1、第第 6 章章 幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数和对数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 符合题目要求) 1.下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是( ) A.y2x2x3 B.y 1 3 x C.yx 2 3 D.ylog1 2 x 解析 对于 yx，当 0 时，yx在(0，)上为增函数. 答案 C 2.函数 y log3（2x1）的定义域为( ) A.1，) B.(1，) C. 1 2， D. 1 2，1 解析 要使函数有意义，需满足 log 3（2x1）0， 2x
2、10， 2x11， 2x10， x1， 函数 y log3（2x1）的定义域为1，). 答案 A 3.若 a20.2，blog43.2，clog20.5，则( ) A.abc B.bac C.cab D.bca 解析 a20.21blog43.20c1，abc. 答案 A 4.函数 f(x)lg1x 1x(1x1)的图象的对称点为( ) A.(1，1) B.(0，0) C.(1，1) D.(1，1) 解析 f(x)lg1x 1xlg 1x 1xf(x)， 又1xf(2 3 2)f(2 2 3) B.f log31 4 f(2 2 3)f(2 3 2) C.f(2 3 2)f(2 2 3)f l
3、og31 4 D.f(2 2 3)f(2 3 2)f log31 4 解析 因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数， 所以 f log31 4 f(log34)f(log34). 又因为 log3412 2 32 3 20，且函数 f(x)在(0，)单调递减， 所以 f(log34)f(2 2 3)1，则关于 x 的不等式 loga(x1)loga(6 x)的解集为( ) A. 7 2， B. ，7 2 C. 1，7 2 D. 7 2，6 解析 y 1 a x 在 x(0，)时，有 y1， 1 a1，0a0， 6x0， 解得7 2x6， 原不等式的解集为 x|7 2x1，若函数 f(x)log
4、a(ax2x)在 1 2，4 上是增函数，则实数 a 的取值范围是( ) A.(2，) B.2，) C.(4，) D.4，) 解析 设 uax2x， 由题意知 uax2x 在 1 2，4 上是增函数， 则有 1 2a 1 2， 即 a1， 于是 a1. 又 ylogau 是对数函数，故 uax2x 在 1 2，4 上恒大于零，即 ax 2x0，a1 x在 1 2，4 上恒 成立，则 a2.综上知 a2. 答案 A 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的不得分) 9.若
5、loga2logb2，则下列结论可能成立的是( ) A.0ab1 B.0bab1 D.0a1b 解析 若 loga2 与 logb2 同号，则由 loga2logb2 得 log2blog2a，ba，当 loga2 与 logb2 同为 正时，1ba，故 C 正确.当 loga2 与 logb2 同为负时，0ba1，故 B 正确，若 loga20logb2， 则 0a1，D 正确. 答案 BCD 10.设函数 yln(x2x1)，则下列命题中正确的是( ) A.函数的定义域为 R B.函数是增函数 C.函数的图象关于直线 x1 2对称 D.函数的值域是 ln3 4， 解析 由x2x1 x1 2
6、 2 3 40恒成立， 故A正确， 函数在 ，1 2 上是减函数， 在 1 2， 上是增函数，故 B 错误. 由 x2x1 x1 2 2 3 4 3 4，可知函数的值域为 ln3 4， ，且函数关于 x 1 2对称. 答案 ACD 11.已知函数 f(x)e xex 2 ，g(x)e xex 2 ，则 f(x)，g(x)满足( ) A.f(x)f(x)，g(x)g(x) B.f(2)f(3)，g(2)g(3) C.f(2x)2f(x)g(x) D.f(x)2g(x)21 解析 f(x)e xex 2 e xex 2 f(x)，g(x)e xex 2 g(x)，故 A 正确； f(x)为增函数，
7、则 f(2)g(2)，故 B 正确； 2f(x) g(x)2e xex 2 exe x 2 2e 2xe2x 4 f(2x)，故 C 正确； f(x)2g(x)2f(x)g(x) f(x)g(x)ex (e x)1，故 D 错误. 答案 ABC 12.给出下列结论，其中正确的是( ) A.函数 y 1 2 x21 的最大值为1 2 B.已知函数 yloga(2ax)(a0 且 a1)在(0，1)上是减函数，则实数 a 的取值范围是(1，2) C.在同一平面直角坐标系中，函数 y2x与 ylog2x 的图象关于直线 yx 对称 D.函数 yx2 3在(，0)上是增函数 解析 A 中，x211，y
8、 1 2 x21 的最小值为1 2.故 A 错误； 由 yloga(2ax)在(0，1)上是减函数，则 a1， 2a0，10，在(，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断 中函数不符合条件. 答案 14.设函数 f(x) 2 1x，x1， 1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_. 解析 当 x1 时， 由 21 x2， 解得 x0， 所以 0 x1； 当 x1 时， 由 1log 2x2， 解得 x1 2， 所以 x1.综上可知 x0. 答案 0，) 15.已知函数 f(x)lg(2xb)(b 为常数)，若 x1，)时，f(x)0 恒成立，则 b
9、 的取值范围是 _. 解析 因为要使 f(x)lg(2xb)在 x1，)时，恒有 f(x)0，所以有 2xb1 在 x1， )时恒成立，即 2xb1 在 x1，)上恒成立.又因为指数函数 g(x)2x在定义域上是 增函数.所以只需 2b1 成立即可，解得 b1. 答案 (，1 16.已知函数 f(x) x2x，x1， log1 3x，x1， 则 f(f(3)_；若对任意的 xR，都有 f(x)|k1| 成立，则实数 k 的取值范围为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 解析 f(f(3)f(log1 33)f(1)(1) 2(1)2.对任意 xR，都有 f(x)|k1|成立， 即 f(x
