1、2020-2021 学年江苏省镇江市镇江新区九年级 （上） 段考数学试卷 （学年江苏省镇江市镇江新区九年级 （上） 段考数学试卷 （10 月份）月份） 一、填空题（每题一、填空题（每题 2 分，共分，共 24 分）分） 1方程 3x（x1）2（x+2）化成一般形式为 2关于 x 的方程（m+1）+3x10 是一元二次方程，则 m 3已知一元二次方程 x2mx+30 的一个根为 1，则 m 的值为 4一元二次方程 x26x50 配方可变形为 5如图，在O 中，AOB50，则COD 6若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 7已知点 A 在半径为 r 的O
2、内，点 A 与点 O 的距离为 6，则 r 的取值范围是 8如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（0，1）和（，0） ，则OAB 外接圆的圆心坐标 是 9已知 a、b 是方程 2x2+4x10 的根，则 a（a+3）+b 的值为 10已知关于 x 的方程 a（x+m）2+b0（a，b，m 均为常数，且 a0）的两个解是 x13 和 x27，则方 程 a（4x+m1）2+b0 的解是 11O 的直径 AE10cm，弦 BC8cm，且 BCAE 于 D，则ABC 的面积为 12实数 a，n，m，b 满足 anmb，这四个数在数轴上对应的点分别为 A，N，M，B（如图） ，若 AM2
3、BMAB，BN2ANAB，则称 m 为 a，b 的“大黄金数” ，n 为 a，b 的“小黄金数” ，当 ba2 时，a， b 的大黄金数与小黄金数之差 mn 二、选择题（每题二、选择题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x26x+2 Bx20 Cx2y+10 D+x2 14方程 3x2+4x20 的根的情况是（ ） A两个不相等的实数根 B两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 15O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x26x+80 的两根，则点 A 与O 的 位置关系是（ ） A点 A 在O 内部 B点 A
4、 在O 上 C点 A 在O 外部 D点 A 不在O 上 16下列命题中错误的命题为（ ） A圆既是轴对称图形，也是中心对称图形 B在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧 C垂直于弦的直径平分这条弦 D三角形的外心到三角形三边距离相等 17有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设 每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，那么 x 满足的方程是（ ） Ax（1+x）121 B1+x（1+x）121 Cx+x（1+x）121 D1+x+x（1+x）121 18如图，在平面直角坐标系中，C（0，4） ，A（3，0） ，A 半径为 2，P 为A 上任意一点
5、，E 是 PC 的 中点，则 OE 的最小值是（ ） A1 B C2 D 三、解答题（总共三、解答题（总共 78 分）分） 19 （15 分）解方程： （1）x22x990 （2）3x26x+10 （3） （x2）2（2x+3）2 20 （5 分）我国某地 2018 年外贸收入为 2.5 亿元，2020 年外贸收入降到了 1.6 亿元，若平均每年的下降率 都相同，求每年的下降率是多少？ 21 （5 分）.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆如图，将ABC 放在每 个小正方形边长为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上 （1）用无刻度直尺画出ABC 的最小覆盖圆的圆
6、心（保留作图痕迹） （2）该最小覆盖圆的半径是 22 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m1）x+3m120 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程只有一个根是正数，求 m 的取值范围 23 （7 分）如图，已知 AB 是O 的直径，弦 ACOD （1）求证： （2）若的度数为 58，求AOD 的度数 24 （7 分）某商店将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可售出 200 件，现在采取提高商品售价减少 销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高 1 元，其每天的销售量就减少 20 件 （1）当售价定为 12 元时，每天可售出 件； （2）要使每天利润
