1、 2020-2021 学年北京市海淀区清学年北京市海淀区清 XX 中学创新班八年级（上）期中数学试卷中学创新班八年级（上）期中数学试卷 一选择题（本题共一选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知 A（1，3） ，B（2，5） ，则直线 AB 的斜率为（ ） A B C D 2 （3 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy， 四边形 OABC 为正方形， 若点 B （1， 3） ， 则点 C 的坐标为 （ ） A （1，2） B （1，） C （，2） D （1，） 3 （3 分）在同一直角坐标系中，一次函数 ykx+b 和 ybx+k 的图象可能正确的是（
2、） A B C D 4 （3 分）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADDC，ADCABC90，DEAB，若 BC2，AE4，则四 边形 ABCD 的面积为（ ） A16 B18 C25 D36 6 （3 分）如图，在平面直角坐标系中有一个 33 的正方形网格，其左下角格点 A 的坐标为（1，1） ，右上 角格点 B 的坐标为（4，4） ，若分布在直线 yk（x1）两侧的格点数相同，则 k 的取值可以是（ ） A B2 C D 7 （3 分
3、）已知点 A（1，1） ，B（3，5） ，在 x 轴上的点 C，使得 AC+BC 最小，则点 C 的横坐标为（ ） A B C2 D 8 （3 分） 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 M 是 AB 上一动点， 点 E 是 CM 的中点， AE 绕点 E 顺时针旋转 90 得到 EF，连接 DE，DF 给出结论：DEEF；CDF45；若正方形的边长为 2， 则点 M 在射线 AB 上运动时，CF 有最小值其中结论正确的是（ ） A B C D 二填空题（本题共二填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）函数 y+x0的定义域为 10 （3 分）无论 k 取何值，
4、直线 ykx2+3k 总过定点 11 （3 分）直线 ax+y+a30 与直线（a+2）x+ay20 平行，则 a 的值为 12 （3 分）直线 ax+y2a+10 与直线（a+2）xay+30 垂直，则 a 的值为 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2将矩形沿 EF 对折，使得 A、C 重合，则折痕 EF 的长 为 14 （3 分）如图，点 A（0，8） ，点 B（4，0） ，连接 AB，点 M，N 分别是 OA，AB 的中点，在射线 MN 上 有一动点 P，若ABP 是直角三角形，则点 P 的坐标是 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 T（4，2）
5、M、N 分别是 x 轴与 y 轴正半轴上的动点，且 线段 MN4，P 为 MN 的中点在线段 MN 的运动过程中，PT 长的最小值为 16 （3 分） 计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象 用 “几何画板” 软件画出的函数 yx2（x3） 和 yx3 的图象如图所示根据图象可知方程 x2（x3）x3 的解的个数为 ；若 m，n 分别为 方程 x2（x3）5 和 x35 的解，则 m，n 的大小关系是 三解答题（本题共三解答题（本题共 72 分，第分，第 17 题题 8 分，第分，第 18 题题 20 分，分，19、20 题每题题每题 6 分，第分，第 21-24 题每题题每题 8 分）分
6、） 17 （8 分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程 已知：四边形 ABCD 是平行四边形 求作：菱形 ABEF（点 E 在 BC 上，点 F 在 AD 上） 作法：以 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 F； 以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交 BC 于点 E； 连接 EF所以四边形 ABEF 为所求作的菱形 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：AFAB，BEAB， 在ABCD 中，ADBC 即 AFBE 四边形 ABEF 为平行四边形 AFAB， 四边形 ABEF 为菱形（
7、） （填推理的依据） 18 （20 分）根据所给条件，分别求出满足下列条件的一次函数解析式 （1）经过直线 yx+1 与 x 轴的交点，且平行于直线 y2x+3； （2）经过直线 y2x+3 与 y3x2 的交点，且在 y 轴上的截距等于 2； （3）经过直线 y2x3 上一点 A（1，n） ，且与 y2x3、x 轴围成三角形面积为 1； （4）平分直线 y2x+4 与直线 yx1 所成角 19 （6 分）已知 y1与 x2+1 成正比例，y2与 x1 成正比例，yy1+y2，当 x1 时，y4；当 x2 时，y 7求 y 关于 x 的函数解析式 20 （6 分）如图，矩形 ABCD 中，对角
