1、山东省济南市 2018 年学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）1 （2018 济南，1，4 分）4 的算术平方根是（ ）A2 B2 C2 D 2【答案】A 2 （2018 济南，2，4 分）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） 正正A B C D【答案】D 3 （2018 济南，3，4 分）2018 年 1 月， “墨子号”量子卫星实现了距离达 7600 千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力数字 7600 用科学记数法表示为（ ）A0.7610 4 B7.610 3 C7.610 4 D7610 2【答案】B 4
2、 （2018 济南，4，4 分） “瓦当”是中国古建筑装饰 头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当” 图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【答案】D 5 （2018 济南，5，4 分）如图，AF 是BAC 的平分线，DFAC，若135，则BAF的度数为（ ）A17.5 B35 C55 D70 1ABCDF【答案】B 6 （2018 济南，6，4 分）下列运算正确的是（ ）Aa 22a3a 3 B(2a 3)24a 5 C(a2)(a1)a 2a2 D( ab) 2a 2b 2【答案】C 7 （2018 济南，7，4 分）关于 x 的方程 3x2m 1 的解为正数
3、，则 m 的取值范围是（ ）Am Bm Cm Dm12 12 12 12【答案】B 8 （2018 济南，8，4 分）在反比例函数 y 图象上有三个点 A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）、2xC（x 3， y3），若 x10x 2x 3，则下列结论正确的是（ ）Ay 3y 2y 1 B y1y 3y 2 Cy 2y 3 y1 Dy 3y 1y 2【答案】C 9 （2018 济南，9，4 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点都在方格线的格点上，将ABC 绕点 P 顺时针方向旋转 90，得到 ABC，则点 P 的坐标为（ ）A （0，4） B （1，1） C （1，2） D （2，
4、1） xy1234 12341234567BCA ABO【答案】C 10 （2018 济南，10，4 分）下面的统计图大致反应了我国 2012 年至 2017 年人均阅读量的情况根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A与 2016 年相比，2017 年我国电子书人均阅读量有所降低 B2012 年至 2017 年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是 4.57C从 2014 年到 2017 年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长 D2013 年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的 1.8 倍还多一/一一一一201720162015201420132012O62345 4.394.77 4
5、.564.584.654.662.35 2.483.22 3.26 3.21 3.12【答案】B 11 （2018 济南，11，4 分）如图，一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 6如图 2，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A6 B69 C12 D923 3 923 94ABC DO(A)ABO【答案】A12 （2018 济南，11，4 分）若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”例如：P（1，0） 、Q（2，2）都是“整点”抛物线ymx 24mx 4m2(m0) 与 x 轴交于点
6、A、B 两点，若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则 m 的取值范围是（ ）A m1 B m 1 C1m 2 D1m212 12【答案】B【解析】解：ymx 24mx 4m 2m (x2) 22 且 m0,该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，2) ，对称轴是直线 x2由此可知点(2，0)、点(2 ，1) 、顶点(2，2)符合题意方法一：当该抛物线经过点（1，1）和（3，1）时（如答案图 1） ，这两个点符合题意将（1，1）代入 ymx 24mx4m2 得到1m 4m 4m2解得 m1此时抛物线解析式为 yx 24x 2由 y0 得 x24x 20解
