1、 2020-2021 学年学年重庆市沙坪坝区重庆市沙坪坝区九年级（上）第一次月考数学试卷九年级（上）第一次月考数学试卷 一一.选择题： （本大题选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分共分共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A.B.c.D 的四个的四个 答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑. 1 （4 分）相反数是（ ） A B2 C2 D 2 （4 分）下列图形是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （4 分）计
2、算：a4a2（ ） Aa2 Ba6 Ca8 Da 4 （4 分）抛物线 yx2+2 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直线 x1 Cy 轴 D直线 x2 5 （4 分）在 RtABC 中，C90，AC1，AB，则 tanB 的值是（ ） A B2 C D 6 （4 分）已知 x2 是一元二次方程 x2+ax+b0 的解，则 4a+2b+1 的值是（ ） A6 B8 C5 D7 7 （4 分）清朝数学家梅文鼎的著作方程论中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地六亩，共折输粮 实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分问每亩山田折实田多少，每亩场地 折实田多少？转换作现代语言就是：山
3、田 3 亩，场地 6 亩，产粮总量相当于实田 4.7 亩；又有山田 5 亩， 场地 3 亩，产粮总量相当于实田 5.5 亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田 产粮相当于实田 x 亩，每亩场地产粮相当于实田 y 亩，则根据题意（ ） A B C D 8 （4 分）如图，ABC 和ABC是位似图形，点 O 是位似中心，AC2AC，若点 B 的坐标为 （4，2） ，则 B的坐标为（ ） A （4，2） B （2，4） C （2，1） D （4，2） 9 （4 分）如图，小妮在大楼的观测点 F 处，测得建筑物 AB 的顶端 B 的仰角为 34，测得另一建筑物 CD 的顶端 D 的
4、俯角为 61.8已知 AB120 米，CD50 米，AC60 米，建筑物 AB，CD，EF 与地面 AC 垂直，点 A，B，C，D，E，F 在同一平面内，且点 A，C，E 在同一直线上，则 CE 的距离约为（ ） （精确到 0.1 米，参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67，sin61.80.88，cos61.8 0.47，tan61.81.87） A24.8 米 B26.2 米 C28.2 米 D30.3 米 10 （4 分）若关于 x 的分式方程的解为正数，且关于 y 的不等式组 无解，则符合条件的所有整数 m 的和为（ ） A9 B11 C12 D14 11
5、 （4 分）如图，在ABC 中，AB17，AC10，BC21，将边 AC 沿着 AD 进行折叠，使得点 C 落在 BC 上的点 C处，再将边 AB 沿着 AE 进行折叠，点 B 恰好落在 AD 延长线上的点 B处，则线段 EC 的长度为（ ） A B C D 12 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴相交于点 A（x1，0） ，其中 3x12，则下列说法正确的是（ ） Aabc0 Ba+b+c0 C3a+c0 D3b+2c0 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分共分共 24 分）请将下列各题的正确答
6、案填写在答题卷中对应的横分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷中对应的横 线上线上. 13 （3 分）计算： （1）0（） 1 14 （3 分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式若输入的二次函数表 达式为 y3（x+2）2+1，则输出的二次函数图象的顶点坐标为 15 （3 分）一个不透明的盒子中装有 12 个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相同小明为了解 盒子内白球的数量，采取了以下办法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再 放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，估计盒子中白球的个数为 个 16 （3
7、分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB3，BC2，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，若 BCCD，则ABE 的面积为 17 （3 分）当 0 x3 时，则二次函数 yx22x+4 的最大值为 18 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中点 E 是 BC 上一点，点 F 是 CD 延长线上一点，连接 AE，AF，EF点 P 是 EF 的中点，连接 CP，DP，若 AEAF，CPD104，则AEB 的度数为 度 19 （3 分） A， B 两地相距 2400 米， 甲、 乙两人同时从 A 地出发， 匀速向 B 地同向而行， 到达 B 地后停止 出 发 10 分钟后，甲沿原路以原速
