1、浙江省宁波市卷（压轴8道+变式训练32道）说明：本专辑精选了2021年浙江省宁波市卷失分较多和难度较大的题目8道，分别是第10题平行四边形的计算问题、第15题反比例函数的图象与性质、第16题四边形与相似、三角函数相结合问题、第19题二次函数的性质综合问题、第21题锐角三角函数的应用、第22题方程与函数的应用问题、第23题几何综合探究问题、第24题圆的综合压轴问题，每道题精讲精析，配有变式练习各4道，浙江省宁波市变式训练题共32道，试题解析共75页.【压轴一】平行四边形的计算问题【真题再现】（2021浙江宁波市中考第10题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直
2、角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）ABCD【思路点拨】根据AED和BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OPEF于点P，OQGF于点Q，可得出OP，OQ分别是FHE和EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，进行判断即可【详析详解】解：由题意得，AED和BCG是等腰直角三角形， 四边形
3、ABCD是平行四边形，AD=BC，CD=AB，ADC=ABC，BAD=DCBHDC=FBA，DCH=BAF，AEDCGB，CDHABFAE=DE=BG=CG四边形HEFG是矩形GH=EF，HE=GF设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c过点O作OPEF于点P，OQGF于点Q，OP/HE，OQ/EF点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，OP，OQ分别是FHE和EGF的中位线， ，即 而， 所以，故选项A符合题意， ，故选项B不符合题意，而于都不一定成立，故都不符合题意，故选：A【方法小结】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求
4、出S1，S2，S3之间的关系【变式训练】【变式1.1】（2021春镇海区期中）如图，在平行四边形ABCD中，ABBC，点F是BC上一点，AE平分FAD，且点E是CD的中点，有如下结论：AEEF，AFCF+CD，AFCF+AD，ABBF，其中正确的是（）ABCD【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得DEMCEF，即可得EMEF，又由AE平分FAD，即可判定AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AEEF【详解】解：延长AD，交FE的延长线于点M，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，MEFC，E是CD的中点，DECE，在DEM和CEF中，M=EFCDEM=CEFDE=CE，DEMC
5、EF（AAS），EMEF，过点E作ETAM于T，ERAF于RAE平分FAD，ETER，在RtETM和RtERF中，EM=EFET=ER，RtETMRtERF（HL），MAFM，AMAF，EFEM，AEEF，故正确，由AFAD+DMCF+AD，故正确，错误AF不一定是BAD的角平分线，AB不一定等于BF，故错误故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用【变式1.2】（2021春鄞州区期中）如图，在ABCD中，过点A分别作AEBC于点E，AFCD于点F，分别作点C关于AB，AD的对称点G
6、，H，连接CG，CH，AG，AH，GH如果AB30，EAF30，ABCD的面积为2703，那么下列说法不正确的是（）ACE=3CFBGAH60CGHAF+CFDGCH的面积是ABCD的面积的一半【分析】由平行四边形的面积公式可求AF93，由直角三角形的性质可求CE，CF的长，可判断A选项；由轴对称的性质和周角的性质可求GAH60，可判断B选项；可证AGH是等边三角形，由三角形的三边关系可得AF+CFGH，可判断C选项；计算出GHC的面积可判断选项D，即可求解【详解】解：AEBC，AFCD，BAE90B，DAF90D，ABCD的面积为2703，ABAF30AF2703，AF93，四边形ABCD是
7、平行四边形，BD，ADBC，B+BAD180，B+90B+90D+30180，BD30，AE=12AB15，BE=3AE153，AD2AF183，DF=3AF27，ECBCBE33，CFDCDF30273，CE=3CF，故选项A不符合题意；如图，连接AC，点C关于AB，AD的对称点分别是点G，H，ACAGAH，BACBAG，DACDAH，GAH360BACGABDACDAH3602BAD60，故选项B不符合题意，GAH60，AGAHAC，AGH是等边三角形，GHAC，在AFC中，AF+CFAC，AF+CFGH，故选项C符合题意，AE15，CE33，AC=AE2+EC2=225+27=67，GH