7、得 x12 0.6，x 22 3.42 2x 轴上的点(1，0)、(2，0)、 (3，0)符合题意则当 m1 时，恰好有 (1，0) 、(2，0) 、(3，0)、(1 ，1)、(3 ，1)、(2，1) 、(2，2)这 7 个整点符合题意m1 【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大，】 xy1123452312O xy1123452312O答案图 1(m1 时) 答案图 2( m 时) 12当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图 2） ，这两个点符合题意此时 x 轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3 ，0)也符合题意将（0，0）代入 ymx 24mx
8、4m2 得到 004m 02解得 m 12此时抛物线解析式为 y x22x 12当 x1 时，得 y 121 1点(1，1) 符合题意12 32当 x3 时，得 y 923 1点(3，1) 符合题意12 32综上可知：当 m 时，点(0，0)、(1 ，0)、(2，0) 、(3，0) 、(4，0)、(1 ，1)、12(3，1) 、(2 ，2)、(2，1)都符合题意，共有 9 个整点符合题意，m 不符合题12m 12综合可得：当 m1 时，该函数的图象与 x 轴所围城的区域（含边界）内有12七个整点，故答案选 B方法二：根据题目提供的选项，分别选取 m ，m 1， m2，依次加以验证12当 m 时
9、（如答案图 3） ，得 y x22x12 12由 y0 得 x22x 0解得 x10，x 2412x 轴上的点(0 ，0)、(1，0)、(2 ，0)、(3 ，0)、(4，0) 符合题意当 x1 时，得 y 121 1点(1，1)符合题意12 32当 x3 时，得 y 923 1点(3，1) 符合题意12 32综上可知：当 m 时，点(0，0)、(1 ，0)、(2，0) 、(3，0) 、(4，0)、(1 ，1)、12(3，1) 、(2 ，2)、(2，1)都符合题意，共有 9 个整点符合题意，m 不符合题选项 A 不正确12 xy xyxy1123452312 112345231211234523
10、12O OO答案图 3( m 时) 答案图 4(m1 时) 答案图 5(m2 时)12当 m1 时（如答案图 4） ，得 yx 24x2由 y0 得 x24x 20解得 x12 0.6，x 22 3.42 2x 轴上的点(1，0)、(2，0)、 (3，0)符合题意当 x1 时，得 y141 21点(1，1)符合题意当 x3 时，得 y943 21点(3，1) 符合题意综上可知：当 m1 时，点 (1，0)、(2 ，0)、(3，0) 、(1，1) 、(3，1)、(2 ，2) 、(2，1) 都符合题意，共有 7 个整点符合题意，m1 符合题选项 B 正确当 m2 时（如答案图 5） ，得 y2x
11、28x6由 y0 得 2x28x 60解得 x11，x 23x 轴上的点(1，0)、(2，0)、 (3，0)符合题意综上可知：当 m2 时，点(1，0)、(2 ，0)、(3，0) 、(2，2) 、(2，1) 都符合题意，共有 5 个整点符合题意，m2 不符合题二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）13 （2018 济南，13，4 分）分解因式：m 24_；【答案】(m2)(m2)14 （2018 济南，14，4 分）在不透明的盒子中装有 5 个黑色棋子和若于个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是 ，则白色棋子的个14数是_；【答案】1
12、515 （2018 济南，15，4 分）一个正多边形的每个内角等于 108，则它的边数是_；【答案】516 （2018 济南，16，4 分）若代数式 的值是 2，则 x_； x 2x 4【答案】617 （2018 济南，17，4 分）A、B 两地相距 20km，甲乙两人沿同一条路线从 A 地到 B地甲先出发，匀速行驶，甲出发 1 小时后乙再出发，乙以 2km/h 的速度度匀速行驶1 小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开 A 地的距离s（km）与时间 t（h）的关系如图所示，则甲出发_ 小时后和乙相遇 y/kmt/h一一520O1 4【答案】 165【解析】y 甲 4t(
13、0 t4)；y 乙 ；2(t 1)(1t2)9(t 2)t(2 t4)由方程组 解得 .y 4ty 9(t 2)答案为 16518（2018 济南，18，4 分）如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在矩形 ABCD 的各条边上，ABEF，FG2，GC3有以下四个结论：BGFCHG；BFGDHE； tanBFG ；矩形 EFGH 的面积是 4 其中一定成立的是12 3_（把所有正确结论的序号填在横线上） HDCGEABF【答案】【解析】设 EHAB a，则 CDGHaFGH 90，BGFCGH 90.又CGHCHG90,BGFCHG 故正确同理可得DEHCHG.BGFDEH.又BD90，FGEH
