1、第第 13 讲讲 几何综合几何综合 全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一， 是今后学习其他知识的基础。 判断三角形全 等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL（直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据 相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析， 先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对称”； 2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利 用的思维模式是全等变换
2、中的“旋转”； 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理； 4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”； 5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于 证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型 1.最值问题：“将军饮马”模型； 2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模
3、型等。 三、尺规作图 部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。 【例1】 如下左图，把ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示若A=60 ， 1=95 ，则2 的度数为（ ） （2013 海淀期末） A24 B25 C30 D35 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型一：题型一：全等三角形与轴对称全等三角形与轴对称 长为 20，宽为 a 的矩形纸片（10a20） ，如上右图那样折一下，剪下 一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的矩形如图 那样折一下， 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形 （称为第二次操作） ； 如此反复操作下去， 若在第 n
4、次操作后， 剩下的矩形为正方形， 则操作停止 当 n=3 时，a 的值为 【解析】A=60 ， AEF+AFE=180 -60 =120 ， FEB+EFC=360 -120 =240 ， 由折叠可得：BEF+EFC=FEB+EFC=240 ， 1+2=240 -120 =120 ， 1=95 ， 2=120 -95 =25 ， 故选：B 由题意，可知当 10a20 时， 第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 20-a， 所以第二次操作时剪下正方形的边长为 20-a，第二次操作以后剩下的矩形 的两边分别为 20-a，2a-20 此时，分两种情况： 如果 20-a2a-20， 即 a 40 3
5、 ， 那么第三次操作时正方形的边长为 2a-20 则 2a-20=（20-a）-（2a-20） ，解得 a=12； 如果 20-a2a-20，即 a 40 3 ，那么第三次操作时正方形的边长为 20-a 则 20-a=（2a-20）-（20-a） ，解得 a=15 当 n=3 时，a 的值为 12 或 15 故答案为：12 或 15 【例2】 如图所示，在长方形 ABCD 称轴 l 上找点 P，使得PAB、PBC 均为等腰三角形， 则满足条件的点 P 有（ ） A1 个 B3 个 C5 个 D6 个 2 1 C B F E C B A 第二次操作 第一次操作 l DC BA 【解析】C 已知，
6、横线和竖线相交的点叫做格点，P、A、B 为格 点上的点，A、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等 腰三角形，P 点有 种不同的位置？ 【解析】12 种，如下图所示： 【例3】 如图 1，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找 一点 P，使 BP+PE 的值最小； 如图 2，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，在 AC 上找一点 P，使 PB+PE 的值最小； 如图 3，O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上，OAOB，AOC=60 ，P 是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值； 如图 4，在四边形 ABCD 的对角
7、线 AC 上找一点 P，使APB=APD保留作图痕 迹，不必写出作法 【解析】 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所 求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 22 3BCBE； 连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 22 5ADAE； 作 A 关于 OB 的对称点 A，连接 AC，交 OB 于 P，PA+PC 的最小值即为 AC 的长， AOC=60 ，AOC=120 ，作 ODAC 于 D，则AOD=60 ，OA=OA=2， AD=3，AC=2 3 如
