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    2021年苏教版(新教材)必修第一册《第6章 幂函数、指数函数和对数函数》章末检测卷(含答案)

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    2021年苏教版(新教材)必修第一册《第6章 幂函数、指数函数和对数函数》章末检测卷(含答案)

    1、第第 6 章章 幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数和对数函数 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 符合题目要求) 1.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是( ) A.y2x2x3 B.y 1 3 x C.yx 2 3 D.ylog1 2 x 解析 对于 yx,当 0 时,yx在(0,)上为增函数. 答案 C 2.函数 y log3(2x1)的定义域为( ) A.1,) B.(1,) C. 1 2, D. 1 2,1 解析 要使函数有意义,需满足 log 3(2x1)0, 2x

    2、10, 2x11, 2x10, x1, 函数 y log3(2x1)的定义域为1,). 答案 A 3.若 a20.2,blog43.2,clog20.5,则( ) A.abc B.bac C.cab D.bca 解析 a20.21blog43.20c1,abc. 答案 A 4.函数 f(x)lg1x 1x(1x1)的图象的对称点为( ) A.(1,1) B.(0,0) C.(1,1) D.(1,1) 解析 f(x)lg1x 1xlg 1x 1xf(x), 又1xf(2 3 2)f(2 2 3) B.f log31 4 f(2 2 3)f(2 3 2) C.f(2 3 2)f(2 2 3)f l

    3、og31 4 D.f(2 2 3)f(2 3 2)f log31 4 解析 因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 所以 f log31 4 f(log34)f(log34). 又因为 log3412 2 32 3 20,且函数 f(x)在(0,)单调递减, 所以 f(log34)f(2 2 3)1,则关于 x 的不等式 loga(x1)loga(6 x)的解集为( ) A. 7 2, B. ,7 2 C. 1,7 2 D. 7 2,6 解析 y 1 a x 在 x(0,)时,有 y1, 1 a1,0a0, 6x0, 解得7 2x6, 原不等式的解集为 x|7 2x1,若函数 f(x)log

    4、a(ax2x)在 1 2,4 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.(2,) B.2,) C.(4,) D.4,) 解析 设 uax2x, 由题意知 uax2x 在 1 2,4 上是增函数, 则有 1 2a 1 2, 即 a1, 于是 a1. 又 ylogau 是对数函数,故 uax2x 在 1 2,4 上恒大于零,即 ax 2x0,a1 x在 1 2,4 上恒 成立,则 a2.综上知 a2. 答案 A 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的不得分) 9.若

    5、loga2logb2,则下列结论可能成立的是( ) A.0ab1 B.0bab1 D.0a1b 解析 若 loga2 与 logb2 同号,则由 loga2logb2 得 log2blog2a,ba,当 loga2 与 logb2 同为 正时,1ba,故 C 正确.当 loga2 与 logb2 同为负时,0ba1,故 B 正确,若 loga20logb2, 则 0a1,D 正确. 答案 BCD 10.设函数 yln(x2x1),则下列命题中正确的是( ) A.函数的定义域为 R B.函数是增函数 C.函数的图象关于直线 x1 2对称 D.函数的值域是 ln3 4, 解析 由x2x1 x1 2

    6、 2 3 40恒成立, 故A正确, 函数在 ,1 2 上是减函数, 在 1 2, 上是增函数,故 B 错误. 由 x2x1 x1 2 2 3 4 3 4,可知函数的值域为 ln3 4, ,且函数关于 x 1 2对称. 答案 ACD 11.已知函数 f(x)e xex 2 ,g(x)e xex 2 ,则 f(x),g(x)满足( ) A.f(x)f(x),g(x)g(x) B.f(2)f(3),g(2)g(3) C.f(2x)2f(x)g(x) D.f(x)2g(x)21 解析 f(x)e xex 2 e xex 2 f(x),g(x)e xex 2 g(x),故 A 正确; f(x)为增函数,

    7、则 f(2)g(2),故 B 正确; 2f(x) g(x)2e xex 2 exe x 2 2e 2xe2x 4 f(2x),故 C 正确; f(x)2g(x)2f(x)g(x) f(x)g(x)ex (e x)1,故 D 错误. 答案 ABC 12.给出下列结论,其中正确的是( ) A.函数 y 1 2 x21 的最大值为1 2 B.已知函数 yloga(2ax)(a0 且 a1)在(0,1)上是减函数,则实数 a 的取值范围是(1,2) C.在同一平面直角坐标系中,函数 y2x与 ylog2x 的图象关于直线 yx 对称 D.函数 yx2 3在(,0)上是增函数 解析 A 中,x211,y

    8、 1 2 x21 的最小值为1 2.故 A 错误; 由 yloga(2ax)在(0,1)上是减函数,则 a1, 2a0,10,在(,0)上是增函数,所以三个性质中有两个正确,符合条件;同理可判断 中函数不符合条件. 答案 14.设函数 f(x) 2 1x,x1, 1log2x,x1,则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_. 解析 当 x1 时, 由 21 x2, 解得 x0, 所以 0 x1; 当 x1 时, 由 1log 2x2, 解得 x1 2, 所以 x1.综上可知 x0. 答案 0,) 15.已知函数 f(x)lg(2xb)(b 为常数),若 x1,)时,f(x)0 恒成立,则 b

