1、第七章第七章 三角函数三角函数 （时间：120 分钟 满分：150 分） 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知 cos 1 2，（370 ，520 ） ，则 等于（ ） A.390 B.420 C.450 D.480 答案 B 2.sin 19 6 的值等于（ ） A.1 2 B.1 2 C. 3 2 D. 3 2 解析 sin 19 6 sin19 6 sin7 6 sin1 6 1 2. 答案 A 3.已知 是第二象限角，则 sin2sin4可化简为（ ） A.sin cos B.sin cos C.
2、2sin cos D.2sin cos 解析 sin2sin4 sin2（1sin2） sin2cos2|sin cos |，由于 为第二象限角， 所以|sin cos |sin cos ，故选 B. 答案 B 4.已知点 P（tan ，cos ）在第三象限，则角 的终边所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 P（tan ，cos ）在第三象限， tan 0， cos 0， 由 tan 0，得 在第二、四象限， 由 cos 0，得 在第二、三象限，或终边在 x 轴负半轴上， 的终边在第二象限. 答案 B 5.若函数 ysin（x） （0）的部分图像如图
3、所示，则 等于 （ ） A.5 B.4 C.3 D.2 解析 设函数的最小正周期为 T， 由函数图像可知T 2 x0 4 x0 4， 所以 T 2. 又因为 T2 ，可解得 4. 答案 B 6.已知 f（x）sin x 2 ，g（x）cos x 2 ，则 f（x）的图像（ ） A.与 g（x）的图像相同 B.与 g（x）的图像关于 y 轴对称 C.向左平移 2个单位，得 g（x）的图像 D.向右平移 2个单位，得 g（x）的图像 解析 因为 f（x）sin x 2 cos x，故将其图像向右平移 2个单位，得 yg（x）cos x 2 的图像. 答案 D 7.函数 f（x）2sin|x 2|的
4、部分图像是（ ） 解析 注意到函数 f（x）的图像关于直线 x 2对称，故只能选 C. 答案 C 8.将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平行移动 10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是（ ） A.ysin 2x 10 B.ysin 2x 5 C.ysin 1 2x 10 D.ysin 1 2x 20 答案 C 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9函数 ytanx 2是( ) A周期为 2
5、 B周期为 2 C奇函数 D偶函数 答案 AC 10.给出的下列命题中正确的是（ ） A.函数 ycos 3 2x 2 是奇函数 B.若 ， 是第一象限角，且 ，则 tan tan C.y2sin3 2x 在区间 3， 2上的最小值是2，最大值是 2 D.x 8是函数 ysin 2x5 4 的一条对称轴 解析 A.函数 ycos 3 2x 2 sin3 2x 是奇函数，正确； B.若 ， 是第一象限角，且 1，故 B 不可能； 当 x2 时，y 2 sin 22，故 D 不可能. 答案 ABD 12.动点 A（x，y）在圆 x2y21 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周，已知
6、时间 t0 时， 点 A 的坐标是 1 2， 3 2 ， 则当 0t12 时， 动点 A 的纵坐标 y 关于 t （单位： 秒） 的函数的单调递增区间是（ ） A.0，1 B.1，7 C.7，12 D.1，12 解析 T12，2 12 6， 从而设 y 关于 t 的函数为 ysin 6t . 又t0 时，y 3 2 ，可取 3， ysin 6t 3 ， 当 2k 2 6t 32k 2（kZ） ， 即 12k5t12k1（kZ）时，函数递增. 0t12，函数的单调递增区间为0，1和7，12. 答案 AC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13.已
7、知 sin x 2 2 ，且 x0，2，则 x 的取值集合为 . 解析 sin 4 2 2 ，sin 4 sin 4 2 2 ， sin 2 4 sin 4 2 2 ， 又 x0，2，则 x5 4 或7 4 . 答案 5 4 ，7 4 14.已知一扇形的弧所对的圆心角为 54 ，半径 r20 cm，则扇形的周长为 cm. 解析 圆心角54 3 10， l| r6. 周长为（640） cm. 答案 640 15.已知函数 ysinx 3 在区间0，t上至少取得 2 次最大值，则正整数 t 的最小值是 _. 解析 T6，则5T 4 t， t15 2 ，tmin8. 答案 8 16.已知函数 f（x