8、的倍返回 A 地取重要物品，取到物品后甲立即保持此速度匀速前往 B 地（取物品的时间忽略不计） ，结果甲先到达 B 地在整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程 y（米） 与乙运动的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，下列结论中正确的是 （请填写正确的序号） 乙的速度为 40 米/分钟； 点 C 的横坐标为 10； 甲再次从 A 地出发到追上乙，用了 35 分钟； 甲到达 B 地时，乙与 B 地的距离为 500 米 20 （3 分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口罩若干盒，洗手 液和消毒液各若干瓶临行前，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不
9、能超 过消毒液数量的两倍已知本次采购的口罩价格为 36 元/盒，洗手液和消毒液价格均为 18 元/瓶，总共花 费了 1224 元其中口罩的盒数恰好是洗手液和消毒液瓶数之积的四分之一，则本次采购了洗手液 瓶 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 7 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步 骤，画出必要的图形（包括辅助线） ，请将解答骤，画出必要的图形（包括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上过程书写在答题卷中对应的位置上 21 （10 分）计算： （1） （2x+y）2x（
10、x+4y） ； （2） （a2） 22 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上的两点，EADFCB90 （1）求证：AFCE； （2）若 AE，AD2AE，EF2，求线段 BD 的长度 23 （10 分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年新学期开始，重庆一中开展“开学 安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取 10 名学生的竞赛成绩进行统计整理如下： 高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90 初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 初一 81 70 80
11、高一 81 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的 a，b 的值； （2） 该校初一的 2000 名学生和高一的 1000 名学生参加了此次竞赛活动， 请估计这两个年级竞赛成绩达 到 90 分及以上的学生共有多少名？ （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀 24 （10 分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为 10 的整数倍的多位数称作“完美数” 定义： 对于一个自然数， 如果这个数的各个数位上的数字之和为 10 的整数倍， 则称这个数为 “完美数” 例如：4+610，1+4+8+720，因为 10，20 是
12、10 的整数倍，所以 46，1487 都是“完美数” ； 4+59，1+4+3+614，因为 9，14 不是 10 的整数倍，所以 45，1436 都不是“完美数” （1）判断 37 和 2258 是否为“完美数”？并说明理由； （2）求出大于 100 且小于 300 的“完美数”的个数，并说明理由 25 （10 分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函数的图象研究函 数的性质结合已有的学习经验，请画出函数 y的图象并探究该函数的性质 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 a 4 2 0 2 b （1）直接写出表中的 a，b 的值，并在所给的平面直
13、角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数图象，判断下列关于该函数的性质的说法是否正确； 该函数 y的图象关于 y 轴对称； 该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时 y 随 x 的增大而减小 （3）请画出函数 yx+的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+的解集 26 （10 分）9 月 17 日，2020 线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前，重庆已实施 2265 个智能化项目；改造，建成 67 个智能工厂和 359 个数字化车间某工厂甲、乙两条生产线进行了数字化 改造改造前甲、乙生产线每天均工作 8 小时，
14、其中甲生产线每小时比乙生产线多生产 20 个半导体元器 件，两条生产线一天共生产 640 个 （1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？ （2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加 m%和 2m%，甲生产线每 天工作时间比改造前增加 m%，乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造 前增加m%，求 m 的值 27 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（，0） ， B（3，0） （点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的函数表达式；