    9、 的取值范围是 _. 解析 因为要使 f(x)lg(2xb)在 x1,)时,恒有 f(x)0,所以有 2xb1 在 x1, )时恒成立,即 2xb1 在 x1,)上恒成立.又因为指数函数 g(x)2x在定义域上是 增函数.所以只需 2b1 成立即可,解得 b1. 答案 (,1 16.已知函数 f(x) x2x,x1, log1 3x,x1, 则 f(f(3)_;若对任意的 xR,都有 f(x)|k1| 成立,则实数 k 的取值范围为_(本题第一空 2 分,第二空 3 分). 解析 f(f(3)f(log1 33)f(1)(1) 2(1)2.对任意 xR,都有 f(x)|k1|成立, 即 f(x

    10、)max|k1|. 因为 f(x)的草图如图所示, 观察 f(x) x2x,x1, log1 3x,x1 的图象可知,当 x1 2时,函数 f(x)max 1 4, 所以|k1|1 4,解得 k 3 4或 k 5 4. 答案 2 ,3 4 5 4, 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x) log3(4x1) 162x的定义域为 A. (1)求集合 A; (2)若函数 g(x)(log2x)22log2x1,且 xA,求函数 g(x)的最大值、最小值和对应的 x 值. 解 (1)要使 f(x)有意义

    11、,需满足 4x11, 162x0,所以 x1 2, x4, 所以1 2x4,所以集合 A x 1 2x4 . (2)设 tlog2x,因为 x 1 2,4 ,所以 t1,2, 所以 yt22t1,t1,2. 因为 yt22t1(t1)22 的对称轴为 t11,2, 所以当 t1 时,y 有最小值2. 所以当 t1 时,y 有最大值 2. 所以当 x2 时,g(x)的最小值为2. 当 x1 2时,g(x)的最大值为 2. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数,且 g(x)的图象过点 2 2,3 2 . (1)求 f(x)与 g(x)的解析式;

    12、 (2)比较 f(0.3),g(0.2)与 g(1.5)的大小. 解 (1)因为函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数,g(x)logax,由 g(x)过点 2 2,3 2 , 所以 loga2 23 2,所以 a 3 22 2,解得 a2. 所以 f(x)2x,g(x)log2x. (2)因为 f(0.3)20.3201,g(0.2)log20.20, 又 g(1.5)log21.5log210, 所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2). 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)b ax(a,b 为常数,a0,且 a1)的图象经过点 A(1,6), B(3,2

    13、4). (1)试确定函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的不等式 1 a x 1 b x m0 在区间(,1上恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)把(1,6),(3,24)代入 f(x)b ax,得 6ab, 24b a3,结合 a0,且 a1,解得 a2, b3,f(x) 32x. (2)要使 1 2 x 1 3 x m 在区间(,1上恒成立,只需保证函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(, 1上的最小值不小于 m 即可. 函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(,1上单调递减, 当 x1 时,y 1 2 x 1 3 x 取得最小值5 6, 只需 m5 6即可. 即实数

    14、 m 的取值范围为 ,5 6 . 20.(本小题满分 12 分)函数 f(x)loga(1x)loga(x3)(0a0, x30, 解得3x1,yf(x)的定义域为(3,1). (2)函数可化为 f(x)loga(1x)(x3) log(x22x3)loga(x1)24. 3x1,0(x1)244. 0a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; (3)当 x(0,1时,t f(x)2x2 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, f(0)2a4 2a 0,解得 a2. f(x)2 x1 2x1,经

    15、检验,f(x)为奇函数. (2)由(1)得 f(x)22 x2 22x2 2x1 2x11 2 2x1. 又2x0,2x11,0 2 2x12, 11 2 2x11,函数 f(x)的值域为(1,1). (3)由(1)可得 f(x)2 x1 2x1,当 00, 当 0 x1 时,t f(x)2x2 恒成立等价于 t 2x2 f(x) (2x2)(2x1) 2x1 对 x(0,1恒成 立. 令 m2x1,0m1,则 tm 2 m1 对 m(0,1恒成立. 易知 ym 2 m1 在 m(0,1上单调递增, 当 m1 时 y 有最大值 0,t0, 故 t 的取值范围是0,). 22.(本小题满分 12

    16、 分)已知函数 f(x)lg(1x)lg(1x). (1)求函数 f(x)的定义域,并证明 f(x)是定义域上的奇函数; (2)用定义证明 f(x)在定义域上是增函数; (3)求不等式 f(2x5)f(2x)0, 1x0,得 x1, 即1x1, 函数 f(x)的定义域为(1,1). f(x)lg(1x)lg(1x)f(x), f(x)是定义域上的奇函数. (2)证明 设1x1x21, 则 f(x1)f(x2)lg(1x1)lg(1x1)lg(1x2)lg(1x2)lg(1x 1)(1x2) (1x2)(1x1). 1x1x21,01x11x2, 01x21x1, 于是 01x 1 1x21,0 1x2 1x11, 则 0(1x 1)(1x2) (1x2)(1x1)1,lg (1x1)(1x2) (1x2)(1x1)0. f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2),即函数 f(x) 是(1,1)上的增函数. (3)解 f(x)在(1,1)上是增函数且为奇函数, 不等式 f(2x5)f(2x)0 可转化为 f(2x5)f(2x)f(x2), 12x51, 1x21, 2x5x2, 解得 2x3.不等式的解集为x|2x3.


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