8、C的面积=34（67）2+933+33151353=12SABCD，故选项D不符合题意，故选：C【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键【变式1.3】（2021宁波模拟）如图，四边形ABCD和DEFG均为正方形，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接CG和EG若知道正方形ABCD和DEFG的面积，则一定能求出（）A四边形ABFE的周长B四边形ECGD的周长C四边形AEGD的周长D四边形ACGD的周长【分析】利用正方形的性质，证明ADECDG，得到AECG，表示出四边形ECGD的周长为
9、AC+2DE，进而求解【详解】解：四边形ABCD和DEFG均为正方形，ADDC，DEDG，ADCEDG90，ADCEDCEDGEDC，即ADECDG，ADECDG（ASA），AECG，四边形ECGD的周长EC+CG+GD+DEEC+AE+GD+DEAC+2DE，因为知道正方形ABCD和DEFG的面积，所以它们的边长和对角线均可确定，即AC与DE确定，一定能求出四边形ECGD的周长，故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，关键是把要求四边形的边长转化为已知正方形的边【变式1.4】（2021海曙区模拟）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EFAB交边BC于点E
10、，P为边AB上一点，PHDE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ当AFAB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（）AEFBDECPHDPE【分析】过点P作PMEF于点M，由“ASA”可证PMQDCE，可得PQDE，由面积关系可求解【详解】解：过点P作PMEF于点M，如图：四边形ABCD为矩形，ABDC，ADBC，C90，EFAB，EFDC，EDCDEF，PHDE，PMEF，PMQEHQ90，又PQMEQH，QPMDEFEDC，在PMQ和DCE中，MPQ=EDCPM=CDPMQ=C，PMQDCE（ASA），PQDE，阴影部分的面积SPDESQED=12DEPH-12DE
11、QH=12DE2，故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键【压轴二】反比例函数的图象与性质【真题再现】（2021浙江宁波市中考第15题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_【思路点拨】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：当点B在边DE上时；当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可【详析详解】解：根据题意，点称为点的“倒数点”，点B不可能在坐标
12、轴上；点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，点C为，当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；点B为，的面积为：；当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，解得：，经检验，是原分式方程的解；点B为，的面积为：；故答案为：或【方法小结】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析【变式训练】【变式2.1】（2021北仑区二模）如图，A，B，D三点在反比例函数y=63x的图象上，AD与y轴交于点C，连接BC并延长交反比例函数y=kx的图
13、象于点E，连接DE若ABC，CDE均为正三角形，且BCx轴，则k的值为（）A93B93C123D123【分析】过A作AFBC于F，过点D作DGEC于点G，ABC，CDE均为正三角形，则CFFB，EGGC；BCx轴，设CFm，则CB2m，AF=3m，可得A点坐标为（m，63m），B点坐标为（2m，33m），则有63m-33m=3m，m可得，点A，B，C坐标可知；求出直线AC的解析式与反比例函数y=63x联立可得点D的坐标，由DGEC，D，G的横坐标相同，G，C纵坐标相同，于是点E坐标可得，用待定系数法，k值可求【详解】解：过A作AFBC于F，过点D作DGEC于点G，如图，ABC，CDE均为正三角
14、形，CFFB，EGGCBCx轴，设CFm，则CB2m，AF=3mA点坐标为（m，63m），B点坐标为（2m，33m）则有63m-33m=3mm0，m=3A（3，6），B（23，3）OC3，AF3C（0，3）设直线AC的解析式为：ynx+b，b=33n+b=6解得：n=3b=3y=3x+3y=3x+3y=63x解得：x=-23y=-3或x=3y=6D（23，3）DGEC，BCx轴，CG23EC43E（-43，3）k433123故选：D【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，等边三角形的性质，解直角三角形利用点的坐标表示出相应线段的长度和由线段的长度得到相应点的坐标是解题