15、 （2）点 E 为直线 BC 上方抛物线上的任意一点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标； （3）如图 2，点 D 为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点 D 的对应点为点 D，在平面 直角坐标系中，是否存在另一个点 H，使以点 B，C，D，H 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写 出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 四、解答题： （本大题四、解答题： （本大题 1 个小题个小题 8 分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤演算过程或推理
16、步骤 28 （8 分）如图所示，正方形 ABCD 和正方形 AEFG 共顶点 A，正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转，连 接 DG，BE，BE 与 AC 相交于点 H （1）如图 1，在旋转过程中，当 G，A，H，C 恰好在同一直线上时，若 AE，AB2，求线段 DG 的长； （2）如图 2，连接 HG，在旋转过程中，若DGH2ABE，求证：HGHB； （3）如图 3，BE 与 DG 相交于点 O，点 K 为线段 AG 上一点，连接 OK，若 AE3，AK1，在旋转过 程中，直接写出线段 OK 的最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题： （本大题选择题： （本大题
17、12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分共分共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A.B.c.D 的四个的四个 答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑. 1 （4 分）相反数是（ ） A B2 C2 D 【解答】解：的相反数是， 故选：A 2 （4 分）下列图形是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形； 故选：C 3 （4 分）计算：a4a2（ ）
18、Aa2 Ba6 Ca8 Da 【解答】解：原式a4+2a6， 故选：B 4 （4 分）抛物线 yx2+2 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直线 x1 Cy 轴 D直线 x2 【解答】解：抛物线 yx2+2 的对称轴是 y 轴 故选：C 5 （4 分）在 RtABC 中，C90，AC1，AB，则 tanB 的值是（ ） A B2 C D 【解答】解：由勾股定理得，BC2， 则 tanB， 故选：A 6 （4 分）已知 x2 是一元二次方程 x2+ax+b0 的解，则 4a+2b+1 的值是（ ） A6 B8 C5 D7 【解答】解：x2 是一元二次方程 x2+ax+b0 的解， 4+2a+b0
19、， 2a+b4， 4a+2b+12（2a+b）+12（4）+17， 故选：D 7 （4 分）清朝数学家梅文鼎的著作方程论中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地六亩，共折输粮 实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分问每亩山田折实田多少，每亩场地 折实田多少？转换作现代语言就是：山田 3 亩，场地 6 亩，产粮总量相当于实田 4.7 亩；又有山田 5 亩， 场地 3 亩，产粮总量相当于实田 5.5 亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田 产粮相当于实田 x 亩，每亩场地产粮相当于实田 y 亩，则根据题意（ ） A B C D 【解答】解：依题意得： 故选：B
20、 8 （4 分）如图，ABC 和ABC是位似图形，点 O 是位似中心，AC2AC，若点 B 的坐标为 （4，2） ，则 B的坐标为（ ） A （4，2） B （2，4） C （2，1） D （4，2） 【解答】解：ABC 和ABC是位似图形， ABCABC， AC2AC， ABC 与ABC的相似比为 2：1， ABC 和ABC是位似图形，点 O 是位似中心，相似比为 2：1，点 B 的坐标为（4，2） ， B的坐标为（4，2） ，即（2，1） ， 故选：C 9 （4 分）如图，小妮在大楼的观测点 F 处，测得建筑物 AB 的顶端 B 的仰角为 34，测得另一建筑物 CD 的顶端 D 的俯角为
21、61.8已知 AB120 米，CD50 米，AC60 米，建筑物 AB，CD，EF 与地面 AC 垂直，点 A，B，C，D，E，F 在同一平面内，且点 A，C，E 在同一直线上，则 CE 的距离约为（ ） （精确到 0.1 米，参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67，sin61.80.88，cos61.8 0.47，tan61.81.87） A24.8 米 B26.2 米 C28.2 米 D30.3 米 【解答】解：过点 D 作 DMEF 于点 M，过点 F 作 FNAB 于点 N， 由题意可得：ECDM， 设 ECx， 则 tan61.81.87， 故 FM1.