14、,BFGDHE故正确同理可得AFECHG .AFCH.易得BFG CGH. . .BF .BFCG FGGH BF3 2a 6aAFABBFa .CHAF a .6a 6a在 RtCGH 中，CG2CH2GH2，3 2( a )2a 2.解得 a2 .GH2 .BF a .6a 3 3 6a 3在 RtBFG 中，cosBFG ，BFG30.BFFGtanBFGtan30 .故正确矩形 EFGH 的面积FG GH22 4 故正确3 3三、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分）19 （2018 济南，19，6 分）计算：2 1 5 sin30(1) 0解：2 1 5sin30(1) 0 5
15、112 12620 （2018 济南，20，6 分）解不等式组： 解：由 ，得3x2x31.x2.由 ，得4x3x1.x1.不等式组的解集为1x2.21 （2018 济南，21，6 分）如图，在ABCD 中，连接 BD，E 是 DA 延长线上的点，F 是 BC 延长线上的点，且 AE CF，连接 EF 交 BD 于点 O求证：OBODOFCE DBA证明： ABCD 中，ADBC,ADB C.ADBCB D.又AECF，AEAD CF BC.EDF B.又EOD FOB,EOD FOB.OBOD 22 （2018 济南，22，8 分）本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织
16、150 名学生多观历史好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款 2000 元，票价信息如下：（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？解：（1）设参观历史博物馆的有 x 人，则参观民俗展览馆的有（150x）人，依题意，得10x20(150 x)2000.10x300020x 2000.10x1000.x100.150x50.答：参观历史博物馆的有 100 人，则参观民俗展览馆的有 50 人（2）200015010500（元）.答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款 500 元23 （2018 济南，23，
17、8 分）如图 AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点 A，BP 与O 相较于点 D，C 为O 上的一点，分别连接 CB、CD， BCD60 (1)求ABD 的度数；(2)若 AB6，求 PD 的长度地点 票价历史博物馆 10 元/人民俗展览馆 20 元/人PDOABC【解析】解：(1)方法一：连接 AD（如答案图 1 所示） BA 是O 直径， BDA90 ，BAD C 60BD BDABD90BAD906030 PDOABC PDOBAC第 23 题答案图 1 第 23 题答案图 2 方法二：连接 DA、OD（如答案图 2 所示） ，则BOD 2C260120OBOD ， OBDODB (
18、180120)3012即ABD30(2)AP 是O 的切线， BAP90 在 RtBAD 中，ABD30 ，DA BA 63BD DA3 12 12 3 3在 RtBAP 中， cosABD ，cos30 BP 4 ABPB 6PB 3PDBPBD4 3 3 3 324 （2018 济南，24，10 分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示） ，将调查结果整理后绘制例图 1 、图 2 两幅均不完整的统计图表25%A BCD0.450.251b一一一一一ABCD36168a卷卷卷卷卷 一
19、一一一一一一一一一一一一“”一一一一一一一“3D”一DCBA 一一一请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的 a_，b_；（2）“D”对应扇形的圆心角为_度；（3）根据调查结果，请您估计该校 2000 名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A” 、“B”、“C ”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率解：（1）a360.4580.b16800.20.（2） “D”对应扇形的圆心角的度数为：88036036.（3）估计该校 2000 名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：20000
20、.25500（人） （4）列表格如下：A B CA A,A B,A C,AB A,B B,B C,BC A,C B,C C,C共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有 3 种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为： 39 1325 （2018 济南，25，10 分）如图，直线 yax 2 与 x 轴交于点 A(1，0)，与 y 轴交于点 B(0，b) 将线段 AB 先向右平移 1 个单位长度、再向上平移 t（t 0）个单位长度，得到对应线段 CD，反比例函数y （x0）的图象恰好经过 C、D 两点，连接 AC、BDkx(1)求 a 和 b 的值；(2)求反比例函数的表