8、线 AC，BD 交于点 O，以 AD，OD 为邻边作平行四边形 ADOE，连 接 BE （1）求证：四边形 AOBE 是菱形； （2）若EAO+DCO180，DC2，求四边形 ADOE 的面积 21 （8 分）有这样一个问题：探究函数 y的图象与性质并解决问题 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数 y的自变量 x 的取值范围是 ； （2）取几组 y 与 x 的对应值，填写在下表中则 m 的值为 x 4 2 1 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 y 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 m 1.5
9、 1 （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图 象； （4）获得性质解决问题： 通过观察、分析、证明，可知函数 y的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另 一个性质是 过点 P（1，n） （0n2）作直线 lx 轴，与函数 y的图象交于点 M，N（点 M 在点 N 的 左侧） 则 PNPM 的值为 22 （8 分）已知直线 ykx+1、直线 xk、yk 两两分别交于点 A、B、C （1）若 k1，求ABC 的面积； （2）在坐标平面内，横、纵坐标都是整数的点成为整点记线段 AB、BC、CA 围成的区域（不含边界） 为 当 k2 时，结合
10、图象，求 内整点的个数 若 内恰有一个整点，直接写出 k 的取值范围 23 （8 分） 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 M 在 CD 边上， 点 N 在正方形 ABCD 外部， 且满足CMN90， CMMN连接 AN，CN，取 AN 的中点 E，连接 BE，AC，交于 F 点 （1）依题意补全图形； 求证：BEAC （2）请探究线段 BE，AD，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论 （3）设 AB1，若点 M 沿着线段 CD 从点 C 运动到点 D，则在该运动过程中，线段 EN 所扫过的面积 为 （直接写出答案） 24 （8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，4） ，B（8，4
11、） ，C（8，0） 、P 为矩形 ABCO 内（不包括边界） 一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的平行线，这两条平行线分矩形 ABCO 为四个小矩形，若这四个小矩形 中有一个矩形的周长等于 OA， 则称 P 为矩形 ABCO 的矩宽点 例如： 如图中的 P （， ） 为矩形 ABCO 的一个矩宽点 （1）在点 D（1，1） ，E（4，2） ，F（，）中，矩形 ABCO 的矩宽点是 ； （2）若 G（m，）为矩形 ABCO 的矩宽点，求 m 的值； （3）若直线 yk（x4）2 上存在矩形 ABCO 的矩宽点，求 k 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本题共一选择
12、题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知 A（1，3） ，B（2，5） ，则直线 AB 的斜率为（ ） A B C D 【解答】解：A（1，3） ，B（2，5） ， 直线 AB 的斜率为 故选：B 2 （3 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy， 四边形 OABC 为正方形， 若点 B （1， 3） ， 则点 C 的坐标为 （ ） A （1，2） B （1，） C （，2） D （1，） 【解答】解：作 CDx 轴于 D，作 BECD 于 E，交 y 轴于 F，如图， B（1，3） ， DE3，BF1， 设 C（m，n） ，则 ODEFm，CDn， 四边形 A
13、BCO 为正方形， BCO90，CBCO， BCE+OCD90，BCE+CBE90， OCDCBE， 在OCD 和CBE 中 ， OCDCBE（AAS） ， CDBE，ODCE， 即 n1m，m3n， m1，n2， C 点坐标为（1，2） 故选：A 3 （3 分）在同一直角坐标系中，一次函数 ykx+b 和 ybx+k 的图象可能正确的是（ ） A B C D 【解答】解：A、一条直线反映 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，故本选项错误； B、一条直线反映出 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，一致，故本选项正确； C、一条直线反映 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，故本选项错误；