15、的关键【变式2.2】（2021宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y=kx（x0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OBAC40，下列四个结论：双曲线的解析式为y=7x（x0）；E点的坐标是（74，4）；sinCAO=55；AC+OB65其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【分析】过F作FGx轴于点G，过B作BMx轴于点M，根据菱形的性质和反比例函数图象上点的特征以及勾股定理逐一分析即可【详解】解：如图，过F作FGx轴于点G，过B作BMx轴于点M，A（5，0），OA5，S菱形OABCOABM=12ACOB=1240
16、20，即5BM20，BM4，在RtABM中，AB5，BM4，由勾股定理可得AM3，F为AB中点，FG是ABM的中位线，FGBM2，MG=12AM=32F（ 72，2）双曲线过点F，kxy=7227，双曲线解析式为y=7x（x0），故正确；由知，BM4，故设E（x，4）将其代入双曲线y=7x（x0），得4=7x，x=74E（ 74，4）易得直线OE解析式为：y=167x，故正确；过C作CHx轴于点H，可知四边形CHMB为矩形，HMBC5，AM3，OM532，OH5OM3，AH5+38且CHBM4，tanCAO=CHAH=48=12，故正确；在直角OBM中，OM2，BM4，由勾股定理得到：OB=O
17、M2+BM2=22+42=25OBAC40，AC=4025=45，AC+OB6 5，故正确综上所述，正确的结论有4个，故选：D【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，熟练掌握运用菱形的性质和勾股定理是解题的关键【变式2.3】（2021北仑区一模）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y定义（x，y）为这个矩形的坐标如图2，在平面直角坐标系中，直线x1，y3将第一象限划分成4个区域已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域中则下面叙述中正确的是（）A点A的横坐标有可能大于3B矩形1是正方形时，点A位于区域C当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D当点
18、A位于区域时，矩形1可能和矩形2全等【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x1时，y3，得kxy3，因为y是矩形周长的一半，即yx，可判断点A的横坐标不可能大于3；B、根据正方形边长相等得：y2x，得点A是直线y2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域，可作判断；C、先表示矩形面积Sx（yx）xyx2kx2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D、当点A位于区域，得x1，另一边为：yx2，矩形2的坐标的对应点落在区域中得：x1，y3，即另一边yx0，可作判断【详解】解：设点A（x，y），A、设反比例函数解析式为：y=kx（k0），由图
19、形可知：当x1时，y3，kxy3，yx，x3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x，y2x，则点A是直线y2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为yx，Sx（yx）xyx2kx2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域时，点A（x，y），x1，y3，即另一边为：yx2，矩形2落在区域中，x1，y3，即另一边yx0，当点A位于区域时，矩形1可能和矩形2全等；故选项正确；故选：D【点睛】本题考查了函数图象和新定义，有难度，理由x和y的意义是关键，并注意
20、数形结合的思想解决问题【变式2.4】（2021济南一模）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=-1x的图象上，且a0b，则下列结论中，一定正确的是（）Am+n0Bm+n0CmnDmn【分析】由点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=-1x的图象上，且a0b，可知点P在第二象限，点Q在第四象限，此时m0n得出答案【详解】解：点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=-1x的图象上，且a0b，点P在第二象限，点Q在第四象限，mn；故选：D【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，在各自的象限内，函数值是如何随自变量的变化而变化的性质，根据自变量的取值范围和k的值，判断点所在的象
