1、第 1 页（共 26 页） 2022 年广东省深圳市新中考数学模拟试卷（年广东省深圳市新中考数学模拟试卷（8） 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1 （3 分）如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（ ） A B C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba3aa3 Ca2a3a5 D （a2）4a6 3 （3 分）2020 年 12 月 15 日水利部消息：六年来，南水北调工程累计调水量超过 394 亿
2、立方米，超 1.2 亿 人直接受益用科学记数法表示 394 亿为（ ） A3.94108 B3.94109 C3.941010 D3.941011 4 （3 分）如图，A22，E30，ACEF，则1 的度数为（ ） A52 B12 C30 D22 5 （3 分） 某班学习小组做 “用频率估计概率” 的实验时， 统计了某一结果出现的频率， 绘制了如下的表格， 则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中
3、任抽一张牌的花色是红桃 B从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球 C抛一枚硬币，出现正面的概率 D抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 5 6 （3 分）下列命题中的真命题是（ ） 相等的角是对顶角 菱形的对角线互相垂直平分 第 2 页（共 26 页） 垂直于半径的直线是圆的切线 顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形 A B C D 7 （3 分）如图，把矩形 ABCD 中的 AB 边向上翻折到 AD 边上，当点 B 与点 F 重合时，折痕与 BC 边交于 点 E，连接 EF，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 恰好相似，若 AB1 时，AD 的长为（ ） A
4、1+5 2 B51 2 C35 D5 1 8 （3 分）如图，在菱形 ABOC 中，A60，它的一个顶点 C 在反比例函数 y= 的图象上，若将菱形向 下平移 2 个单位，点 A 恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（ ） Ay= 33 By= 3 Cy= 3 Dy= 3 9 （3 分）如图为二次函数 yax2+bx+c 的图象，给出下列说法：ab0；方程 ax2+bx+c0 的根为 x1 1，x23；a+b+c0；当 x1 时，y 随 x 值的增大而增大；当 y0 时，x1 或 x3其 中，正确的说法有（ ） A B C D 10 （3 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 对角线 AC
5、上异于 A、C 一动点，PB 绕点 P 顺时针旋转 90交射线 DC 于 E，以 PE、PB 为邻边作矩形 BPEF，PH 垂直射线 DC 于 H，反向延长交 AB 于 G，当 AD3，AB 4 时，下列结论： 第 3 页（共 26 页） PGBEHP； = 3 4； 矩形 BPEF 的面积的最小值为108 25 ； 当PCE 是以 PC 为底的等腰三角形时，AP= 7 5 其中，正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分) 11 （3 分）因式分解：mn29m 12 （3
6、分）已知一元二次方程（m1）x2+7mx+m2+3m40 有一个根为零，则 m 的值为 13（3 分） 如图， 四边形 ABCD 中， ADBC， CM 是BCD 的平分线， 且 CMAB， M 为垂足， AM= 1 3AB 若 四边形 ABCD 的面积为15 7 ，则四边形 AMCD 的面积是 14 （3 分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站，AB2km，从 A 测得船 C 在北偏东 45的 方向， 从 B 测得船 C 在北偏东 22.5的方向， 则船 C 离海岸线 l 的距离 （即 CD 的长） 为 km （精 确到 0.1） 15 （3 分）已知：如图，梯形 ABCE
7、 内接于O，AB 为直径，过 C 作 CGAB 于 G，交 EB 于点 H，若 sin 第 4 页（共 26 页） CAB= 5 5 ，则 = 三、解答题三、解答题(本题共本题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 8 分，分， 第第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分分) 16 （5 分）计算：1 3 12 (2021 )0 |1 330| + ( 1 2) 3 17 （6 分）先化简，再求值： （ +1 2 1 22+1） 1