21、达式及四边形 ABDC 的面积；(3)点 N 在 x 轴正半轴上，点 M 是反比例函数 y （x 0）的图象上的一个点，若kxCMN 是以 CM 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 M 的坐标 xyDCBAOxyDCBAO第 25 题图 第 25 题备用图 【解析】解：(1)将点 A(1，0)代入 yax 2，得 0a2a2直线的解析式为 y2x 2将 x0 代入上式，得 y2b2点 B(0，2)(2)由平移可得：点 C(2，t )、D (1，2t)将点 C(2，t)、D(1，2t) 分别代入 y ，得 解得 kx k 4t 2)反比例函数的解析式为 y ，点 C(2，2)、点 D
22、(1，4)4x分别连接 BC、AD（如答案图 1） B(0，2) 、C(2，2)，BC x 轴，BC 2A(1，0) 、D(1，4)，ADx 轴，AD 4BCADS 四边形 ABDC BCAD 24412 12xyDCBAO第 25 题答案图 1 (3)当NCM90、CMCN 时（如答案图 2 所示） ，过点 C 作直线 lx 轴，交 y 轴于点 G过点 M 作 MF直线 l 于点 F，交 x 轴于点 H过点 N 作 NE直线 l 于点 E设点 N(m，0)（其中 m0） ，则 ONm，CE2mMCN90 ，MCFNCE90 NE直线 l 于点 E，ENCNCE 90MCFENC又MFCNEC
23、90，CNCM，NECCFMCFEN2，FMCE2 m FGCGCF224x M4将 x4 代入 y ，得 y1 点 M(4，1)4x xy lHG FENCO Mxy lEFGNCO M第 25 题答案图 2 第 25 题答案图 3当NMC90 、MCMN 时（如答案图 3 所示） ，过点 C 作直线 ly 轴与点 F，则CFx C2过点 M 作 MG x 轴于点 G，MG 交直线 l 与点 E，则 MG直线 l 于点E，EG y C2 CMN90 ，CMENMG90 ME直线 l 于点 E，ECMCME90NMGECM又CEMNGM90，CMMN，CEMMGNCEMG，EM NG设 CEM
24、Ga，则 yMa，x MCF CE 2a点 M(2a，a)将点 M(2a，a) 代入 y ，得 a 解得 a1 1，a 2 14x 42 a 5 5x M2a 15点 M( 1， 1)5 5综合可知：点 M 的坐标为 (4，1)或( 1， 1)5 526 （2018 济南，26，12 分）在ABC 中，ABAC，BAC120 ，以 CA 为边在ACB 的另一侧作ACM ACB，点 D 为射线 BC 上任意一点，在射线 CM 上截取 CEBD，连接AD、DE、AE（1）如图 1，当点 D 落在线段 BC 的延长线上时，直接写出ADE 的度数；（2）如图 2，当点 D 落在线段 BC（不含边界）上
25、时，AC 与 DE 交于点 F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若 AB6，求 CF 的最大值 MMFECECABAB DD第 26 题图 1 第 26 题图 2 【解析】解：(1) ADE30 ECAB DECB A D(2) （1）中的结论是否还成立证明：连接 AE（如答案图 1 所示） BAC120，ABAC，BACB 30又ACMACB，BACM30又CEBD，ABDACE .AD AE ,12.2313BAC120.即DAE120.又ADAE ,ADEAED30 321FECAB DMFECB ADM答案图 1 答
26、案图 2(3) ABAC，AB6，AC6ADEACB30 且DAFCAD，ADFACD. .AD 2AF ACAD 26AFAF ADAC AFAD AD26当 AD 最短时，AF 最短、CF 最长易得当 ADBC 时，AF 最短、CF 最长（如答案图 2 所示） ，此时 AD AB312AF 最短 AD26 326 32CF 最长 AC AF 最短 6 .32 9227 （2018 济南，27，12 分）如图 1，抛物线 yax 2bx 4 过 A(2，0)、B(4，0) 两点，交 y 轴于点 C，过点 C 作 x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为 D，连接 AC、BC点 P 是该抛物
27、线上一动点，设点 P 的横坐标为 m（m4） (1)求该抛物线的表达式和ACB 的正切值；(2)如图 2，若ACP45 ，求 m 的值；(3)如图 3，过点 A、P 的直线与 y 轴于点 N，过点 P 作 PMCD，垂足为 M，直线 MN与 x 轴交于点 Q，试判断四边形 ADMQ 的形状，并说明理由 xyxyxyQMN DABCOPDABCODABCO P第 27 题图 1 第 27 题图 2 第 27 题图 3【解析】解：（1）将点 A(2，0) 和点 B(4，0)分别代入 yax 2bx4，得解得 该抛物线的解析式为 y x23x 4.0 4a 2x 40 16a 4b 4) 12将 x
