1、专题专题 02 整式与因式分解整式与因式分解 一一选择题选择题 1 （2021 湖北十堰市 中考真题）下列计算正确的是（ ） A 333 2aaa B 22 ( 2 )4aa C 222 ()abab D 2 (2)(2)2aaa 2 （2021 四川成都市 中考真题）下列计算正确的是（ ） A321mnmn B 2 2346 m nm n C 3 4 mmm D 2 22 mnmn 3 （2021 陕西中考真题）计算： 2 3 a b （ ） A 62 1 a b B 62 a b C 52 1 a b D 3 2a b 4 （2021 上海中考真题）下列单项式中， 23 a b的同类项是（
2、 ） A 32 a b B 23 2a b C 2 a b D 3 ab 5 （2021 浙江杭州市 中考真题）因式分解： 2 1 4y（ ） A1 2 1 2yy B22yy C1 22yy D21 2yy 6 （2020 柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） Aa2b2 Ba2b2 Ca2+b2 Da2+2ab+b2 7 （2021 湖北宜昌市 中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（6a）的正方形土地租给 租户张老汉第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加 6 米，相邻的另一边减少 6 米，变成矩形土 地继续租给你，租金不变，你也没有吃
3、亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A没有变化 B变大了 C变小了 D无法确定 8 （2021 江苏苏州市 中考真题）已知两个不等于 0 的实数a、b满足0ab，则 ba ab 等于（ ） A2 B1 C1 D2 9 （2021 浙江台州市 中考真题）将 x 克含糖 10%的糖水与 y 克含糖 30%的糖水混合，混合后的糖水含糖 （ ） A20% B + 100% 2 x y C +3 100% 20 xy D +3 100% 10 +10 xy xy 10 （2021 浙江台州市 中考真题）已知（ab）249，a2b225，则 ab（ ） A24 B48 C12 D2
4、6 11 （2021 山东临沂市 中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较 快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系下图为表示镭的放射规律的函数图象， 据此可计算 32mg 镭缩减为 1mg 所用的时间大约是（ ） A4860 年 B6480 年 C8100 年 D9720 年 12（2021 甘肃武威市 中考真题） 对于任意的有理数 , a b， 如果满足 2323 abab ， 那么我们称这一对数, a b 为“相随数对”，记为, a b若,m n是“相随数对”，则32 321mmn（ ） A2 B1 C2 D3 13 （2021 四川泸州市
5、 中考真题）已知1020 a ，10050 b ，则 13 22 ab的值是（ ） A2 B 5 2 C3 D 9 2 14 （2020 四川眉山市 中考真题）已知 22 1 22 4 abab，则 1 3 2 ab的值为（ ） A4 B2 C2 D4 15 （2021 浙江温州市 中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过 17 立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米1.2a元该地区某用户上月用水量为 20 立方米，则应缴水费为（ ） A20a 元 B20 24a元 C173.6a元 D203.6a元 16（2020 湖南娄底市 中考真题） 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规
6、律， 根据此规律， x 的值为 （ ） A135 B153 C170 D189 17（2020 湖南郴州市 中考真题） 如图1， 将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形 （阴影部分） ， 并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形这两个图能解释下 列哪个等式（ ） A 22 21(1)xxx B 2 1(1)(1)xxx C 22 21(1)xxx D 2 (1)xxx x 18 （2020 湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第 n 个图中出现数字 396，则n（ ） A17 B18 C19 D20 19 （2020 山东潍坊市 中考真题）若 2 21
7、mm，则 2 483mm的值是（ ） A4 B3 C2 D1 20 （2020 河南中考真题）电子文件的大小常用, ,B KB MB GB等作为单位，其中 101010 12,12,12GBMB MBKB KBB，某视频文件的大小约为1,1GB GB等于( ) A 30 2 B B 30 8 B C 10 8 10 B D 30 2 10 B 21 （2020 江苏无锡市 中考真题）若2xy， 3zy ，则xz 的值等于（ ） A5 B1 C-1 D-5 22 （2020 湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方向移动这枚跳 棋 2020 次移动规则
8、是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点，跳棋停留在 B 处，第二次移动 2 个顶点，跳棋停留在 D 处） ，按这样的规则，在这 2020 次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ） AC、E BE、F CG、C、E DE、C、F 23 （2020 山东枣庄市 中考真题）图（1）是一个长为 2m，宽为 2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线 （对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中 间空的部分的面积是（ ） A2mn B （m+n）2 C （m-n）2 Dm2-n2 24 （2020 山东日照市 中考真题）用大小相同的圆点摆成如