8、，其中 a= 3 +1 18 （8 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D、C、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a ，b ，c ； （2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度； （3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比 赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率 19 （8 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标为（3，0） ，以 O 为圆心，OA 为半径作O 交 y 轴于点 C
9、，直线 l： = 4 3 + 过点 C （1）设直线 l 与O 的另一个交点为 D（如图 1） ，求弦 CD 的长； （2）如图 2，将直线 l 向上平移 2 个单位长度，得到直线 m，求证：直线 m 与O 相切； （3）在（2）的前提下，设直线 m 与O 切于点 P，Q 为O 上一动点，过点 P 作 PRPQ 交直线 QA 于点 R（如图 3） ，则PQR 的最大面积为多少？ 第 5 页（共 26 页） 20 （8 分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只 4 元， 按要求在 20 天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生
10、产的粽子数量 为 y 只，y 与 x 满足如下关系： y= 34(0 6) 20 + 80(6 20) （1）李明第几天生产的粽子数量为 280 只？ （2）如图，设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画若 李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多 少元？（利润出厂价成本） 21 （10 分）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（2，1） ，且 P（1，2）为 双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B
11、 （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得OBQ 与OAP 面积相等？ 如果存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求 平行四边形 OPCQ 周长的最小值 第 6 页（共 26 页） 22 （10 分）已知：如图，点 A（1，0） ，B（3，0） ，D（2，1） ，C 是 y 轴上的点，且 OC3 （1）过点 A 作 AMBC，垂足为 M，连接 AD、BD，求证：四边形 ADBM 为正方形； （
12、2）若过 A、B、C 三点的抛物线对称轴上有一动点 P，当 PCPB 的值最大时，求出点 P 的坐标； （3）设 Q 为线段 OC 上的一动点，问：AQ+ 10 10 QC 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不 存在，请说明理由 第 7 页（共 26 页） 2022 年广东省深圳市新中考数学模拟试卷（年广东省深圳市新中考数学模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1 （3 分）如图所示的物体
13、有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（ ） A B C D 【解答】解：主视图是从正面看，圆柱从正面看是长方形，两个圆柱，看到两个长方形 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba3aa3 Ca2a3a5 D （a2）4a6 【解答】解：A、a2+a22a2，故 A 错误； B、a3aa2，故 B 错误； C、a2a3a5，故 C 正确； D、 （a2）3a8，故 D 错误 故选：C 3 （3 分）2020 年 12 月 15 日水利部消息：六年来，南水北调工程累计调水量超过 394 亿立方米，超 1.2 亿 人直接受益用科学记数法表示 394 亿为（ ） A
14、3.94108 B3.94109 C3.941010 D3.941011 【解答】解：3.94 亿394000000003.941010 故选：C 4 （3 分）如图，A22，E30，ACEF，则1 的度数为（ ） A52 B12 C30 D22 【解答】解：如图，AC 交 DE 于点 G，AB 交 DE 于点 H， 第 8 页（共 26 页） E30，ACEF， AGHE30， 又1 是AGH 的外角，A22， 1A+AGH22+3052， 故选：A 5 （3 分） 某班学习小组做 “用频率估计概率” 的实验时， 统计了某一结果出现的频率， 绘制了如下的表格， 则符合这一结果的实验最有可能的