22、87x 米， 则 FN（60 x）米，BN120501.87x（701.87x）米， 故 tan340.67， 解得：x24.8， 故选：A 10 （4 分）若关于 x 的分式方程的解为正数，且关于 y 的不等式组 无解，则符合条件的所有整数 m 的和为（ ） A9 B11 C12 D14 【解答】解：分式方程两边都乘以（x1） （x3）得：x3xm3（x1） ， x3xm3x+3， 3x6m， x 方程的解为正数，且 x10，x30， 0，且， 解得：m6，且 m3； ， 解不等式得：y24m， 解不等式得：y6， 不等式组无解， 24m6， 解得：m2 2m6 且 m3， 符合条件的整数
23、m 有：2，4，5，和为 11 故选：B 11 （4 分）如图，在ABC 中，AB17，AC10，BC21，将边 AC 沿着 AD 进行折叠，使得点 C 落在 BC 上的点 C处，再将边 AB 沿着 AE 进行折叠，点 B 恰好落在 AD 延长线上的点 B处，则线段 EC 的长度为（ ） A B C D 【解答】解：ACAC，CDCD， ADCD， 设 CDx，BD21x， AD2AC2CD2AB2BD2， 102x2172（21x）2， 解得 x6， CDCD6，BD21615， AD8， 将边 AB 沿着 AE 进行折叠，点 B 恰好落在 AD 延长线上的点 B处， AE 平分BAB，作
24、EFAB， DEEF， 在 RtABD 和 RtAEF 中， ， RtABDRtAEF（HL） ， ADAF8， BF1789，BC21129， 设 ECy，DE6yEF， 在 RtEFB 中，由勾股定理得： （9+y）2（6y）2+92， 解得 y， EC， 故选：D 12 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴相交于点 A（x1，0） ，其中 3x12，则下列说法正确的是（ ） Aabc0 Ba+b+c0 C3a+c0 D3b+2c0 【解答】解：A抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab0，而 c0，故 abc0，故 A 错误，不符合题意； B
25、函数的对称轴为直线 x1， 即 b2a，3x12， 设抛物线与 x 轴的另外一个交点 x2， 则 0 x21， 故 x1 时，y0，即 a+b+c0，故 B 错误，不符合题意； C由 B 知，a+b+c0，b2a，则 3a+c0，故 C 错误，不符合题意； D由 C 知，3a+c0，而 b2a，即 3b+2c0，正确，符合题意 故选：D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分共分共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷中对应的横分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷中对应的横 线上线上. 13 （3 分）计算： （1）0（） 1 2 【解
26、答】解： （1）0（） 1132 故答案为：2 14 （3 分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式若输入的二次函数表 达式为 y3（x+2）2+1，则输出的二次函数图象的顶点坐标为 （2，1） 【解答】解：抛物线 y3（x+2）2+1 的开口方向向下， 将抛物线 y3（x+2）2+1 向下平移 2 个单位，则平移后抛物线解析式是：y3（x+2）2+12， 即 y3（x+2）21 该抛物线的顶点坐标是（2，1） 故答案是： （2，1） 15 （3 分）一个不透明的盒子中装有 12 个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相同小明为了解 盒子内白球的数量，采取了以下办
27、法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再 放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，估计盒子中白球的个数为 8 个 【解答】解：设盒子中白球的个数为 m 个 根据题意得0.4， 解得 m8， 经检验，m8 是分式方程的解， 所以这个不透明的盒子中白球的个数为 8 个， 故答案为：8 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB3，BC2，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，若 BCCD，则ABE 的面积为 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AB3，BC2， AC， ABC 的面积为：BCAC2 BD 平分ABC
28、， ABECBE BCCD， CD2，CBECDE， ABECDE， ABCD， ABECDE， AE：CEAB：CD3：2， ABE 的面积为： 故答案为： 17 （3 分）当 0 x3 时，则二次函数 yx22x+4 的最大值为 7 【解答】解：将标准式化为两点式为 y（x1）2+3， （0 x3） 对称轴是 x1，开口向上，离对称轴越远越大， 当 x3 时，有最大值：y4+37， 故答案为：7 18 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中点 E 是 BC 上一点，点 F 是 CD 延长线上一点，连接 AE，AF，EF点 P 是 EF 的中点，连接 CP，DP，若 AEAF，CPD104，
