)，连接 ON、OP，若 NOP+2OPN90 ，探究直线 AB 与 ON 的位置关系，并说明理由 【答案】 (1)解：连接 AB，APQBPQ45 ， APBAPQ+BPQ90 ， AB 是O 的直径， AB 3， O 的半径为 (2)解：连接 AQ，BQ APB90 AQB180 -APB=90 APQBPQ45 ABQBAQ45 ABQ 是等腰直角三角形 AB3 AQBQ 四边形 (3)解：ABON，理由如下：连接 OQ， APQBPQ， ， OQAB OPOQ
10、， OPNOQP， OPN+OQP+PON+NOQ180 ， 2OPN+PON+NOQ180 ， NOP+2OPN90 ， NOQ90 ， NOOQ ABON 5.如图，已知 O(0，0)、A(4，0)、B(4，3).动点 P 从 O 点出发，以每秒 1 个单位的速度，沿 OAB 的边 OA、 AB、BO 作匀速运动；动直线从 AB 位置出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向作匀速平移运动.若它 们同时出发，运动的时间为 t 秒，当点 P 运动到 O 时，它们都停止运动. (1)若 M 为线段 OB 中点，以 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 AB 相切时，求 t 的值； (2)若P
11、 是以 P 为圆心、1 为半径的圆， 当点 P 在线段 OA 上运动时，直线 l 与P 相交时，求 t 的取值范围； 在整个运动过程中，若动点P以每秒m个单位的速度运动，使P与直线l有且只有两次机会相切，求出 m 满足的条件. 【答案】 (1)解：如图一，点 在 OA 上时， ， P1MA=P1AM 即 t= 如图二，当 P2 点在 OB 上时， 综上，t= 或 ； (2)解：如图当直线 l2 在P 右侧与圆相切时， t+1+t=4，t= ； 当直线 l1 在P 右侧与圆相切时， t-1+t=4，t= ; 综上：当 时，直线 l 与P 相交 由可知，只有两次相切表示只能在圆的左侧和右侧相切；
12、即 tm=4； 当 t= 时，m= ；当 t= 时，m= 综上，m= 或 6.三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的 遥望角. (1)如图 1，E 是 ABC 中A 的遥望角，若A，则E=_.(请用含 的代数式表示) (2)如图 2，四边形 ABCD 内接于O， ，四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E.求证：BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角. (3)如图 3，在(2)的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径.求AED 的度数. 【答案】 (1) (2)解：如图 1，
13、延长 BC 到点 T， 四边形 FBCD 内接于O， FDC+FBC180 ， 又FDE+FDC180 ， FDEFBC， DF 平分ADE， ADFFDE， ADFABF， ABFFBC， BE 是ABC 的平分线， ， ACDBFD， BFD+BCD180 ，DCT+BCD180 ， DCTBFD， ACDDCT， CE 是 ABC 的外角平分线， BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角. (3)解：如图 2，连接 CF， BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角， BAC2BEC， BFCBAC， BFC2BEC， BFCBEC+FCE， BECFCE， FCEFAD， BECFAD， 又
14、FDEFDA，FDFD， FDEFDA(AAS)， DEDA， AEDDAE， AC 是O 的直径， ADC90 ， AED+DAE90 ， AEDDAE45 . 【解析】解：(1)BE 平分ABC，CE 平分ACD， E=ECD-EBD = = = ; 故答案为： ; 7.如图 1，AB 是O 的一条弦，点 C 是 上一点. (1)若ACB=30 ，AB=4.求O 的半径. (2)如图2，若点P是O外一点.点P、点C在弦AB的同侧.连接PA、PB.比较APB与ACB的大小关系， 并说明理由. (3)如图 3.设点 G 为 AC 的中点，在 上取一点 D.使得 ，延长 BA 至 E，使 AE=