10、)max|k1|. 因为 f(x)的草图如图所示， 观察 f(x) x2x，x1， log1 3x，x1 的图象可知，当 x1 2时，函数 f(x)max 1 4， 所以|k1|1 4，解得 k 3 4或 k 5 4. 答案 2 ，3 4 5 4， 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x) log3（4x1） 162x的定义域为 A. (1)求集合 A； (2)若函数 g(x)(log2x)22log2x1，且 xA，求函数 g(x)的最大值、最小值和对应的 x 值. 解 (1)要使 f(x)有意义
11、，需满足 4x11， 162x0，所以 x1 2， x4， 所以1 2x4，所以集合 A x 1 2x4 . (2)设 tlog2x，因为 x 1 2，4 ，所以 t1，2， 所以 yt22t1，t1，2. 因为 yt22t1(t1)22 的对称轴为 t11，2， 所以当 t1 时，y 有最小值2. 所以当 t1 时，y 有最大值 2. 所以当 x2 时，g(x)的最小值为2. 当 x1 2时，g(x)的最大值为 2. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数，且 g(x)的图象过点 2 2，3 2 . (1)求 f(x)与 g(x)的解析式；
12、 (2)比较 f(0.3)，g(0.2)与 g(1.5)的大小. 解 (1)因为函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数，g(x)logax，由 g(x)过点 2 2，3 2 ， 所以 loga2 23 2，所以 a 3 22 2，解得 a2. 所以 f(x)2x，g(x)log2x. (2)因为 f(0.3)20.3201，g(0.2)log20.20， 又 g(1.5)log21.5log210， 所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2). 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)b ax(a，b 为常数，a0，且 a1)的图象经过点 A(1，6)， B(3，2
13、4). (1)试确定函数 f(x)的解析式； (2)若关于 x 的不等式 1 a x 1 b x m0 在区间(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围. 解 (1)把(1，6)，(3，24)代入 f(x)b ax，得 6ab， 24b a3，结合 a0，且 a1，解得 a2， b3，f(x) 32x. (2)要使 1 2 x 1 3 x m 在区间(，1上恒成立，只需保证函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(， 1上的最小值不小于 m 即可. 函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(，1上单调递减， 当 x1 时，y 1 2 x 1 3 x 取得最小值5 6， 只需 m5 6即可. 即实数
14、 m 的取值范围为 ，5 6 . 20.(本小题满分 12 分)函数 f(x)loga(1x)loga(x3)(0a0， x30， 解得3x1，yf(x)的定义域为(3，1). (2)函数可化为 f(x)loga(1x)(x3) log(x22x3)loga(x1)24. 3x1，0(x1)244. 0a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的值域； (3)当 x(0，1时，t f(x)2x2 恒成立，求实数 t 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)2a4 2a 0，解得 a2. f(x)2 x1 2x1，经
15、检验，f(x)为奇函数. (2)由(1)得 f(x)22 x2 22x2 2x1 2x11 2 2x1. 又2x0，2x11，0 2 2x12， 11 2 2x11，函数 f(x)的值域为(1，1). (3)由(1)可得 f(x)2 x1 2x1，当 00， 当 0 x1 时，t f(x)2x2 恒成立等价于 t 2x2 f（x） （2x2）（2x1） 2x1 对 x(0，1恒成 立. 令 m2x1，0m1，则 tm 2 m1 对 m(0，1恒成立. 易知 ym 2 m1 在 m(0，1上单调递增， 当 m1 时 y 有最大值 0，t0， 故 t 的取值范围是0，). 22.(本小题满分 12
16、 分)已知函数 f(x)lg(1x)lg(1x). (1)求函数 f(x)的定义域，并证明 f(x)是定义域上的奇函数； (2)用定义证明 f(x)在定义域上是增函数； (3)求不等式 f(2x5)f(2x)0， 1x0，得 x1， 即1x1， 函数 f(x)的定义域为(1，1). f(x)lg(1x)lg(1x)f(x)， f(x)是定义域上的奇函数. (2)证明 设1x1x21， 则 f(x1)f(x2)lg(1x1)lg(1x1)lg(1x2)lg(1x2)lg（1x 1）（1x2） （1x2）（1x1）. 1x1x21，01x11x2， 01x21x1， 于是 01x 1 1x21，0 1x2 1x11， 则 0（1x 1）（1x2） （1x2）（1x1）1，lg （1x1）（1x2） （1x2）（1x1）0. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，即函数 f(x) 是(1，1)上的增函数. (3)解 f(x)在(1，1)上是增函数且为奇函数， 不等式 f(2x5)f(2x)0 可转化为 f(2x5)f(2x)f(x2)， 12x51， 1x21， 2x5x2， 解得 2x3.不等式的解集为x|2x3.
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