28、0 代入上式，得 y4.点 C（0，4） ，OC4在 RtAOC 中，AC 2 .OA OC 2 4 5设直线 AC 的解析式为 ykx4,将点 A(2，0) 代入上式 ，得 02k 4解得 k2直线 AC 的解析式为 y2x4同理可得直线 BC 的解析式为 yx4求 tanACB 方法一：过点 B 作 BGCA，交 CA 的延长线于点 G（如答案图 1 所示） ，则G90 COAG90，CAOBAG，GABOAC. 2.BG2AG.BGAG OCOA 42在 RtABG 中，BG 2AG 2AB 2,(2AG) 2AG 22 2.AG .255BG ,CGACAG2 .455 5 255 1
29、25 5在 RtBCG 中，tanACB .BGCQ 13 xyGPDABCO xyEPDABCO第 27 题答案图 1 第 27 题答案图 2求 tanACB 方法二：过点 A 作 AE AC，交 BC 于点 E（如答案图 2 所示） ，则 kAEkAC1.2k AE1. k AE .12可设直线 AE 的解析式为 y xm 12将点 A(2，0) 代入上式 ，得 0 2m解得 m112直线 AE 的解析式为 y x112由方程组 解得 点 E（ ，） 103 23AE .235在 RtAEC 中，tanACB .AEAC 13求 tanACB 方法三：过点 A 作 AF BC，交 BC 点
30、 E（如答案图 3 所示） ，则 kAFkBC1.k AF1. kAF1.可设直线 AF 的解析式为 yx n将点 A(2，0) 代入上式 ，得 02n解得 n 2直线 AF 的解析式为 yx 2由方程组 解得 点 F（3，1） y x 2y x 4) x 3y 1)AF ，CF 3 .(3 2) (1 0) 2 (3 0) (1 4) 2在 RtAEC 中，tanACB AFCF 13 xyFPDABCO第 27 题答案图 3 （2）方法一：利用“一线三等角”模型将线段 AC 绕点 A 沿顺时针方向旋转 90，得到线段 AC，则ACAC，CAC90，CCAACC45CAOC AB90 又OC
31、ACAO90，OCAC AB过点 C作 CEx 轴于点 E则CEACOA90CEACOA90，OCACAB，AC AC，C EAAOCCE OA2，AEOC4OEOA AE246点 C(6，2)设直线 CC 的解析式为 yhx4将点 C(6， 2)代入上式，得 26h4解得 h 13直线 CC 的解析式为 y x413ACP45，ACC 45，点 P 在直线 CC 上设点 P 的坐标为(x，y) ，则 x 是方程 x23x 4 x 4 的一个解12 13将方程整理，得 3x214x 0解得 x1 ，x 20（不合题意，舍去） 163将 x1 代入 y x4，得 y 163 13 209点 P
32、的坐标为( ， )163 209 xyECPDABCOxyK KHPDABCO第 27 题答案图 4 第 27 题答案图 5（2）方法二：利用正方形中的“全角夹半角”模型过点 B 作 BHCD 于点 H，交 CP 于点 K，连接 AK易得四边形 OBHC 是正方形应用“全角夹半角” 可得 AKOAHK 设 K(4，h)，则 BKh，HKHBKB4h，AKOA HK2(4h) 6h在 RtABK 中，由勾股定理，得 AB2BK 2AK 22 2 h 2(6h) 2解得 h 83点 K(4， )83设直线 CK 的解析式为 yhx4将点 K(4， )代入上式，得 4h4解得 h 83 83 13直
33、线 CK 的解析式为 y x413设点 P 的坐标为(x，y) ，则 x 是方程 x23x 4 x 4 的一个解12 13将方程整理，得 3x214x 0解得 x1 ，x 20（不合题意，舍去） 163将 x1 代入 y x4，得 y 163 13 209点 P 的坐标为( ， )163 209（3）四边形 ADMQ 是平行四边形理由如下：CDx 轴，y Cy D4将 y4 代入 y x23 x4，得 4 x23x4.解得 x10，x 2612 12点 D（6，4） 根据题意，得 P（m， m23m4） ，M （m ，4） ， H（m，0） 12PH m23m4） ，OHm ，AHm2，MH 412当 4m6 时（如答案图 5 所示），DM 6mOANHAP ， ONPH OAAH 2m 2ON m4m2 6m 8m 2 (m 4)(m 2)m 2ONQHMP ， ONHM OQHQ ON4 OQm OQ OQm4m 44 OQm OQAQOAOQ2(m 4)6mAQ DM6m又AQDM ，四边形 ADMQ 是平行四边形 xyxyQ MNQMNDABCODABCO PPH H第 27 题答案图 6 第 27 题答案图 7当 m6 时（如答案图 6 所示），同理可得：四边形 ADMQ 是平行四边形综合、可知：四边形 ADMQ 是平行四边形
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