9、图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第 10 个图案中共有圆点的个数是（ ） A59 B65 C70 D71 25 （2019 湖北中考真题）一列数按某规律排列如下： 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 ，若第n个数为 5 7 ， 则n（ ） A50 B60 C62 D71 26 （2019 重庆中考真题）按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为 1 的是（ ） A1 1mn， B10mn， C12mn， D21mn， 27 （2019 四川绵阳市 中考真题）已知4ma，8nb，其中m，n为正整数，则 26 2 mn ( ) A 2 ab B 2
10、 ab C 23 a b D 23 ab 28 （2019 广西柳州市 中考真题）定义：形如abi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规 定 2 1i ） ，a称为复数的实部，b称为复数的虚部 复数可以进行四则运算， 运算的结果还是一个复数 例 如 2222 (1 3 )12 1 3(3 )1 691 6986iiiiiii ，因此， 2 (1 3 ) i的实部是8，虚部是 6已知复数 2 (3)mi的虚部是 12，则实部是（ ） A6 B6 C5 D5 二二填空题填空题 1（2021 四川达州市 中考真题） 已知a，b满足等式 2 1 690 3 aab ， 则 2 0 2 1 2
11、 0 2 0 ab_ 2 （2021 湖南怀化市 中考真题）观察等式： 23 2222 ， 234 22222 ， 2345 222222 ， ， 已知按一定规律排列的一组数： 100 2 ， 101 2 ， 102 2 ， ， 199 2 ， 若 1 0 0 2 m， 用含m的代数式表示这组数的和是_ 3 （2021 四川广安市 中考真题）若x、y满足 22 23 xy xy ，则代数式 22 4xy的值为_ 4 （2021 江苏苏州市 中考真题）若21mn，则 2 366mmnn的值为_ 5 （2021 江苏扬州市 中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1
12、， 3，6，10，将其中所有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为_ 6 （2021 重庆中考真题）某销售商五月份销售 A、B、C 三种饮料的数量之比为 3：2：4，A、B、C 三种饮 料的单价之比为 1： 2： 1 六月份该销售商加大了宣传力度， 并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整， 预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的 1 15 ，B、C 饮 料增加的销售额之比为 2： 1 六月份 A 饮料单价上调 20%且 A 饮料的销售额与 B 饮料的销售额之比为 2： 3， 则 A 饮料五月份的销售数
13、量与六月份预计的销售数量之比为_ 7 （2021 浙江嘉兴市 中考真题）观察下列等式： 22 110， 22 321， 22 532，按此规律，则第 n个等式为2 1n _ 8 （2021 湖北十堰市 中考真题）已知2,33xyxy，则 3223 21218x yx yxy_ 9 （2021 陕西中考真题）分解因式： 32 69xxx_ 10 （2021 江苏连云港市 中考真题）分解因式： 2 961xx _ 11 （2020 四川绵阳市 中考真题）因式分解：x3y4xy3_ 12 （2020 湖南中考真题）阅读理解：对于 x3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x
14、3（n2+1）x+nx3n2xx+nx（x2n2）（xn）x（xn） （x+n）（xn）（xn） （x2+nx 1） 理解运用：如果 x3（n2+1）x+n0，那么（xn） （x2+nx1）0，即有 xn0 或 x2+nx10， 因此，方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3（n2+1）x+n0 的解 解决问题：求方程 x35x+20 的解为_ 13（2020 贵州黔南布依族苗族自治州 中考真题） 若单项式 a m2bn7与单项式3a4b4的和仍是一个单项式， 则 mn_ 14 （2020 四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2） ， （4，6） ， （8，
15、10，12） ， （14， 16， 18， 20） ， 我们称“4”是第 2 组第 1 个数字， “16”是第 4 组第 2 个数字， 若 2020 是第 m 组第 n 个数字， 则 m+n_ 15（2020 四川绵阳市 中考真题） 若多项式 |22 (2)1 mn xynx y - +-+是关于 x， y 的三次多项式， 则mn_ 16 （2020 山东威海市 中考真题）如图，某广场地面是用ABC三种类型地砖平铺而成的，三种类 型地砖上表面图案如图所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作 (1,1)，第二块（B型）地时记作(2,1)若( , )m n位置恰好为A
16、型地砖，则正整数m，n须满足的条是 _ 17 （2020 宁夏中考真题）2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1） ，且大正方 形的面积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b如果将四个全等的 直角三角形按如图 2 的形式摆放，那么图 2 中最大的正方形的面积为_ 18 （2020 湖南长沙市 中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给 A，B，C 三个 同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多）
17、 ，然后依次完成下列三个步骤： 第一步，A 同学拿出三张扑克牌给 B 同学； 第二步，C 同学拿出三张扑克牌给 B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给 A 同学， 请你确定，最终 B 同学手中剩余的扑克牌的张数为_ 19 （2020 湖北咸宁市 中考真题）按一定规律排列的一列数：3， 2 3， 1 3， 3 3， 4 3， 7 3， 11 3 ， 18 3， 若 a，b，c 表示这列数中的连续三个数，猜想 a，b，c 满足的关系式是_ 20 （2020 山东泰安市 中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”其规律是：从第三行起，每行两端 的数都是“