14、D、一条直线反映 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，故本选项错误 故选：B 4 （3 分）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：分两步，充分性， 设直线经过（x1，y1） ， （x2，y2） ， x1、y1、x2、y2都是整数，yy1（xx1） ， 设：py1y2，qx1x2， 则直线 y（xx1）+y1， 当 xx1nq，即 xnq+x1时，ynp+y1为整数， n1、2、3.所以直线经过无数个点 必要性：直线经过无数个整点，直线必经过两个整点 故选：C 5 （3 分
15、）如图，四边形 ABCD 中，ADDC，ADCABC90，DEAB，若 BC2，AE4，则四 边形 ABCD 的面积为（ ） A16 B18 C25 D36 【解答】解：过点 C 作 CFDE 于 F，如图所示： 则 CFBE，EFBC2，DFC90， CDF+DCF90， ADC90， ADE+CDF90， ADEDCF， DEAB， AED90， 在ADE 与DCF 中， ADEDCF（AAS） ， DECFBE，AEDF4， BECFDEDF+EF4+26， 四边形 ABCD 的面积ADE 的面积+DCF 的面积+矩形 BCFE 的面积46+46+62 36， 故选：D 6 （3 分）如
16、图，在平面直角坐标系中有一个 33 的正方形网格，其左下角格点 A 的坐标为（1，1） ，右上 角格点 B 的坐标为（4，4） ，若分布在直线 yk（x1）两侧的格点数相同，则 k 的取值可以是（ ） A B2 C D 【解答】解yk（x1） ， 直线过定点（1，0） ， 分布在直线 yk（x1）两侧的格点数相同， 由正方形的对称性可知， 直线 yk（x1）两侧的格点数相同， 在直线 CD 和直线 CE 之间，两侧格点相同， （如图） E（3，3） ，D（3，4） ， k2， 故选：C 7 （3 分）已知点 A（1，1） ，B（3，5） ，在 x 轴上的点 C，使得 AC+BC 最小，则点 C
17、 的横坐标为（ ） A B C2 D 【解答】解：如图所示，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，与 x 轴的交点即为点 C， 连接 AC，则 AC+BC 的最小值等于 AB 的长， A（1，1） ， A（1，1） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0） ， 把 A（1，1） ，B（3，5）代入得， ， 解得， y3x4， 当 y0 时，x， 点 C 的横坐标为， 故选：A 8 （3 分） 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 M 是 AB 上一动点， 点 E 是 CM 的中点， AE 绕点 E 顺时针旋转 90 得到 EF，连接 DE，DF 给出结论：DEEF；CDF45
18、；若正方形的边长为 2， 则点 M 在射线 AB 上运动时，CF 有最小值其中结论正确的是（ ） A B C D 【解答】解：如图，延长 AE 交 DC 的延长线于点 H， 点 E 是 CM 的中点， MEEC， ABCD， MAEH，AMEHCE， AMEHCE（AAS） ， AEEH， 又ADH90， DEAEEH， AE 绕点 E 顺时针旋转 90得到 EF， AEEF，AEF90， AEDEEF，故正确； AEDEEF， DAEADE，EDFEFD， AEF+DAE+ADE+EDF+EFD360， 2ADE+2EDF270， ADF135， CDFADFADC1359045，故正确；
19、如图，连接 AC，过点 E 作 EPAD 于点 P，过点 F 作 FNEP 于 N，交 CD 于 G，连接 CF， EPAD，FNEP，ADC90， 四边形 PDGN 是矩形， PNDG，DGN90， CDF45， 点 F 在 DF 上运动， 当 CFDF 时，CF 有最小值， CD2，CDF45， CF 的最小值，故正确； EPAD，AMAD，CDAD， AMPECD， 1， APPD， PE 是梯形 AMCD 的中位线， PE（AM+CD） ， FDC45，FNCD， DFGFDC45， DGGF，DFDG， AEP+FEN90，AEP+EAP90， FENEAP， 又AEEF，APEEN
20、F90， APEENF（AAS） ， APNEAD， PE（AM+CD）NE+NPAD+NP， AMNPDG， AM2DG2DF， ，故错误； 故选：D 二填空题（本题共二填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）函数 y+x0的定义域为 x1 且 x0、x1 【解答】解：根据题意，得：， 解得 x1 且 x0、x1， 函数 y+x0的定义域为 x1 且 x0、x1， 故答案为：x1 且 x0、x1 10 （3 分）无论 k 取何值，直线 ykx2+3k 总过定点 （3，2） 【解答】解：ykx2+3k， yk（x+3）2 当 x3 时，yk（3+3）22， 直线