8、图 4，首先过点 B 作 BBAC 于 O，且 OB=OB，连接 DB并延长交 AC 于 P，由 AC 是 BB的垂直平分线，可得APB=APD 图4图3图2图1 P D C B A O P C B A P E D C B A P E D CB A B A 【例4】 如图 1， 在ABC中，2ACBB ，BAC的平分线AO 交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线 lAO于H，分别交直线ABACBC、于点NEM、 、. 当直线l经过点C时（如图 2） ，证明：BNCD； 当M是BC的中点时，写出CE和CD之间的等量关 系，并加以证明； 请直接写出BNCECD、之间的等量关系. （海淀期末
9、考试） 【解析】 证明：连接ND. AO平分BAC， 12 . 直线lAO于H， 4590 . 67 . ANAC. NHCH. AH是线段NC的中垂线. DNDC. 89 . ANDACB . 3ANDB ，2ACBB ， 3B . BNDN. BNDC. 如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为2CDCE. B D A 图4图3图2图1 P D C B A OP C B A P E D C B A P E DCB A 证明：过点C作CNAO交AB于N. 由（1）可得BNCD，ANAC，ANAE. 43,NNCE . 过点C作CGAB交直线l于G. 42 ，1B . 23 . CG
10、CE. M是BC中点， BMCM. 在BNM和CGM中， 1, , , B BMCM NMBGMC BNMCGM. BNCG. BNCE. 2CDBNNNBNCE. BNCECD、之间的等量关系： 当点M在线段BC上时，CDBNCE； 当点M在BC的延长线上时，CDBNCE； 当点M在CB的延长线上时，CDCEBN. 一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余； 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即 ab=ch； 4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 222 cba； 5. 在直角三角形中，
11、30 角所对的直角边等于斜边的一半（或含 30 的直角三角形三边之比 为 1：3：2） ； 6. 含 45 角的直角三角形三边之比为 1：1：2 二、直角三角形的判定 1. 有一个角为 90 的三角形是直角三角形； 思路导航思路导航 题型题型二二：直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形； 3. 勾股定理的逆定理：在以 a、b、c 为边的三角形中，若 222 cba，则这个三角形是 以 c 为斜边的直角三角形； 4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边 的直角三角形 【例5】 在给定的图形内作一条折线 AB1C1
12、D1E， 使 AB1AB， B1C1BC， C1D1CD， D1EDE，且 A，B，C，D，E，B1，C1，D1都是格点 【解析】 【例6】 如图，AC=AB，DC=DB，CAB=60 ，CDB=120 ，E 是 AC 上一点，F 是 AB 延长线上一点，且 CE=BF E D C B A D1 C1 B1 E D C B A 典题精练典题精练 思考验证： 求证：DE=DF； 在图 1 中，若 G 在 AB 上且EDG=60 ，试猜想 CE、EG、BG 之间的数量 关系并证明； 探究应用： 运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，ABC=90 ， CAB=CAD=30 ，E 在 AB
13、 上，DEAB，且DCE=60 ，若 AE=3，求 BE 的长 【解析】A+C+CDB+ABD=360 ，A=60 ，CDB=120 ， C+ABD=180 ， ABD+DBF=180 ， C=DBF， 在 DEC 和 DFB 中， CEBF CDBF CDBD DECDFB， DE=DF CE+BG=EG， 证明：连接 DA， 在 ACD 和 ABD 中 ACAB ADAD CDDB ACDABD， CDA=BDA=60 ， EDG=EDA+ADG=ADG+ GDB=60 ， CDE=ADG，EDA=GDB， BDF=CDE， GDB+BDF=60 ，即GDF=60 图1 C A E G B
14、 F D 图2 D A B C E 图1 C A E G B F D 在 DGF 和 DGE 中 DEDF EDGGDF DGDG DGFDEG， FG=EG， CE=BF， CE+BG=EG 过 C 作 CMAD 交 AD 的延长线于 M， 在 AMC 和 ABC 中 AMCABC DACBAC ACAC AMCABC， AM=ABCM=CB， 由可知：DM+BE=DE， AE=3，AED=90 ，DAB=60 ， AD=6， 由勾股定理得：DE=3 3 DM=AB-6=BE+3-6=BE-3， BE-3+BE=3 3， 即 BE= 1 33 3 2 【例7】 已知等腰三角形 ABC 中，
15、ACB=90 ， 点 E 在 AC 边的延长线上， 且DEC=45 ， 点 M、N 分别是 DE、AE 的中点，连接 MN 交直线 BE 于点 F当点 D 在 CB 边的延长线上时，如图 1 所示易证：MF+FN= 1 2 BE 当点 D 在 CB 边上时，如图 2 所示，上述结论是否成立？若成立，请给与 证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由 当点 D 在 BC 边的延长线上时，如图 3 所示，请写出你的结论，并说明理 由 M 图2 D A B C E 【解析】答：不成立， 猜想：FN-MF= 1 2 BE， 理由如下： 证明：如图 2，连接 AD， M、N 分别是 DE、AE 的中点，