18、1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和 表中两平行线之间的一列数： 1， 3， 6， 10， 15， ， 我们把第一个数记为 1 a， 第二个数记为 2 a， 第三个数记为 3 a， ， 第n个数记为 n a， 则 42 0 0 aa_ 21 （2020 四川遂宁市 中考真题）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第 1 幅图中“”的个数为 a1，第 2 幅图中“”的个数为 a2，第 3 幅图中“”的个数为 a3，以此类推，若 1 2 a + 2 2 a + 3 2 a + 2 n a 2020 n （n 为正整数） ，则 n 的值为_ 22 （2019 湖北恩施土
19、家族苗族自治州 中考真题）观察下列一组数的排列规律： 1 1 2 1 2 1 123412145 , 3 5 5 9 9 3 17 17 17 17 33 33 11 33 33 那么，这一组数的第 2019 个数是_. 23 （2019 湖南永州市 中考真题）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的如图，图一是“杨辉三 角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是 二项和的乘方（a+b）n的展开式（按 b 的升幂排列） 经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项 的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去将（s+x）
20、15的展开式按 x 的升幂排列得： （s+x）15a0+a1x+a2x2+a15x15 依上述规律，解决下列问题： （1）若 s1，则 a2_； （2）若 s2，则 a0+a1+a2+a15_ 24 （2019 湖北咸宁市 中考真题）有一列数，按一定规律排列成1, 2,4, 8,16, 32,其中某三个相邻数 的积是 12 4 ，则这三个数的和是_ 25 （2019 湖北咸宁市 中考真题）若整式 22 xmy（m为常数，且0m）能在有理数范围内分解因式， 则m的值可以是_（写一个即可） 三三解答题解答题 1 （2021 湖南长沙市 中考真题）先化简，再求值： 2 33322xxxxx，其中 1
21、 2 x 2 （2021 四川南充市 中考真题）先化简，再求值： 2 (21)(21)(23)xxx，其中1x 3 （2021 四川凉山彝族自治州 中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617 年） 是对数的创始人， 他发明对数是在指数书写方式之前， 直到 18 世纪瑞士数学家欧拉 （Evler 17071783 年） 才发现指数与对数之间的联系 对数的定义：一般地若 x aN（0a且1a ） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作logaxN，比如指数式 4 216可以转化为对数式 2 4log 16，对数式 3 2log 9可以转化为指数式 2 39
22、我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： log ()loglog(0,1,0,0) aaa M NMN aaMN，理由如下： 设log,log aa MmNn，则, nm MaNa mnm n M Naaa 由对数的定义得 log () a mnM N 又loglog aa mnMN log ()loglog aaa M NMN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空： 2 log 32 _； 3 log 27 _， 7 log l =_； （2）求证：logloglog(0,1,0,0) aaa M MN aaMN N ； （3）拓展运用：计算 555 log 125l
23、og 6log 30 4 （2021 安徽中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而 成，图 1 表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列 观察思考 当正方形地砖只有 1 块时，等腰直角三角形地砖有 6 块（如图 2） ；当正方形地砖有 2 块时，等腰直角三角 形地砖有 8 块（如图 3） ；以此类推， 规律总结（1）若人行道上每增加 1 块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有 n（n 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含 n 的代数式表示） 问题解决（3）现有 2021 块等腰直角
24、三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖 剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 5 （2021 重庆中考真题）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成AB，其中A与B都是两位 数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成MAB的 过程，称为“合分解” 例如60921 29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609是“合和数” 又如23418 13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234不是“合和数” （1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即MA
25、BA的各个数位数字之和与B的各个数位数字 之和的和记为P M；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q M令 () P M G M Q M ，当()G M能被4整除时，求出所有满足条件的M 6 （2020 湖南邵阳市 中考真题）已知：|1|20mn， （1）求 m，n 的值； （2）先化简，再求值： 22 (3 )(2 )4m mnmnn 7 （2020 四川攀枝花市 中考真题）已知3x ，将下面代数式先化简，再求值 2 (1)(2)(2)(3)(1)xxxxx 8 （2020 贵州毕节市 中考真题）如图（1） ，大正方形的面积可以表示为 2 ab，同时大正方形的面积也 可