7、达到 640 元，则每件售价应定为多少元？ 25 （7 分） 如图， 学校准备利用学校仓库旁一块空地， 开辟一个矩形花圃， 打算一面利用长为 15 米的墙面， 三面利用长为 31 米的旧围栏，且矩形花圃正面留有一米宽的门 （1）若矩形的面积为 120 米 2 求矩形花圃的宽 AB （2）当矩形花圃的宽 AB 为多少米时，所开辟的矩形花圃面积最大？（AB 为正整数） 26 （8 分）图 1 是某奢侈品牌的香水瓶从正面看上去（如图 2） ，它可以近似看作O 割去两个弓形后余 下的部分与矩形 ABCD 组合而成的图形（点 B、C 在O 上） ，其中 BCEF；从侧面看，它是扁平的， 厚度为 1.3c
8、m （1）已知O 的半径为 2.6cm，BC2cm，AB3.02cm，EF3.12cm，求香水瓶的高度 h （2）用一张长 22cm、宽 19cm 的矩形硬纸板按照如图 3 进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为 SMNPQ9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计） 请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入 这个盒子里 27 （8 分）在平面直角坐标系中，过原点 O 及点 A（0，2） 、C（6，0）作矩形 OABC，AOC 的平分线交 AB 于点 D 点 P 从点 O 出发， 以每秒个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动； 同时点 Q 从点 O 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿
9、 x 轴正方向移动设移动时间为 t 秒 （1）当点 P 移动到点 D 时，此时 t 的值是 ； （2）当 t 为何值时，OPQ 的面积是 9 （3）当 t 为何值时，PQB 为直角三角形 （直接写出结果） 28 （10 分）在ABC 中，a、b、c 分别为A，B，C 所对的边，我们称关于 x 的一元二次方程 ax2+bx c0 为“ABC 的方程” 根据规定解答下列问题： （1） “ABC 的方程”ax2+bxc0 的根的情况是 （填序号） ； 有两个相等的实数根； 有两个不相等的实数根； 没有实数根； （2）如图，AD 为O 的直径，BC 为弦，BCAD 于 E，为 60 度，求“ABC 的
10、方程”ax2+bxc 0 的解； （3）若是“ABC 的方程”ax2+bxc0 的一个根，其中 a、b、c 均为整数，且 ac4b0， 则方程的另一个根为 2020-2021 学年江苏省镇江市镇江新区九年级 （上） 段考数学试卷 （学年江苏省镇江市镇江新区九年级 （上） 段考数学试卷 （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每题一、填空题（每题 2 分，共分，共 24 分）分） 1方程 3x（x1）2（x+2）化成一般形式为 3x25x40 【分析】根据单项式乘以多项式的运算，移项、合并同类项，整理即可得解 【解答】解：3x（x1）2（x+2） ， 3x23x2
11、x+4， 3x23x2x40， 3x25x40 故答案为：3x25x40 2关于 x 的方程（m+1）+3x10 是一元二次方程，则 m 1 【分析】根据一元二次方程的定义得出 m+10，m2+12，求出即可 【解答】解：（m+1）+3x10 是一元二次方程， m+10，m2+12， 解得：m1 故答案为：1 3已知一元二次方程 x2mx+30 的一个根为 1，则 m 的值为 4 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x1 代入方程得到关于 m 的方程 1m+30，然后解此一次 方程即可 【解答】解：把 x1 代入方程得 1m+30，解得 m4 故答案为 4 4一元二次方程 x26x50 配方
12、可变形为 （x3）214 【分析】先把常数项移到方程右侧，然后把方程两边加上 9 即可 【解答】解：x26x50， x26x5， x26x+95+9， （x3）214 故答案为（x3）214 5如图，在O 中，AOB50，则COD 50 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求解即可 【解答】解：， CODAOB， AOB50， COD50， 故答案是：50 6若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 k0 且 k1 【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案 【解答】解：由题意可知：44k0， k1， k0， k0 且 k1， 故答案为：k0 且 k1；