21、 ykx2+3k 总过定点（3，2） 故答案为： （3，2） 11 （3 分）直线 ax+y+a30 与直线（a+2）x+ay20 平行，则 a 的值为 2 或1 【解答】解：直线 ax+y+a30 与直线（a+2）x+ay20 平行， a，a32 解得 a2 或1， 经检验：a2 或 a1 是原方程的解， 故答案为 2 或1 12 （3 分）直线 ax+y2a+10 与直线（a+2）xay+30 垂直，则 a 的值为 0 或1 【解答】解：当 a0 时，直线 ax+y2a+10 可以写成直线 y1，直线（a+2）xay+30 可以写成 x，此时直线 ax+y2a+10 与直线（a+2）xay
22、+30 垂直； 当 a0 时，直线 ax+y2a+10 可以写成直线 yax+2a1，直线（a+2）xay+30 可以写成直线 yx+， 直线 ax+y2a+10 与直线（a+2）xay+30 垂直， a1， 解得 a1； 故答案为：0 或1 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2将矩形沿 EF 对折，使得 A、C 重合，则折痕 EF 的长 为 【解答】解：连接 AE、CF，连接 AC 交 EF 于点 O， 点 A、C 沿着 EF 折叠重合，即点 A、C 关于 EF 对称， EF 是 AC 的中垂线， ECEA，FCFA，OAOC，COEAOF90， 又ABCD 是矩形， A
23、BCD， OAFOCE， COEAOF（ASA） ， CEAF，OEOF CEEAAFFC， 四边形 AFCE 是菱形， 在 RtADE 中，设 AExEC，则 DE4x， 由勾股定理得，AD2+DE2AE2， 即，4+（4x）2x2， 解得 x，即 AE， DE4， 在 RtABC 中，AC2， OAOCAC， 在 RtCOE 中，OE， EF2OE 14 （3 分）如图，点 A（0，8） ，点 B（4，0） ，连接 AB，点 M，N 分别是 OA，AB 的中点，在射线 MN 上 有一动点 P，若ABP 是直角三角形，则点 P 的坐标是 （2+2，4）或（12，4） 【解答】解：点 A（0，
24、8） ，点 B（4，0） ， OA8，OB4， AB4， 点 M，N 分别是 OA，AB 的中点， AMOM4，MN2，ANBN2， 当APB90时， ANBN， PNAN2， PMMN+PN2+2， P（2+2，4） ， 当ABP90时，如图， 过 P 作 PCx 轴于 C， 则ABOBPC， 1， BPAB4， PCOB4， BC8， PMOC4+812， P（12，4） ， 故答案为： （2+2，4）或（12，4） 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 T（4，2） M、N 分别是 x 轴与 y 轴正半轴上的动点，且 线段 MN4，P 为 MN 的中点在线段 MN 的运
25、动过程中，PT 长的最小值为 【解答】解：连接 OP，如图所示 MN4，NOM90， OP2， 则 P 点的轨迹为以 O 为圆心，OP 为半径的在第一象限内的圆弧， 当 O、P、T 三点共线时，PT 长度最小， 此时，OT2， PTOTOP 故答案为： 16 （3 分） 计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象 用 “几何画板” 软件画出的函数 yx2（x3） 和 yx3 的图象如图所示根据图象可知方程 x2（x3）x3 的解的个数为 3 ；若 m，n 分别为 方程 x2（x3）5 和 x35 的解，则 m，n 的大小关系是 mn 【解答】解：由函数图象可知，函数 yx2（x3）和 yx3
26、的图象有三个交点， 所以方程 x2（x3）x3 的解的个数为 3； 作直线 y5，如图，函数 yx2（x3）的图象与直线 y5 的交点在 yx3 的图象与直线 y5 的交点的右侧， 则 mn 故答案为 3；mn 三解答题（本题共三解答题（本题共 72 分，第分，第 17 题题 8 分，第分，第 18 题题 20 分，分，19、20 题每题题每题 6 分，第分，第 21-24 题每题题每题 8 分）分） 17 （8 分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程 已知：四边形 ABCD 是平行四边形 求作：菱形 ABEF（点 E 在 BC 上，点 F 在 AD 上） 作法：以 A
27、 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 F； 以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交 BC 于点 E； 连接 EF所以四边形 ABEF 为所求作的菱形 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：AFAB，BEAB， AF BE 在ABCD 中，ADBC 即 AFBE 四边形 ABEF 为平行四边形 AFAB， 四边形 ABEF 为菱形（ 邻边相等的平行四边形是菱形 ） （填推理的依据） 【解答】解： （1）四边形 ABEF 为所求作的菱形 （2）AFAB，BEAB， AFBE， 在ABCD 中，ADBC 即 AFBE 四