15、AB，连接 DE，F 为 DE 的中点，过点 A 作 BE 的垂线，交O 于点 P，连接 PF，PG.写出 PG 与 PF 的数量关系，并 说明理由. 【答案】 (1)解：连接 OA、OB，如图 1 所示： ACB=30 ， AOB=60 ， OA=OB， AOB 是等边三角形， AB=4， OA=AB=4， 即O 的半径为 4； (2)解：APBACB，理由如下： 设 PB 与O 交于点 E，连接 AE，如图 2 所示： AEB=C， AEB=P+PAE， C=P+PAE， APBACB； (3)解：PF=PG，理由如下： 连接 AF，BD，如图 3 所示： ， ，CAB=DBA， BD=A
16、C， AE=AB，EF=DF， AFBD， ， ，FAE=DBA=CAB， AG=GC， AF=AG， PAEB， FAE+PAF=90 ，CAB+PAG=90 ， PAF=PAG， PA=PA， PAFPAG(SAS)， PF=PG. 8.如图 l，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 B 出发，沿 AB 边向终点 A 以每秒 1cm 的速度 运动，同时点Q 从点 C出发沿CBA 向终点A以每秒 3cm的速度运动，P、Q 其中一点到达终点时，另 一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒.解答下列问题： (1)当 Q 在 BC 边时， 当 t 为 秒时，PQ 的长为 2
17、 cm？ 连接 AQ，当 t 为几秒时， APQ 的面积等于 16cm2？ (2)如图 2，以 P 为圆心，PQ 长为半径作P，在整个运动过程中，是否存在这样的 t 值，使P 正好与 ABD 的一边(或边所在的直线)相切？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：2 由题意知：点 Q 在 BC 边上， APQ 的面积= 16， ， 解得 t1= ，t2=8(舍去)， 当 t 为 秒时， APQ 的面积等于 16cm2； (2)解：存在 t，使P 正好与 ABD 的边 AD 或 BD 相切，此时 Q 在 AB 上，且 ， 若与 BD 相切，作 PKBD 于 K， 则 PB
18、KDBA， ， PK=PQ=3t-8，BD= =10， ； 若与 AD 相切，当 P、Q 两点中 Q 点先到 A 点时， 此时 ， 6- = ， P 的半径为 ； 若与 AD 相切，当点 Q 未到达点 A 时， 则 PA=PQ， 6-t=t-(3t-8)， 解得 t=2， 当 t=2 时，PB=2 则 AP=6-2=4 PQ，故舍去， 综上，t 值为 或 . 【解析】解：(1)由题意得：CQ=3tcm，BP=tcm，则 BQ=(8-3t)cm， 四边形 ABCD 是矩形， ABC=90 ， 在 Rt BPQ 中， , ， 解得 t=2 或 t= (不合题意，舍去)， 故答案为：2； 9.如图
19、(1)知识储备 如图 1，已知点 P 为等边三角形 ABC 外接圆的 上任意一点求证：PB+PC=PA； 定义：在 ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，则称点 P 为 ABC 的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为 ABC 的费马距离 (2)知识迁移 我们有如下探寻 ABC(其中A，B，C 均小于 120 )的费马点和费马距离的方法： 如图 2，在 ABC 的外部以 BC 为边长作等边三角形 BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段的长度 即为 ABC 的费马距离； 在图 3 中，作出 ABC(A=120 )的费马点 P(要求尺规作图)，若 AB=AC=
20、1，求出费马距离 (3)知识应用 如图 4，在等腰直角三角形 ABC 中，B=90 ，其费马距离为 ，求 AB 的长 【答案】 (1)解：证明：如图，在 PA 上取一点 E，使 PE=PC，连结 CE ABC 是等边三角形， APC=ABC=60 又PE=PC， PEC 是等边角形， CE=CP，ACB=ECP=60 ， ACE=BCP在 ACE 和 BCP 中， ， ACE BCP(ASA)， AE=PB， PB+PC=AE+PE=AP (2)解：AD 【解法提示】观察图形可得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD， 当 A、P、D 共线时，PA+PB+PC 的值最小， AD
21、的长即为 ABC 的费马距离 如图，费马点 P 与点 A 重合 费马距离=PA+PB+PC=PB+PC=2 (3)解：如图，在等腰直角三角形 ABC 的外部以 AC 为边长作等边三角形 ACD 及其外接圆，由(2)可知，连 结 BD 交圆于点 P，此时点 P 为费马点 费马距离为：PA+PB+PC=BD= 设 AB=BC=x，则 ， ， ， 即 ， 解得 x=2， 即 AB=2 10.已知， 、 是 的两条弦， ，过圆心 O 作 于点 D. (1)如图 1，求证： . (2)如图 2：当 D、O、B 三点在一条直线上时，求 的度数. (3)如图 3，在(2)的条件下，点 E 为劣弧 上一点，