13、 7已知点 A 在半径为 r 的O 内，点 A 与点 O 的距离为 6，则 r 的取值范围是 r6 【分析】根据点与圆的位置关系即可判断 【解答】解：点 A 在半径为 r 的O 内，点 A 与点 O 的距离为 6， r6， 故答案为：r6 8如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（0，1）和（，0） ，则OAB 外接圆的圆心坐标 是 （，） 【分析】由直角三角形的性质可得OAB 外接圆的圆心是斜边 AB 的中点，由中点坐标公式可求解 【解答】解：AOB 是直角三角形， OAB 外接圆的圆心是斜边 AB 的中点， 点 A、B 的坐标分别为（0，1）和（，0） ， OAB 外接圆的圆心
14、坐标是（，） ， 故答案为： （，） 9已知 a、b 是方程 2x2+4x10 的根，则 a（a+3）+b 的值为 1.5 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 2a2+4a10，即 a2+2a，再根据根与系数的关系得 a+b2，代入变形后的代数式即可得出答案 【解答】解：a，b 是方程 x2x30 的两个根， 2a2+4a10， a2+2a， 由根与系数的关系可得：a+b2， a（a+3）+ba2+2a+a+b21.5 故答案是：1.5 10已知关于 x 的方程 a（x+m）2+b0（a，b，m 均为常数，且 a0）的两个解是 x13 和 x27，则方 程 a（4x+m1）2+b0 的解
15、是 x1 或 x2 【分析】 把方程 a （4x+m1） 2+b0 看作关于 4x1 的一元二次方程， 根据题意得到方程 a （4x+m1） 2+b0 的解为 4x13 或 4x17，然后即一次方程即可 【解答】解：把方程 a（4x+m1）2+b0 看作关于 4x1 的一元二次方程， 关于 x 的方程 a（x+m）2+b0（a，b，m 均为常数，且 a0）的两个解是 x13 和 x27， 方程 a（4x+m1）2+b0 的解为 4x13 或 4x17， 即 x1 或 x2 故答案为 x1 或 x2 11O 的直径 AE10cm，弦 BC8cm，且 BCAE 于 D，则ABC 的面积为 32cm
16、2或 8cm2 【分析】分两种情况，如图 1，连接 OB 根据垂径定理得到 OB5，BDBC4，由勾股定理得到 OD 3，于是得到ABC 的面积BCAD8832（cm2） ，如图 2，AD532， 于是得到ABC 的面积BCAD288（cm2） 【解答】解：如图 1 中，连接 OB，AE10cm，弦 BC8cm，且 BCAE 于 D， OB5cm，BDBC4cm， OD3（cm） ， AD5+38（cm） ， ABC 的面积BCAD8832（cm2） ， 如图 2 中，AD532（cm） ， ABC 的面积BCAD288（cm2） ， 综上所述：ABC 的面积是 32cm2或 8cm2 故答案
17、为：32cm2或 8cm2 12实数 a，n，m，b 满足 anmb，这四个数在数轴上对应的点分别为 A，N，M，B（如图） ，若 AM2 BMAB，BN2ANAB，则称 m 为 a，b 的“大黄金数” ，n 为 a，b 的“小黄金数” ，当 ba2 时，a， b 的大黄金数与小黄金数之差 mn 24 【分析】设 AMx，根据 AM2BMAB 列一元二次方程，求出 x，得出 AMBN1，从而求出 MN 的长，即 mn 的长 【解答】解：由题意得：ABba2 设 AMx，则 BM2x x22（2x） x1 x11+，x21（舍） 则 AMBN1 MNmnAM+BN22（1）224 故答案为：24
18、 二、选择题（每题二、选择题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x26x+2 Bx20 Cx2y+10 D+x2 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可 【解答】解：A、3x26x+2 是代数式，不是一元二次方程，不符合题意； B、x20，是一元二次方程，符合题意； C、x2y+10，有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、+x2，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B 14方程 3x2+4x20 的根的情况是（ ） A两个不相等的实数根 B两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【分析】首先求出方程的判别式，然后根
19、据一元二次根与判别式的关系，可以判断方程的根的情况 【解答】解：方程 3x2+4x20 中， 4243（2）400， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 15O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x26x+80 的两根，则点 A 与O 的 位置关系是（ ） A点 A 在O 内部 B点 A 在O 上 C点 A 在O 外部 D点 A 不在O 上 【分析】先根据题意求得方程的解，即 R、d 的值，分两种情况进行讨论：Rd 时，点 A 在O 内部； Rd 时，点 A 在O 上；Rd，点 A 在O 外部 【解答】解：解方程 x26x+80 的两根，得 R2 或 4，d4