28、边形 ABEF 为平行四边形 AFAB， 四边形 ABEF 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形 ） 故答案为：AF，BE，邻边相等的平行四边形是菱形 18 （20 分）根据所给条件，分别求出满足下列条件的一次函数解析式 （1）经过直线 yx+1 与 x 轴的交点，且平行于直线 y2x+3； （2）经过直线 y2x+3 与 y3x2 的交点，且在 y 轴上的截距等于 2； （3）经过直线 y2x3 上一点 A（1，n） ，且与 y2x3、x 轴围成三角形面积为 1； （4）平分直线 y2x+4 与直线 yx1 所成角 【解答】解： （1）直线 yx+1 中，令 y0，则 x1， 直线 yx+1
29、与 x 轴的交点为（1，0） ， 根据题意设一次函数的解析式为 y2x+b， 把（1，0）代入得，02+b， b2， 一次函数解析式为 y2x2； （2）解得， 直线 y2x+3 与 y3x2 的交点为（1，1） ， 根据题意设一次函数的解析式为 ykx+2， 把（1，1）代入得，1k+2， k1， 一次函数解析式为 yx+2 （3）点 A（1，n）在直线 y2x3 上， n231， A（1，1） ， 设直线 y2x3 与 x 轴的交点为 B，则 B（，0） ， 与 y2x3、x 轴围成三角形面积为 1； 两条直线与 x 轴的交点间的距离为2， 所求直线与 x 轴的交点为（，0）或（，0） ，
30、 设直线解析式为 ykx+b， 把（1，1） ， （，0）或（，0）代入求得 yx或 yx； （4）如图，直线 y2x+4 与直线 yx1 相交与 x 轴得点 P（2，0） ，直线 y2x+4 与 y 轴的交点 A（0，4） ，直线 yx1 与 y 轴的交点 B（0，1） ， PA2OP2+OA222+4220， PB2OP2+OB222+125， AB2（1+4）225， AB2PA2+PB2， PAB 是直角三角形，APB90， 直线 PQ 平分APB， APQ45， 过 A 点作 AQPA，交 PQ 于 Q，过 Q 作 QCy 轴于 C， PAAQ， PAO+CAQ90PAO+APO，
31、CAQAPO， AOPQCA90， APOAQC（AAS） ， QCOA4，ACOP2， Q（4，2） ， 设直线 PQ 为 ykx+b， ，解得， 所求的一次函数解析式为 yx+ 19 （6 分）已知 y1与 x2+1 成正比例，y2与 x1 成正比例，yy1+y2，当 x1 时，y4；当 x2 时，y 7求 y 关于 x 的函数解析式 【解答】解：根据题意，设 y1k1（x2+1） ，y2k2（x1） ， 又yy1+y2， yk1（x2+1）+k2（x1）k1x2+k2x+k1k2； 又当 x1 时，y4，当 x2 时，y7， ， 解得， y 关于 x 的函数解析式为 y2x2+x+1 2
32、0 （6 分）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以 AD，OD 为邻边作平行四边形 ADOE，连 接 BE （1）求证：四边形 AOBE 是菱形； （2）若EAO+DCO180，DC2，求四边形 ADOE 的面积 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形，DOBO 四边形 ADOE 是平行四边形，AEDO，AEDO，ADOE AEBO，AEBO，四边形 AOBE 是平行四边形 ADAB，ADOE， ABOE 四边形 AOBE 是菱形； （2）设 AB 与 EO 交点为 M ABCD，DCOBAO 四边形 AOBE 是菱形，EAO2BAO EAO+DCO180， BA
33、O120，EAM60 又 AMAB1，EM EO2，AEO 面积为21， 四边形 ADOE 面积2 21 （8 分）有这样一个问题：探究函数 y的图象与性质并解决问题 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数 y的自变量 x 的取值范围是 x2 ； （2）取几组 y 与 x 的对应值，填写在下表中则 m 的值为 2 x 4 2 1 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 y 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 m 1.5 1 （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点
34、，并画出该函数的图 象； （4）获得性质解决问题： 通过观察、分析、证明，可知函数 y的图象是轴对称图形，它的对称轴是 x2 ；它的另 一个性质是 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大 过点 P（1，n） （0n2）作直线 lx 轴，与函数 y的图象交于点 M，N（点 M 在点 N 的 左侧） 则 PNPM 的值为 6 【解答】解： （1）函数 y的自变量 x 的取值范围是 x2， 故答案为：x2； （2）由题意 x5 时，y2， m2， 故答案为 2 （3）函数图象如图所示： （4）观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴 x2，它的另一个性质是：当 x