22、， ，连结 、 交于点 F， 求 和 的长. 【答案】 (1)证明：如下图 1 在O 中： 过 O 作 OHAB 于 H，ODAC 于 D，AB=AC OH=OD 又OB=OC RT OBHRT OCD(HL) B=C. (2)解：如下图 2 在O 中： ODAC OD 平分 AC 又B、O、D 三点共线 BD 垂直平分 AC AB=BC 又AB=AC AB=AC=BC BAC=60 . (3)解：如下图 3 在O 中 过 C 作 CGBE 交 BE 的延长线于 G 由(2)的解题过程知 D 是 AC 中点、BC=AC BC=AC=2CD=2 7=14 由(2)的解题过程 知 BEC= CEG
23、 =60 在 RT CEG 中 在 RT CBG 中，由勾股定理得 BE=BG-EG=13-3=10. 11.如图，四边形 ADBC 内接于半径为 2 的O，连接 AB、BD、DC， ABC 为等边三角形. (1)求证：DC 平分ADB； (2)线段 DC 的长为 x，四边形 ADBC 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式； (3)若点 M、N 分别在线段 CA，CB 上运动(不含端点)，经过探究发现， DMN 的周长有最小值 t，随着点 D、M、N 的位置变化，t 的值会发生变化，试求 t 的取值范围. 【答案】 (1)证明：ABC 是等边三角形，ABC=BAC=ACB=60 ，AD
24、C=ABC=60 ， BDC=BAC=60 ，ADC=BDC，DC 是ADB 的平分线； (2)解：设线段 DC 的长为 x，四边形 ADBC 的面积为 S，如图 1，将 ADC 绕点逆时针旋转 60 ，得到 BHC，CD=CH，DAC=HBC， 四边形 ACBD 是圆内接四边形，DAC+DBC=180 ，DBC+HBC=180 ， 点 D，点 B，点 H 三点共线， DC=CH，CDH=60 ，DCH 是等边三角形， 四边形 ADBC 的面积 S= ； (3)解：如图 2，作点 D 关于直线 AC 的对称点 E，作点 D 关于直线 BC 的对称点 F， 点 D，点 E 关于直线 AC 对称，
25、EM=DM，同理 DN=NF， DMN 的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN， 当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时， DMN 的周长有最小值， 则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，DMN的周长最小值为EF=t，点D， 点 E 关于直线 AC 对称，CE=CD，ACE=ACD， 点 D，点 F 关于直线 BC 对称，CF=CD，DCB=FCB， CD=CE=CF，ECF=ACE+ACD+DCB+FCB=2ACB=120 ， CPEF，CE=CF，ECF=120 ，EP=PF，CEP=30 ， PC= EC，PE= PC= EC， EF=2PE= EC=
26、 CD=t， 又由题意知，CD 的取值范围在 CB 长度与直径之间，即 ， ，即 . 12.如图，已知点 C 是线段 AB 上的动点(与 A、B 不重合)，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG. 再过 C、E、F 三点作O。 (1)如图，求证：EF 是O 的直径； (2)如图，延长 CG 交O 于点 H，连接 EH、FH, EF 与 CH 相交于 M 点. 求证：EH=FH； 当 AC=5 时， 求 HG 的长； 若 AC=a,，BC=b，当 FG 平分EFH 时，则 = _. 【答案】 (1)证明：EC、FC 分别是正方形 ACDE 和正方形 CBF
27、G 的对角线， ECD=GCF=45 ECF=ECD+GCF=90 EF 是O 的直径； (2)解：ECD=GCF=45 EH=FH； EF 是直径， EHF=EHD+HFG=90 ， EHD+HFG=90 ，HFG+HFG=90 , EHD=HFG 又EDH=HGF=90 ，EH=HF， 四边 形 ACDE 是正方形， Rt EDHRt HGF HG=ED=AC=5； 【解析】解：(2)FG 平分EFH，FGHM，HG=ED=AC=a HG=GM=a， 又HG=ED=AC=a， CG=CB=b，AC=CD=DE=a， DM=CG-CD-MG=b-a-a=b-2a， FGDE EDMFGM， ， AC= ,，BC= ， 得 b 2-a2-2ab=0，解得 b=a+ a(负值舍去) = = 1+ . 故答案为：
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