20、或 2， 当 R2，d4 时，点 A 在O 外部； 当 R4，d2 时，点 A 在O 内部； 综上所述，点 A 不在O 上， 故选：D 16下列命题中错误的命题为（ ） A圆既是轴对称图形，也是中心对称图形 B在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧 C垂直于弦的直径平分这条弦 D三角形的外心到三角形三边距离相等 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的概念、等弧的概念、垂径定理、三角形的外角性质概念判断 即可 【解答】解：A、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，说法正确，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法正确，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分这条弦，说法正确，不符合题意；
21、 D、三角形的外心到三角形三个顶点距离相等，故本说法错误，符合题意； 故选：D 17有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设 每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，那么 x 满足的方程是（ ） Ax（1+x）121 B1+x（1+x）121 Cx+x（1+x）121 D1+x+x（1+x）121 【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而 已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 第一轮传染后患流感的人数是：1+x， 第二轮传染后患流感的人
22、数是：1+x+x（1+x） ， 而已知经过两轮传染后共有 121 人患了流感，则可得方程， 1+x+x（1+x）121 故选：D 18如图，在平面直角坐标系中，C（0，4） ，A（3，0） ，A 半径为 2，P 为A 上任意一点，E 是 PC 的 中点，则 OE 的最小值是（ ） A1 B C2 D 【分析】如图，连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，OH利用三角形的中位线定理可得 EH1，推出 点 E 的运动轨迹是以 H 为圆心半径为 1 的圆 【解答】解：如图，连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，OH CEEP，CHAH， EHPA1， 点 E 的运动轨迹是以 H 为圆心
23、半径为 1 的圆， C（0，4） ，A（3，0） ， H（1.5，2） ， OH2.5， OE 的最小值OHEH2.511.5， 故选：B 三、解答题（总共三、解答题（总共 78 分）分） 19 （15 分）解方程： （1）x22x990 （2）3x26x+10 （3） （x2）2（2x+3）2 【分析】 （1）利用配方法将原方程配方为（x1）2100 即可求解； （2）先将二次项系数化 1，再利用配方法将原方程配方为（x1）2，即可求解； （3）直接利用因式分解法即可求解 【解答】解： （1）x22x990， x22x+11990， （x1）2100， x110， x110 或 x110，
24、解得：x111，x29； （2）3x26x+10， x22x+0， （x1）2， x1， x1+1，x2+1； （3） （x2）2（2x+3）2， （x2）2（2x+3）20， （3x+1） （x5）0， 解得：x1，x25； 20 （5 分）我国某地 2018 年外贸收入为 2.5 亿元，2020 年外贸收入降到了 1.6 亿元，若平均每年的下降率 都相同，求每年的下降率是多少？ 【分析】设每年的下降率为 x，利用 2020 年外贸收入2018 年外贸收入（1下降率）2，即可得出关 于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出每年的下降率 【解答】解：设每年的下降率为 x， 依题意
25、得：2.5（1x）21.6， 解得：x10.220%，x21.8（不合题意，舍去） 答：每年的下降率是 20% 21 （5 分）.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆如图，将ABC 放在每 个小正方形边长为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上 （1）用无刻度直尺画出ABC 的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹） （2）该最小覆盖圆的半径是 【分析】 （1）作出线段 AB，AC 的垂直平分线的交点 O 即可 （2）连接 OA，利用勾股定理求出 OA 即可 【解答】解： （1）如图，点 O 即为所求 （2）半径 OA 故答案为： 22 （6 分）已知关于 x 的一元二次