16、 MN= 1 2 AD， 又在ACD 与BCE 中， ACBC ACBBCE DCCE ACDBCE（SAS） ， AD=BE， MN=FN-MF， FN-MF= 1 2 BE； 图 3 结论：MF-FN= 1 2 BE， 证明：如图 3，连接 AD， M、N 分别是 DE、AE 的中点， MN= 1 2 AD， 在ACD 与BCE 中， ACBC ACDBCE CDCE ACDBCE（SAS） ， AD=BE， M 图3图2 图1 N E D E M B F C A F N D C B A E F N M D B C A A B C D N F E 图2 M A C F B M E D N
17、图3 N M DC B A MN= 1 2 BE， MN=FM-FN， MF-FN= 1 2 BE 训练1. 如图所示，EFGH是一个台球桌面，有黑白两球分别置于AB、两点的位置上，试 问怎样撞击黑球A，经桌面HEEF、连续反弹后，准确击中白球B？（写出作法并画 图） 如图，在锐角 ABC 中，4 245ABBAC，BAC的平分线交BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_ 【解析】 如图所示：分别作点AB，关于HEEF，的对称点AB，连 结A B与HEEF，交于MN，两点.折线AMMNNB就是白 球的运动路径.（可由对称证明角度相等，类似于物理中的
18、镜面反 射问题） 过B作BEAC，与AD交点即为M，过M作MNAB，垂 足即为N，BMMNBE， 又垂线段最短， BE为最短距离， 长为4. 训练2. 如图， 在 ABC中， ACBC， ACB90 . 将 ABC绕点C逆时针旋转角， 得到 A1B1C， 连结 BB1，设 B1C 交 AB 于 D，A1B1分别交 AB、AC 于 E、F. 当090 时，如图 1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并 加以证明（ ABCA1B1C 除外） ； 在的条件下，当 BB1D 是等腰三角形时，求； 当90180 时， 如图 2， 求证： A1CF BCD. （三帆期中） HG FE A B
19、 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) B A EF GH N M B A 【解析】 答案不唯一，例如： 1 ACFBCD， 1 BCFACD 由题意得 11 1 90 2 CB BCBB 1 1 45 2 DBB，又 1 45BDB 在 1 BDB中，只能有 11 BDBBB D，即 1 9045 2 解得30 111 CBCABCDACFBA，, A1CF BCD. 训练3. 已知如图，AB=AC，PB=PC，PDAB，PEAC，垂足分别为 D、E . 求证：PD=PE； 若BPAB ， o 45DBP,2AP,求四边形ADPE的面积. 【解析】 证明：连接AP,在ABP和ACP中
20、， ABAC，PBPC，AP=AP， ABPACP（SSS） CAPBAP,AP是A的平分线； 又PDAB，PEAC，垂足分别为 D、E PDPE（角平分线上点到角的两边距离相等） 解：PDAB， o 45DBP, BDP是等腰直角三角形. 设xDP ，则xBP2，在直角ADP中， 由勾股定理421 2 2 xx，整理得：4224 2 x， 22 2 2 x . 图2 图1 A B C A1 B1 E F D D FE B1 A1 CB A P ED CB AA BC DE P 四边形ADPE的面积=2ADP的面积 = 2 22 2 2121 xx 训练4. 如图，等腰直角三角形ABC分别沿着
21、某条直线对称得到图形 b、c、d若上述对称关系保持不变平移ABC，使得四个 图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形， 此时点C的坐标和正 方形的边长为（ ） （海淀期末） A 11 2 22 ， B(11)2， C(11)2， D 11 2 22 ， 如图， ABC 中，ABBC，B120 ，AB 的垂直平分线交 AC 于 D. 试猜想 AD 与 DC 间的数量关系，并证明. 【解析】 D 连结 BD，证90DBC，可得 1 2 ADDC 【练习1】 如图，正方形纸片ABCD的边长为 1，M，N分别是AD、 BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上， 落点记为 A ，折痕交
22、AD于点E若M、N分别是AD、BC边的中点， 则A N_；若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等 分点（2n，且n为整数） ，则A N_（用含有n的式子表示） （北京中考） 如图，D为ABC内一点，CD平分ACB， BDCD，AABD ， 若5AC ，3BC ，则BD的长为（ ） A1 B1.5 C2 D2.5 复习巩固复习巩固 D E CA B 图 3 1 1 -1 -1 O A BC d c b a y x D C B A 【解析】 3 2 ， 21n n （2n，且n为整数） A（提示：延长 BD） 【练习2】 如图，ABC是等腰三角形，ABAC，AD是角平分线， 以AC为边向外作等边三角形ACE，BE分别与AD、AC交于点F、 点G，连接CF 求证：FBDFCD ； 若1FD ，求线段BF的长 (实验期末) 【解析】 ABAC，AD是角平分线 ADBC，D是BC中点 BFCF FBCFCB ABAC，ABCACB FBCFCB ，ABEACF 由题意ABAEACCE ABEAEBACF 60EFCCAE 60BFDCFD 22BFFD G F E D CB A
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