29、则AEB 的度数为 76 度 【解答】解：连接 AP， 四边形 ABCD 为正方形， BADCADF90，ABAD， 在 RtABE 和 RtADF 中， ， RtABERtADF（HL） ， BAEDAF； BAE+EAD90， DAF+EAD90， 即EAF90， P 为 EF 中点， APEF， ECF90，P 为 EF 中点， CPPFEF， APCP， 在APD 和CPD 中， ， APDCPD（SSS） ， DAPDCP，ADPCDP， ADC90， CDP45， DAPPCD180CPDCDP31， EAF90，AEAF，P 为 EF 中点， PAE45， DAEPAE+PAD7
30、6， AEBDAE76， 故答案为：76 19 （3 分） A， B 两地相距 2400 米， 甲、 乙两人同时从 A 地出发， 匀速向 B 地同向而行， 到达 B 地后停止 出 发 10 分钟后，甲沿原路以原速的倍返回 A 地取重要物品，取到物品后甲立即保持此速度匀速前往 B 地（取物品的时间忽略不计） ，结果甲先到达 B 地在整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程 y（米） 与乙运动的时间 x （分钟） 之间的关系如图所示， 下列结论中正确的是 （请填写正确的序号） 乙的速度为 40 米/分钟； 点 C 的横坐标为 10； 甲再次从 A 地出发到追上乙，用了 35 分钟； 甲到达 B 地时，
31、乙与 B 地的距离为 500 米 【解答】解：乙用 60 分钟到 B 地，则乙的速度为：24006040（米/分钟） ，故结论正确； C 点，甲准备返回 A 地的点，则 C 横坐标为 10，故结论正确； 甲的速度为：2001020（米/分钟） ， 则甲原来的速度为：20+4060（米/分钟） ， 由图可知，D 点开始，甲乙距离开始缩小，说明甲开始从 A 地出发去追乙了， 此时 D 点，乙离 A 地有 17.540700（米） ， 则甲追上乙用了：（分钟） ，故结论错误； 甲从 A 地再次出发到达 B 地用时：（分钟） ， 此时乙走了：30+17.547.5（分钟） ，距离 B 地还有：2400
32、4047.5500（米） ，故结论正确； 故答案为 20 （3 分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口罩若干盒，洗手 液和消毒液各若干瓶临行前，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超 过消毒液数量的两倍已知本次采购的口罩价格为 36 元/盒，洗手液和消毒液价格均为 18 元/瓶，总共花 费了 1224 元其中口罩的盒数恰好是洗手液和消毒液瓶数之积的四分之一，则本次采购了洗手液 12 瓶 【解答】解：设本次采购了洗手液 x 瓶，消毒液 y 瓶，则采购了口罩盒， 依题意得：36+18x+18y1224， x 购进洗手液的数量要大于消毒液的数
33、量，但不能超过消毒液数量的两倍， y2y， y+20， ， 解得：22y22 或 y或， x，y 为非负整数， y 可取 8，9 这两个数， 代入 x得， 当 y8 时，x12， 当 y9 时，x10.7（不合题意，舍去） ， 本次采购了洗手液 12 瓶 故答案为：12 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 7 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步 骤，画出必要的图形（包括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上骤，画出必要的图形（包括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卷中
34、对应的位置上 21 （10 分）计算： （1） （2x+y）2x（x+4y） ； （2） （a2） 【解答】解： （1） （2x+y）2x（x+4y） 4x2+4xy+y2x24xy 3x2+y2； （2） （a2） a（a2） a2+2a 22 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上的两点，EADFCB90 （1）求证：AFCE； （2）若 AE，AD2AE，EF2，求线段 BD 的长度 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， ADECBD， 在ADE 和CBF 中， ， ADECBF（ASA） ， AECF，AEFC
35、FE， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， AFCE； （2）AE，AD2AE， AD2， DE5， ADECBF， DEBF5， BDDE+BFEF8 23 （10 分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年新学期开始，重庆一中开展“开学 安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取 10 名学生的竞赛成绩进行统计整理如下： 高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90 初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 初一 81 70 80 高一 81 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接