26、方程 x2（m1）x+3m120 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程只有一个根是正数，求 m 的取值范围 【分析】 （1）先计算判别式的意义得到（m7）20，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式解方程得 x13，x2m4，再根据题意得到 m40，从而得到 m 的范围 【解答】 （1）证明：（m1）24（3m12） m214m+49 （m7）20， 方程总有两个实数根； （2）x， 解得 x13，x2m4， 方程只有一个根是正数， m40， m4 23 （7 分）如图，已知 AB 是O 的直径，弦 ACOD （1）求证： （2）若的度数为 58，求AOD 的度数 【分
27、析】 （1）欲证弧 BD弧 CD，只需证明它们所对的圆心角相等，即BODCOD （2）利用圆周角、弧，弦的关系得BOCBOD61，则AOD119 【解答】解： （1）连接 OCOAOC， OACACO ACOD， OACBOD DOCACO BODCOD， （2）， BODBOC（18058）61 AOD58+61119 24 （7 分）某商店将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可售出 200 件，现在采取提高商品售价减少 销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高 1 元，其每天的销售量就减少 20 件 （1）当售价定为 12 元时，每天可售出 160 件； （2）要使
28、每天利润达到 640 元，则每件售价应定为多少元？ 【分析】 （1）利用每天的销售量20020每件商品提高的价格，即可求出：当售价定为 12 元时，每 天可售出 160 件； （2）设每件售价定为 x 元，则每件的销售利润为（x8）元，每天的销售量为（40020 x）件，利用销 售该种商品每天获得的利润每件商品的销售利润每天的销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程， 解之即可求出每件商品的售价 【解答】解： （1）20020（1210）160（件） 故答案为：160 （2）设每件售价定为 x 元，则每件的销售利润为（x8）元，每天的销售量为 20020（x10）（400 20 x）件， 依题
29、意得： （x8） （40020 x）640， 整理得：x228x+1920， 解得：x112，x216 答：要使每天利润达到 640 元，则每件售价应定为 12 或 16 元 25 （7 分） 如图， 学校准备利用学校仓库旁一块空地， 开辟一个矩形花圃， 打算一面利用长为 15 米的墙面， 三面利用长为 31 米的旧围栏，且矩形花圃正面留有一米宽的门 （1）若矩形的面积为 120 米 2 求矩形花圃的宽 AB （2）当矩形花圃的宽 AB 为多少米时，所开辟的矩形花圃面积最大？（AB 为正整数） 【分析】 （1） 设 AB 长为 x 米， 则 BC 的长为 （312x+1） 米， 再由长方形的面
30、积公式列出方程求解即可； （2）根据面积公式写出面积 S 与 x 的函数关系式，再根据实际情况求函数最值以及 AB 的长 【解答】解： （1）设 AB 长为 x 米，则 BC 的长为（312x+1）米， 由题意得：x（312x+1）120， 解得：x110，x26， 当 AB10 时，31210+11215， 当 AB6 时，3126+12015，舍去， 答：AB 长度为 10 米； （2）Sx（312x+1）2x2+32x2（x8）2+128， 322x0，322x15， 8.5x16， 当 x9 时，S 最大为 126 平方米 答：当矩形花圃的宽 AB 为 9 米时，所开辟的矩形花圃面积最
31、大 26 （8 分）图 1 是某奢侈品牌的香水瓶从正面看上去（如图 2） ，它可以近似看作O 割去两个弓形后余 下的部分与矩形 ABCD 组合而成的图形（点 B、C 在O 上） ，其中 BCEF；从侧面看，它是扁平的， 厚度为 1.3cm （1）已知O 的半径为 2.6cm，BC2cm，AB3.02cm，EF3.12cm，求香水瓶的高度 h （2）用一张长 22cm、宽 19cm 的矩形硬纸板按照如图 3 进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为 SMNPQ9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计） 请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入 这个盒子里 【分析】 （1）作 OGBC 于
