1、函数的性质第3讲知识结构图知识梳理1单调性定义：如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有（），那么就说在区间上是增函数（减函数）；单调性的运算：增增增；减减减；乘以一个正的常数，单调性不变；乘以一个负的常数，单调性相反；2奇偶性定义：如果对于函数定义域内的任意都有，则称为奇函数；如果对于函数定义域内的任意都有，则称为偶函数简单性质：图象的对称性质：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；单调性与奇偶性综合：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相
2、反3对称性：函数的对称性：函数满足函数关于直线成轴对称；函数满足函数关于点成中心对称两个函数的对称：函数关于直线的对称函数为；函数关于点的对称函数为4周期性定义：若在整个定义域内有，则称为函数的一个周期周期性的常见表达：若或成立（），则为函数的一个周期；设函数的图象有对称轴，则是的一个周期本讲主要复习函数的三大性质：奇偶性、单调性、对称性与周期性，以及这些性质的简单综合，函数图象的九种基本变换的简单知识我们也放在这一讲，重点是区分：函数解析式满足一个函数方程时表示的是此函数的对称性或周期性，而一个函数经过平移或对称变换会得到一个新的函数关于函数图象的翻折变换我们会在第5讲重点复习，复合函数的性
3、质问题我们会在第4讲重点复习经典精讲考点：函数的单调性【例1】 （2009朝阳一模文2）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）ABCD 已知函数，若，则（ ） A， B， C， D，（2008-2009年北京二中高三期中测试5）已知在区间上函数是减函数，且当时，若，则（ ）A B C D【解析】 B B C考点：函数的奇偶性【例2】 判断下列函数的奇偶性：， 若在区间上是奇函数，则_【解析】 为偶函数；为奇函数；即为奇函数又为偶函数 尖子班学案1【拓1】 已知是上奇函数，则函数的图象必经过点 【解析】目标班学案1【拓2】 （2007江苏）设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）A B C D【解析
4、】 A【备选】 （北京四中2010-2011学年度第一学期高三期中测试理5）若偶函数满足当时，则（ ）A BC D【解析】 C【备选】 已知，且，则_【解析】尖子班学案2【铺1】 （2009辽宁文12）已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是（ ）A B C D【解析】 A考点：函数单调性与奇偶性综合【例3】 （2009山东日照）若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（ ）A BC D已知为定义在上的奇函数，并且当时，若，则实数的取值范围为_ 若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A BC D【解析】 A D目标班学案2【拓2】 （2008东城二模文8）已知函数，则
5、是的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件【解析】 C周期表达的常见表达：如果括号里面的差为常数，则对应的函数为周期函数特殊情形：如果，则为的一个周期；(推导：令，则，故，故为的一个周期)如果，则为的一个周期；(推导：)如果，则为的一个周期；(推导：)如果，则为的一个周期(推导：，由知，是的一个周期)横方向的双对称性具有周期性；如果都为的对称轴，则为的一个周期；（推导：为的对称轴为的一个周期）如果都为的对称中心，则为的一个周期；(推导：都为的对称中心，为的一个周期)如果是的对称轴，为的对称中心，则为的一个周期；(推导：，令，则，由知，为的一个周期)尖子班学案
6、3【铺1】 （2008崇文一模文14改编）定义在上的函数满足，且，则_【解析】考点：函数的周期性【例4】 （2009浙江温州）函数对于满足条件，若，则 （2010贵州清华实验学校高三月考）设是定义在上的偶函数，且，又当时，则 （2009东城一模文14）已知是奇函数，且对定义域内任意自变量满足，当时，则当时，_；当，时，_【解析】 ，.目标班学案3【拓2】 （2009山东理10）定义在上的函数满足，则的值为（ ）A B C D【解析】 C【备选】 （2009江西文5）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A B C D【解析】 C考点：函数的性质综合【例5】 （2009丰台二
7、模文8）设函数是以2为周期的奇函数，已知，则在上是（ ）A增函数且B减函数且C增函数且D减函数且（2009崇文一模文6）定义在上的函数是偶函数，且若在区间上是增函数，则（ ）A在区间上是增函数，在区间上是增函数B在区间上是增函数，在区间上是减函数C在区间上是减函数，在区间上是增函数D在区间上是减函数，在区间上是减函数【解析】 C B【备选】 （2009山东文12）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）A BC D【解析】 D图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式：函数经过每种变换后对应的解析式如下表：，一个函数经过图象变换变成一个新的函数，变化过程有两个基本原则：所有
8、的变换都只针对或本体；的变化只影响横方向，的变换只影响纵方向可以结合一些小例子介绍上面的变换及两个基本原则，如：的图象怎样变换得到(先平移后翻折）与(先翻折后平移)的图象？区分函数经过平移得到新的函数，与函数满足一个函数方程表示此函数某种性质的区别。如：若函数满足，表示是函数的一个周期；若函数满足，表示函数有对称轴这里都只涉及一个函数，而函数图象变换涉及到的是有联系的两个函数！图象的翻折问题我们会在第5讲函数图象与函数零点问题中集中复习【例6】 已知函数是定义域为的偶函数，且当时，则当时，_ 设是上的奇函数，若在上是增函数，且，则满足的实数的范围是_（2009江苏苏北五市）已知函数为奇函数，函
9、数为偶函数，且，则 【解析】 【例7】 （2010宣武二模文14改编）有下列命题：函数与的图象关于轴对称；函数与的图象关于轴对称；若函数，则，都有；若函数在上单调递增，则；若函数，则函数的最小值为若函数为偶函数，则函数有对称轴其中真命题的序号是 【解析】 1判断下列函数的奇偶性：；【解析】 注意这两个函数都是非奇非偶函数，因为这两个函数的定义域都不关于原点对称2若的对称轴为，则的对称轴为_，的对称轴为_【解析】 的对称轴为；的对称轴为真题再现 （2010北京文6）给定函数，其中在区间上单调递减的函数的序号是（ ）ABCD【解析】 B（2008北京文14）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其
10、中能使恒成立的条件序号是 【解析】 实战演练 【演练1】（2010江苏5）设函数是偶函数，则实数的值为_【解析】【演练2】（2009全国卷文3）函数的图象（ ）A关于原点对称 B关于直线对称C关于轴对称 D关于直线对称【解析】 A【演练3】若是上周期为的奇函数，且满足，则 （ ）ABCD【解析】 A【演练4】（2007江苏）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，则有（ ）A BC D【解析】 B【演练5】（2009陕西文）定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有则（ ）A BC D【解析】 A【演练6】在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）A在区间上是增函数，在区间上是增函数B在区间上是增函数，在区间上是减函数C在区间上是减函数，在区间上是增函数D在区间上是减函数，在区间上是减函数【解析】 B大千世界（2009年复旦大学自主招生测试）设，函数在上单调递减，则（ ）A在上单调递减，在上单调递增B在上单调递增，在上单调递减C在上单调递增，在上单调递增D在上单调递减，在上单调递减【解析】 A，故为奇函数，故在上单调递减，当时，；当时，又在与上的单调性相同，在定义域上的单调性不变，故函数在与上的单调性相反，故选A也可直接用特殊值法，由在上单调减知从而，故选A31
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