15、是（ ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球 C抛一枚硬币，出现正面的概率 D抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 5 【解答】 解： 由表知， 随着实验次数的逐渐增大， 其频率逐渐稳定于 0.33， 即此结果发生的概率约为 0.33， 即1 3， A 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后， 从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为13 52 =
16、0.25， 不符合题意； B从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为1 3，符合题意； C抛一枚硬币，出现正面的概率为 0.5，不符合题意； D抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 5 的概率为1 6，此选项不符合题意； 故选：B 6 （3 分）下列命题中的真命题是（ ） 相等的角是对顶角 菱形的对角线互相垂直平分 垂直于半径的直线是圆的切线 顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形 第 9 页（共 26 页） A B C D 【解答】解：相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 菱形的对角线互相垂直平分，正确，是真命题，符合题意； 经过半
17、径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意， 真命题有， 故选：D 7 （3 分）如图，把矩形 ABCD 中的 AB 边向上翻折到 AD 边上，当点 B 与点 F 重合时，折痕与 BC 边交于 点 E，连接 EF，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 恰好相似，若 AB1 时，AD 的长为（ ） A1+5 2 B51 2 C35 D5 1 【解答】解：AB1， 设 ADx，则 FDx1，FE1， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， = ， 1 1 = 1， 解得 x1= 1+5 2 ，x2=
18、 15 2 （不合题意舍去） ， 经检验 x1= 1+5 2 是原方程的解 故选：A 8 （3 分）如图，在菱形 ABOC 中，A60，它的一个顶点 C 在反比例函数 y= 的图象上，若将菱形向 下平移 2 个单位，点 A 恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（ ） Ay= 33 By= 3 Cy= 3 Dy= 3 第 10 页（共 26 页） 【解答】解：过点 C 作 CDx 轴于 D， 设菱形的边长为 a， 在 RtCDO 中，ODacos60= 1 2a，CDasin60= 3 2 a， 则 C（ 1 2a， 3 2 a） ， 点 A 向下平移 2 个单位的点为（ 1 2aa， 3
19、2 a2） ，即（ 3 2a， 3 2 a2） ， 则 3 2 = 1 2 3 2 2 = 3 2 ， 解得 = 23 = 33 故反比例函数解析式为 y= 33 故选：A 9 （3 分）如图为二次函数 yax2+bx+c 的图象，给出下列说法：ab0；方程 ax2+bx+c0 的根为 x1 1，x23；a+b+c0；当 x1 时，y 随 x 值的增大而增大；当 y0 时，x1 或 x3其 中，正确的说法有（ ） A B C D 【解答】解：根据图象可知： 对称轴 2 = 10，故 ab0，正确； 方程 ax2+bx+c0 的根为 x11，x23，正确； x1 时，ya+b+c0，错误； 第
20、11 页（共 26 页） 当 x1 时，y 随 x 值的增大而减小，错误； 当 y0 时，x1 或 x3，正确 正确的有故选：B 10 （3 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 对角线 AC 上异于 A、C 一动点，PB 绕点 P 顺时针旋转 90交射线 DC 于 E，以 PE、PB 为邻边作矩形 BPEF，PH 垂直射线 DC 于 H，反向延长交 AB 于 G，当 AD3，AB 4 时，下列结论： PGBEHP； = 3 4； 矩形 BPEF 的面积的最小值为108 25 ； 当PCE 是以 PC 为底的等腰三角形时，AP= 7 5 其中，正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个
21、 D4 个 【解答】证明：PGBEHPBPE90， PBGEPH， PGBEHP； 解：连接 BE， PEPB， BPE90， BCE90， 第 12 页（共 26 页） BCE+BPE180， P，B，E，C 四点共圆， PBEPCE， 在 RtBPE 与 RtADC 中，DBPE90，ACDPBE， RtBPERtADC， = ， 即 = = 3 4； 解：设 AP 的长为 x AD3，AB4， 由勾股定理得到：AC= 2+ 2=5 cosGAP= = = 4 5， AG= 4 5AP= 4 5x 同理，sinGAP= = = 3 5则 GP= 3 5x 在 RtPBG 中，PB2BG2+