35、2 时，y 随 x 的增大 而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大； 故答案为 x2，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大 由题意，M（+2，n） ，N（+2，n） ， PN+2+1+3，PM1（+2）3， PNPM+3（3）6， 故答案为 6 22 （8 分）已知直线 ykx+1、直线 xk、yk 两两分别交于点 A、B、C （1）若 k1，求ABC 的面积； （2）在坐标平面内，横、纵坐标都是整数的点成为整点记线段 AB、BC、CA 围成的区域（不含边界） 为 当 k2 时，结合图象，求 内整点的个数 若 内恰有一个整点，直接写出 k 的取
36、值范围 【解答】解： （1）若 k1，则直线 yx+1、直线 x1、y1 两两分别交于点 A、B、C，如图 1， A（1，2） ，B（1，1） ，C（0，1） ， SABC11； （2）由题意，A（k，k2+1） ，B（k，k） ，C（，k） ， 当 k2 时，A（2，5） ，B（2，2） ，C（，2） ，如图 2， 当 x1 时，y21+13， 在 内整点的个数为 0； 如图， k0 时， 由可知当 k2 时，在 内整点的个数为 0； 当 k3 时，A（3，10） ，B（3，3） ，C（，2） ， 在 内整点有（2，4） ， （2，5） ， （2，6）共 3 个； k0 时， 当 k1 时，
37、A（1，2） ，B（1，1） ，C（2，1） ， 在 内整点有（0，0）一个； 综上所述：1k0 时， 内有一个整点 23 （8 分） 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 M 在 CD 边上， 点 N 在正方形 ABCD 外部， 且满足CMN90， CMMN连接 AN，CN，取 AN 的中点 E，连接 BE，AC，交于 F 点 （1）依题意补全图形； 求证：BEAC （2）请探究线段 BE，AD，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论 （3）设 AB1，若点 M 沿着线段 CD 从点 C 运动到点 D，则在该运动过程中，线段 EN 所扫过的面积 为 （直接写出答案） 【解答】解： （1）依题
38、意补全图形，如图 1 所示 证明：连接 CE，如图 2 所示 四边形 ABCD 是正方形， BCD90，ABBC， ACBACDBCD45， CMN90，CMMN， MCN45， ACNACD+MCN90 在 RtACN 中，点 E 是 AN 中点， AECEAN AECE，ABCB， 点 B，E 在 AC 的垂直平分线上， BE 垂直平分 AC， BEAC （2）BEAD+CN 证明：ABBC，ABECBE， AFFC 点 E 是 AN 中点， AEEN， FE 是ACN 的中位线 FECN BEAC， BFC90， FBC+FCB90 FCB45， FBC45， FCBFBC， BFCF
39、在 RtBCF 中，BF2+CF2BC2， BFBC 四边形 ABCD 是正方形， BCAD， BFAD BEBF+FE， BEAD+CN （3）在点 M 沿着线段 CD 从点 C 运动到点 D 的过程中，线段 EN 所扫过的图形为四边形 DFCN BDC45，DCN45， BDCN， 四边形 DFCN 为梯形 AB1， CFDFBD，CNCD， S梯形DFCN（DF+CN） CF（+） 故答案为： 24 （8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，4） ，B（8，4） ，C（8，0） 、P 为矩形 ABCO 内（不包括边界） 一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的平行线，这两条平行线
40、分矩形 ABCO 为四个小矩形，若这四个小矩形 中有一个矩形的周长等于 OA， 则称 P 为矩形 ABCO 的矩宽点 例如： 如图中的 P （， ） 为矩形 ABCO 的一个矩宽点 （1）在点 D（1，1） ，E（4，2） ，F（，）中，矩形 ABCO 的矩宽点是 D 和 F ； （2）若 G（m，）为矩形 ABCO 的矩宽点，求 m 的值； （3）若直线 yk（x4）2 上存在矩形 ABCO 的矩宽点，求 k 的取值范围 【解答】解： （1）1+12， 点 D 是矩宽点， （8）+（4）2， 点 F 是矩宽点 故答案为 D 和 F （2）G（m，）为矩形 ABCO 的矩宽点， m+OA 或（
41、8m）+OA， 解得 m或 （3）如图 1 中由题意可知，矩形 ABCO 的矩宽点只能在线段 RM，QE，DE，MK 上（不包括端点） ，其 中 M（0，2） ，R（2，4） ，Q（6，4） ，E（8，2） ，D（6，0） ，K（2，0） 一次函数 yk（x4）2（k0）的图象经过定点 F（4，2） ， 观察图象可知当直线与线段 MR，EQ 有交点时，直线一次函数 yk（x4）2（k0）的图象上存在 矩宽点， 当一次函数 yk（x4）2（k0）的图象经过点 M 时，k1， 当一次函数 yk（x4）2（k0）的图象经过点 R 时，k3， 当一次函数 yk（x4）2（k0）的图象经过点 Q 时，k3， 当一次函数 yk（x4）2（k0）的图象经过点 E 时，k1， 综上所述，满足条件的 k 的值为3k1 或 1k3 故答案为3k1 或 1k3
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