21、限是解题的关键【压轴三】四边形与相似、三角函数相结合问题【真题再现】（2021浙江宁波市中考第16题）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，则的长为_，的值为_【思路点拨】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案【详析详解】解： 与关于直线对称，矩形 矩形 为的中点， 如图， 四边形都是矩形， 设 则 解得： 经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去， 故答案为：【方法小结】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函
22、数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键【变式训练】【变式3.1】（2021宁波模拟）如图，在菱形ABCD中，分别过B，D作对边的垂线，垂足分别为E，F，G，H，BF与DG相交于点P，BE与DH相交于点Q，围成面积为3的小菱形PBQD，若cosA=35，则菱形ABCD的面积为43【分析】设PF3x，DP5x，在直角三角形DPF中，由勾股定理可求DF，由菱形面积公式可求x2=320，由三角函数可求AB10x，由菱形的面积公式可求解【详解】解：BFAD，DGAB，AFPAGP90，A+FPG180，又DPF+FPG180，ADPF，cosA=35=cosDPF=PFDP，设PF3x，DP
23、5x，DF=DP2-PF2=4x，四边形DPBQ是菱形，BPDP5x，BF8x，5x4x=3，x2=320，cosA=35=AFAB，BF8x，AB10x，AF6x，菱形ABCD的面积10x8x80x243，故答案为43【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用参数解决问题是解本题的关键【变式3.2】（2021春鄞州区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AEBC，AFCD，M是AEF三条高的交点，且AC=2a，EF=3b，则AM2a2-3b2【分析】过点C作CHAD于点H，连接EH，FH，构造平行四边形ECFM，矩形AECH，平行四边形AMFH，利用平行四边形的性质推知
24、FHEF，利用勾股定理求AM的长度【详解】解：如图，过点C作CHAD于点H，连接EH，FH，EMAF，AFCD，EMCF同理可得：FMEC四边形ECFM为平行四边形FMEC由题意可得四边形AECH是矩形，AHEC，AHEC，ACEH，AHFM，AHFM四边形AMFH是平行四边形AMFH，AMFH设EM与AF的交点为G，则FN，EG是AEF的高锐角三角形AEF的三条高线交于M，AMEF，FHEFAC=2a，EF=3b，AMFH=EH2-EF2=(2a)2-(3b)2=2a2-3b2故答案为2a2-3b2【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题
25、的关键【变式3.3】（2021春鄞州区校级期中）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，ABCD，AD=2，E为CD中点，连接AE，且AE23，DAE30，作AEAF交BC于F，则BF的值为422【分析】延长AE交BC的延长线于G，根据线段中点的定义可得CEDE，根据两直线平行，内错角相等可得到DAEG30，然后利用“角角边”证明ADE和GCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CGAD，AEEG，然后解直角三角形求出AF、GF，过点A作AMBC于M，过点D作DNBC于N，根据等腰梯形的性质可得BMCN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根据BFBMMF计算即可得解【详解】解
26、：如图，延长AE交BC的延长线于G，E为CD中点，CEDE，ADBC，DAEG30，在ADE和GCE中，DAE=GAED=GECCE=DE，ADEGCE（AAS），CGAD=2，AEEG23，AGAE+EG23+23=43，AEAF，AFAGtan304333=4，GFAGcos304332=8，过点A作AMBC于M，过点D作DNBC于N，则MNAD=2，四边形ABCD为等腰梯形，BMCN，MGAGcos304332=6，CNMGMNCG6-2-2=622，AFAE，AMBC，FAMG30，FMAFsin30412=2，BFBMMF622-2422故答案为：422【点睛】本题考查了等腰梯形的性
27、质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形，过上底的两个顶点作出梯形的两条高【变式3.4】（2021春海曙区校级期中）如图，在RtABC中，B90，AB3，BC4，点D为BC上一动点（不与点C重合），以AD，CD为一组邻边作平行四边形ADCE，当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为4+213【分析】根据题意，可知当DEAE时，DE取得最小值，然后根据题目中的数据，即可得到AD、CD的长，从而可以得到当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长【详解】解：当DEAE时，DE取得最小值，设此时CDx，四边形ADCE是平行四边形，CDAE，AD