22、PG2（4 4 5x） 2+（3 5x） 2x232 5 x+16， = = 3 4 PE= 3 4PB， S矩形BPEFPBPE= 3 4PB 2=3 4（x 232 5 x+16）= 3 4（x 16 5 ）2+ 108 25 ， 0 x5， x= 16 5 时，S 有最小值108 25 ； 当 PECE，则EPCECP， 四边形 ABCD 是矩形， BCD90， PEPB， BPE90， BPCBCP， 第 13 页（共 26 页） BPBC 过点 B 作 BFAC 于点 F，则 PFCF cosFCB= = ， 3 5 = 3 ， FC= 9 5， PF= 9 5， APACPC5 1
23、8 5 = 7 5 正确结论， 故选：D 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分) 11 （3 分）因式分解：mn29m m（n3） （n+3） 【解答】解：原式m（n29） m（n3） （n+3） 故答案为：m（n3） （n+3） 12 （3 分）已知一元二次方程（m1）x2+7mx+m2+3m40 有一个根为零，则 m 的值为 4 【解答】解：依题意，当 x0 时，原方程为 m2+3m40， 解得 m14，m21， 二次项系数 m10，即 x1， m4 故本题答案为：4 13（3 分） 如图， 四边形 ABCD 中， ADBC，
24、CM 是BCD 的平分线， 且 CMAB， M 为垂足， AM= 1 3AB 若 四边形 ABCD 的面积为15 7 ，则四边形 AMCD 的面积是 1 第 14 页（共 26 页） 【解答】解：如图所示：延长 BA、CD，交点为 E CM 平分BCD，CMAB， MBME， 又AM= 1 3AB， BM2AMEM2AM， AMAE， AE= 1 3AB， AE= 1 4BE， ADBC， EADEBC， = 1 16， S四边形ADCB= 15 16SEBC= 15 7 ， SEBC= 16 7 ， SEAD= 16 7 1 16 = 1 7， S四边形AMCD= 1 2SEBCSEAD=
25、8 7 1 7 =1， 故答案为：1 14 （3 分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站，AB2km，从 A 测得船 C 在北偏东 45的 方向，从 B 测得船 C 在北偏东 22.5的方向，则船 C 离海岸线 l 的距离（即 CD 的长）为 3.4 km（精 第 15 页（共 26 页） 确到 0.1） 【解答】解：在 CD 上取一点 E，使 BDDE，设 BDDEx BDDE， EBD45， 由题意可得CAD45， ADDC， 从 B 测得船 C 在北偏东 22.5的方向， BCECBE22.5， BEEC， ABADBD2km， ECBEDCDE2km， BDDEx，
26、CEBE= 2x， 2+xx+2x， 解得 x= 2 DC（2+2）3.4（km） 故答案为 3.4 15 （3 分）已知：如图，梯形 ABCE 内接于O，AB 为直径，过 C 作 CGAB 于 G，交 EB 于点 H，若 sin CAB= 5 5 ，则 = 3 第 16 页（共 26 页） 【解答】解：AB 是直径， ACB90， CGAB 于点 G， ACBCGB90 CABBCG， CEAB， CABACE， BCGACE， 又ACEEBG， BCGEBG， sinCAB= 5 5 ， tanCAB= 1 2， 在 RtHGB 中，tanHBG= = 1 2， BCGCAB 在 RtBC
27、G 中，tanBCG= = 1 2， 设 GHa，则 GB2a，CG4aCHCGHG3a， ECAB， ECHBGH，CEHGBH ECHBGH， = = 3 =3 故答案为：3 第 17 页（共 26 页） 三、解答题三、解答题(本题共本题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 8 分，分， 第第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分分) 16 （5 分）计算：1 3 12 (2021 )0 |1 330| + ( 1 2) 3 【
28、解答】解：原式= 1 3 23 1+13 3 3 8 = 2 33 1+138 = 3 3 8 17 （6 分）先化简，再求值： （ +1 2 1 22+1） 1 ，其中 a= 3 +1 【解答】解：原式 +1 (1) 1 (1)2 1 +1 (1) 1 1 1 = 1 (1) 1 = 1 (1)2， 当 a= 3 +1 时，原式= 1 (3+11) 2 = 1 3 18 （8 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D、C、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a 2 ，b 45 ，c 20 ；