36、写出上述表中的 a，b 的值； （2） 该校初一的 2000 名学生和高一的 1000 名学生参加了此次竞赛活动， 请估计这两个年级竞赛成绩达 到 90 分及以上的学生共有多少名？ （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀 【解答】解： （1）按照从小到大的顺序排列为 50，60，80，80，80，90，90，90，90，100，一共 10 个 数据， 则 a90，b85 故答案为：90，85； （2）2000+10001300（名） 答：估计这两个年级竞赛成绩达到 90 分及以上的学生共有 1300 名； （3）平均数相等，高一的中位数高于初
37、一的中位数， 高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀 24 （10 分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为 10 的整数倍的多位数称作“完美数” 定义： 对于一个自然数， 如果这个数的各个数位上的数字之和为 10 的整数倍， 则称这个数为 “完美数” 例如：4+610，1+4+8+720，因为 10，20 是 10 的整数倍，所以 46，1487 都是“完美数” ； 4+59，1+4+3+614，因为 9，14 不是 10 的整数倍，所以 45，1436 都不是“完美数” （1）判断 37 和 2258 是否为“完美数”？并说明理由； （2）求出大于 100 且小于 300
38、的“完美数”的个数，并说明理由 【解答】解： （1）3+710，2+2+5+817 10 是 10 的倍数，17 不是 10 的倍数 37 是完美数，2258 不是完美数 （2）大于 100 且小于 300 的“完美数，其所有数字之和为 10 1+2+710，1+3+610，1+4+510，1+5+410，1+6+310，1+7+210，1+8+110，1+9+010， 2+1+710， 2+2+610， 2+3+510， 2+4+410， 2+5+310， 2+6+210， 2+7+110， 2+8010.2+0+8 10 1+1+810，1+0+910，2+0+810 大于 100 且小于
39、 300 的“完美数有：127，136，145，154，163，172，181，190，217，226，235，244， 253，262，271，280，109，118 ，208，共 19 个 大于 100 且小于 300 的“完美数“共 19 个 25 （10 分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函数的图象研究函 数的性质结合已有的学习经验，请画出函数 y的图象并探究该函数的性质 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 a 4 2 0 2 b （1）直接写出表中的 a，b 的值，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数图象，判
40、断下列关于该函数的性质的说法是否正确； 该函数 y的图象关于 y 轴对称； 该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时 y 随 x 的增大而减小 （3）请画出函数 yx+的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+的解集 【解答】解： （1）x4、2 分别代入 y，得 a，b4， 画出函数的图象如图： ， 故答案为：，4； （2）根据函数图象： 该函数 y的图象关于 y 轴对称，说法正确； 该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值，说法错误； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时 y 随 x 的增大而减小，说法正确
41、（3）由图象可知：不等式x+的解集为 x1 或 2x4 26 （10 分）9 月 17 日，2020 线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前，重庆已实施 2265 个智能化项目；改造，建成 67 个智能工厂和 359 个数字化车间某工厂甲、乙两条生产线进行了数字化 改造改造前甲、乙生产线每天均工作 8 小时，其中甲生产线每小时比乙生产线多生产 20 个半导体元器 件，两条生产线一天共生产 640 个 （1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？ （2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加 m%和 2m%，甲生产线每 天工作时间比改