32、G，延长 GO 交 EF 于 H，连接 BO、EO解直角三角形分别求出 OG，OH 即可解决问题； （2）设盒子的高为 xcm根据 SMNPQ9，构建方程即可解决问题； 【解答】解： （1）作 OGBC 于 G，延长 GO 交 EF 于 H，连接 BO、EO EFBC， OHEF， BGBC，EHEF GO2.4；OH2.08， h2.4+2.08+3.027.5cm （2）设盒子的高为 xcm 由题意： （222x） 9 解得 x8 或 12.5（舍弃） ， MQ6，MN1.5 2.625.26；1.31.5；7.58， 能装入盒子 27 （8 分）在平面直角坐标系中，过原点 O 及点 A（
33、0，2） 、C（6，0）作矩形 OABC，AOC 的平分线交 AB 于点 D 点 P 从点 O 出发， 以每秒个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动； 同时点 Q 从点 O 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动设移动时间为 t 秒 （1）当点 P 移动到点 D 时，此时 t 的值是 2 ； （2）当 t 为何值时，OPQ 的面积是 9 （3）当 t 为何值时，PQB 为直角三角形 2 或 5+或 5 （直接写出结果） 【分析】 （1）首先根据矩形的性质求出 DO 的长，进而得出 t 的值； （2）过点 P 作 PEx 轴于点 E，由 AD 平分AOC，得OPE 是等腰直角三
34、角形，故 OPt，PE OPt，OQ2t，而OQPE9，即可得 t3； （3）要使PQB 为直角三角形，显然只有PQB90或PBQ90，进而利用勾股定理分别分析得 出 PB2（6t）2+（2t）2，QB2（62t）2+22，PQ2（2tt）2+t22t2，再分别就PQB90 和PBQ90，利用勾股定理列方程，即可求出符合题意的 t 值 【解答】解： （1）四边形 OABC 是矩形， AOCOAB90， OD 平分AOC， AODDOQ45， 在 RtAOD 中，ADO45， AOAD2，OD2， t2； 故答案为：2； （2）过点 P 作 PEx 轴于点 E，如图： 四边形 OABC 是矩形，
35、 AOCOAB90， AD 平分AOC， DOQAOD45， OPE 是等腰直角三角形， 当运动时间为 t 秒时，OPt，OEPEOPt，OQ2t， OPQ 的面积是 9， OQPE9，即2tt9， 解得：t13，t23（不合题意，舍去） ， 答：当 t 为 3 时，OPQ 的面积是 9； （3）由（2）知：OEPEt，OQ2t， P（t，t） ，Q（2t，0） ， 而 B（6，2） ， PB2（6t）2+（2t）2，QB2（62t）2+22，PQ2（2tt）2+t22t2， 若PQB90，如图： PQ2+BQ2PB2，即：2t2+（62t）2+22（6t）2+（2t）2， 整理得：4t28t
36、0， 解得：t10（舍去） ，t22， t2， 若PBQ90，如图： PB2+QB2PQ2，即（6t）2+（2t）2+（62t）2+222t2， 整理得：t210t+200， 解得：t5 当 t2 或 t5+或 t5时，PQB 为直角三角形 故答案为：2 或 5+或 5 28 （10 分）在ABC 中，a、b、c 分别为A，B，C 所对的边，我们称关于 x 的一元二次方程 ax2+bx c0 为“ABC 的方程” 根据规定解答下列问题： （1） “ABC 的方程”ax2+bxc0 的根的情况是 （填序号） ； 有两个相等的实数根； 有两个不相等的实数根； 没有实数根； （2）如图，AD 为O
37、的直径，BC 为弦，BCAD 于 E，为 60 度，求“ABC 的方程”ax2+bxc 0 的解； （3）若是“ABC 的方程”ax2+bxc0 的一个根，其中 a、b、c 均为整数，且 ac4b0， 则方程的另一个根为 2 【分析】 （1）由根的判别式即可求解； （2）证ABC 是等边三角形，得 abc，进而求解； （3）先求出 0ac8，再求出 ac4，得 b3，则 a1，c4（不能构成三角形，舍去）或 ac2， 得方程为 2x2+3x20，即可求解 【解答】 解： （1） 在ABC 中， a， b， c 分别为A， B， C 所对的边， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx c0 为“
38、ABC 的方程” ， a0，b0，c0， b2+4ac0， 方程有两个不相等的实数根， 故选：； （2）AD 为O 的直径，BCAD，且为 60 度， 为 60 度， 为 120 度， 为 180 度， 为 120 度，为 120 度， ABACBC， ABC 是等边三角形， abc， “ABC 的方程”ax2+bxc0 可以变为：ax2+axa0， b2+4ac0， ， 即 ； （3）将 xc 代入方程中可得：+c0， 化简得：ac+4b160， ac4b0， ac4b， ac+ac160， 则 0ac8， a、b、c 均为整数，ac+4b16， ac 能被 4 整除， 0ac8， ac4， b3， 又a，c 为正整数， 则 a1，c4（不能构成三角形，舍去）或 ac2， 方程为 2x2+3x20， 解得：x1，x22 即方程的另一个根为 x2， 故答案为：2
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