29、（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度； 第 18 页（共 26 页） （3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比 赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率 【解答】解： （1）本次调查的总人数为 1230%40 人， a405%2，b= 18 40 10045，c= 8 40 10020， 故答案为：2、45、20； （2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 36020%72， 故答案为：72； （3）画树状图，如图所示： 共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰
30、好是甲、乙的结果有 2 个， 故 P（选中的两名同学恰好是甲、乙）= 2 12 = 1 6 19 （8 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标为（3，0） ，以 O 为圆心，OA 为半径作O 交 y 轴于点 C，直线 l： = 4 3 + 过点 C （1）设直线 l 与O 的另一个交点为 D（如图 1） ，求弦 CD 的长； （2）如图 2，将直线 l 向上平移 2 个单位长度，得到直线 m，求证：直线 m 与O 相切； （3）在（2）的前提下，设直线 m 与O 切于点 P，Q 为O 上一动点，过点 P 作 PRPQ 交直线 QA 于点 R（如图 3） ，则PQR 的最大面积为多少
31、？ 【解答】 （1）解：过点 O 作 OEl，垂足为 E，设直线 l 与 x 轴交于点 B，如图： 第 19 页（共 26 页） 直线 l：y= 4 3x+b 经过点 C（0，3） ， b3， 直线 l 为 y= 4 3x+3， 由 y0 得，4 3x+30，解得 x= 9 4， B（ 9 4，0） ， BC= 2+ 2= 15 4 ， 1 2BCOE= 1 2OCOB， 15 4 OE3 9 4， OE= 9 5， CE= 2 2= 12 5 ， CD2CE= 24 5 ； （2）证明：过点 O 作 OFm，垂足为 F，设直线 m 与 x 轴交于点 N，与 y 轴交于点 M，如图： 直线 m
32、 由直线 l 向上平移 2 个单位得到， 直线 m 为 y= 4 3x+5， 由 x0 得 y5， M（0，5） ， 第 20 页（共 26 页） 由 y0 得 x= 15 4 ， N（ 15 4 ，0） ， MN= 2+ 2=52+ (15 4 )2= 25 4 ， 1 2MNOF= 1 2OMON， 25 4 OF5 15 4 ， OF3OA， OFm 直线 m 与O 相切 （3）PQR 的最大面积为 54 理由：设O 与 x 轴的另一交点为 G，连接 PA、OP、PG，过点 P 作 PHx 轴于 H，如图： 由 RtOPHRtONP，可得 OP2OHON， OH= 2 = 12 5 ，
33、GHGOOH3 12 5 = 3 5， PH= 2 2= 9 5， PG= 2+ 2= 310 5 ， PQRPGA，QPRGPA PQRPGA， = 2 2， SPGA= 1 2AGPH= 27 5 ，PG2= 18 5 ， 第 21 页（共 26 页） SPQR= 3 2PQ 2， 当 PQ 取得最大值时，即 PQAG6 时，SPQR取得最大值， 此时 SPQR= 3 2 6254 20 （8 分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只 4 元， 按要求在 20 天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数量 为 y
34、 只，y 与 x 满足如下关系： y= 34(0 6) 20 + 80(6 20) （1）李明第几天生产的粽子数量为 280 只？ （2）如图，设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画若 李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多 少元？（利润出厂价成本） 【解答】解： （1）设李明第 x 天生产的粽子数量为 280 只， 由题意可知：20 x+80280， 解得 x10 答：第 10 天生产的粽子数量为 280 只 （2）由图象得，当 0 x10 时，p2； 当 10 x20 时
35、，设 Pkx+b， 把点（10，2） ， （20，3）代入得，10 + = 2 20 + = 3， 解得 = 0.1 = 1 ， p0.1x+1， 0 x6 时，w（42）34x68x，当 x6 时，w最大408（元） ； 6x10 时，w（42）（20 x+80）40 x+160， x 是整数， 当 x10 时，w最大560（元） ； 第 22 页（共 26 页） 10 x20 时，w（40.1x1）（20 x+80）2x2+52x+240， a20， 当 x= 2 =13 时，w最大578（元） ； 综上，当 x13 时，w 有最大值，最大值为 578 21 （10 分）如图 1，已知正比