28、CE，BCAE，B90，DEAE，四边形BAED是矩形，BDAE，BDCDx，BCBD+CD，BC4，BDCD2，AB3，B90，AD=BD2+AB2=22+32=13，当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2+13+2+13=4+213，故答案为：4+213，【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答【压轴四】二次函数的性质综合问题【真题再现】（2021浙江宁波市中考第19题）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线（1）求a的值（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式
29、【思路点拨】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式【详析详解】解：（1）图象的对称轴为直线，（2），二次函数的表达式为，抛物线向下平移3个单位后经过原点，平移后图象所对应的二次函数的表达式为【方法小结】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键【变式训练】【变式4.1】（2021宁波模拟）已知二次函数yax2+（2a4）x2（a0）的图象经过（x1，y1）（x2，y2），且x1x2（
30、1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点（2）当a1时，若|x1x2|1，则|y1y2|1，求x1+x2的值（3）当1x1x22时，y1y2，求a的取值范围【分析】（1）证明抛物线与x轴一定有两个交点，只需判断0即可；（2）当a1时，二次函数yx22x2，x1x20，|x1x2|1，得出x1x21，再求出y1y22x2+3，|y1y2|1求出x2即可；（3）由1x1x22时，y1y2，分a0和a0两种情况讨论即可【详解】证明：（1）二次函数yax2+（2a4）x2与x轴交点数即为方程ax2+（2a4）x20的解的个数，（2a4）24a（2）4a28a+164（a1）2+1212，0，抛物线与x轴一
31、定有两个交点；解：（2）当a1时，二次函数yx22x2，x1x2，x1x20，|x1x2|1，x1x21，即x1x21，y1=(x2-1)2-2(x2-1)-2=x22-4x2+1，y2=x22-2x2-2，y1y22x2+3，|y1y2|1，即|2x2+3|1，2x2+31或1，x21或x22，x1x210或1，x1+x2 1或3；（3）由1x1x22时，y1y2，得：当a0时，有对称轴x=-2a-42a1，a1，当a0时，有对称轴x=-2a-42a2，a23，a0，无解，综上所述，a的取值范围为a1【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系二次函数的性质，关键是对二次函数的对称轴，开口方
32、向等知识的运用【变式4.2】（2021宁波模拟）在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A（6，0），B（0，6）两点（1）求一次函数ykx+b的表达式（2）若二次函数yx22ax+n图象的顶点在直线AB上，设a2，当3x3时，求y的取值范围；二次函数yx22ax+n与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围【分析】（1）A（6，0），B（0，6）代入一次函数ykx+b即可得答案；（2）顶点在直线AB上，可得na2+a6，a2时n4，二次函数为yx2+4x4，顶点坐标为：（2，8），分别求出x3和3时y的值，画出图象数形结合即可得到答案；二次函数yx22ax+nx22ax
33、+a2+a6，抛物线开口向上，顶点为（a，a6），图象与x轴正半轴始终有交点，分两种情况：（一）a0时，只需满足0，（二）a0时，需满足0，且图象与y轴交点的纵坐标a2+a60，分别求出a的范围即可【详解】解：（1）A（6，0），B（0，6）代入一次函数ykx+b得：0=6k+b-6=b，解得k=1b=-6，一次函数ykx+b的表达式为yx6；（2）二次函数yx22ax+n图象的顶点为（a，a2+n），顶点在直线AB上，a2+na6，可得na2+a6，a2时，n4，二次函数为yx2+4x4，顶点坐标为：（2，8），当x3时，y7，当x3时，y17，如图：当3x3时，y的取值范围是8y17；二次
34、函数yx22ax+nx22ax+a2+a6，抛物线开口向上，顶点为（a，a6），（2a）24（a2+a6）4a+24，图象与x轴正半轴始终有交点，分两种情况：（一）a0时，只需满足0，4a+240，解得a6，0a6，（二）a0时，需满足0，且图象与y轴交点的纵坐标a2+a60，即（a+3）（a2）0，解得：3a2，3a0，综上所述，图象与x轴正半轴始终有交点，0a6或3a0【点睛】本题考查二次函数图象及性质，涉及一次函数解析式等知识，解题的关键是数形结合，列出不等式求解【变式4.3】（2021鄞州区模拟）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（1，2），B（2，5）（1）求线段AB与y