42、造前增加 m%，乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造 前增加m%，求 m 的值 【解答】解： （1）设甲生产线改造前每小时生产 x 个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产 y 个半 导体元器件， 依题意得：， 解得： 答：甲生产线改造前每小时生产 50 个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产 30 个半导体元器件 （2）依题意得：50（1+m%）8（1+m%）+30（1+2m%）8640（1+m%） ， 整理得：0.04m22m0 解得：m150，m20（不合题意，舍去） 答：m 的值为 50 27 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+
43、bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（，0） ， B（3，0） （点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 E 为直线 BC 上方抛物线上的任意一点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标； （3）如图 2，点 D 为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点 D 的对应点为点 D，在平面 直角坐标系中，是否存在另一个点 H，使以点 B，C，D，H 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写 出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】 （1）将点 A，B 代入抛物线表达式得：， 解得：， 抛物线表达式为：yx
44、2+x+3； （2）过点 E 作 x 轴垂线交直线 BC 于点 F， 如图 1，四边形 BOCE 的面积由两部分构成即：S四边形BOCESBOC+SBCE， 当 x0 时，y3， 点 C 坐标为（0，3） ，SBOCBOOC； B（3，0） ，C（0，3） ， 直线 BC 表达式：yx+3， 设点 E（t，t2+t+3） ，F（t，t+3） ， 则 EFt2+t+3（t+3）t2+t+3+t3t2+t， SBCESFCE+SBEF3（t2+t）t2+t（t）2+， 当 t时，SBCE最大，即当点 E（，）时，四边形 BOCE 面积的最大， S四边形BOCESBOC+SBCE+； （3）如图 2
45、： 点 D 为抛物线 yx2+x+3 的顶点， D 点坐标（，4） ， B（3，0） ，C（0，3） ， BC6， 当 D 点平移到 I 点时，CIBI， 设点 I 坐标（m，4） ， 由距离公式易得：， m， I（，4） ， 四边形 CIBH1是菱形， CPBP，IPH1P， B（3，0） ，C（0，3） ， P（，） ， H1（，1） ； 当 D 点平移到 J 点时， CJCB， 设点 J 坐标 （n， 4） ， 同理可得：，； 当 D 点平移到 K 点时，CBBK；设点 K 坐标（k，4） ，同理可得：，其中 （舍） ， 综上所述：H 点坐标为（，1）或（+3，1）或（2，7） 四、解答
46、题： （本大题四、解答题： （本大题 1 个小题个小题 8 分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤演算过程或推理步骤 28 （8 分）如图所示，正方形 ABCD 和正方形 AEFG 共顶点 A，正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转，连 接 DG，BE，BE 与 AC 相交于点 H （1）如图 1，在旋转过程中，当 G，A，H，C 恰好在同一直线上时，若 AE，AB2，求线段 DG 的长； （2）如图 2，连接 HG，在旋转过程中，若DGH2ABE，求证：HGHB； （3）如图 3
47、，BE 与 DG 相交于点 O，点 K 为线段 AG 上一点，连接 OK，若 AE3，AK1，在旋转过 程中，直接写出线段 OK 的最小值 【解答】 （1）解：如图 1 中，过点 D 作 DMAC 于 M 四边形 ABCD 是正方形， ADCDAB2，ADC90， AC2， DMAC， AMMC， DMAC， 四边形 AEFG 是正方形， AGAE， GMAG+AM2， DG （2）证明：如图 2 中，连接 DH 四边形 ABCD，四边形 EFGA 都是正方形， BADEAG90，ABAD，AEAG， EABGAD， EABGAD（SAS） ， ABEADG， ADAB，DAHBAH45，AHAH， AHBAHD（SAS） ， BHDH，ABHADH， ADHADG， HDA2ABE2ADG， HGDHDG， HGHD， HBHG （3）解：连接 EG，取 EG 的中点 T，连接 OT，TK，过点 T 作 TNAG 于 N 由（3）可知EABGAD， DGAAEB， EAG90， EOG90， 四边形 AEFG 是正方形， AEAG3，EAG90， EG3， TETG， OTEG， TNG90，TGN45， TNGN， AK1，ANAGGN， NKANAK， TK， OKOTTK， OK， OK 的最小值为
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