26、以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 22 2aabb 同一图形（大正方形）的面积， 用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： 222 ()2abaabb把这种“同 一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面 积法” （1） 用上述“面积法”， 通过如图 （2） 中图形的面积关系， 直接写出一个多项式进行因式分解的等式： _； （2）如图（3） ，Rt ABC中，90C，3CA，4CB，CH是斜边AB边上的高用上述“面积法” 求CH的长； （3）如图（4） ，等腰ABC中，ABAC，点O为底边BC上任意一点
27、，OMAB， ONAC，CHAB， 垂足分别为点M，N，H， 连接AO， 用上述“面积法”， 求证：OMONCH 9 （2020 四川内江市 中考真题）我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的分解：xm n（m，n 是正整数，且mn） ，在 x 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n是 x 的最佳分解并规定： m f x n 例如：18 可以分解成1 18，2 9或3 6，因为18 19 26 3 ，所以3 6是 18 的最佳分解，所以 31 18 62 f （1）填空： 6_f； 9_f； （2）一个两位正整数 t（10tab，19ab，a，b 为正整数
28、） ，交换其个位上的数字与十位上的数 字得到的新数减去原数所得的差为 54，求出所有的两位正整数；并求 f t的最大值； （3）填空： 2 23 5 7_f ； 3 23 5 7_f ； 4 23 5 7_f ； 5 23 5 7_f 10 （2020 浙江嘉兴市 中考真题）比较 x2+1 与 2x 的大小 （1）尝试（用“”，“”或“”填空） ： 当 x1 时，x2+1 2x；当 x0 时，x2+1 2x；当 x2 时，x2+1 2x （2）归纳：若 x 取任意实数，x2+1 与 2x 有怎样的大小关系？试说明理由 11 （2020 江苏盐城市 中考真题）生活在数字时代的我们，很多场合用二维
29、码（如图）来表示不同的信 息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如： 网格中只有一个小方格，如图，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息 （1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数： （图中标号1,2表示两个不同位置的小 方格，下同） （2）图为22的网格图它可表示不同信息的总个数为 ； （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n n的网格图来表示各人身份 信息，若该校师生共492人，则n的最小值为 ； 12 （2020 安徽中考真题）观察以下等式： 第 1 个等式： 121 12 311 第2个等
30、式： 321 12 422 第 3 个等式： 521 12 533 第4个等式： 721 12 644 第 5 个等式： 921 12 755 按照以上规律解决下列问题： 1写出第6个等式_； 2写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)， 并证明 13 （2019 江苏常州市 中考真题） （阅读） ：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内 角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比 尼原理，是一种重要的数学思想 （理解） ： （1）如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成 一个梯
31、形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2） 如图 2，n行n列的棋子排成一个正方形， 用两种不同的方法计算棋子的个数， 可得等式： 2 n _； （运用） ： （3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（mn）个点为顶点，把n边形剪成若干 个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当3n，3m时，如图，最多可以剪得7个这样的三角 形，所以7y 当4n，2m时，如图， y ；当 5n，m 时， 9y ； 对于一般的情形， 在n边形内画m个点， 通过归纳猜想， 可得y （用含m、n的代数式表示） 请 对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立 14 （2019 湖北中考真题）
32、若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ,m n，我们可将这个两位数记为mn， 易知10mnmn；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如10010abcabc （基础训练） （1）解方程填空：若2345xx，则x_； 若7 826yy，则y _；若93 5 8 131ttt，则t _； （能力提升） （2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mnnm一定 能被_整除，mnnm一定能被_整除，mn nm mn+6 一定能被_整除； （请从大于 5 的整数中选择合适的数填空） （探索发现） （3）北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大 的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位 的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出 的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为 325，则用 532-235=297） ，再将这个新数按上述方 式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞 数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为_； 设任选的三位数为abc（不妨设abc） ，试说明其均可产生该黑洞数
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