35、轴的交点坐标；（2）若抛物线yx2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；（3）若抛物线yx2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围【分析】（1）先设出AB所在的直线函数解析式，然后用待定系数法求出解析式，再令x0，求出y即可；（2）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）先联立抛物线和直线解析式组成方程组，解方程组，得到关于x的一元二次方程，直线和抛物线有两个交点即0，再根据方程得根1x2即可求得m的取值范围【详解】解：（1）设线段AB所在的直线的函数解析式为：ykx+b （1x2，2y5），A（1，2），B（2，5），2=-k+b5=2k+b，解得：k=1b=3，AB的解析
36、式为：yx+3 （1x2，2y5），当x0时，y3，线段AB与y轴的交点为（0，3）；（2）抛物线yx2+mx+n经过A，B两点，2=1-m+n5=4+2m+n，解得：m=0n=1，抛物线的解析式为：yx2+1；（3）抛物线yx2+mx+3与线段AB有两个公共点，联立方程y=x2+mx+3y=x+3，得x+3x2+mx+3，整理得：x2+（m1）x0，抛物线yx2+mx+3与线段AB有两个公共点，方程x2+（m1）x0有两个不同的实数解，即b24ac（m1）20，（m1）20，当m1时0，解方程x2+（m1）x0得：x10，x21m，线段AB的取值范围为：1x2，11m0时，得1m2，01m2
37、时，得1m1，综上所述m的取值范围为1m2且m1【点睛】本题考查二次函数与系数的关系、函数的交点以及交点的个数与判别式的关系，关键是对二次函数知识的综合掌握和综合运用【变式4.4】（2021宁波模拟）抛物线yx2+2x+3交x轴于点A，B（A在B的左边），交y轴于点C顶点为M，对称轴MD交x轴于点D，E是线段MD上一动点，以OB，BE为邻边作平行四边形OBEF，EF交抛物线于点P，G（P在G的左边），交y轴于点H（1）求点A，B，C的坐标；（2）如图1，当EGFP时，求DE的长；（3）如图2，当DE1时，求直线FC的解析式，并判断点M是否落在该直线上连接CG，MG，CP，MP，记CGM的面积为
38、S1，CPM的面积为S2，则S1S2=2+3【分析】（1）根据抛物线yx2+2x+3可得C点坐标；令y0得：x2+2x+30，解方程即可得出点A和点B的横坐标，则可得点A和点B的坐标；（2）由平行四边形的性质及抛物线的对称性可得答案；（3）求得点F的坐标，用待定系数法可求直线FC的解析式，根据抛物线的解析式可得点M的坐标，由CF的解析式验证即可判断点M是否落在该直线上作PRFM，GSFM，垂足分别为点R，S，连接PM，CG，FM，由DE1，可得关于x的一元二次方程，解方程即可得出点P和点H的横坐标，从而可得PH、GH，计算出FH、FP及FG的长，则可利用三角形的面积公式进行计算求解【详解】解：
39、（1）抛物线yx2+2x+3交x轴于点A，B（A在B的左边），交y轴于点C，C（0，3），令y0得：x2+2x+30，解得：x11，x23，A（1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）B（3，0），OB3，如图1，在OBEF中，EFOB3MD为抛物线的对称轴，EGPE，EGPF，FPPE1.5，ODHE1，PH0.5令x=-12，则y=-(-12)2+2(-12)+3=74，DE=74（3）EFOB3，ODHE1，FH2，DE1，F（2，1），设直线FC的解析式为ykx+b，有-2k+b=1b=3，解得k=1b=3直线FC的解析式为yx+3，yx2+2x+3（x1）2+4，点M（1，4），
40、点M在该直线上如图2，作PRFM，GSFM，垂足分别为点R，S，连接PM，CG，FM，DE1，1x2+2x+3，解得x1=3+1，x2=-3+1，PH=3-1，GH=3+1，FH2，FP=3-3，FG=3+3，于是，S1S2=12CMGS12CMPR=GSPR=FGFP=3+33-3=2+3故答案为：2+3【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质及二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键【压轴五】锐角三角函数的应用【真题再现】（2021浙江宁波市中考第21题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，B为中点，当时，伞完全张开（1）求的长（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离（参考数据：）【思路点拨】（1）根据中点的性质即可求得；（2）过点B作于点E根据等腰三角形的三线合一的性质求出利用角平分线的性质求出BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案【详析详解】解：（1）B为中点，
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