36、例函数和反比例函数的图象都经过点 M（2，1） ，且 P（1，2）为 双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得OBQ 与OAP 面积相等？ 如果存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求 平行四边形 OPCQ 周长的最小值 【解答】解： （1）设正比例函数解析式为 ykx， 将点 M（2，1）
37、坐标代入得 k= 1 2，所以正比例函数解析式为 y= 1 2x， 同样可得，反比例函数解析式为 = 2 ； 第 23 页（共 26 页） （2）当点 Q 在直线 OM 上运动时， 设点 Q 的坐标为 Q（m，1 2m） ， 于是 SOBQ= 1 2OBBQ= 1 2 1 2mm= 1 4m 2， 而 SOAP= 1 2|（1）（2）|1， 所以有，1 4m 21，解得 m2， 所以点 Q 的坐标为 Q1（2，1）和 Q2（2，1） ； （3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OPCQ，OQPC， 而点 P（1，2）是定点，所以 OP 的长也是定长， 所以要求平行四边形 OPCQ 周长
38、的最小值就只需求 OQ 的最小值， （8 分） 因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 Q（n，2 ） ， 由勾股定理可得 OQ2n2+ 4 2 =（n 2 ） 2+4， 所以当（n 2 ） 20 即 n2 =0 时，OQ2有最小值 4， 又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ2同时取得最小值， 所以 OQ 有最小值 2，由勾股定理得 OP= 5， 所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2（OP+OQ）2（5 +2）25 +4 （或因为反比例函数是关于 yx 对称，所以当 Q 在反比例函数时候，OQ 最短的时候，就是反比例与 y x 的交点时候，联立方程组即可得到点
39、 Q 坐标） 22 （10 分）已知：如图，点 A（1，0） ，B（3，0） ，D（2，1） ，C 是 y 轴上的点，且 OC3 （1）过点 A 作 AMBC，垂足为 M，连接 AD、BD，求证：四边形 ADBM 为正方形； （2）若过 A、B、C 三点的抛物线对称轴上有一动点 P，当 PCPB 的值最大时，求出点 P 的坐标； （3）设 Q 为线段 OC 上的一动点，问：AQ+ 10 10 QC 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不 存在，请说明理由 第 24 页（共 26 页） 【解答】解： （1）由点 A、D 的坐标得，AD= (2 1)2+ (1 0)2= 2， 同理可得，BD
40、= 2， 而 AB312， 故 AB2AD2+BD2， 故ABD 为等腰直角三角形， 由 B、C 的坐标知，OBOC， 则CBO45， 则DBMCBO+ABD90ADBAMB， 故四边形 ADBM 为矩形， 而 ADBD， 四边形 ADBM 为正方形； （2）OC3，故点 C（0，3） ， 设抛物线的表达式为 yax2+bx+c， 将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得： + + = 0 9 + 3 + = 0 = 3 ，解得 = 1 = 2 = 3 ， 故抛物线的表达式为 yx22x+3； 第 25 页（共 26 页） 点 B 关于抛物线对称轴的对称点为点 A连接 CA 交对称轴于点 P
41、，则点 P 为所求点， 理由：PCPBPCPAAC 为最大值， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为 y3x+3， 而抛物线的对称轴为直线 x= 1 2（1+3）2， 当 x2 时，y3x+33， 故点 P 的坐标为（2，3） ； （3）存在，理由： 在 x 轴取点 A（1，0） ，连接 AC，过点 A 作 AHAC 于点 H，交 y 轴于点 Q，则点 Q 是所求点， 理由：由点 A、C 的坐标得，OA1，OC3，则 CA= 10， 则 sinHCQ= = 1 10， 则 AQ+CQ 10 10 =AHAQ+CQsinHCQAH 为最小， 第 26 页（共 26 页） tanCAO= =3，则 tanHAA= 1 3， 而直线 AH 过点 A（1，0） ，故其表达式为 y= 1 3（x1） ， 令 x0，则 y= 1 3，故点 Q 的坐标为（0， 1 3） ，则 CQ3 1 3 = 8 3 由点 A、Q 的坐标得，AQ=12+ (1 3) 2 = 10 3 ， AQ+ 10 10 QC 的最小值= 10 3 + 8 3 10 10 = 910 15
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