8、）2sin（x） （0 2）的图像如图所示，则 f（x） ，f 7 12 . （本题第一空 3 分，第二空 2 分） 解析 由图可知3 2T 5 4 4， 即 T2 3 ，2 T 3.y2sin（3x） ， 将 4，0 代入上式得 sin 3 4 0. 3 4 k，kZ，则 k3 4 ，kZ. 又0， 4. f（x）2sin 3x 4 f 7 12 2sin 7 4 4 0. 答案 2sin 3x 4 0 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分 10 分） （1）已知角 的终边经过点 P（4，3） ，求 2sin cos 的值；
9、 （2）已知角 的终边经过点 P（4a，3a） （a0） ，求 2sin cos 的值； （3） 已知角 终边上一点 P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离之比为 34， 求 2sin cos 的值. 解 （1）r x2y25，sin y r 3 5，cos x r 4 5， 2sin cos 6 5 4 5 2 5. （2）r x2y25|a|，当 a0 时，r5a， sin 3a 5a 3 5，cos 4 5， 2sin cos 2 5； 当 a0，02 3 的最小正周期为 . （1）求当 f（x）为偶函数时 的值； （2）若 f（x）的图像过点 6， 3 2 ，求 f（x）的单调递增区间
10、. 解 由 f（x）的最小正周期为 ，得 T2 ，2. f（x）sin（2x）. （1）当 f（x）为偶函数时，对任意 xR，有 f（x）f（x） ，即函数图像关于 y 轴对称，又 02 3 ， 2. （2）f（x）的图像过点 6， 3 2 时， sin 2 6 3 2 ， 即 sin 3 3 2 . 又 02 3 ， 3 3. 3 2 3 ， 3， f（x）sin 2x 3 . 令 2k 22x 32k 2，kZ， 得 k5 12xk 12，kZ. f（x）的递增区间为 k5 12，k 12 ，kZ. 19.（本小题满分 12 分）已知 f（） sin2（） cos（2） tan（） sin
11、（） tan（3） . （1）化简 f（） ； （2）若 f（）1 8，且 4 2，求 cos sin 的值； （3）若 31 3 ，求 f（）的值. 解 （1）f（） sin2 cos tan （sin ）（tan ）sin cos . （2）由 f（）sin cos 1 8可知 （cos sin ）2cos22sin cos sin2 12sin cos 121 8 3 4. 又 4 2，cos sin ， 即 cos sin 0. cos sin 3 2 . （3）31 3 625 3 ， f 31 3 cos 31 3 sin 31 3 cos 625 3 sin 625 3 cos
12、5 3 sin 5 3 cos 2 3 sin 2 3 cos 3 sin 3 1 2 3 2 3 4 . 20.（本小题满分 12 分）已知 f（x）sin 2x 6 3 2，xR. （1）求函数 f（x）的最小正周期和单调增区间. （2）函数 f（x）的图像可以由函数 ysin 2x（xR）的图像经过怎样的变换得到？ 解 （1）T2 2 ，由 2k 22x 62k 2，kZ 知 k 3xk 6（kZ）. 所以所求的单调递增区间为 k 3，k 6 （kZ）. ysin 2（x 12） 将图像上各 点向上平移3 2个单位 ysin 2x 6 3 2. 21.（本小题满分 12 分）函数 f（x
13、）3sin（2x 6）的部分图像如图所示. （1）写出 f（x）的最小正周期及图中 x0，y0的值； （2）求 f（x）在区间 2， 12上的最大值和最小值. 解 （1）f（x）的最小正周期为 .x07 6 ，y03. （2）因为 x 2， 12，所以 2x 6 5 6 ，0. 于是，当 2x 60，即 x 12时，f（x）取得最大值 0； 当 2x 6 2，即 x 3时，f（x）取得最小值3. 22.（本小题满分 12 分）水轮的半径为 4 m，水轮的圆心距离水面 2 m，水轮做匀速转动，每 3 min 转一圈.水轮上的 P 点的起始位置在离开水面且距水面距离最大点处. （1）试确定在时刻
14、t（min）时，P 点距水面的高度 h 的表达式； （2）在水轮转动的一周内，有多长时间 P 点在水下？ 解 （1）不妨设水轮沿逆时针方向旋转，如图建立平面直角坐标系，以过 O 点平行于水面的 一条水平线为 x 轴，以过圆心垂直于 x 轴的直线为 y 轴. 设 为以 Ox 为始边，OP 为终边的角. 因为 OP 在 t min 内所转过的角为2 3 t， 则 2 2 3t. 故 P 点纵坐标为 y4sin 2 2 3t ， 则 P 点距水面的高度 h4sin 2 2 3 t 24cos 2 3 t2（t0）. （2）由 4cos2 3 t20，得 cos 2 3t 1 2，所以 2 32k 2 3t 4 32k（kZ） ，即 3k1t3k 2，取k，则 1t2.所以在水轮转动的一周内，有 1 的时间 P 点在水下.
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